Επιμέλεια: Ανδρέας Μανώλης για το lisari.blogspot.gr

1. 0 Διαγώνισμα Έως Συνέπειες Θ.Μ.Τ./ Επιμέλεια: Ανδρέας Μανώλης
Διαγώνισμα – Έως Συνέπειες Θ.Μ.Τ.
Διάρκεια Διαγωνίσματος : 3 ώρες
Ημερομηνία εξέτασης : .... Φεβρουαρίου 2017
Στοιχεία μαθητή : ………………………………………………………………
Βαθμός (100) : ……………………………………………………………………
Βαθμός (20) : ………………………………………………………………………
Σχόλια Μαθητή : …………………………………………………………………………………………………………………………………….
Σχόλια Καθηγητή : ………………………………………………………………………………………………………………………………….
Κατασκευή Θεμάτων : Ανδρέας Μανώλης
Πηγή θεμάτων : Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου , Γιώργος Μιχαηλίδης

2. 1 Διαγώνισμα Έως Συνέπειες Θ.Μ.Τ./ Επιμέλεια: Ανδρέας Μανώλης
A1. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν
 η f είναι συνεχής στο Δ και
  f x 0  για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ
να δείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ
A2. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να δώσετε την γεωμετρική του ερμηνεία
A3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σ ή Λ
α. Αν δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς σε ένα διάστημα Δ και    f x g x  για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,
τότε για κάθε x Δ ισχύει πάντοτε    f x g x
β. Έστω A {0} r και η συνάρτηση f : A  r η οποία είναι παραγωγίσιμη με  f x 0  , για κάθε x A .
Τότε η f είναι πάντα σταθερή στο Α
γ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα  α,β και    f α f β , τότε υπάρχει πάντα ένα
τουλάχιστον  ξ α,β τέτοιο ώστε  f ξ 0 
δ. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο  α,β και παραγωγίσιμη στο  α,β τότε υπάρχει πάντα μοναδικό  ξ α,β
ώστε        f β f α β α f ξ  
ε. Αν ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την f στο  α,β , γεωμετρικά σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
 ξ α,β τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο   M ξ,f ξ να είναι παράλληλη
της ΑΒ, όπου   Α α,f α ,   Β β,f β .
Β1. Να δείξετε ότι ισχύει 2
x 1
1 x 2


για κάθε xr
Β2. Αν η f : r r είναι παραγωγίσιμη στο r με   2
x
f x
x 1
 

και για κάποιο  0x 0,  ισχύει :
 0 0
1
f x x
2
 και  0 0
1
f x x
2
   να δείξετε ότι :
i. για όλα τα α, βr ισχύει    
1
f β f α β α
2
  
ii.  f 0 0
iii. η εξίσωση  f x x έχει ακριβώς μια ρίζα
iv. η εξίσωση
x
ημ x
2
 έχει μοναδική λύση την οποία και να υπολογίσετε
Θέμα Α
Μονάδες : Α1 …. / 8, Α2 …. / 7, Α3 …. / 10 , Α .… / 25
Θέμα Β
Μονάδες : Β1 …. / 3, Β2 i.…. / 6, ii…. / 5, iii…. / 6, iv…. / 5, Β …. /25

3. 2 Διαγώνισμα Έως Συνέπειες Θ.Μ.Τ./ Επιμέλεια: Ανδρέας Μανώλης
Δίνεται η συνάρτηση f : r r για την οποία ισχύει :
    
2017x y
f x 2 2 f y x y     για κάθε x,y r και  f 0 1
και η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : r r για την οποία ισχύει :
    g α g β 2α 2β     για κάθε α,βr και  g 0 1 ,  g 1 2
Γ1. Να δείξετε   x
f x 2 , x r
Γ2. Να δείξετε ότι   2
g x x 2x 1, x    r
Γ3. i. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, g έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία τα οποία να
βρείτε
ii. Να δείξετε ότι σε κανένα από τα δυο παραπάνω σημεία οι γραφικές παραστάσεις των f, g δεν
δέχονται κοινή εφαπτομένη
Γ4. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ 0,1 τέτοιο ώστε        f ξ g ξ 1 f ξ g ξ 1    
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 1,  r ισχύουν :
  
1
f e 1
e
 
  
1
f x 0
x
 

       
2h 0
1
f x
f x 2h 2f x f x 3h 1x
lim
h x lnx x

   
 

για κάθε x 1
Δ1. Να δείξετε ότι  
1
f x lnx , x 1
x
  
Δ2. Να δείξετε ότι
 
   2 2
1 1 1 1
f x 1 f x
x 1 x xx 1
     
 
για κάθε x 1
Δ3. Να υπολογίσετε το όριο
2
x 2x
x
x 1 1 1
lim e ln
x x x 1


  
     
Δ4. Να δείξετε ότι η εξίσωση
       
4 3
f x f 2 f x f 3
9 4 2017
x 3 x 2
   
 
 
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  2,3
Θέμα Γ
Μονάδες : Γ1 …. / 7, Γ2 …. / 5, Γ3 i…. / 6, ii…. / 2, Γ4 …. / 5, Γ …. /25
Θέμα Δ
Μονάδες : Δ1 …. / 10, Δ2 …. / 4, Δ3 …. / 5, Δ4 …. / 6, Δ …. / 25

4. 3 Διαγώνισμα Έως Συνέπειες Θ.Μ.Τ./ Επιμέλεια: Ανδρέας Μανώλης

5. 0 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
Α1, Α2: Θεωρία
Α3.
α. Λ
β. Λ
γ. Σ
δ. Λ
ε. Σ
Β1. Α΄ τρόπος
Έχουμε
 
2
x 1 0
2
2 22
22 2
x xx 1 1 1
2 x x 1
1 x 2 2 1 x 21 x
2 x x 1 x 2 x 1 0 x 1 0
 
       
 
         
Το οποίο ισχύει για κάθε xr
Β΄ τρόπος
Είναι
2 2
x 1 1 x 1
1 x 2 2 1 x 2
    
 
Έχουμε
  
22 2
2
x 1
2x x 1 x 2x 1 0 x 1 0
1 x 2
          

Ισχύει
  
22 2
2
1 x
1 x 2x x 2x 1 0 x 1 0
2 1 x
            

Ισχύει
Οπότε η αρχική μας ανισότητα ισχύει για κάθε xr .
Β2.i. Θέλουμε να δείξουμε ότι      
1
f β f α β α 1
2
   για κάθε α,βr
Λύσεις - 4ο
Διαγώνισμα Έως Συνέπειες Θ.Μ.Τ
Θέμα Α
Θέμα Β

6. 1 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
 Αν α β τότε η σχέση    
1
f β f α β α
2
   γίνεται
       
1 1
f β f α β α f α f α α α 0 0
2 2
         Ισχύει
 Αν α β τότε :
 H f είναι συνεχής στο  α,β ως παραγωγίσιμη στο  α,β
 Η f είναι παραγωγίσιμη στο  α,β
Οπότε από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ α,β τέτοιο ώστε  
   f β f α
f ξ
β α

 

Όμως   2
x
f x
x 1
 

και από Β1. 2
x 1
1 x 2


. Άρα    
1
f x
2
   για κάθε xr
Για x ξ και α β είναι
 
       
   
f β f αf β f α1 1 1 1
f ξ f β f α β α
2 β α 2 β α 2 2

         
 
Β2.ii. Α΄ τρόπος :
Για 0α x  και β 0 στην  1 έχουμε
             
0x 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
f 0 f x 0 x f 0 x x x f 0 x x x f 0 0 2
2 2 2 2 2 2

               
Για α 0 και 0β x στην  1 έχουμε
             
0x 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
f x f 0 x 0 x f 0 x f 0 x x x f 0 x x 0 f 0 x 3
2 2 2 2 2 2 2 2

                
Από  2 και  3 έχουμε
   0 f 0 0 f 0 0   
Β΄ τρόπος (Στην ουσία ξανακάνουμε δύο φορές το Θ.Μ.Τ. του Β2.i.):
 H f είναι συνεχής στα  0x ,0 και  00,x ως παραγωγίσιμη
 Η f είναι παραγωγίσιμη στα  0x ,0 και  00,x
Οπότε από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον
 1 0ξ x ,0  τέτοιο ώστε  
   
 
  0
0
1
0 0
1
f 0 xf 0 f x 2f ξ
0 x x
 
  
 
και ένα τουλάχιστον
 2 0ξ 0,x τέτοιο ώστε  
     0
0
2
0 0
1
x f 0f x f 0 2f ξ
x 0 x

  

Για 1x ξ στην   έχουμε

7. 2 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
 
 
     0
1 0 0
0 0
1
f 0
x1 1 1 1
f ξ f 0 x ... x f 0 0 2
2 x 2 x 2

           
Για 2x ξ στην   έχουμε
 
 
     
0
2 0 0 0
0
1
x f 0
1 1 1 12f ξ f 0 x x ... 0 f 0 x 3
2 x 2 2 2

          
Από  2 και  3 έχουμε
   0 f 0 0 f 0 0   
Γ΄ τρόπος
Έχουμε    
 2
2
ln x 1x
f x f x
x 1 2
 
    
 
 
Οι συναρτήσεις f και
 2
ln x 1
2

είναι συνεχείς στο r
Οπότε από το πόρισμα της Συνέπειας του Θεωρήματος Μέσης τιμής έχουμε :
 
 2
ln x 1
f x c
2

  με cr
Από υπόθεση είναι :
  
 
 
2
0 0
0 0
ln x 1 x1
f x x c 1
2 2 2

   
  
 
 
2
0 0
0 0
ln x 1 x1
f x x c 2
2 2 2

      
Αφαιρούμε τις  1 και  2 κατά μέλη και έχουμε 0x 0 . Οπότε και c 0 .
Άρα  
 2
ln x 1
f x
2

 .
Έτσι  f 0 0
Β2.iii.
Από Β2.ii. έχουμε ότι το 0 είναι ρίζα της  f x x . Θα δείξουμε ότι είναι μοναδική.
Θεωρούμε τη συνάρτηση    g x f x x  ορισμένη στο r .
Α΄ τρόπος (με άτοπο) :
Έστω ότι g έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο r , και δύο από αυτές είναι οι 1 2ρ , ρ . Χωρίς βλάβη της
γενικότητας επιλέγουμε 1 2ρ ρ .
Τότε
 H g είναι συνεχής στo  1 2ρ ,ρ ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων
 Η g είναι παραγωγίσιμη στo  1 2ρ ,ρ ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων με    g x f x 1  

8. 3 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
    1 2g ρ g ρ 0  από υπόθεση
Οπότε από το Θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον  1 2ξ ρ ,ρ τέτοιο ώστε
    2
2
ξ
g ξ 0 f ξ 1 1 ξ ξ 1 0
ξ 1
         

Άτοπο διότι το τριώνυμο έχει Δ 0
Σε άτοπο καταλήξαμε από την υπόθεση ότι η g έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.
Άρα η λύση x 0 είναι μοναδική.
Β΄ τρόπος (με μονοτονία) :
Η g είναι παραγωγίσιμη ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων , οπότε :
   
2 2
2 2 2
x x x 1 x x 1
g x f x 1 1 0
x 1 x 1 x 1
    
       
  
διότι 2
x 1 0  και το τριώνυμο 2
x x 1 0    αφού έχει Δ 3 0  
Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα για κάθε xr
Οπότε για
      
g
x 0 g x g 0 g x 0    
1
      
g
x 0 g x g 0 g x 0    
1
Άρα η λύση x 0 είναι μοναδική.
Β2.iv.
Από την υπόθεση  
1
f x
2
  και το ερώτημα Β2.ii. και Β2.iii. έχουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής
 f x x με  
1
f x
2
  που έχει ρίζα το 0 θα είναι και μοναδική.
Η εξίσωση
x
ημ x
2
 έχει ρίζα το 0 και αν υποθέσουμε ότι  
x
h x ημ
2
 , τότε  
1 x
h x συν
2 2
  με
 
1 x 1 x 1
h x συν συν
2 2 2 2 2
   
Άρα η εξίσωση
x
ημ x
2
 έχει μοναδική ρίζα το 0
Γ1. Έχουμε την ανισοϊσότητα    
2017x y
f x 2 2 f y x y    
Θέτουμε     x
h x f x 2 , x  r
Για οποιοδήποτε 0y x r στην  1 έχουμε    
2017
0 0h x h x x x  
Είναι
       
2017 2017 2017
0 0 0 0 0h x h x x x x x h x h x x x         
Θέμα Γ

9. 4 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
Έχουμε ότι
   0 0
2017 2017
0 0
x x x x
lim x x lim x x 0
 
    
Οπότε από κριτήριο παρεμβολής είναι         
0 0
0 0
x x x x
lim h x h x 0 limh x h x
 
   
Άρα η h είναι συνεχής σε οποιοδήποτε 0x r , οπότε θα είναι συνεχής στο r
Για 0x x είναι
   
       2017 2016 2016 20160 0
0 0 0 0 0
0 0
h x h x h x h x
h x h x x x x x x x x x
x x x x
 
           
 
Έχουμε ότι
   0 0
2016 2016
0 0
x x x x
lim x x lim x x 0
 
    
Οπότε από κριτήριο παρεμβολής είναι
   
0
0
x x
0
h x h x
lim 0
x x



.
Άρα  0h x 0  για οποιοδήποτε 0x r , οπότε θα είναι  h x 0  για κάθε xr
Έτσι έχουμε ότι
 Η h είναι συνεχής στο r
  h x 0  για κάθε εσωτερικό σημείο του r
Οπότε από Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής η h θα είναι σταθερή στο r
Δηλαδή  h x c με cr , για κάθε xr
Τελικά είναι      x x
h x c f x 2 c f x c 2      
Για x 0 έχουμε   0
f 0 2 c 1 1 c c 0      
Οπότε   x
f x 2 , x r
Γ2. Έχουμε ότι          g α g β 2α 2β g α 2α g β 2β 1           για κάθε α,βr
Έστω    φ x g x 2x, x  r
Τότε από  1 έχουμε
   φ α φ β για κάθε α,βr
Οπότε η φ είναι σταθερή στο r
Άρα   1φ x c με 1c r
Οπότε

10. 5 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
          2
1 1 1 1φ x c g x 2x c g x c 2x g x c x x           
Οι συναρτήσεις   2
1g x , c x x είναι συνεχείς
Άρα από το πόρισμα της συνέπειας του Θεωρήματος Μέσης Τιμής έχουμε
  2
1 2g x c x x c   με 2c r
Για x 0 είναι   2
1 2 2g 0 c 0 0 c c 1     
Για x 1 είναι   2
1 2 1 1g 1 c 1 1 c 2 c 1 1 c 2         
Άρα   2
g x x 2x 1, x    r
Γ3. i. Για να βρούμε τα κοινά σημεία των f gC , C αρκεί να λύσουμε την εξίσωση
    x 2 x 2
f x g x 2 x 2x 1 2 x 2x 1 0          
Έστω   x 2
r x 2 x 2x 1, x    r
Παρατηρούμε ότι   0 2
r 0 2 0 2 0 1 0      και   1 2
r 1 2 1 2 1 1 0     
Άρα τα κοινά σημεία των f gC , C είναι τουλάχιστον τα  A 0,1 και  B 1,2 αφού
   f 0 g 0 1  και    f 1 g 1 2 
Θα δείξουμε ότι αυτά τα σημεία είναι μοναδικά.
Έστω ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον τρεις ρίζες στο r , και τρεις από αυτές είναι οι 0 , 1 και ρ. Χωρίς
βλάβη της γενικότητας επιλέγουμε 0 1 ρ  . Τότε
 H r είναι συνεχής στα    0,1 , 1,ρ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων

Η r είναι παραγωγίσιμη στo    0,1 , 1,ρ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
  x
r x 2 ln2 2x 2   
      r 0 r 1 r ρ 0   , από υπόθεση
Άρα από Θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον
 1ξ 0,1 τέτοιο ώστε  1r ξ 0 
και ένα τουλάχιστον
 2ξ 1,ρ τέτοιο ώστε  2r ξ 0 
Θεωρούμε την r ορισμένη στο  1 2ξ ,ξ
 H r είναι συνεχής στο  1 2ξ ,ξ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων
 Η r είναι παραγωγίσιμη στo  1 2ξ ,ξ ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
  x 2
r x 2 ln 2 2  
    1 2r ξ r ξ 0  
,
Οπότε από το Θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον  3 1 2ξ ξ ,ξ τέτοιο ώστε
  ξ 2 ξ 2
3r ξ 0 2 ln 2 2 0 2 ln 2 2        . Άτοπο.

11. 6 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
Σε άτοπο καταλήξαμε από την υπόθεση ότι η η εξίσωση έχει τουλάχιστον τρεις ρίζες. Επειδή έχουμε
δείξει ότι έχει δύο τουλάχιστον αυτές θα είναι και μοναδικές.
ii. Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στα σημεία Α και Β θα πρέπει :
 Για το σημείο  Α 0,1 να ισχύει    f 0 g 0 και    f 0 g 0 
Όμως  f 0 ln2  και  g 0 2  . Οπότε δεν δέχονται κοινή εφαπτομένη στο Α
 Για το σημείο  B 1,2 να ισχύει    f 1 g 1 και    f 1 g 1 
Όμως  f 1 2ln2  και  g 1 0  . Οπότε δεν δέχονται κοινή εφαπτομένη στο Β
Γ4. Α΄ τρόπος ( με το Θεώρημα Rolle) :
Για ξ x έχουμε
                    f x g x 1 f x g x 1 f x g x 1 f x g x 1 0 f x g x 1 0              
         q x f x g x 1 f x g x 1    
Θεωρούμε τη συνάρτηση      q x f x g x 1  ορισμένη στο  0,1
 Η  q x είναι συνεχής στο  0,1 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων
 Η  q x είναι παραγωγίσιμη στο  0,1 ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
         q x f x q x 1 f x q x 1     
      q 0 f 0 g 1 1 2 2   
       2
q 1 f 1 g 2 2 2 2 2 1 2       
Άρα    q 0 q 1 .
Οπότε από Θεώρημα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ 0,1 τέτοιο ώστε
                 q ξ 0 f ξ q ξ 1 f ξ q ξ 1 0 f ξ q ξ 1 f ξ q ξ 1              
Β΄ τρόπος ( με το Θεώρημα Bolzano) :
Θεωρούμε τη συνάρτηση          q x f x g x 1 f x g x 1     ορισμένη στο  0,1
 H qείναι συνεχής στο  0,1 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων .
          q 0 f 0 g 1 f 0 g 1 1 0 ln2 2 2ln2 0        
           q 1 f 1 g 2 f 1 g 2 2 2 2ln2 1 4 2ln2 4 ln4 0              , διότι για x 4 στη βασική
ανισότητα lnx x 1  έχουμε ln4 4 1 ln4 4 1 0      
Οπότε από Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ 0,1 τέτοιο ώστε
         q ξ 0 f ξ g ξ 1 f ξ g ξ 1      
Δ1. Αρχικά έχουμε ότι η  
1
f x
x
 είναι συνεχής για x 1 και  
1
f x 0
x
  , οπότε από τις συνέπειες
του Θεωρήματος Bolzano διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επίσης  
1
f e 1 0
e
   . Άρα  
1
f x 0
x
  για
κάθε x 1 και κατά συνέπεια    
1 1
f x f x
x x
   .
Θέμα Δ

12. 7 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
Η δοθείσα σχέση γίνεται
       
 2h 0
1
f xf x 2h 2f x f x 3h 1xlim 1
h x lnx x
   
 

Έχουμε ότι
             
     h 0 h 0
f x 2h 2f x f x 3h f x 2h f x f x 3h f x
lim lim 2f x 3f x f x
h h h 
         
        
 
διότι
για το
   
h 0
f x 2h f x
lim
h
 
θέτουμε 2h u  . Όταν h 0 τότε u 0
Άρα
           
 h 0 u 0 u 0
f x 2h f x f x u f x f x u f x
lim lim 2lim 2f x
uh u
2
  
     
    

και για το
   
h 0
f x 3h f x
lim
h
 
θέτουμε 3h u . Όταν h 0 τότε u 0
Άρα
           
 h 0 u 0 u 0
f x 3h f x f x u f x f x u f x
lim lim 3lim 3f x
uh u
3
  
     
  
Οπότε από  1 έχουμε  
 
 
 
 2 2
1 1
f x f x
1 1x xf x f x 2
x lnx x x x lnx
 
     
 
Θεωρούμε τη βοηθητική συνάρτηση    
1
g x f x , x 1
x
  
Οπότε από  2 έχουμε
 
     
 
 
     
g x 0 g x 0g x g x 1
g x lng x ln lnx
x lnx g x xlnx
        

Οι    lng x , ln lnx είναι συνεχείς στο  1,
Οπότε από το Πόρισμα της Συνέπειας του Θεωρήματος Μέσης Τιμής έχουμε
    ln g x ln lnx c  με cr
Γι α x e είναι      
1
lng e ln lne c ln f e ln1 c ln1 ln1 c c 0
e
 
           
 
Άρα
         
lnx:1 1 1 1
lng x ln lnx g x lnx f x lnx f x lnx , x 1
x x

         
Δ2. Έχουμε ότι   2
1 1
f x
x x
   και   2 3
1 2
f x 0
x x
     . Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε
x 1 .

13. 8 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
Για x 1 έχουμε :
 Η f είναι συνεχής στο  x,x 1 ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων
 Η f είναι παραγωγίσιμη στο  x,x 1 ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων
Από Θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ x,x 1  τέτοιο ώστε
 
   
   
f x 1 f x
f ξ f x 1 f x
x 1 x
 
    
 
Έχουμε
     
 
   
f
2 2
1 1 1 1
x ξ x 1 f x 1 f ξ f x f x 1 f x
x 1 x xx 1

               
 
2
Δ3. Ψάχνουμε το όριο
 
      
2 2
2 2
x 2x x 2x
x x
x 2x x 2x
x x
x 1 1 1 1 1
lim e ln lim e ln x 1 lnx
x x x 1 x x 1
1 1
lim e ln x 1 lnx lim e f x 1 f x
x 1 x
 
 
 
 
       
                     
                    
Από Δ2 έχουμε ότι
 
   
 
    
2 2 2 2 2x 2x
2
x 2x x 2x x 2x x 2xe
x 2x
2 22 2
1 1 1 1 e e e e
f x 1 f x e f x 1 f x
x 1 x x x 1 x xx 1 x 1
    

            
  
Έχουμε ότι :

 
22 x 2xx 2x
x D.L.H. x
e 2x 2e
lim lim
x 1 1

 
 

  

, διότι  x
lim 2x 1

   και για να υπολογίσουμε το
2
x 2x
x
lim e 

θέτουμε 2
x 2x u  . Όταν x   , τότε  2
0
x
u lim x 2x

   . Οπότε
2
x 2x u
x u
lim e lim e
 
  

 
 
22
2
x 2xx 2x
x 2x
2x D.L.H. x x
e 2x 2e
lim lim lim e
2x 2x 1

 

  

   

( το έχουμε υπολογίσει πιο πάνω)
Οπότε
 
2 2
x 2x x 2x
2x
e e
lim
x 1 x 1
 

 
   
   
Επίσης

 
22 x 2xx 2x
x D.L.H. x
e 2x 2e
lim lim
x 1

 
 

   ( το έχουμε υπολογίσει πιο πάνω)

 
 
22
2 2
x 2xx 2x
x 2x x 2x
2x D.L.H. x x x
e 2x 2e 2x 2 1
lim lim lim e lim e 1 1 0
x 2x 2x x

 
 
   
    
           
   
Οπότε
2 2
x 2x x 2x
2x
e e
lim
x x
 

 
    
 
Συνεπώς από κριτήριο παρεμβολής είναι

14. 9 Διαγώνισμα στο Bolzano/ Ανδρέας Μανώλης
    
2
x 2x
x
lim e f x 1 f x

    
 
Δ4. Έχουμε για  x 2,3 ότι
       
              
4 3
f x f 2 f x f 3
9 4 2017
x 3 x 2
4 3
x 2 f x f 2 x 3 f x f 3 2017 x 3 x 2 0
9 4
   
 
 
   
              
   
Θωρούμε τη συνάρτηση                 
4 3
g x x 2 f x f 2 x 3 f x f 3 2017 x 3 x 2
9 4
   
             
   
ορισμένη στο  2,3
 Η g είναι συνεχής στο  2,3 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων
      
3
g 2 f 2 f 3 0
4
 
     
 
διότι για x 2 στην ανισότητα του Δ2. είναι
       
       
1 1 1 1 4
f 3 f 2
3 9 2 4 9
3 3
f 2 f 3 0 f 2 f 3 0
4 4
       
 
        
 
3
f 3 - f 2 <
4
και
     
4
g 3 f 3 f 2 0
9
    διότι για x 2 στην ανισότητα του Δ2. είναι
       
   
1 1 1 1 3
f 3 f 2
3 9 2 4 4
4
f 3 f 2 0
9
       
  
4
< f 3 - f 2
9
Οπότε    g 2 g 3 0
Συνεπώς από Θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ 2,3 τέτοιο ώστε
                
         ξ 2,3
4 3
g ξ 0 ξ 2 f ξ f 2 ξ 3 f ξ f 3 2017 ξ 3 ξ 2 0
9 4
4 3
f ξ f 2 f ξ f 3
9 4 2017
ξ 3 ξ 2

   
               
   
   
  
 