wkwk

1. BAB III
TRANSFORMASI LAPLACE
1. Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh:
L {F(t)} = ∫
∞
−
`
0
)( dttFe st
= f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( ∞ )
maka
L{F(t)} = ∫
∞
−
`
0
)( dttFe st
= ∫
−
∞→
p
st
p
dttFeLim
0
)(
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk
beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t),
G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf
kecil yang bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan
seterusya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0 ≤≤ t N dan eksponensial berorde γ untuk t > N, maka transformasi
Laplace f(s) ada untuk setiap s > γ
III - 1

2. Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa
fungsi sederhana.
Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)
1. 1
,
1
s
s > 0
2. T
,
1
2
s
s > 0
3. t 2
3
2
s
, s > 0
4. t n
n = 0,1,2,3,….
1
!
+n
s
n
, s > 0
5. e at
,
1
as −
s > 0
6. sin at
,22
as
a
+
s > 0
7. cos at
,22
as
s
+
s > 0
8. sinh at
,22
as
a
−
s > a
9. cosh at
,22
as
s
−
s > a
Contoh
Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut:
1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1}
= ∫
∞
−
0
)1( dte st
= ∫
−
∞→
p
st
p
dteLim
0
=
p
st
p
e
s 0
1
lim 





− −
∞→
= 



+− ∞−∞→ 0
11
lim
sesep
III - 2

3. =
s
1
2. F(t) = t
L{F(t)} = ∫
∞
−
0
st
e t dt
= ∫
−
∞→
p
st
p
tdte
0
lim
= )(
1
.lim
0
st
p
p
ed
s
t −
∞→ ∫ −
= dtete
s
p
stst
p ∫
−−
∞→
−−
0
lim
1
=
p
stst
p
e
s
te
s 0
1
lim
1






+− −−
∞→
= 





−−
ss
1
0
1
o
= 2
1
s
3. F(t) = e at
L{F(t)} = dtee atst
∫
∞
−
0
= dteLim
p
tas
p ∫
−−
∞→
0
)(
= [ ]ptas
p
e
as
0
)(
lim
1 −−
∞→−
= 





−
−− −∞−∞→ 0)()(
11
lim
)(
1
asasp eeas
=
as −
1
4. F(t) = sin at
III - 3

4. L{F(t)} = dte st
∫
∞
−
0
atsin
= ∫ −−
∞→
p
st
p
atd
a
eLim
0
)(cos
1
=
p
stst
p
eatd
a
eat
a
Lim
00
)(cos
1
.cos
1








+− ∫
∞
−−
∞→
=
p
p
stst
p
dteat
a
s
eat
a
Lim
0
.cos.cos
1








−+− ∫
∞
−−
∞→
=
p
stst
p
atd
a
e
a
s
eat
a
Lim
00
)(sin
1
..cos
1








−− ∫
∞
−−
∞→
=
pp
ststst
p
edatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
)(.sinsin(.cos
1








−−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
).sinsin(.cos
1








−−−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seat
a
s
ate
a
s
eat
a
Lim
00
2
2
2
).sinsin.cos
1








−−−− ∫
−−−
∞→
=
p
stst
p
eat
a
s
eat
asa
a
Lim
0
222
2
.sin.cos
1






−−
+
−−
∞→
= 22
sa
a
+
5. F(t) = cos at
L{F(t)} = dte st
∫
∞
−
0
atcos
= ∫
−
∞→
p
st
p
atd
a
eLim
0
)(sin
1
=
p
stst
p
eatd
a
eat
a
Lim
00
)(cos
1
.cos
1








−∫
∞
−−
∞→
=
p
p
stst
p
dteat
a
s
eat
a
Lim
0
.cos.cos
1








−∫
∞
−−
∞→
III - 4

5. =
p
stst
p
atd
a
e
a
s
eat
a
Lim
00
)(sin
1
..cos
1








− ∫
∞
−−
∞→
=
pp
ststst
p
edatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
)(.sinsin(.cos
1








−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
).sinsin(.cos
1








−−−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seat
a
s
ate
a
s
eat
a
Lim
00
2
2
2
).sinsin.cos
1








−+− ∫
−−−
∞→
=
p
stst
p
eat
a
s
eat
asa
a
Lim
0
222
2
.sin.cos
1






−
−
−−
∞→
= 22
sa
a
−
2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0 Nt ≤≤ dan eksponensial berordeγ untuk t > N, maka
transformasi Laplace-ny f(s) ada untuk semua s > γ .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah
CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi
transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak
dipenuhi.
3. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya
adalah
1) Sifat linear
III - 5

6. Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F )(1 t dan F )(2 t
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-
masing )(1 sf dan )(2 sf , maka:
L{c )(11 tF +c )(2 tF } = c )(11 sf + c )(2 sf
Bukti:
L{c )(11 tF +c )(2 tF } = ∫
∞
−
+
0
2211 )}()({ dttFctFce st
= ∫∫
∞
−
∞
−
+
0
21
0
11 )()( dttFcedttFce stst
= ∫∫
∞
−−
+
0
2
0
211 )()( dttFecdttFec st
p
st
= )()( 2211 sfcsfc +
Contoh
1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5
ss
1
3
1
2
−
=
ss
35
2
−
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}
= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
4
2
5
4
2
22
−
−
+ ss
=
4
10
4
12
22
−
−
+ ss
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-
fungsi berikut ini.
III - 6

7. a. F(t) = 2t2
e-t
b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t
c. F(t) = (sin t – cos t)2
d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t
e. F(t) = (2t + 2)3
f. F(t) = (sin t – 3)2
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e )}(tFat
= f(s-a)
Bukti
Karena L{F(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)( = f(s), maka
L{e )}(tFat
= ∫
∞
−
0
)( dttFee atst
= ∫
−−
p
tas
dttFe
0
)(
)(
= f(s-a)
Contoh:
1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s)
2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a)
3. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =



<
>−
at
atatF
,0
),(
maka
L{G(t)} = e )(sfas−
Bukti
III - 7

8. L{G(t)} = dttGe st
∫
∞
−
0
)(
= ∫ ∫
∞
−−
+
a
a
stst
dttGedttGe
0
)()(
= ∫ ∫
∞
−−
−+
a
a
stst
dtatFedte
0
)()0(
= ∫
∞
−
−
a
st
dtatFe )(
Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga
∫
∞
−
−
a
st
dtatFe )( = ∫
∞
+−
0
)(
)( duuFe aus
= e ∫
∞
−−
0
)( duuFe suas
= e )(sfas−
4. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} = 





a
s
f
a
1
Karena L{F(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)( maka
L{F(at)} = ∫
∞
−
0
)( dtatFe st
Misal u = at, du = a dt atau dt =
a
du
Sehinga L{F(at)} = ∫
∞
−
0
)( dtatFe st
= ∫
∞






−
0
)(
a
du
uFe a
s
u
= ∫






−
duuFe
a
a
s
u
)(
1
III - 8

9. = 





a
s
f
a
1
5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)( = f(s), maka
L{F’(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)('
= ∫
∞
−
0
)(tdFe st
=
p
stst
edtFtFe
00
)()()( 







−∫
∞
−−
= -F(0) + s ∫
∞
−
0
st
e F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s )(')0()(2
sFsFsf −−
Bukti
L{F”(t)} =
∫
∞
−
0
)(" dttFe st
= ∫
∞
−
0
))('( tFde st
= 







−∫
∞
−−
0
)()(')(' stst
edtFtFe e
= 







+ ∫
∞
−−
0
)(')(' dtetFstFe stst
= ( ))]0()([)(' FssfstFe st
−+−
III - 9

10. = s )0(')0()(2
FsFsf −−
Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
L{F(t)} = f(s) maka
L{F )}()(
tn
= s )0()0(...)0(')0()( )1()2(21 −−−−
−−−−− nnnnn
FsFFsFssf
6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
s
sf
duuF
)(
)(
1
0
=






∫
7. Perkalian dengan t n
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t )}(tFn
= (-1) )(sf
ds
d
n
n
n
= (-1)f )()(
sn
Bukti.
Karena f(s) = dttFe st
∫
∞
−
0
)( maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
ds
df
= f’(s) =
ds
d
dttFe st
∫
∞
−
0
)(
= dttFe
s
st
)(
0
−
∞
∫∂
∂
= ∫
∞
−
−
0
)( dttFte st
= - ∫
∞
−
0
)}({ dtttFe st
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = - )(' sf
ds
df
−=
III - 10

11. 8. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L ∫
∞
=






0
)(
)(
duuf
t
tF
Bukti:
Misal G(t) =
t
tF )(
maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian,
maka diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - )}({ tGL
ds
d
atau
f(s) = -
ds
dg
.
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
∫ f(s) = ∫ -
ds
dg
.
g(s) = - ∫∞
s
duuf )(
= ∫
∞
s
duuf )(
Jadi L =






t
tF )(
∫
∞
s
duuf )(
III - 11