Μάκης Χατζόπουλος, profile picture
Uploaded byΜάκης Χατζόπουλος
28,323 views

Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]

Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

Embed presentation

Downloaded 182 times
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   1     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   Μικρά και µεγάλα ψέµατα στα µαθηµατικά της Γ Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1/ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα από το σχολικό βιβλίο #1 Αν µια συνάρτηση είναι 1-1 σε ένα διάστηµα Δ τότε είναι και γνησίως µονότονη στο διάστηµα αυτό (Π.Ε. 2018) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1 χωρίς υποχρεωτικά να είναι και γνησίως µονότονες. Για παράδειγµα η συνάρτηση g x( )= x , x ≥ 0 1 x , x<0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ η οποία είναι προφανώς είναι 1-1 αλλά στο διάστηµα −∞,0( ⎤ ⎦ είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα 0,+∞( ) είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή δεν είναι γνησίως µονότονη Ως αντιπαράδειγµα έχει δοθεί αυτό του σχολικού βιβλίου χωρίς να σηµαίνει πώς είναι το µοναδικό. Π.χ f x( )= x3 , x ≥ 0 1 x , x<0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ #2 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη αρκούντως κοντά σε ένα x0 ∈R τότε πάντοτε υπάρχει το lim x→x0 f x( ) και είναι πραγµατικός αριθµός Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται αρκούντως κοντά σε ένα x0 ∈R χωρίς υποχρεωτικά να υπάρχει το lim x→x0 f x( ). Για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x x δεν έχει όριο στο x0 = 0 , αφού 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   2     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   - Για x<0 είναι f x( )= −x x = −1 , οπότε lim x→0− f x( )= −1 ενώ - Για x>0 είναι f x( )= x x = 1 , οπότε lim x→0+ f x( )= 1 και έτσι lim x→0− f x( )≠ lim x→0+ f x( ) #3 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη στο α,x0( )∪ x0 ,β( ) τότε το lim x→x0 f x( ) εξαρτάται από τα άκρα α και β των παραπάνω διαστηµάτων Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αποδεικνύεται ότι το lim x→x0 f x( ) είναι ανεξάρτητο από τα άκρα α και β των διαστηµάτων α,x0( ) και x0 ,β( ) στα οποία θεωρούµε ότι είναι ορισµένη η f. Για παράδειγµα αν θέλουµε να βρούµε το όριο της f x( )= x −1 x −1 στο x0 = 0 περιοριζόµαστε στο υποσύνολο −1,0( )∪ 0,1( ) του πεδίου ορισµού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη µορφή f x( )= − x −1( ) x −1 = −1 . Εποµένως όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήµα, το ζητούµενο όριο είναι lim x→0 f x( )= −1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   3     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #4 Έστω η συνάρτηση f x( ) = 1 x2ν+1 , ν ∈ Ν . Το όριο της συνάρτησης f στο x0 = 0 υπάρχει Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αν επιλέξουµε την συνάρτηση f x( )= 1 x , x ∈R* όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα, τα πλευρικά όρια της είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Πιο συγκεκριµένα lim x→0+ 1 x = +∞ ενώ lim x→0− 1 x = −∞ #5 Για κάθε ζεύγος πραγµατικών συναρτήσεων f,g : 0, +∞( ) → R αν ισχύει lim x→0 f x( ) = −∞ και lim x→0 g x( ) = +∞ τότε lim x→0 f x( )+ g x( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 0 (Ε.Π.Ε 2018) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αν επιλέξουµε τις συναρτήσεις f x( )= − 1 x2 +1 και g x( )= 1 x2 τότε έχουµε lim x→0 f x( )= lim x→0 − 1 x2 +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −∞ και lim x→0 g x( )= lim x→0 1 x2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = +∞ ενώ lim x→0 f x( )+ g x( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = lim x→0 − 1 x2 +1 + 1 x2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = lim x→0 1 = 1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   4     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Β: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα εκτός σχολικού βιβλίου #6 Αν για δύο πραγµατικές συναρτήσεις f,g ισχύει ότι f x( )⋅ g x( ) = 0 για κάθε x ∈ Δ τότε f x( ) = 0 για κάθε x ∈ Δ ή g x( ) = 0 για κάθε x ∈ Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αν επιλέξουµε τις συναρτήσεις f x( )= x + x , x ∈R και g x( )= x − x , x ∈R τότε παρατηρούµε ότι f x( )⋅ g x( )= x + x( )⋅ x − x( )= x2 − x 2 = x2 − x2 = 0 για κάθε x ∈R αλλά f x( )= 2x , x ≥ 0 0 , x<0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ και οµοίως g x( )= 2x , x<0 0 , x ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ δηλαδή δεν ισχύει f x( )= 0 ή αντίστοιχα g x( )= 0 για κάθε x ∈R #7 Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα της µορφής [α,β] τότε είναι υποχρεωτικά συνεχής και στα άκρα α και β του διαστήµατος Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι µια συνάρτηση f µπορεί να είναι συνεχής στο [α,β] χωρίς να είναι υποχρεωτικά συνεχής στα άκρα α και β. Όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα • Η f συνεχής σε όλα τα σηµεία του (α,β) • lim x→α+ f x( )= f α( ) • lim x→β− f x( )= f β( ) δηλαδή η f συνεχής στο [α,β] αλλά η f είναι ασυνεχής στο α διότι lim x→α− f x( )≠ lim x→α+ f x( )= f α( ) και αντίστοιχα στο β διότι lim x→β+ f x( )≠ lim x→β− f x( )= f β( ) 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   5     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2/ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα από το σχολικό βιβλίο #8 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα x0 ∈R τότε πάντοτε είναι παραγωγίσιµη στο x0 Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται σε ένα x0 ∈R χωρίς υποχρεωτικά να είναι παραγωγίσιµες σε αυτό. Για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x3 , x<0 5x, x ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ αν και ορίζεται στο x0 = 0 δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0 , αφού lim x→0− f x( )− f 0( ) x = lim x→0 x3 − 0 x = 0 και lim x→0+ f x( )− f 0( ) x = lim x→0 5x − 0 x = 5 #9 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής σε ένα x0 ∈R τότε πάντοτε είναι παραγωγίσιµη στο x0 (Π.Ε. 2017) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται και είναι συνεχείς σε ένα x0 ∈R χωρίς υποχρεωτικά να είναι παραγωγίσιµες σε αυτό. Για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x = −x, x<0 x, x ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ αν και ορίζεται και είναι συνεχής στο x0 = 0 δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0 , αφού lim x→0− f x( )− f 0( ) x = lim x→0 −x − 0 x = −1 και lim x→0+ f x( )− f 0( ) x = lim x→0 x − 0 x = 1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   6     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #10 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη σε ένα σύνολο Δ = −∞,x0( )∪ x0 , +∞( ) µε f συνεχή στο Δ και f/ x( ) = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ τότε η f είναι σταθερή στο Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες και συνεχείς σε ένα Δ µε f/ x( )= 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ χωρίς υποχρεωτικά να είναι σταθερές στο Δ. Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση f x( )= −1 , x<0 1 , x>0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ . Παρατηρούµε ότι, αν και f/ x( )= 0 για κάθε x ∈ −∞,0( )∪ 0,+∞( ) , εντούτοις η f δεν είναι σταθερή #11 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ ισχύει ότι αν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει και f/ x( ) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, συνεχείς και γνησίως αύξουσες σε ένα Δ χωρίς υποχρεωτικά να ισχύει f/ x( )> 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ. Για παράδειγµα, η συνάρτηση f x( )= x3 ,αν και είναι γνησίως αύξουσα στο R, εντούτοις έχει παράγωγο f/ x( )= 3x2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού f/ 0( )= 0 . Ισχύει όµως f/ x( )≥ 0 για κάθε x ∈R 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   7     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #12 Ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης δεν µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας συνάρτησης Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας συνάρτησης όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα. Πιο συγκεκριµένα το τοπικό µέγιστο στη θέση x1 είναι µικρότερο από το τοπικό ελάχιστο το οποίο εµφανίζεται στη θέση x4 #13 Το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα µιας συνάρτησης αποτελεί και το ολικό µέγιστο της συνάρτησης Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης δεν είναι υποχρεωτικά και το ολικό µέγιστο της όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα. Πιο συγκεκριµένα το τοπικό µέγιστο στη θέση x3 δεν αποτελεί ολικό µέγιστο της συνάρτησης εφόσον lim x→+∞ f x( )= +∞ Επίσης για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x2 , x ≤ 1 1 x , x>1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ παρουσιάζει στο x = 1 τοπικό µέγιστο το f 1( )= 1 αλλά δεν παρουσιάζει ολικό µέγιστο εφόσον lim x→−∞ f x( )= +∞ 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   8     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #14 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και παραγωγίσιµη στο R, αν για κάποιο x0 ∈R ισχύει f/ x0( ) = 0 τότε το x0 είναι υποχρεωτικά θέση ακροτάτου της συνάρτησης f Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, παραγωγίσιµες στο R και υπάρχει x0 ∈R τέτοιο ώστε f/ x0( )= 0 χωρίς υποχρεωτικά το x0 να αποτελεί θέση ακροτάτου της συνάρτησης f. Για παράδειγµα, για τη συνάρτηση f x( )= x3 ,αν και ισχύει f/ 0( )= 0 η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατο στη θέση x0 = 0 Ένα άλλο αντιπαράδειγµα είναι και το εξής: Η συνάρτηση f x( )= x3 , x<1 x − 2( ) 2 , x ≤ 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ είναι συνεχής σε όλο το R και παραγωγίσιµη σε όλο το R εκτός του 1 µε f/ x( )= 3x2 , x<1 2 x − 2( ) , x<1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Οι ρίζες της f/ x( )= 0 είναι οι 0 και 2 Επειδή η f/ µηδενίζεται στα σηµεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, τα κρίσιµα σηµεία της f είναι οι αριθµοί 0, 1 και 2. Όµως όπως φαίνεται από το σχήµα τα σηµεία 1 και 2 είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων ενώ το σηµείο 0 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου. Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιµα σηµεία, θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   9     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #15 Οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µιας συνάρτησης είναι ικανές για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µιας συνάρτησης δεν είναι ικανές για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Για παράδειγµα, έστω οι συναρτήσεις f x( )= x2 και g x( )= x . Οι πληροφορίες τις οποίες µας δίνει η πρώτη παράγωγος για τη συµπεριφορά κάθε µία από τις δύο συναρτήσεις όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα είναι ίδιες. Δηλαδή οι συναρτήσεις - είναι γνησίως φθίνουσες στο −∞,0( ⎤ ⎦ - είναι γνησίως αύξουσες στο 0,+∞⎡ ⎣ ) - παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο για x=0, το οποίο είναι ίσο µε 0 Όµως οι συναρτήσεις αυτές έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις. Δηλαδή ‘’ανέρχονται’’ και ‘’κατέρχονται’’ µε διαφορετικό τρόπο σε κάθε ένα από τα διαστήµατα −∞,0( ⎤ ⎦ και 0,+∞⎡ ⎣ ). Εποµένως οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µιας συνάρτησης δεν είναι ικανές για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   10     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #16 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και 2 φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ ισχύει ότι αν είναι κυρτή στο Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει και f// x( ) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, συνεχείς και κυρτές σε ένα Δ χωρίς υποχρεωτικά να ισχύει f// x( )> 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ. Για παράδειγµα, η συνάρτηση f x( )= x4 . Επειδή η f/ x( )= 4x3 είναι γνησίως αύξουσα στο R η f x( )= x4 είναι κυρτή στο R, εντούτοις έχει δεύτερη παράγωγο f// x( )= 12x2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού f// 0( )= 0 . Ισχύει όµως f// x( )≥ 0 για κάθε x ∈R #17 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και 2 φορές παραγωγίσιµη στο R, αν για κάποιο x0 ∈R ισχύει f// x0( ) = 0 τότε το x0 είναι υποχρεωτικά θέση σηµείου καµπής της συνάρτησης f (Ε.Π.Ε. 2017) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, 2 φορές παραγωγίσιµες στο R και υπάρχει x0 ∈R τέτοιο ώστε f// x0( )= 0 χωρίς υποχρεωτικά το x0 να αποτελεί θέση σηµείου καµπής της συνάρτησης f. Για παράδειγµα, για τη συνάρτηση f x( )= x4 ,αν και ισχύει f// 0( )= 0 η συνάρτηση δεν παρουσιάζει καµπή στη θέση x0 = 0 εφόσον εκατερώθεν αυτού του σηµείου δεν αλλάζει η κυρτότητα 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   11     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   Ένα άλλο αντιπαράδειγµα είναι και το εξής: Η συνάρτηση f x( )= x3 , x<1 x − 2( ) 4 , x ≤ 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ είναι συνεχής σε όλο το R και 2 φορές παραγωγίσιµη σε όλο το R εκτός του 1 µε f// x( )= 6x , x<1 12 x − 2( ) 2 , x<1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Οι ρίζες της f// x( )= 0 είναι οι 0 και 2 Επειδή η f// µηδενίζεται στα σηµεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, οι πιθανές θέσεις σηµείων καµπής της f είναι οι αριθµοί 0, 1 και 2. Όµως όπως φαίνεται από το σχήµα τα σηµεία 1 και 2 δεν είναι θέσεις σηµείων καµπής αφού σε αυτά δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σηµείο 0 είναι θέση σηµείου καµπής αφού στο 0,f 0( )( ) υπάρχει εφαπτοµένη της Cf και η f αλλάζει κυρτότητα στο 0 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   12     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3/ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα από το σχολικό βιβλίο #18 Για κάθε συνεχή συνάρτηση f το f x( )dx α β ∫ ισούται πάντοτε µε θετικό πραγµατικό αριθµό Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα το f x( )dx α β ∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x/ x µείον το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x/ x οπότε το f x( )dx α β ∫ µπορεί να ισούται µε οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Β: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα εκτός σχολικού βιβλίου #19 Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστηµα [α,β] αν ισχύει ότι f x( )dx α β ∫ = 0 τότε υποχρεωτικά ισχύει και f x( ) = 0 για κάθε x ∈ α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι µπορεί να ισχύει f x( )dx α β ∫ = 0 για µια συνεχή συνάρτηση f χωρίς όµως υποχρεωτικά να ισχύει ότι f x( )= 0 για κάθε x ∈ α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ . Για παράδειγµα για τη συνάρτηση f x( )= x3 ισχύει ότι f x( )dx = x3 dx −1 1 ∫ = x4 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥−1 1 ∫ −1 1 = 1 4 − 1 4 = 0 εντούτοις δεν ισχύει ότι f x( )= 0 για κάθε x ∈ −1,1⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 13
[ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   13     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #20 Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστηµα [α,β] αν ισχύει ότι f x( )dx α β ∫ = 0 τότε υποχρεωτικά ισχύει και α=β Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι µπορεί να ισχύει f x( )dx α β ∫ = 0 για µια συνεχή συνάρτηση f χωρίς όµως υποχρεωτικά να ισχύει ότι α=β . Για παράδειγµα για τη συνάρτηση f x( )= x3 ισχύει ότι f x( )dx = x3 dx −1 1 ∫ = x4 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥−1 1 ∫ −1 1 = 1 4 − 1 4 = 0 εντούτοις δεν ισχύει ότι -1=1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 13

More Related Content

DOC
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Ασκήσεις στα Όρια-Συνέχεια Συνάρτησης Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
PDF
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
όρια γ λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
συνολο τιμων συναρτησησ
byChristos Loizos
 
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία μαθηματικά προσανατολισμού Γ λυκείου
byΘανάσης Δρούγας
 
Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Ασκήσεις στα Όρια-Συνέχεια Συνάρτησης Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
byΜάκης Χατζόπουλος
 
όρια γ λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
συνολο τιμων συναρτησησ
byChristos Loizos
 

What's hot

PDF
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
byDina Kiourtidou
 
PDF
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPT
Συνάρτηση "1-1"
byperi2005
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Bolzano
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPTX
2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
διαγωνισμα τριγωνομετρια β λυκειου 2
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
byelmit2
 
PDF
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Παραγώγιση απόλυτων τιμών...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα Horner
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εφαπτομένη Ευθεία ΕΠΑΛ
byDina Kiourtidou
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα μέχρι συνέπειες του ΘΜΤ + λύσεις + word
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Συνάρτηση "1-1"
byperi2005
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Bolzano
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
διαγωνισμα τριγωνομετρια β λυκειου 2
byΘανάσης Δρούγας
 
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Όρια - γραφικές παραστάσεις - τριγωνομετρία - Υλικό Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
1.2: Ασκήσεις στην ισότητα και σύνθεση συναρτήσεων
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα άλγεβρας Α' λυκείου εξισώσεις - ανισώσεις.pdf
byelmit2
 
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
byΘανάσης Δρούγας
 
Παραγώγιση απόλυτων τιμών...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα Horner
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα από το Αρσάκειο - Τοσίτσειο Λύκειο Εκάλης στα όρια
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα εξισώσεις - Ανισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα κεφάλαιο 2ο Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στην ομοιότητα τριγώνων - Γεωμετρία Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 

Similar to Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]

PDF
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
9 Διαγωνίσματα - εκφωνήσεις από το Study4exams 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
byChristos Loizos
 
PDF
απαντήσεις και αντιπαραδείγματα ισχυρισμών
byΒιώνης Παναγιώτης
 
PDF
Αντιπαραδείγματα - Το θέμα Α2 για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
χρήσιμες προτάσεις ζανταρίδη - χατζόπουλος
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Mk ed1 ed_8_ekf
byChristos Loizos
 
PDF
Mk ed1 ed_9_ekf
byChristos Loizos
 
PDF
Ιωσηφίδης νίκος ,Υπαρκτές και ανύπαρκτες συναρτήσεις (ενημ 6-2-15)
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Eme 2017 Κυριαζης-Πρωτοπαπας ΙΙ
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
παραγωγοι ιι κοινο 2015-16
byChristos Loizos
 
PDF
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα για την Λαμπρή
byBillonious
 
PDF
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
PDF
Themata lyseis math_pros_2019
byChristos Loizos
 
PDF
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
byChristos Loizos
 
DOC
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
bygorgiakourtesi
 
PDF
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
byChristos Loizos
 
Διαγωνίσματα Γ Λυκείου από τα Αρσάκεια ΓΕΛ [2020]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Προσαρμοσμένο διαγώνισμα στις παραγράφους 2.6 2.10
byΜάκης Χατζόπουλος
 
9 Διαγωνίσματα - εκφωνήσεις από το Study4exams 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
byChristos Loizos
 
απαντήσεις και αντιπαραδείγματα ισχυρισμών
byΒιώνης Παναγιώτης
 
Αντιπαραδείγματα - Το θέμα Α2 για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
χρήσιμες προτάσεις ζανταρίδη - χατζόπουλος
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Mk ed1 ed_8_ekf
byChristos Loizos
 
Mk ed1 ed_9_ekf
byChristos Loizos
 
Ιωσηφίδης νίκος ,Υπαρκτές και ανύπαρκτες συναρτήσεις (ενημ 6-2-15)
byΘανάσης Δρούγας
 
Eme 2017 Κυριαζης-Πρωτοπαπας ΙΙ
byΘανάσης Δρούγας
 
παραγωγοι ιι κοινο 2015-16
byChristos Loizos
 
Μαθηματικά Επαναληπτικό διαγώνισμα για την Λαμπρή
byBillonious
 
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
byChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
Themata lyseis math_pros_2019
byChristos Loizos
 
Συνέδρια διδακτικής ΟΕΦΕ 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
συνέδρια διδακτικής-οεφε-2016 all corrections 2
byChristos Loizos
 
G.lykeioy.syn.oria.synexeia.2014 15
bygorgiakourtesi
 
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
byChristos Loizos
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

PDF
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου από Σούρμπη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
G luk eykleidhs b 118_eykleidhs_2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
byΜάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
byΜάκης Χατζόπουλος
 

Recently uploaded

PDF
2.1 Τα ελληνιστικά πνευματικά κέντρα - 2.2 Η γλώσσα
byKvarnalis75
 
PDF
ΤΕΤΑΡΤΗ 21 ΙΑΝ-1.pdf - Τροποποιημένο πρόγραμμα
byTassos Karampinis
 
PDF
olokaytoma sxoleia 2026egkyklios ypourgeio.pdf
bykonstantinantountoum1
 
PDF
ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΟ ΚΟΥΤΙ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ Δ1.pdf
byDimotiko mesopotamias
 
PPTX
1. Solón en la corte de Creso Texto, análisis y traducción
byLeticiaPaniego1
 
PPTX
6.2 ΙΩΑΝΝΗΣ Ο ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ.pptx ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
byzaxoula9
 
PPTX
3.4 ΜΩΥΣΗΣ.Η ΚΛΗΣΗ ΤΟΥ ΜΩΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΘΕΟpptx
byzaxoula9
 
PDF
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΑΚΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΑΠΣ
bysomakris
 
PPTX
5.1 Συναντηση χριστιανισμου ελληνισμου.pptx εισαγωγικά
byzaxoula9
 
2.1 Τα ελληνιστικά πνευματικά κέντρα - 2.2 Η γλώσσα
byKvarnalis75
 
ΤΕΤΑΡΤΗ 21 ΙΑΝ-1.pdf - Τροποποιημένο πρόγραμμα
byTassos Karampinis
 
olokaytoma sxoleia 2026egkyklios ypourgeio.pdf
bykonstantinantountoum1
 
ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΟ ΚΟΥΤΙ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ Δ1.pdf
byDimotiko mesopotamias
 
1. Solón en la corte de Creso Texto, análisis y traducción
byLeticiaPaniego1
 
6.2 ΙΩΑΝΝΗΣ Ο ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ.pptx ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
byzaxoula9
 
3.4 ΜΩΥΣΗΣ.Η ΚΛΗΣΗ ΤΟΥ ΜΩΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΘΕΟpptx
byzaxoula9
 
ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΑΚΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΑΠΣ
bysomakris
 
5.1 Συναντηση χριστιανισμου ελληνισμου.pptx εισαγωγικά
byzaxoula9
 

Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]

  • 1.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   1     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   Μικρά και µεγάλα ψέµατα στα µαθηµατικά της Γ Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1/ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα από το σχολικό βιβλίο #1 Αν µια συνάρτηση είναι 1-1 σε ένα διάστηµα Δ τότε είναι και γνησίως µονότονη στο διάστηµα αυτό (Π.Ε. 2018) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1 χωρίς υποχρεωτικά να είναι και γνησίως µονότονες. Για παράδειγµα η συνάρτηση g x( )= x , x ≥ 0 1 x , x<0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ η οποία είναι προφανώς είναι 1-1 αλλά στο διάστηµα −∞,0( ⎤ ⎦ είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστηµα 0,+∞( ) είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή δεν είναι γνησίως µονότονη Ως αντιπαράδειγµα έχει δοθεί αυτό του σχολικού βιβλίου χωρίς να σηµαίνει πώς είναι το µοναδικό. Π.χ f x( )= x3 , x ≥ 0 1 x , x<0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ #2 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη αρκούντως κοντά σε ένα x0 ∈R τότε πάντοτε υπάρχει το lim x→x0 f x( ) και είναι πραγµατικός αριθµός Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται αρκούντως κοντά σε ένα x0 ∈R χωρίς υποχρεωτικά να υπάρχει το lim x→x0 f x( ). Για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x x δεν έχει όριο στο x0 = 0 , αφού 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 13
  • 2.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   2     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   - Για x<0 είναι f x( )= −x x = −1 , οπότε lim x→0− f x( )= −1 ενώ - Για x>0 είναι f x( )= x x = 1 , οπότε lim x→0+ f x( )= 1 και έτσι lim x→0− f x( )≠ lim x→0+ f x( ) #3 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη στο α,x0( )∪ x0 ,β( ) τότε το lim x→x0 f x( ) εξαρτάται από τα άκρα α και β των παραπάνω διαστηµάτων Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αποδεικνύεται ότι το lim x→x0 f x( ) είναι ανεξάρτητο από τα άκρα α και β των διαστηµάτων α,x0( ) και x0 ,β( ) στα οποία θεωρούµε ότι είναι ορισµένη η f. Για παράδειγµα αν θέλουµε να βρούµε το όριο της f x( )= x −1 x −1 στο x0 = 0 περιοριζόµαστε στο υποσύνολο −1,0( )∪ 0,1( ) του πεδίου ορισµού της, στο οποίο αυτή παίρνει τη µορφή f x( )= − x −1( ) x −1 = −1 . Εποµένως όπως φαίνεται και από το διπλανό σχήµα, το ζητούµενο όριο είναι lim x→0 f x( )= −1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 13
  • 3.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   3     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #4 Έστω η συνάρτηση f x( ) = 1 x2ν+1 , ν ∈ Ν . Το όριο της συνάρτησης f στο x0 = 0 υπάρχει Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αν επιλέξουµε την συνάρτηση f x( )= 1 x , x ∈R* όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα, τα πλευρικά όρια της είναι διαφορετικά µεταξύ τους. Πιο συγκεκριµένα lim x→0+ 1 x = +∞ ενώ lim x→0− 1 x = −∞ #5 Για κάθε ζεύγος πραγµατικών συναρτήσεων f,g : 0, +∞( ) → R αν ισχύει lim x→0 f x( ) = −∞ και lim x→0 g x( ) = +∞ τότε lim x→0 f x( )+ g x( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 0 (Ε.Π.Ε 2018) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αν επιλέξουµε τις συναρτήσεις f x( )= − 1 x2 +1 και g x( )= 1 x2 τότε έχουµε lim x→0 f x( )= lim x→0 − 1 x2 +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −∞ και lim x→0 g x( )= lim x→0 1 x2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = +∞ ενώ lim x→0 f x( )+ g x( )⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = lim x→0 − 1 x2 +1 + 1 x2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = lim x→0 1 = 1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 13
  • 4.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   4     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Β: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα εκτός σχολικού βιβλίου #6 Αν για δύο πραγµατικές συναρτήσεις f,g ισχύει ότι f x( )⋅ g x( ) = 0 για κάθε x ∈ Δ τότε f x( ) = 0 για κάθε x ∈ Δ ή g x( ) = 0 για κάθε x ∈ Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι αν επιλέξουµε τις συναρτήσεις f x( )= x + x , x ∈R και g x( )= x − x , x ∈R τότε παρατηρούµε ότι f x( )⋅ g x( )= x + x( )⋅ x − x( )= x2 − x 2 = x2 − x2 = 0 για κάθε x ∈R αλλά f x( )= 2x , x ≥ 0 0 , x<0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ και οµοίως g x( )= 2x , x<0 0 , x ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ δηλαδή δεν ισχύει f x( )= 0 ή αντίστοιχα g x( )= 0 για κάθε x ∈R #7 Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα της µορφής [α,β] τότε είναι υποχρεωτικά συνεχής και στα άκρα α και β του διαστήµατος Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι µια συνάρτηση f µπορεί να είναι συνεχής στο [α,β] χωρίς να είναι υποχρεωτικά συνεχής στα άκρα α και β. Όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα • Η f συνεχής σε όλα τα σηµεία του (α,β) • lim x→α+ f x( )= f α( ) • lim x→β− f x( )= f β( ) δηλαδή η f συνεχής στο [α,β] αλλά η f είναι ασυνεχής στο α διότι lim x→α− f x( )≠ lim x→α+ f x( )= f α( ) και αντίστοιχα στο β διότι lim x→β+ f x( )≠ lim x→β− f x( )= f β( ) 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 13
  • 5.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   5     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2/ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα από το σχολικό βιβλίο #8 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη σε ένα x0 ∈R τότε πάντοτε είναι παραγωγίσιµη στο x0 Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται σε ένα x0 ∈R χωρίς υποχρεωτικά να είναι παραγωγίσιµες σε αυτό. Για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x3 , x<0 5x, x ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ αν και ορίζεται στο x0 = 0 δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0 , αφού lim x→0− f x( )− f 0( ) x = lim x→0 x3 − 0 x = 0 και lim x→0+ f x( )− f 0( ) x = lim x→0 5x − 0 x = 5 #9 Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη και συνεχής σε ένα x0 ∈R τότε πάντοτε είναι παραγωγίσιµη στο x0 (Π.Ε. 2017) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ορίζονται και είναι συνεχείς σε ένα x0 ∈R χωρίς υποχρεωτικά να είναι παραγωγίσιµες σε αυτό. Για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x = −x, x<0 x, x ≥ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ αν και ορίζεται και είναι συνεχής στο x0 = 0 δεν είναι παραγωγίσιµη στο x0 = 0 , αφού lim x→0− f x( )− f 0( ) x = lim x→0 −x − 0 x = −1 και lim x→0+ f x( )− f 0( ) x = lim x→0 x − 0 x = 1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 13
  • 6.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   6     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #10 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη σε ένα σύνολο Δ = −∞,x0( )∪ x0 , +∞( ) µε f συνεχή στο Δ και f/ x( ) = 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ τότε η f είναι σταθερή στο Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες και συνεχείς σε ένα Δ µε f/ x( )= 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ χωρίς υποχρεωτικά να είναι σταθερές στο Δ. Για παράδειγµα, έστω η συνάρτηση f x( )= −1 , x<0 1 , x>0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ . Παρατηρούµε ότι, αν και f/ x( )= 0 για κάθε x ∈ −∞,0( )∪ 0,+∞( ) , εντούτοις η f δεν είναι σταθερή #11 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ ισχύει ότι αν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει και f/ x( ) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, συνεχείς και γνησίως αύξουσες σε ένα Δ χωρίς υποχρεωτικά να ισχύει f/ x( )> 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ. Για παράδειγµα, η συνάρτηση f x( )= x3 ,αν και είναι γνησίως αύξουσα στο R, εντούτοις έχει παράγωγο f/ x( )= 3x2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού f/ 0( )= 0 . Ισχύει όµως f/ x( )≥ 0 για κάθε x ∈R 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 13
  • 7.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   7     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #12 Ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης δεν µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας συνάρτησης Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης µπορεί να είναι µικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της ίδιας συνάρτησης όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα. Πιο συγκεκριµένα το τοπικό µέγιστο στη θέση x1 είναι µικρότερο από το τοπικό ελάχιστο το οποίο εµφανίζεται στη θέση x4 #13 Το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα µιας συνάρτησης αποτελεί και το ολικό µέγιστο της συνάρτησης Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι ένα τοπικό µέγιστο µιας συνάρτησης δεν είναι υποχρεωτικά και το ολικό µέγιστο της όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα. Πιο συγκεκριµένα το τοπικό µέγιστο στη θέση x3 δεν αποτελεί ολικό µέγιστο της συνάρτησης εφόσον lim x→+∞ f x( )= +∞ Επίσης για παράδειγµα η συνάρτηση f x( )= x2 , x ≤ 1 1 x , x>1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ παρουσιάζει στο x = 1 τοπικό µέγιστο το f 1( )= 1 αλλά δεν παρουσιάζει ολικό µέγιστο εφόσον lim x→−∞ f x( )= +∞ 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 13
  • 8.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   8     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #14 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και παραγωγίσιµη στο R, αν για κάποιο x0 ∈R ισχύει f/ x0( ) = 0 τότε το x0 είναι υποχρεωτικά θέση ακροτάτου της συνάρτησης f Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, παραγωγίσιµες στο R και υπάρχει x0 ∈R τέτοιο ώστε f/ x0( )= 0 χωρίς υποχρεωτικά το x0 να αποτελεί θέση ακροτάτου της συνάρτησης f. Για παράδειγµα, για τη συνάρτηση f x( )= x3 ,αν και ισχύει f/ 0( )= 0 η συνάρτηση δεν παρουσιάζει ακρότατο στη θέση x0 = 0 Ένα άλλο αντιπαράδειγµα είναι και το εξής: Η συνάρτηση f x( )= x3 , x<1 x − 2( ) 2 , x ≤ 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ είναι συνεχής σε όλο το R και παραγωγίσιµη σε όλο το R εκτός του 1 µε f/ x( )= 3x2 , x<1 2 x − 2( ) , x<1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Οι ρίζες της f/ x( )= 0 είναι οι 0 και 2 Επειδή η f/ µηδενίζεται στα σηµεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, τα κρίσιµα σηµεία της f είναι οι αριθµοί 0, 1 και 2. Όµως όπως φαίνεται από το σχήµα τα σηµεία 1 και 2 είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων ενώ το σηµείο 0 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου. Άρα δεν είναι όλα τα κρίσιµα σηµεία, θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 13
  • 9.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   9     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #15 Οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µιας συνάρτησης είναι ικανές για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µιας συνάρτησης δεν είναι ικανές για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Για παράδειγµα, έστω οι συναρτήσεις f x( )= x2 και g x( )= x . Οι πληροφορίες τις οποίες µας δίνει η πρώτη παράγωγος για τη συµπεριφορά κάθε µία από τις δύο συναρτήσεις όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήµα είναι ίδιες. Δηλαδή οι συναρτήσεις - είναι γνησίως φθίνουσες στο −∞,0( ⎤ ⎦ - είναι γνησίως αύξουσες στο 0,+∞⎡ ⎣ ) - παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο για x=0, το οποίο είναι ίσο µε 0 Όµως οι συναρτήσεις αυτές έχουν διαφορετικές γραφικές παραστάσεις. Δηλαδή ‘’ανέρχονται’’ και ‘’κατέρχονται’’ µε διαφορετικό τρόπο σε κάθε ένα από τα διαστήµατα −∞,0( ⎤ ⎦ και 0,+∞⎡ ⎣ ). Εποµένως οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µιας συνάρτησης δεν είναι ικανές για τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 13
  • 10.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   10     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #16 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και 2 φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Δ ισχύει ότι αν είναι κυρτή στο Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει και f// x( ) > 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, συνεχείς και κυρτές σε ένα Δ χωρίς υποχρεωτικά να ισχύει f// x( )> 0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του Δ. Για παράδειγµα, η συνάρτηση f x( )= x4 . Επειδή η f/ x( )= 4x3 είναι γνησίως αύξουσα στο R η f x( )= x4 είναι κυρτή στο R, εντούτοις έχει δεύτερη παράγωγο f// x( )= 12x2 η οποία δεν είναι θετική σε όλο το R, αφού f// 0( )= 0 . Ισχύει όµως f// x( )≥ 0 για κάθε x ∈R #17 Για κάθε συνάρτηση f ορισµένη και 2 φορές παραγωγίσιµη στο R, αν για κάποιο x0 ∈R ισχύει f// x0( ) = 0 τότε το x0 είναι υποχρεωτικά θέση σηµείου καµπής της συνάρτησης f (Ε.Π.Ε. 2017) Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες είναι ορισµένες, 2 φορές παραγωγίσιµες στο R και υπάρχει x0 ∈R τέτοιο ώστε f// x0( )= 0 χωρίς υποχρεωτικά το x0 να αποτελεί θέση σηµείου καµπής της συνάρτησης f. Για παράδειγµα, για τη συνάρτηση f x( )= x4 ,αν και ισχύει f// 0( )= 0 η συνάρτηση δεν παρουσιάζει καµπή στη θέση x0 = 0 εφόσον εκατερώθεν αυτού του σηµείου δεν αλλάζει η κυρτότητα 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 13
  • 11.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   11     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   Ένα άλλο αντιπαράδειγµα είναι και το εξής: Η συνάρτηση f x( )= x3 , x<1 x − 2( ) 4 , x ≤ 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ είναι συνεχής σε όλο το R και 2 φορές παραγωγίσιµη σε όλο το R εκτός του 1 µε f// x( )= 6x , x<1 12 x − 2( ) 2 , x<1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Οι ρίζες της f// x( )= 0 είναι οι 0 και 2 Επειδή η f// µηδενίζεται στα σηµεία 0 και 2, ενώ δεν υπάρχει στο 1, οι πιθανές θέσεις σηµείων καµπής της f είναι οι αριθµοί 0, 1 και 2. Όµως όπως φαίνεται από το σχήµα τα σηµεία 1 και 2 δεν είναι θέσεις σηµείων καµπής αφού σε αυτά δεν αλλάζει κυρτότητα, ενώ το σηµείο 0 είναι θέση σηµείου καµπής αφού στο 0,f 0( )( ) υπάρχει εφαπτοµένη της Cf και η f αλλάζει κυρτότητα στο 0 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 13
  • 12.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   12     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3/ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα από το σχολικό βιβλίο #18 Για κάθε συνεχή συνάρτηση f το f x( )dx α β ∫ ισούται πάντοτε µε θετικό πραγµατικό αριθµό Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα το f x( )dx α β ∫ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x/ x µείον το άθροισµα των εµβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x/ x οπότε το f x( )dx α β ∫ µπορεί να ισούται µε οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Β: Ψευδείς ισχυρισµοί µε αντιπαράδειγµα εκτός σχολικού βιβλίου #19 Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστηµα [α,β] αν ισχύει ότι f x( )dx α β ∫ = 0 τότε υποχρεωτικά ισχύει και f x( ) = 0 για κάθε x ∈ α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι µπορεί να ισχύει f x( )dx α β ∫ = 0 για µια συνεχή συνάρτηση f χωρίς όµως υποχρεωτικά να ισχύει ότι f x( )= 0 για κάθε x ∈ α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ . Για παράδειγµα για τη συνάρτηση f x( )= x3 ισχύει ότι f x( )dx = x3 dx −1 1 ∫ = x4 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥−1 1 ∫ −1 1 = 1 4 − 1 4 = 0 εντούτοις δεν ισχύει ότι f x( )= 0 για κάθε x ∈ −1,1⎡ ⎣ ⎤ ⎦ 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 13
  • 13.
    [ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ  Γ  ΛΥΚΕΙΟΥ]   13     Επιµέλεια: Δ. Μονέζης   #20 Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστηµα [α,β] αν ισχύει ότι f x( )dx α β ∫ = 0 τότε υποχρεωτικά ισχύει και α=β Ο παραπάνω ισχυρισµός είναι ψευδής διότι µπορεί να ισχύει f x( )dx α β ∫ = 0 για µια συνεχή συνάρτηση f χωρίς όµως υποχρεωτικά να ισχύει ότι α=β . Για παράδειγµα για τη συνάρτηση f x( )= x3 ισχύει ότι f x( )dx = x3 dx −1 1 ∫ = x4 4 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥−1 1 ∫ −1 1 = 1 4 − 1 4 = 0 εντούτοις δεν ισχύει ότι -1=1 07.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 13