Επιμέλεια: Νίκος Κουτσουράδης για το 2ο ΓΕΛ Χαλανδρίου Πηγή: lisari.blogspot.gr

1. Νίκος Κουτσουράδης
2ο
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ / Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ/Ομάδα Θετικού προσανατολισμού
Όνομα-Επώνυμο : …………………………………………….. Βαθμός : ………………….
4ο Διαγώνισμα Θετικού Προσανατολισμού - Παράγωγος
Θέμα Β ( εύκολο )
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( 0 , +∞) → R για την οποία
ισχύει :
 f( e ) = e2
 f ΄( χ ) ∙ χ - 2 f( x ) = x 2
, για κάθε χ > 0
Β1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι : f ( x ) = x 2
∙ lnx
Μονάδες 7
Β2. Να μελετήσετε την f ως προς τα ακρότατα Μονάδες 8
Β3. Να σχεδιάσετε μια « πρόχειρη » γραφική παράσταση της f
Μονάδες 5
Β4. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης : χ =
2
a
x
e
Μονάδες 5
Θέμα Γ ( καλό ! )
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ,
2 2
  
  
 
με τύπο :
( ) 3 2f x x a      ( για κάποιο α ε R )
Γ1. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο χ0 = 0
Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι α = - 1
Μονάδες 7

2. Νίκος Κουτσουράδης
Γ3. Να γράψετε τον τύπο της f χωρίς την απόλυτη τιμή και να
χαράξετε μια « πρόχειρη » γραφική παράσταση της f
Μονάδες 8
Γ4. Να βρείτε την εξίσωση κάθε οριζόντιας εφαπτομένης της Cf
Μονάδες 4
Θέμα Δ ( πολύ καλό !!! )
Έστω συνάρτηση f : ( - ∞ , 0 ] → R , δις παραγωγίσιμη για την
οποία ισχύουν :
 f ΄΄ ( χ ) = e 2f( x )
+ e f( x )
, για κάθε χ ε ( - ∞ , 0 ]
 f ΄ ( χ ) ≠ 0 , για κάθε χ ε ( - ∞ , 0 ]
 η ευθεία y = 2x είναι εφαπτομένη της Cf στο Ο ( 0 , f ( 0 ) )
Δ1. Να δείξετε ότι
( ) ( )
( ) 1f x f x
e f x e 
   και στη
συνέχεια ότι :  ( ) ln 2 1 , 0x
f x e x
   
Μονάδες 9
Δ2. Nα δείξετε ότι η f αντιστρέφεται , να βρείτε την f -1
και στη
συνέχεια να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της Cf δεν είναι
πάνω από την ευθεία y = x , για κάθε χ ≤ 0
Μονάδες 10
Δ3. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) 1 0f x x   
Μονάδες 6

3. Νίκος Κουτσουράδης
“Η φαντασία είναι σημαντικότερη
από τη γνώση ! ” A. Einstein

4. Νίκος Κουτσουράδης