Επιμέλεια: Θοδωρής Παγώνης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. ΑΡΧΗ 1ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 1ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωξνο Παγώλεο
Μαζεκαηηθόο
e-mail:theomath@yahoo.gr
ΓΗΑΓΩΝΗ΢ΜΑ Γ΄ ΣΑΞΖ΢ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ
ΚΤΡΗΑΚΖ 4 ΜΑΡΣΗΟΤ 2018
ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΢ΠΟΤΓΩΝ-
΢ΠΟΤΓΩΝ ΟΗΚΟΝΟΜΗΑ΢ ΚΑΗ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΔΛΗΓΩΝ: ΣΔ΢΢ΔΡΗ΢ (4)
ΘΔΜΑ A
A1. Να απνδείμεηε όηη, γηα κηα ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη
ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα Δ, αλ ( ) 0 f x ζε θάζε εζωηεξηθό
ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζε όιν ην
Δ.
Μονάδες 5
A2. Να δηαηππώζεηε ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο (Θ.Μ.Τ.) θαη λα
δώζεηε ηελ γεωκεηξηθή ηνπ εξκελεία.
Μονάδες 5
A3. Πόηε ιέκε όηη κηα ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην 
παξνπζηάδεη ζην 0 x ηνπηθό κέγηζην;
Μονάδες 5
A4. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ,
γξάθνληαο ζην ηεηξάδην ζαο δίπια ζην γξάκκα πνπ
αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε ηελ ιέμε ΢ωζηό, αλ ε πξόηαζε
είλαη ζωζηή ή Λάθος αλ ε πξόηαζε είλαη ιαλζαζκέλε.
α. Έλα ηνπηθό κέγηζην είλαη πάληα κεγαιύηεξν από έλα
ηνπηθό ειάρηζην.
β. Αλ κηα ζπλάξηεζε f δελ είλαη παξαγωγίζηκε ζε έλα
ζεκείν ηνπ πεδίν νξηζκνύ ηεο, ηόηε δελ παξνπζηάδεη ηνπηθό
αθξόηαην ζην ζεκείν απηό.
http://lisari.blogspot.gr

2. ΑΡΧΗ 2ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 2ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωξνο Παγώλεο
Μαζεκαηηθόο
e-mail:theomath@yahoo.gr
γ. Μηα ζπλάξηεζε f ε νπνία είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα
Δ θαη παξαγωγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ, ζηξέθεη ηα θνίια
πξνο ηα άλω ζην Δ, αλ ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην
εζωηεξηθό ηνπ Δ.
δ. Αλ κηα ζπλάξηεζε f έρεη ζεκείν θακπήο ηόηε νξίδεηαη
εθαπηνκέλε ηεο fC ζην ζεκείν απηό.
ε. Αλ
0 0
( ) ( ) 0lim lim 
 
x x x x
f x g x θαη νη ζπλαξηήζεηο ,f g είλαη
παξαγωγίζηκεο ζε όιν ην πεδίν νξηζκνύ ηνπο, ηόηε
0 0
( ) ( )
( ) ( )lim lim 


x x x x
f x f x
g x g x
.
Μονάδες 10
ΘΔΜΑ Β
Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε
2
, 1
( ) ln
1 , 1
 

 
  

x x
f x x
ax x
x
. Αλ ηζρύεη
2
1
( )
 

e ae
f x
e
, γηα θάζε 1x , ηόηε:
B1. Να δείμεηε όηη 0a .
Μονάδες 4
B2. Γηα 0a :
i. Να εμεηάζεηε αλ ε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγωγίζηκε.
Μονάδες 6
ii. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία
θαη ηα αθξόηαηα.
Μονάδες 7
iii. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα
θαη ηα ζεκεία θακπήο ζην δηάζηεκα  1, .
Μονάδες 5
iv. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη  2
, e e ηέηνην ώζηε
3 4
1
( ) 

f
e e
 .
Μονάδες 3

3. ΑΡΧΗ 3ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 3ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωξνο Παγώλεο
Μαζεκαηηθόο
e-mail:theomath@yahoo.gr
ΘΔΜΑ Γ
Δίλεηαη ζπλάξηεζε  : 0, f γηα ηελ νπνία ηζρύεη
2
1
( ) ( ) ( )   f x f x f x
x
γηα θάζε  0, x θαη ε ζπλάξηεζε
2
( ) ln ( ) g x x x f x ,  0, x κε  2
0 1 0  g x ,  2
0 1 1 g x .
Γ1. Να δείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζηαζεξή.
Μονάδες 4
Γ2.Να δείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο f είλαη
1
( )


x
x
f x e .
Μονάδες 8
Γ3. Να βξείηε, αλ ππάξρνπλ, ηηο αζύκπηωηεο ηεο ζπλάξηεζεο
f .
Μονάδες 4
Γ4. Να βξείηε ηελ εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο fC ζην
ζεκείν κε ηεηκεκέλε 0 1x .
Μονάδες 4
Γ5. Να ππνινγίζεηε, αλ ππάξρεη, ην όξην
( ) 1
1
1
2 3
lim


 
f x
x x xx
e
e xe e
.
Μονάδες 5
ΘΔΜΑ Γ
Δίλεηαη ζπλερήο ζπλάξηεζε : f γηα ηελ νπνία ηζρύεη
 2 2 2
( ) 2 ( ) 4ln 1   x
f x xf x e x γηα θάζε x θαη (0) 2ln 2f .
Γ1. Να απνδείμεηε όηη  ( ) 2ln 1  x
f x e x , x .
Μονάδες 7
Γ2. Να κειεηήζεηε ηελ ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία
θαη ηα αθξόηαηα.
Μονάδες 6
Γ3. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη θπξηή ζην .
Μονάδες 4

4. ΑΡΧΗ 4ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
ΣΕΛΟ΢ 4ης ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢
Γ΄ ΤΑΞΗ
Θεόδωξνο Παγώλεο
Μαζεκαηηθόο
e-mail:theomath@yahoo.gr
Γ4. Να απνδείμεηε όηη ε εθαπηνκέλε ( ) ηεο fC ζηελ αξρή
ηωλ αμόλωλ δηαπέξλα ηελ θακπύιε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο
ηεο f .
Μονάδες 4
Γ5.i. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f .
Μονάδες 2
ii. Να απνδείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ 1 2, x x ηέηνηα ώζηε
1 2( ) ( ) f x f x .
Μονάδες 2
ΚΑΛΖ ΔΠΗΣΤΥΗΑ !!!