Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )

12/07/2018 6:59 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen

VII Transformasi Linear
Sub pokok Bahasan
• Definisi Transformasi Linear
• Matriks Transformasi
• Kernel dan Jangkauan
Beberapa Aplikasi Transformasi Linear
• Grafika Komputer
• Penyederhanaan Model Matematis
• dan lain lain

Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W
dinamakan transformasi linear, jika
untuk setiap dan berlaku :
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
Vba , R
  baT.1    bTaT 
 aT .2  aT

Contoh :
Tunjukan bahwa T : R2  R3, dimana
merupakan tranformasi linear.
Jawab :
Ambil unsur sembarang di R2,
Misalkan
(i) Akan ditunjukan bahwa
























y
x
yx
y
x
T
,
2
1







u
u
u
2
2
1
R
v
v
v 






     vTuTvuT 
Rumus Transformasi

Terbukti bahwa
  vuT 

















2
1
2
1
v
v
u
u
T
   
 














22
11
2211
vu
vu
vuvu
   














22
11
2211
vu
vu
vuvu


























2
1
21
2
1
21
v
v
vv
u
u
uu
     vΤuΤvuT 

(ii) Ambil unsur sembarang
Jadi, T merupakan transformasi linear.
RRu  dan2
  












2
1
u
u
u
















2
1
21
u
u
uu



 
 
  












2
1
21
u
u
uu
















2
1
21
u
u
uu

 uΤα

Contoh 2 :
Misalkan T merupakan suatu transformasi
dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh
T(A) = det (A), untuk setiap A  M2x2,
Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :
Misalkan
maka untuk setiap  R berlaku
det (A) =
22
43
21
xM
aa
aa
A 












43
21
det
aa
aa


  )det(2
4321
2
Aaaaa  

Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A)
Jadi T bukan transformasi linier.
Contoh 3 :
Diketahui T : P2 (Polinom orde-2)  R2, dimana
a. Apakah T merupakan transformasi linear
b. Tentukan









ca
ba
cxbxaT )( 2
)1( 2
xxT 
2
1 2 3p u u x u x   2
1 2 3q v v x v x  
Jawab :
a.(i) Ambil unsur sembarang P2,

Sehingga
Perhatikan bahwa
p q        2
332211 xvuxvuvu 
        2
1 1 2 2 3 3T p q T u v u v x u v x      
   
   








3311
2211
vuvu
vuvu
   
   








3131
2121
vvuu
vvuu

















31
21
31
21
vv
vv
uu
uu
   2
321
2
321 xvxvvTxuxuuT 

Ambil unsur sembarang P2,
dan   R, sehingga
Jadi, T merupakan transformasi linear
2
1 2 3p u u x u x  
   2
321 xuxuuTuT  
 
 








31
21
uu
uu


 
 








31
21
uu
uu











31
21
uu
uu

 2
321 xuxuuT  

b.
Suatu transformasi linear T : V  W dapat
direpresentasikan dalam bentuk :
 A dinamakan matriks transformasi dari T.
Contoh :
Misalkan, suatu transformasi linear T : R2  R3
didefinisikan oleh :
 )1( 2
xxT 













0
0
11
11
  uAuT  uuntuk setiap  V.

























y
x
yx
y
x

Jawab :
Perhatikan bahwa
Jadi matriks transformasi untuk T : R2  R3 adalah
Jika T : Rn  Rm merupakan transformasi linear
maka ukuran matriks transformasi adalah m x n












































y
x
y
x
yx
y
x
10
01
11













10
01
11
A

dimana
 21,vv
32
: RR 
   ii uv 
 
  222
111
uvvT
uvvT


    2321222123 xxx uuvv   21 vv
   1
2121

 vvuu
Misalkan
basis bagi ruang vektor V dan
merupakan transformasi linear
untuk setiap i = 1,2.
Sehingga
Jadi
basis bagi V
maka ia punya invers
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :
Tulis :














































1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
321 vvv
1
3
: PR 
  iii pvAvT 
xppxp 2;1;1 321 





















2
1
1
dan
Contoh 3 :
Misalkan
adalah basis bagi R3
Transformasi linear didefinisikan
untuk setiap i = 1,2,3.
Tentukan :
Matrix transformasi
Jika

      



















2
0
2;
0
1
1;
1
1
11 32 BBB xppxp
3,2,1,  iii pv




















201
011
111
011
001
1
111
011
001
201
011




















Jawab :
Definisikan :
Karena
Maka
atau











 100
010
001
111
011
001











 101
011
001
110
010
001
~











110
011
001
100
010
001
~


























221
010
110
011
001
201
011






 221
010
invers matriks dicari dengan OBE :
Sehingga
Jadi matriks transformasi T adalah

































2
1
1
2
1
1

























1
1
2
1
1
221
010
21
1
1
x
B












ingat bahwa
jadi
Sementara itu,
 x




















 1
2
1
1

 22
1,,1 xxxxx 
 











2
1
0
1 xT  











0
2
1
2
xxT  











0
1
2
1 2
xxT
 2
1 xxT 
Contoh 4 :
Jika T : P2  R3 adalah transformasi linear
dimana
Tentukan
.
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah
Gunakan
Definisi
Membangun

Jawab :
Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis
bagi polinom orde 2
maka polinom tersebut ditulis nejadi :
Samakan suku-suku sejenis
sehingga diperoleh SPL
dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.
1
1
1
32
321
31



kk
kkk
kk
     2
3
2
21
2
111 xxkxxkxkxx 

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
atau
Karena transformasi T bersifat linear maka :
       222
12101 xxTxxTxTxxT 






















0
1
2
0
2
1
2











0
5
4
        222
112101 xxxxxTxxT 
     222
112101 xxxxxxx 

Kernel dan Jangkauan
Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear
Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W
dinamakan kernel T
notasi ker ( T ).
atau
Contoh 5 :
Trans. Linear T : P2  R2
Perhatikan bahwa
maka
  0|)(  uTVuTKer









ca
ba
cxbxaT )( 2
 )1( 2
xxT 













0
0
11
11
)(1 2
TKerxx 

Sementara itu,
karena
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal
transformasi merupakan unsur kernel T.
Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai
vektor tak nol sebagai unsur kernel T.
Teorema :
Jika T : V  W adalah transformasi linear
maka Ker (T) merupakan subruang dari V
Bukti :
Ambil sembarang dan Riil)(, TKerba 
)(21 2
TKerxx 
0
1
1
)21( 2






 xxT

1. Karena setiap
artinya setiap
maka Ker(T)  V
2. Perhatikan bahwa
artinya setiap
oleh karena itu Ker(T) ≠ { }
3. Karena dan Ker(T)  V
Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku
akibatnya
Jadi
)(TKera 
  0sehingga  aTVa
)(0 TKer
  000  AT
)(, TKerba 
Vba 
  000  bTaTbaT
 Tba ker

karena V adalah ruang vektor
maka untuk setiap   Riil berlaku :
Jadi,
Dengan demikian, terbukti bahwa
Jika T : V  W adalah transformasi linear maka
Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V
Karena Ker(T ) merupakan subruang
 Basis Ker(T).
VaTKera  maka)(Karena4.
)(TKera 
    00   aTaT





















c
b
a
T
      022 2





















xcbaxcaba
c
b
a
T
Contoh 6 :
Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan
Jawab :
Perhatikan bahwa :
=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2
Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)

























0
0
0
2
2
cba
cb
ba





















c
b
a
T 













cba
cb
ba
2
2











112
120
011










c
b
a
Ini memberikan
sehingga
Jadi, matriks transformasi bagi T adalah











112
120
011
A

~
0
0
0
112
120
011























0
0
0
110
120
011











0
0
0
2/100
2/110
2/101
~










0
0
0
100
010
001
~
Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :
Dengan demikian, Basis ker(T) = { }
dan nulitasnya adalah nol.










































1
1
0
,
1
2
1
,
2
0
1
 222 2121 xx,xx,x 
Perhatikan hasil OBE
maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :
oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :
sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3











































dcba
dc
ba
d
c
b
a
T
2
2
Contoh 7 :
Diketahui transformasi linear T : R4  R3
didefinisikan oleh :
Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

Jawab :










































dcba
dc
ba
d
c
b
a
T
2
2


























d
c
b
a
2111
2100
0011












2111
2100
0011
A
Jadi

    4
,0 R
d
c
b
a
vvAvT 






































0000
2100
0011
~
2111
2100
0011
~A
Basis Ker(T) dan Nulitasnya?
Dengan OBE
Ker(T) adalah ruang solusi dari

0vA










































































0,,
2
1
1
0
0
0
0
1
1
tsts
d
c
b
a
d
c
b
a











































2
1
1
0
0
,
0
0
1
1
Ker(T) = ruang solusi dari
yaitu
Jadi Basis Ker(T) adalah
Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2




















ca
ba
c
b
a
T
2
  2
42 xxxT    2
22731 xxxT 
 xT 3
Latihan
1. Suatu transformasi T : 3  2
didefinisikan oleh
2. Jika suatu transformansi T : P1  P2 diberikan oleh :
dan
Tentukan
Periksa apakah T merupakan transformasi linear
























1
1
3
2
1
T






















 
1
2
1
5
3
T












3
1
T
(Untuk no. 3 – 5)
Suatu transformasi linear, T :R2R3
Yang diilustrasikan sebagai berikut :
dan
3. Tentukan matriks transformasi dari T !
4. Tentukan hasil transformasi,
5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !















1221
1321
1121
A



















ca
ba
c
b
a
T
2
7. Misalkan T : 3  2 didefinisikan oleh
Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)
beserta dimensinya !
6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :

Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )

Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )

More Related Content

What's hot

Similar to Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )

More from Kelinci Coklat

Recently uploaded

Transformasi Linear ( Aljabar Linear Elementer )