Penjelasan materi dapat dilihat di https://youtu.be/s4UwRhm74ew

1. Solusi D’Alembert’ Untuk Persamaan Gelombang
Heni Widayani
Department of Mathematics
heniwidayani@mat.uin-malang.ac.id
April 6, 2020
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 1 / 17

2. Visualisasi fungsi 2 peubah
Persamaan diferensial parsial (PDP) memiliki solusi berupa fungsi dua
peubah atau lebih
Seringkali, solusi dari PDP bergantung terhadap lokasi x dan waktu t,
atau ditulis sebagai U(x, t)
beberapa cara yang dapat digunakan untuk memvisualiasikan fungsi 2
peubah yakni :
1 Animasi
2 Slice Plot
3 Kurva permukaan
4 xt diagram
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 2 / 17

3. Animasi
Misalkan diberikan suatu fungsi U(x, t).
Pada suatu waktu t0, fungsi U(x, t0) adalah fungsi dari x saja
sehingga grafik U(x, t0) dapat digambarkan di sepanjang x.
Grafik U(x, t0) ini disebut sebagai profile dari U di sepanjang lokasi x
pada waktu t0.
Penggambaran grafik U(x, tk) pada bidang-xU pada deret waktu
t1 < t2 < ... menghasilkan barisan frame. Barisan frame ini dapat
ditampilkan satu-per satu secara berurutan atau melihatnya secara
cepat pada komputer dapat menghasilkan efek pergerakan.
Misalkan U(x, t) = exp(−(x − t)2), untuk t = 0, t = 1, t = 2, t = 3
diperoleh frame
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 3 / 17

4. Script
MAPLE :
> restart; with(plots):
> u:=(x,t)->exp(-(x-t)ˆ2);
> animate(u(x,t),x=-10..10,t=0.6);
MATLAB :
x=-10:0.1:10; t=0:0.3:6;
[X,T]=meshgrid(x,t);
u=exp(-(X-T).ˆ2);
M=moviein(length(t));
for j=1:length(t)
plot(x,u(j,:)); M(:,j)=getframe;
end;
movie(M)
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 4 / 17

5. Slice Plots
Digunakan untuk melihat beberapa frames dari solusi
biasanya digunakan untuk melihat adanya gangguan atau error
sepanjang waktu simulasi
Dibuat dengan menempatkan beberapa frame animasi pada sistem
koordinat tiga dimensi, x, t, dan U
MATLAB : waterfall(x,t,u)
MAPLE : > slices:=seq([x,t,u(x,t)],t=0,2,4,6):
> spacecurve(slices,x=-10..10);
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 5 / 17

6. Kurva Permukaan
Fungsi dua variabel U(x, t) dapat diplot sebagai sebuah permukaan
U(x, t) pada sistem koordinat 3 dimensi xtU
Penggambaran kurva permukaan serupa dengan slice plot dan
mengambil waktu t berjalan secara kontinu di sepanjang lokasi x
MATLAB : surf(x,t,u)
MAPLE : plot3d(u(x,t),x=-10..10,t=0..6);
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 6 / 17

7. xt-Diagram atau Density Plot
Permukaan U(x, t) dapat diproyeksikan ke bidang xt
Nilai U(x, t) pada setiap titik (x, t) dideskripsikan sebagai suatu
warna yang menunjukkan ketinggian dari U
xt diagram sama saja seperti melihat permukaan U(x, t) dari atas.
MATLAB : pcolor(x,t,u)
MAPLE : densityplot(u(x,t),x=-10..10,t=0..6)
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 7 / 17

8. Latihan 1
1 Fungsi Heaviside atau fungsi tangga H(x) didefinisikan sebagai
H(x) = {
1, x ≥ 0
0, x < 0
Gambarkan grafik U(x, t) = H(x − t) pada bidang xU di waktu
t = 0, 1, 2, 3 (Gunakan Maple atau Matlab)
2 Visualisasikan fungsi u(x, t) = e−(x−t)2
+ e−(x+t)2
berupa
animasi,slice plot, kurva permukaan, dan xt-diagram
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 8 / 17

9. Persamaan Gelombang 1 Dimensi
Ketika sebuah dawai / senar dipetik lalu dilepaskan, maka pergerakan
senar tersebut akan mengikuti persamaan gelombang 1 dimensi berikut :
Utt = c2Uxx − ∞ < x < ∞, t > 0
U(x, 0) = f (x)
Ut(x, 0) = g(x)
(1)
U(x, 0) menyatakan posisi awal dari senar di setiap lokasi x.
Ut(x, 0) menyatakan kecepatan awal di setiap lokasi x.
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 9 / 17

10. Solusi Eksak
Untuk menyelesaikan PDP tersebut, kita misalkan bahwa solusi umum dari
(1) berbentuk
U(x, t) = F(x − ct) + G(x + ct)
Substitusi ke kondisi awal U(x, 0) = f (x) menghasilkan
F(x) + G(x) = f (x) (2)
sedangkan substitusi ke dalam kecepatan awal Ut(x, 0) = g(x)
menghasilkan
−cF (x) + cG (x) = g(x)
−F(x) + G(x) = −F(0) + G(0) +
1
c
x
0
g(s)ds
(3)
Kondisi (2) dan (3) membentuk sistem persamaan linier dengan solusi
F(x) =
1
2
f (x) −
1
2
(−F(0) + G(0)) −
1
2c
x
0
g(s)ds
G(x) =
1
2
f (x) +
1
2
(−F(0) + G(0)) +
1
2c
x
0
g(s)ds
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 10 / 17

11. Dengan demikian, diperoleh solusi umum dari (1) adalah
U(x, t) = F(x − ct) + G(x + ct)
=
1
2
f (x − ct) −
1
2
(−F(0) + G(0)) −
1
2c
x−ct
0
g(s)ds
+
1
2
f (x + ct) +
1
2
(−F(0) + G(0)) +
1
2c
x+ct
0
g(s)ds
=
1
2
(f (x − ct) + f (x + ct)) +
1
2c
x+ct
x−ct
g(s)ds
Solusi tersebut disebut sebagai Solusi d’Alembert dari persamaan
gelombang dengan bentuk solusi U dapat dinyatakn secara eksplisit
sebagai fungsi dari f (x) dan g(x).
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 11 / 17

12. Contoh 1
Diketahui masalah nilai awal sebagai berikut
Utt = c2
Uxx − ∞ < x < ∞, t > 0
dengan U(x, 0) = e−x2
dan Ut(x, 0) = 0
1 Tentukan solusi dari PDP tersebut !
Karena f (x) = e−x2
dan g(x) = 0 maka solusi D’Alembertnya
berbentuk
U(x, t) =
1
2
e−(x−ct)2
+ e−(x+ct)2
2 Gambarkan solusi pada saat t=0, 0.5, 1, 1.5 dengan c = 1
Animasi solusi dapat dilihat pada Animasi1.gif
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 12 / 17

13. Contoh 2
Diketahui masalah nilai awal sebagai berikut
Utt = c2
Uxx − ∞ < x < ∞, t > 0
dengan U(x, 0) = sin(x) dan Ut(x, 0) = 0
Tentukan solusi D’Alembert dari PDP tersebut !
U(x, t) =
1
2
(sin(x − ct) + sin(x + ct))
Gambarkan solusi pada saat t=0, 0.5, 1, 1.5 dengan c = 1
Animasi solusi dapat dilihat pada Animasi2.gif
Tuliskan solusi gelombang berjalan ke kanan F(x − ct) dan solusi
gelombang berjalan ke kiri G(x + ct) dari solusi bag (a)!
F(x − ct) = 1
2sin(x − ct) dan G(x + ct) = 1
2sin(x + ct)
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 13 / 17

14. Gambarkan solusi gelombang bag (c) dan perlihatkan bahwa u(x, t)
adalah jumlah dari kedua gelombang berjalan tersebut!
F(x, t)
G(x, t)
F(x, t) + G(x, t)
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 14 / 17

15. Gunakan identitas trigonometri untuk menyatakan solusi U(x, t)
sebagai U(x, t) = cos(ct)sin(x)
Jawab :
Identitas trigonometri menyatakan bahwa
sin(A) + sin(B) = 2sin
1
2
(A + B) cos
1
2
(A − B)
sehingga
U(x, t) = 1
2 (sin(x − ct) + sin(x + ct))
= sin(x)cos(−ct)
= sin(x)cos(ct)
= cos(ct)sin(x)
Solusi U(x, t) menunjukkan solusi berbentuk kurva sin(x) dengan
amplitudo cos(ct) yang berosilasi antara -1 dan 1.
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 15 / 17

16. Contoh 3
Tentukan solusi D’Alembert dari masalah nilai awal berikut dan
animasikan solusinya!
Utt = Uxx , −∞ < x < ∞, t > 0
dengan U(x, 0) = 0 dan Ut(x, 0) = xe−x2
.
JAWAB :
Karena f (x) = 0 dan g(x) = xe−x2
maka solusi D’Alembert dari MNA
tersebut adalah
U(x, t) =
x+t
x−t
se−s2
ds = −
1
2
e−s2
x+t
x−t
=
1
2
e−(x−t)2
−
1
2
e−(x+t)2
Animasi solusi dapat dilihat pada Animasi3.gif
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 16 / 17

17. Latihan 2
Diberikan MNA berikut
Utt = Uxx , −∞ < x < ∞, t > 0
dengan U(x, 0) = sin(x) dan Ut(x, 0) = xe−x2
.
1 Tentukan solusi D’Alembert dari masalah nilai awal tersebut !
2 Animasikan solusi tersebut !
3 Bagaimanakah kaitan antara solusi tersebut dengan solusi dari MNA
Contoh 2 dan Contoh 3!
Heni Widayani (UIN Maulana Malik Ibrahim Malang) Wave Eq. 1D April 6, 2020 17 / 17