Materi ini membahas tentang induksi matematika dan rekursi yang digunakan untuk membuktikan obyek-obyek diskrit. Terdapat penjelasan mengenai definisi barisan secara rekursif, barisan Fibonacci, penyelesaian relasi rekursi linier dan non linier, serta contoh soal pembuktian menggunakan induksi matematika.

1. Pengajar :
Heni Widayani, M.Si
MataKuliah:MatematikaDiskrit
INDUKSI MATEMATIKA
& REKURSI
Kamis, 15 Februari 2018

2. TUJUAN
• Mereview konsep induksi untuk pembuktian obyek-
obyek diskrit.
• Mempelajari penggunaan induksi Matematika dan
mengapa induksi merupakan teknik pembuktian yang
valid
• Dapat menggunakan rekursi untuk mendefinisikan
barisan, fungsi, dan himpunan
• Mempelajari metoda induksi struktural untuk
membuktikan masalah rekursif

3. Definisi Rekursif Barisan
Penulisan barisan
1. Menuliskan beberapa suku pertama barisan
3, 5, 7,
3, 5, 7,
2. Menyatakan barisan dalam rumus eksplisit suku-sukunya
𝑎 𝑛 = 2𝑛 + 1 , dengan n ≥ 1, 𝑛 ∈ ℤ) (barisan bilangan ganjil > 2)
Kelebihan :
• Setiap suku barisan ditentukan secara tunggal
• Penentuan nilai suku ke-n dapat dilakukan secara cepat
3. Secara rekursif
Untuk 𝑘 ∈ ℤ, k ≥ 1, 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑘−1 + 2, 𝑎0 = 3
• Nilai barisan sangat dipengaruhi relasi rekurensi dan kondisi
awal.
9, 11, 13, 15, ...(barisan bilangan bil.ganjil lebih dari 2 )
11, 13, 17, 19,... (barisan bilangan prima lebih dari 2)
Relasi rekurensi Syarat awal

4. Barisan Fibonacci
Pada tahun 1202, Leonardo of Pisa (Fibonacci) mengemukakan masalah
sebagai berikut :
Misalkan mula-mula ada sepasang kelinci (jantan dan betina) yang baru
lahir. Setiap bulan, kelinci-kelinci yang sudah berumur lebih dari 1 bulan
akan beranak 2 ekor kelinci (jantan dan betina). Carilah banyaknya kelinci
setelah n bulan!
Jawab :
Pada bulan ke-0, kelinci yang ada adalah A (1 pasang)
Pada bulan ke-1, kelinci yang ada adalah A (1 pasang)
Pada bulan ke-2, kelinci yang ada adalah A,B (2 pasang)
Pada bulan ke-3, kelinci yang ada adalah A,B,C (3 pasang)
Pada bulan ke-4, kelinci yang ada adalah A,B,C,D,E (5 pasang)
Pada bulan ke-5, kelinci yang ada adalah A,B,C..,H (8 pasang)
Pada bulan ke-6, kelinci yang ada adalah A,...M (13 pasang)
...dst
Misalkan 𝐹𝑛 menyatakan banyaknya pasangan kelinci yang hidup pada
bulan ke-n (𝑛 ≥ 0, 𝑛 ∈ ℤ). Maka
𝐹𝑛 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛−2, 𝐹0 = 1, 𝐹1 = 1

5. Penyelesaian Relasi Rekursif Linier dgn
koefisien konstan
Salah satu metode yang digunakan adalah dengan persamaan
karakteristik. Bentuk umum relasi rekursif linier dgn koefisien
konstan berderajat 𝑘 adalah
𝑎 𝑛 + 𝑐1 𝑎 𝑛−1 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 = 𝑓 𝑛 , dengan 𝑛 ≥ 𝑘, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ
1.Relasi rekurensi homogen (𝑓 𝑛 = 0)
2.Relasi rekurensi tak homogen (𝑓 𝑛 ≠ 0)

6. 1. 𝑎 𝑛 − 7𝑎 𝑛−1 + 10𝑎 𝑛−2 = 0
Homogen, linier, derajat 2
2. 𝑏 𝑘 = 𝑏 𝑘−1 + 𝑏 𝑘−2 + 𝑏 𝑘−3
Homogen, linier, derajat 3
3. 𝑐 𝑘 = 2𝑐 𝑘−2
Homogen, linier, derajat 2
4. 𝑑 𝑘 = 𝑑 𝑘−1
2
+ 𝑑 𝑘−2
Homogen, Non Linier, derajat 2
6. 𝑓𝑘 = 𝑓𝑘−1 𝑓𝑘−2
Homogen, Non Linier, derajat 2
7. ℎ 𝑘 − 2ℎ 𝑘−1 + 1 = 0
Non homogen, Linier, derajat 1
8. 𝑗 𝑘 = −𝑗 𝑘−1 + (𝑘 − 1)ℎ 𝑘−2
Non homogen, linier, derejat 2

7. Solusi Rekurensi Homogen Linier
Misalkan diberikan suatu relasi rekurensi homogen linier :
𝑎 𝑛 + 𝑐1 𝑎 𝑛−1 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 = 0, dengan 𝑛 ≥ 𝑘, 𝑛, 𝑘 ∈ ℤ
Persamaan karakteristik yang sesuai dengan rekurensi tersebut :
𝑡 𝑘 + 𝑐1 𝑡 𝑘−1 + ⋯ + 𝑐 𝑘 = 0 (*)
Misalkan 𝛼1, 𝛼2, … 𝛼 𝑘 adalah akar-akar persamaan karakteristik (*). Ada
2 kemungkinan akar
1. Semua akar berbeda
Solusi berbentuk 𝑎 𝑛 = 𝐶1 𝛼1
𝑛 + 𝐶2 𝛼2
𝑛 + ⋯ + 𝐶 𝑘 𝛼 𝑘
𝑛
2. Ada akar kembar
Misalkan terdapat akar yang sama 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼 𝑝, 𝛼 𝑝+1, . . , 𝛼 𝑘,
maka solusi berbentuk
𝑎 𝑛 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑛 + ⋯ + 𝐶 𝑝 𝑛 𝑝−1 𝛼1
𝑛
+ 𝐶 𝑝+1 𝛼 𝑝+1
𝑛
+ ...+𝐶 𝑘 𝛼 𝑘
𝑛

8. Solusi Rekurensi Non Homogen Linier
Solusi NonHomogen = Solusi Homogen + Solusi Khusus
𝒇(𝒏) Sifat Persamaan Karakteristik Bentuk Solusi Khusus
𝐾𝑎 𝑛 𝑎 bukan akar persamaan
karakteristik 𝑐(𝑡)
𝑃𝑎 𝑛
𝐾𝑎 𝑛
𝑎 adalah akar persamaan
karekteristik 𝑐 (𝑡) kelipatan 𝑚
𝑃𝑛 𝑚
𝑎 𝑛
𝐾𝑛 𝑠 𝑎 𝑛 𝑎 bukan akar persamaan
karakteristik 𝑐(𝑡) (𝑐(𝑎) ≠ 0)
𝑃0 + 𝑃1 𝑛+. . +𝑃𝑠 𝑛 𝑠 𝑎 𝑛
𝐾𝑛 𝑠 𝑎 𝑛 𝑎 adalah akar persamaan
karakteristik 𝑐 (𝑡) kelipatan 𝑚
𝑃0 + 𝑃1 𝑛+. . +𝑃𝑠 𝑛 𝑠 𝑛 𝑚 𝑎 𝑛
𝐾𝑛 𝑠 1 bukan akar persamaan
karakteristik 𝑐(𝑡) (𝑐(1) ≠ 0)
𝑃0 + 𝑃1 𝑛+. . +𝑃𝑠 𝑛 𝑠
𝐾𝑛 𝑠 1 adalah akar oersamaan
karakteristik 𝑐 (𝑡) kelipatan 𝑚
𝑃0 + 𝑃1 𝑛+. . +𝑃𝑠 𝑛 𝑠 𝑛 𝑚

9. Latihan Soal
Selesaikan relasi rekurensi berikut
1. 𝑎 𝑛 = 3𝑎 𝑛−1 + 4𝑎 𝑛−2, 𝑎0 = 1 dan 𝑎1 = 3
2. 𝑎 𝑛 − 3𝑎 𝑛−1 + 3𝑎 𝑛−2 − 𝑎 𝑛−3 = 0, 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 2, dan 𝑎2 = 4
3. 𝑎 𝑛 − 7𝑎 𝑛−1 + 16𝑎 𝑛−2 − 12𝑎 𝑛−3 = 0, 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 4, dan 𝑎2 = 8
4. 𝑎 𝑛 − 7𝑎 𝑛−1 + 10𝑎 𝑛−2 = 4 𝑛, 𝑎0 = 8, 𝑎1 = 36
5. 𝑎 𝑛 − 7𝑎 𝑛−1 + 10𝑎 𝑛−3 = 7. 3 𝑛
+ 4 𝑛
, 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 2, dan 𝑎2 = 4
6. 𝑎 𝑛 − 4𝑎 𝑛−1 + 4𝑎 𝑛−2 = 2 𝑛
7. 𝑎 𝑛 − 5𝑎 𝑛−1 + 6𝑎 𝑛−2 = 𝑛24 𝑛
8. 𝑎 𝑛 − 2𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 = 5 + 3𝑛

10. Induksi Matematika
• Metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan
bulat adalah induksi matematika.
• Berawal pada akhir abad ke-19. Dua orang
matematikawan yang mempelopori perkembangan
induksi matematika adalah R. Dedekind dan G. Peano.
Dedekind mengembangkan sekumpulan aksioma yang
menggambarkan bilangan bulat positif. Peano
memperbaiki aksioma tersebut dan memberikannya
interpretasi logis. Keseluruhan aksioma tersebut
dinamakan Postulat Peano.
• Induksi matematika adalah salah satu cara pembuktian.

11. Efek Domino
Misalkan beberapa balok tipis diletakkan dalam posisi berdiri
dan berdampingan satu dengan yang lain. Apabila balok ke-1
jatuh ke kanan dan menimpa balok ke-2, maka balok ke-2 akan
jatuh ke kanan dan menimpa balok ke-3, sehingga balok ke-3
jatuh kanan,...dan seterusnya sehingga semua balok akan jatuh.
Misalkan 𝑝(𝑘) adalah pernyataan, “Balok ke-k jatuh ke kanan”,
maka untuk menunjukkan bahwa semua balok ke-n (𝑛 ≥ 𝑎)
jatuh ke kanan diperlukan pembuktian dua hal :
1. Tunjukkan bahwa balok ke-a jatuh ke kanan (𝑝(𝑎) benar)
2. Tunjukkan bahwa jika balok ke-k jatuh ke kanan, maka balok
ke –(k+1) juga jatuh ke kanan. (Jika 𝑝(𝑘) benar, maka 𝑝(𝑘 +
1) benar)
Dengan terbuktinya kedua hal di atas, maka terbukti bahwa
𝑝(𝑛) benar untuk 𝑛 ≥ 𝑎.

12. Prinsip Induksi sederhana
Misalkan 𝒑(𝒏) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif
dan kita ingin membuktikan bahwa 𝒑 𝒏 benar untuk semua
bilangan bulat positif 𝒏. Untuk membuktikan proposisi ini, kita
hanya perlu menunjukkan bahwa :
1. 𝒑(𝟏) benar,
2. Jika 𝒑(𝒏) benar, maka 𝒑(𝒏 + 𝟏) juga benar untuk setiap 𝒏 ≥ 𝟏
sehingga 𝒑(𝒏) benar untuk semua bilangan bulat positif 𝒏.
Basis Induksi
Langkah Induksi :
• berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa 𝑝(𝑛) benar.
• Asumsi tersebut dinamakan ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘𝑠𝑖.
• Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar, maka
kita sudah membuktikan bahwa 𝑝(𝑛) benar untuk semua bilangan
bulat positif 𝑛.

13. Contoh Soal
Tunjukkan bahwa untuk 𝑛 ≥ 1, 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
melalui induksi matematika!
Penyelesaian :
Andaikan bahwa 𝑝(𝑛) menyatakan proposisi bahwa untuk 𝑛 ≥ 1, jumlah 𝑛 bilangan
bulat positif pertama adalah
𝑛(𝑛+1)
2
.
i. Basis induksi : p(1) benar, karena untuk 𝑛 = 1 kita peroleh 1 =
1.2
2
.
ii. Langkah induksi : Misalkan 𝑝(𝑛) benar, yaitu mengasumsikan bahwa
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus memperlihatkan bahwa 𝑝(𝑛 + 1) juga
benar, yaitu
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 + 1 =
𝑛 + 1 (𝑛 + 2)
2
Untuk membuktikan ini, tunjukkan bahwa
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 + 𝑛 + 1 =
𝑛 𝑛 + 1
2
+ 𝑛 + 1 =
𝑛 + 1 (𝑛 + 2)
2
= 𝑛 + 1
( 𝑛 + 1 + 1)
2
Karena langkah (i) an (ii) telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat
positif 𝑛, terbukti bahwa untuk semua 𝑛 ≥ 1, 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
2
. ∎

14. Latihan Soal 1
1. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa
jumlah 𝑛 buah bilangan ganjil positif pertama adalah 𝑛2.
2. Untuk semua 𝑛 ≥ 1, buktikan dengan induksi matematika
bahwa 𝑛3 + 2𝑛 adalah kelipatan 3.

15. Prinsip induksi yang dirampatkan
Misalkan 𝒑(𝒏) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan
kita ingin membuktikan bahwa 𝒑(𝒏) benar untuk semua
bilangan bulat 𝒏 ≥ 𝒏 𝟎. Untuk membuktikan ini, kita hanya
perlu menunjukkan bahwa :
1. 𝒑(𝒏 𝟎) benar
2. Jika 𝒑(𝒏) benar, maka 𝒑(𝒏 + 𝟏) benar untuk setiap 𝒏 ≥ 𝒏 𝟎
sehingga 𝒑(𝒏) benar untuk semua bilangan bulat 𝒏 ≥ 𝒏 𝟎.

16. Prinsip Induksi Kuat
Misalkan 𝒑(𝒏) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita
ingin membuktikan bahwa 𝒑(𝒏) benar untuk semua bilangan bulat
𝒏 ≥ 𝒏 𝟎. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan
bahwa :
1. 𝒑(𝒏 𝟎) benar, dan
2. Jika 𝒑 𝒏 𝟎 , 𝒑 𝒏 𝟎 + 𝟏 , … , 𝒑 𝒏 benar, maka 𝒑(𝒏 + 𝟏) juga benar
untuk setiap bilangan bulat 𝒏 ≥ 𝒏 𝟎.
sehingga 𝒑(𝒏) benar untuk semua bilangan bulat 𝒏 ≥ 𝒏 𝟎.
• Mirip dengan prinsip induksi sederhana
• Pada langkah 2, diambil hipotesis induksi yang lebih kuat bahwa
semua pernyataan 𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 adalah benar daripada hipotesis
yang menyatakan bahwa 𝑝 𝑛 benar (induksi sederhana).

17. Latihan Soal 2
1. Buktikan dengan induksi matematik bahwa 3 𝑛
< 𝑛! Untuk 𝑛
bilangan bulat positif yang lebih besar dari 6.
2. Jika 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3,..., 𝐴 𝑛 masing-masing adalah himpunan, buktikan
dengan induksi matematik hukum De Morgan rampatan berikut :
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ... ∩ 𝐴 𝑛 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴 𝑛
3. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah
himpunan beranggotakan 𝑛 elemn, banyaknya himpunan bagian
yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2 𝑛
!
4. Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar 𝑛 sen
(𝑛 ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan
perangko 5 sen” benar !
5. Sebuah mesin ATM (Anjungan Tunai Mandiri) hanya
menyediakan pecahan uang Rp20.000 dan Rp50.000. Kelipatan
uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh Atm tersebut?
Buktikan jawaban Anda dengan induksi matematik !

18. Contoh Soal
Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi
dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif 𝑛
(𝑛 ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan
dengan prinsip induksi kuat !
Jawab :
Misalkan 𝑝(𝑛) adalah proposisi bahwa setiap bilangan bulat positif 𝑛 (𝑛 ≥ 2) dapat dinyatakan
sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
i.Basis induksi : 𝑝(2) benar, karena 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat
dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.
ii.Langkah induksi : Misalkan 𝑝(𝑛) benar, yaitu asumsikan bahwa bilangan 2,3,..𝑛 dapat
dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima (hipotesis induksi). Kita perlu
menunjukkan bahwa 𝑝(𝑛 + 1) benar, yaitu 𝑛 + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian
bilangan prima. Hal ini ditunjukkan sebagai berikut : jika 𝑛 + 1 sendiri bilangan prima, maka
jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Jika 𝑛 + 1 bukan
bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif 𝑎 yang membagi habis 𝑛 + 1 tanpa sisa.
Dengan kata lain,
𝑛 + 1 = 𝑎𝑏
yang dalam hal ini, 2 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑛. Menurut hipotesis induksi, 𝑎 dan 𝑏 dapat dinyatakan
sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, 𝑛 + 1 jelas dapat dinyatakan
sebagai perkalian bilangan prima, karena 𝑛 + 1 = 𝑎𝑏.
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat
positif 𝑛 (𝑛 ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

19. Bentuk induksi secara umum
• Prinsip induksi dapat diterapkan tidak hanya untuk
pembuktian proposisi yang menyangkut himpunan bilangan
bulat positif, tetapi juga untuk himpunan objek yang lebih
umum asalkan himpunan tersebut mempunyai keterurutan
dan mempunyai elemen terkecil.
Misalkan 𝑋 terurut dengan baik oleh “<” dan p(x) adalah
pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin membuktikan
bahwa p(x) benar untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋. Untuk membuktikan ini,
kita hanya perlu menunjukkan bahwa :
i. 𝑝(𝑥0) benar, yang dalam hal ini 𝑥0 adalah elemen terkecil di
dalam 𝑋
ii. Jika 𝑝(𝑦) benar untuk 𝑦 < 𝑥, maka 𝑝(𝑥) juga benar untuk
setiap 𝑥 > 𝑥0 di dalam 𝑋
sehingga 𝑝(𝑥) benar untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋

20. Latihan Soal 3
1. Tentukan rumus untuk menghitung
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
2
𝑛
dengan
memeriksa nilai-nilai ekpresi untuk 𝑛 yang kecil, lalu gunakan
induksi matematik untuk membuktikan rumus itu !
2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 𝑛5 − 𝑛 habis
dibagi 5 untuk 𝑛 bilangan bulat positif !
3. Untuk biaya pos berapa saja yang dapat menggunakan
perangko senilai 5 sen dan 6 sen? Buktikan jawaban Anda
dengan induksi matematika !
4. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan
tamu lainnya hanya sekali saja. Buktikan dengan induksi
matematika bahwa jika ada 𝑛 orang tamu maka jumlah jabat
tangan yang terjadi adalah
𝑛(𝑛−1)
2
!
5. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa
suatu himpunan dengan 𝑛 elemen (𝑛 ≥ 2) mempunyai
𝑛(𝑛−1)
2
himpunan bagian yang mengandung tepat 2 elemen.

21. Tugas
Pilih 2 soal yang belum dibahas di kelas dari slide 9
Dan 3 soal dr induksi matematika (pilih dr slide 18 dan 24)