Epanaliptiko diagvnisma thanasis_kopadis

1. Φροντιστήρια 19+ thanasiskopadis.blogspot .com
[1]
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
2020-2021
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν ( ) 0
f x
  για κάθε
x εσωτερικό του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο
το Δ.
5 μονάδες
Α2. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Fermat που αφορά τα τοπικά ακρότατα μιας
συνάρτησης.
5 μονάδες
Α3. Πότε δύο συναρτήσεις ,
f g λέγονται ίσες;
5 μονάδες
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό,
αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη
α) Η συνάρτηση ( )
f x x

= , x έχει ακριβώς μια θέση ολικού
μεγίστου
β) Μια πολυωνυμική συνάρτηση :
f → διατηρεί πρόσημο σε κάθε
ένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο
ορισμού της.
γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η εξίσωση
( ) 0
=
f x έχει πάντοτε ακριβώς μια λύση
δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης − f είναι συμμετρική ως προς
τον άξονα 
x x της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f
ε) ( ) 1
ln x
x
 = − , για κάθε 0
x 
10 μονάδες

2. Φροντιστήρια 19+ thanasiskopadis.blogspot .com
[2]
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση ( )
2
3
, 0
, 0
x x x
f x
x x a x
 + 

= 
+ + 


B1. Να αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Rolle
στο διάστημα  
1,0
−
6 μονάδες
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο , τότε:
Β2. Να βρείτε την τιμή του  
3 μονάδες
Β3. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση και να βρείτε την f 
8 μονάδες
Β4. Να ορίσετε τη συνάρτηση f g , όπου ( ) ln
g x x
= , 0
x 
8 μονάδες
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση  
: 1,2
f → για την οποία
ισχύουν:
● ( ) 0
f x
  , για κάθε  
1,2
x
● η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( )
( )
2, 2
A f έχει
εξίσωση y x
=
● ( )
1 0
f =
Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
8 μονάδες

3. Φροντιστήρια 19+ thanasiskopadis.blogspot .com
[3]
Γ2. Να αποδείξετε ότι η ευθεία : 2 0
x y
 + − = τέμνει την γραφική παράσταση
της f σε ένα ακριβώς σημείο.
6 μονάδες
Γ3. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( ) ( ) ( )
2
2 3
g x f x f x
= − + είναι «1-1»
5 μονάδες
Γ4. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της f και
την εφαπτομένη της στο ( )
( )
2, 2
A f
6 μονάδες
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : 0,
2
f

 
→
 
 
για την οποία ισχύουν:
● ( ) ( )
3 2
1
f x x f x x x
  

 +   = , για κάθε 0,
2
x

 
 
 
●
2 3
2
3 3
f

 
= +
 
 
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )
g x f x x x
 
=  − , 0,
2
x

 
 
 
είναι
σταθερή και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της f
6 μονάδες
Αν ( )
1 1
f x
x x
 
= + , 0,
2
x

 
 
 
Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
6 μονάδες

4. Φροντιστήρια 19+ thanasiskopadis.blogspot .com
[4]
Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 3
f x = έχει ακριβώς δύο ρίζες 1 2
,
x x , με
1 2
x x
 στο διάστημα 0,
2

 
 
 
6 μονάδες
Δ4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή και στη συνέχεια ότι
( )
2 2 3 2 2
4
f x x

 
 −  −
 
 
, όπου 2
x η ρίζα του ερωτήματος Δ3.
7 μονάδες
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός-Συγγραφέας