Ιστότοπος study4exams - Επεξεργασία αρχείων: lisari.blogspot.gr

1. Σελίδα - 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
4Ο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 2)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω η συνάρτηση 1f(x) εφx, x  , όπου  1 x / συνx 0   . Να αποδείξετε ότι η
f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει   12
1
εφx , x
συν x
   .
(Μονάδες 3)
Α2. α) Διατυπώστε το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού και ερμηνεύστε το
γεωμετρικά.
(Μονάδες 2)
β) Διατυπώστε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ) και
ερμηνεύστε το γεωμετρικά.
(Μονάδες 2)
γ) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημαΔ . Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία
της f ;
(Μονάδες 2)
δ) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
«Δίνεται η συνάρτηση    f : α,β α,β η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του
Rolle τότε και η συνάρτηση     g x fof x ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του
Rolle στο διάστημα  α,β »
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
(Μονάδες 1)
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
(Μονάδες 2)
ε) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
« Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ, αντιστρέφεται και η 1
f 
είναι
παραγωγίσιμη στο f (Δ) με f (x) 0  για κάθε x Δ τότε ισχύει
 
 
1
1
1
f (x) , x f (Δ)
f f (x)


  

».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
(Μονάδες 1)
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
(Μονάδες 2)
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 1 of 13

2. Σελίδα - 2
Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή ή με
Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη :
α) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση y f(x) και η f είναι μια
συνάρτηση παραγωγίσιμη ως προς x τότε αν το y μειώνεται ως προς x με ρυθμό α
εννοούμε f (x) α με α 0    .
β) Αν x S(t) η συνάρτηση θέσης ενός κινητού και 0 0u(t ) S (t ) η στιγμιαία ταχύτητα τη
χρονική στιγμή 0t , τότε κοντά στο 0t ισχύει 0
0
S(t) S (t )
0,
t t



οπότε 0u(t ) 0 , όταν το κινητό
κινείται προς τα δεξιά.
γ) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f
είναι παραγωγίσιμη στο 0x και  0f x 0  , τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο
στο 0x .
δ) Έστω η συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα
λέμε ότι : Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι κυρτή στο Δ , αν η fείναι
γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.
ε) Αν   x
f x α ,α 0  τότε ισχύει  x x 1
α xα  
(Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση   x
x 1
f x ,α 1
α x

 

τέτοιο ώστε x
α x 1  για κάθε x
Β1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της f και αποδείξτε ότι α e . (Μονάδες 6)
Για α e , τότε:
Β2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της fC με x 0 , η οποία σχηματίζει με
τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 8)
B3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία   1 1Α x ,f x και   2 2Β x ,f x της
γραφικής παράστασης fC της f με 1 2x x , στα οποία οι εφαπτόμενες της fC είναι
παράλληλες στον άξονα x x (Μονάδες 7)
B4. Nα μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία στο διάστημα  1 2x ,x , όπου 1 2x ,x οι
τετμημένες των σημείων Α και Β του Β3 ερωτήματος. (Μονάδες 4)
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 2 of 13

3. Σελίδα - 3
ΘΕΜΑ Γ
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση   *
f : 0,  με
α
f(0) , α,β 0
1 β
 

για την οποία ισχύει
2γ
f (t) γf(t) f (t), γ 0
α
     για κάθε t 0 .
Γ1.Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι γt
α
f(t) , t 0
1 βe
 

.
(Μονάδες 6)
Γ2.Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, τη κυρτότητα και τα σημεία
καμπής.
(Μονάδες 9)
Γ3. Αν η συνάρτηση f περιγράφει τον τρόπο διάδοσης μιας είδησης σ΄έναν πληθυσμό α και
f(t) είναι το πλήθος των ατόμων στα οποία έχει φτάσει η είδηση τη χρονική στιγμή t
τότε:
α) Θα φτάσει ποτέ η είδηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού; Δικαιολογήστε την απάντησή
σας.
(Μονάδες 5)
β) Αν β 1 ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει ο ρυθμός διάδοσης της είδησης να μειώνεται;
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f :(0,+ )  για την οποία ισχύουν ηf είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1
με f (1) 1  , (1) και
1 1
f(xy) f(x) f(y)
y x
  για κάθε x 0 και y 0 , (2)
Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο  0, με 2
f(x) 1
f (x)
x x
   για κάθε
x 0 .
(Μονάδες 3)
Δ2.Να βρείτε τον τύπο της f .
(Μονάδες 2)
Δ3. Αν
ln x
f(x)
x
 τότε:
α). Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα, την κυρτότητα
και τα σημεία καμπής .
(Μονάδες 5)
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 3 of 13

4. Σελίδα - 4
β). Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC , το σύνολο τιμών της f και αποδείξτε ότι η εξίσωση
3 x
x e , x 0  έχει ακριβώς 2 θετικές ρίζες.
(Μονάδες 5)
γ). Να αποδείξετε ότι β α
α β για κάθε α,β με e α β  και στη συνέχεια ότι ισχύει
   
x 1 ln x
ln x x 1

  για κάθε e
x e .
(Μονάδες 3)
δ). Να αποδείξετε ότι 2f(4x) f(x) 3f(3x)  για κάθε x e e .
(Μονάδες 3)
ε). Να βρείτε το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
x
h(x) α και της ευθείας y x , για τις διάφορες τιμές του α 0 .
(Μονάδες 4)
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 4 of 13

5. 1
Ερωτήσεις Σ-Λ
ΘΕΜΑ Α΄ - Κεφάλαιο 2
1) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η fείναι πάντοτε συνεχής στο 0x .
Σ Λ
2) Η συνάρτηση   1 x
f x e 
 είναι γνησίως αύξουσα στο .
Σ Λ
3) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και δεν είναι αντιστρέψιμη , τότε υπάρχει
κλειστό διάστημα  α,β στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle.
Σ Λ
4) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο
εσωτερικό του Δ με  f x 0  για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ηf είναι κυρτή στο Δ.
Σ Λ
5) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε η συνάρτηση f g είναι
παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει       0 0 0fg x f x g x   .
Σ Λ
6) Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ , στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός
της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.
Σ Λ
7) Ισχύει ο τύπος  x x 1
3 x 3    για κάθε x .
Σ Λ
8) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ , παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό
σημείο x του Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ , τότε  f x 0  σε κάθε εσωτερικό σημείο x του
Δ.
Σ Λ
9) Αν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα προς τα
πάνω , τότε κατ΄ ανάγκην θα ισχύει  f x 0  για κάθε x .
Σ Λ
10) Ισχύει  συνx ημx,  για κάθε x .
Σ Λ
11) Ισχύει    2
1
σφx , x x : ημx 0
ημ x
     .
Σ Λ
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 5 of 13

6. 2
12) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ , παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό
σημείο του Δ και γνησίως φθίνουσα στο Δ , τότε  f x 0  σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.
Σ Λ
13) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσο του 2 , της οποίας η γραφική
παράσταση έχει ασύμπτωτη .
Σ Λ
14) Αν για τη συνάρτηση f , ισχύει  f x 0  για κάθε    0 0x α,x x ,β  , τότε είναι σταθερή
στο    0 0α,x x ,β .
Σ Λ
15)Αν η συνάρτηση f :  , είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, τότε ισχύει
 f x 0  , για κάθε x .
Σ Λ
16) Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 0x ,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x .
Σ Λ
17) Η συνάρτηση f με   2
1 π
f x 2ημx 3, x ,π
ημ x 2
        
είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
αυτό .
Σ Λ
18. Αν η συνάρτηση  f : α,β  είναι παραγωγίσιμη στο  α,β και στο σημείο  0x α,β
παρουσιάζει τοπικό μέγιστο , τότε ισχύει πάντα ότι  0f x 0  .
Σ Λ
19) Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ , τότε η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται “πάνω” από τη γραφική της παράσταση .
Σ Λ
20) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ με  f x 0  σε κάθε εσωτερικό σημείο x
του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.
Σ Λ
21) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α,β με εξαίρεση ίσως ένα σημείο
του 0x και είναι κυρτή στο  0α,x και κοίλη στο  0x ,β ή αντιστρόφως , τότε το σημείο
  0 0Α x ,f x είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f .
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 6 of 13

7. 3
Σ Λ
22) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο 0x και  0g x 0 , τότε η συνάρτηση
f
g
είναι
παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει  
       
 
0 0 0 0
0 2
0
f x g x f x g xf
x
g g x
   
 
 
Σ Λ
23) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο Δ με    f x g x  , για κάθε εσωτερικό σημείο x
του Δ , τότε ισχύει    f x g x για κάθε x Δ .
Σ Λ
24) Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση , με
εξαίρεση το σημείο επαφής του .
Σ Λ
25) Αν   x
f x α ,α 0  τότε ισχύει  x x 1
α xα   .
Σ Λ
26) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο 0x τότε ισχύει:
           0 0 0 0 0fg x f x g x f x g x    .
Σ Λ
27) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ ,τότε ισχύει
 f x 0  ,για κάθε x Δ .
Σ Λ
28) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής  α,β και παραγωγίσιμη στο  α,β , με    f α f β , τότε
υπάρχει ακριβώς ένα  ξ α,β τέτοιο ώστε  f ξ 0  .
Σ Λ
29) Αν η συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο 0x , τότε η fείναι συνεχής στο 0x .
Σ Λ
30) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στοΔ και ισχύει    f x g x 3   , για κάθε
x Δ , τότε η συνάρτηση      h x f x g x  είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.
Σ Λ
31) Αν η συνάρτηση f :Δ  είναι παραγωγίσιμη στο 0x , εσωτερικό σημείο του Δ με
 0f x 0  , τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο 0x .
Σ Λ
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 7 of 13

8. 4
32) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x του πεδίου ορισμού της , τότε είναι και
παραγωγίσιμη σε αυτό.
Σ Λ
33) Ισχύει  ημx συνx,   για κάθε x .
Σ Λ
34) Ισχύει   1
ln x
x
  για κάθε x 0 .
Σ Λ
35) Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα εσωτερικό σημείο 0x ενός διαστήματος του πεδίου
ορισμού της , τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x .
Σ Λ
36) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα α,β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του
0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής , με  f x 0  στο  0α,x και  f x 0  στο  0x ,β , τότε
το  0f x είναι τοπικό ελάχιστο της f .
Σ Λ
37) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x , του πεδίου ορισμού της , τότε είναι
και συνεχής στο σημείο αυτό.
Σ Λ
38) Ισχύει   2
1
εφx
συν x
   . για κάθε  1x x :συνx 0    .
Σ Λ
39) Έστω μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό
του Δ. Θα λέμε ότι : Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι κυρτή στο Δ , αν η
fείναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.
Σ Λ
40) Αν f :R R και
   0 0
h 0
f h x f x
lim l R
h
 
  τότε   lxf  0 .
Σ Λ
41) Η εφαπτομένη μιας καμπύλης στο σημείο   0 0M x ,f x έχει πάντα με την fC ένα μόνο κοινό
σημείο.
Σ Λ
42) Έστω η συνάρτηση f :Α R με 1Α το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι
παραγωγίσιμη τότε η συνάρτηση  1f : Α Α R : x f x    λέγεται πρώτη παράγωγος της
f .
Σ Λ
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 8 of 13

9. 5
43) Αν x S(t) η συνάρτηση θέσης ενός κινητού και 0 0u(t ) S (t ) η στιγμιαία ταχύτητα τη
χρονική στιγμή 0t , τότε κοντά στο 0t ισχύει 0
0
S(t) S (t )
0,
t t



οπότε 0u(t ) 0 , όταν το
κινητό κινείται προς τα δεξιά.
Σ Λ
44) Η πλάγια και η οριζόντια ασύμπτωτη μπορούν να τέμνουν τη γραφική παράσταση μιας
συνάρτησης σε ένα ή περισσότερα σημεία.
Σ Λ
45) Οι συναρτήσεις με τύπους f(x) c ή f(x) λx κ   έχουν ασύμπτωτη τον εαυτό της.
Σ Λ
46) Αν δύο μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση y f(x) και f παραγωγίσιμη ως προς
x τότε αν το y αυξάνεται ως προς x με ρυθμό α εννοούμε f (x) α 0   .
Σ Λ
47) Αν δύο μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση y f(x) και f παραγωγίσιμη ως προς
x τότε αν το y μειώνεται ως προς x με ρυθμό α εννοούμε f (x) α με α 0    .
Σ Λ
48) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 «Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο 0x τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη
ασύμπτωτη την 0x x ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
49) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 « Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο  0 0Α x ,f(x )
μπορεί να έχει και άλλο κοινό σημείο με την γραφική παράσταση της f ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α,
αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
50) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 9 of 13

10. 6
 « Αν η συνάρτηση f :Δ  αντιστρέφεται και η 1
f 
είναι παραγωγίσιμη στο f (Δ)
με f (x) 0  για κάθε x Δ , τότε  
 
1
1
1
f (x) , x f (Δ)
f f (x)


  

».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α,
αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
51) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 « Μπορεί δύο συναρτήσεις f,g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο 0x του
πεδίου ορισμού τους και η συνάρτηση f g να είναι παραγωγίσιμη στο 0x ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
52) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 «Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα  α,β και γνησίως αύξουσα τότε
η f δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle »
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
53) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 «Δεν μπορεί ταυτόχρονα στο ίδιο διάστημα  α,β να ισχύουν το Θεώρημα του Rolle και
το θεώρημα του Bolzano»
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
54) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 10 of 13

11. 7
 «Αν η συνάρτηση    f : α,β α,β ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του
Rolle τότε και η συνάρτηση     g x fof x ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του
θεωρήματος του Rolle στο διάστημα  α,β ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
55) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 «Αν ισχύει   0 xf και   0 xg για κάθε x R τότε πάντα οι γραφικές παραστάσεις
των f,g θα έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο ».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Γράψτε παράδειγμα σχετικό με την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
56) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 «Αν η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω στο R με 1 2x x τότε
   1 2
1 2
x x
f x f f x
2
     
 
».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
57) Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό:
 «Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη έχει τρία
σημεία συνευθειακά τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα πιθανό σημείο καμπής».
1) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.
2) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (1).
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 11 of 13

12. 8
Απαντήσεις
1.Λ 2.Λ 3. Σ 4.Σ 5.Λ 6.Σ 7.Λ 8.Λ 9.Λ 10.Λ 11.Λ 12.Λ 13.Λ 14.Λ 15.Λ
16.Λ 17.Σ 18.Λ 19.Λ 20.Λ 21.Λ 22.Λ 23.Λ 34.Λ 25.Λ 26.Λ 27.Λ 28.Λ 29.Σ
30.Λ 31.Λ 32.Λ 33.Λ 34.Σ 35.Σ 36.Λ 37.Σ 38.Λ 39.Λ 40.Σ 41.Λ 42.Σ 43.Σ
44.Σ 45.Σ 46.Λ 47.Σ
48. 1)Ψ - 2) Παράδειγμα:
Η συνάρτηση
1
, x 0
f(x) x
2, x 0


 
 
, έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0 .
Δηλαδή η κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να τέμνει τη γραφική παράσταση της f το
πολύ σε ένα σημείο.
49.1)Α - 2) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3
f(x) x και την εφαπτομένη της στο Α(1,1) την
y 3x 2  η οποία τέμνει την fC και στο σημείο Β( 2, 8)  όπως βλέπουμε και στο
σχήμα.
50.1)Α - 2) Πράγματι: Για κάθε x f (Δ) ισχύει
       1 1 1 1
f (f )(x) x f (f )(x) x f (f )(x) (f ) (x) 1             
 
1
1
1
(f ) (x) , x f (Δ)
f (f )(x)


  

.
51.1)Α - 2) Οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι παραγωγίσιμες στο 0x 0
x, x 0
f(x)
0, x 0
 
 

και
x x, x 0
g(x)
x, x 0
  
 

.
Όμως η συνάρτηση f g έχει τύπο (f g)( ) x x , είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0 .
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 12 of 13

13. 9
52.1)Α - 2) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και    α β f α f β   . άρα    f α f β
οπότε η f δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle .
53.1)Α - 2) Αν ισχύει το θεώρημα του Bolzano έχουμε      f α f β 0, 1 και αν ισχύει το
θεώρημα του Rolle έχουμε    f α f β οπότε η (1) γίνεται  2
f α 0 άτοπο.
54.1)Α - 2) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη , οπότε και η σύνθεση   fof x είναι
συνεχής και παραγωγίσιμη . Επίσης ισχύει    f α f β και επειδή
                 f α ,f β α,β f f α f f β fof α fof β     . Άρα η συνάρτηση
    g x fof x ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα
 α,β .
55.1)Ψ - 2) Οι συναρτήσεις    x x
f x e ,g x e   ,προφανώς δεν έχουν κοινό σημείο αλλά
   x x
f x e 0, g x e 0      .
56.1)Α - 2) Έχουμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω οπότε η fείναι γνησίως
αύξουσα και επειδή    1 2 1 2
1 2 1 2
x x x x
x x f x f f x
2 2
         
 
.
57.1)Α - 2) Έστω   A α,f α ,   B β,f β και   Γ γ,f γ τα τρία συνευθειακά σημεία
Εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα    α,β , β,γ , οπότε
υπάρχουν τουλάχιστον ,δύο σημεία    1 2ξ α,β , ξ β,γ  έτσι ώστε οι εφαπτόμενες της fC
στα σημεία    1 1 2 2Μ(ξ ,f ξ ),Ν(ξ ,f ξ ) είναι παράλληλες στην ευθείας (ε) .
Άρα έχουμε    1 2 εf ξ f ξ λ   . Εφαρμόζουμε το Θ. Rolle στο διάστημα  1 2ξ ,ξ
, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα  0 1 2x ξ ,ξ Δ  ,έτσι ώστε  0f x 0  .
31.01.2018 lisari.blogspot.gr Page 13 of 13