Ekfwnhseis_kai_lyseis_sta_501_themata

1. επαναληπτικά θέµατα
ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ
Δημήτρης Παπαμικρούλης
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΛΥΣΕΩΝ
Παύλος Τρύφων
2η έκδοση - Μάιος 2016
501
εκφωνήσεις - λύσεις
Γ΄ Λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού

2. μικρές προσπάθειες ενασχόλησης
με αγαπημένες μας συνήθειες
ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς

3. Θεματοδότες
(μας τίμησαν με την εμπιστοσύνη τους
και το απόλυτα συνεργατικό τους πνεύμα)
Ασημακόπουλος Γιώργος
Βέρρας Οδυσσέας
Ζαχαράκης Δημήτρης
Ζωβοΐλης Ηλίας
Ιωάννου Δημήτρης
Κακαβάς Βασίλης
Καλαμάτας Βασίλης
Καλούδης Βασίλης
Καραγιάννης Ιωάννης
Καρύμπαλης Νώντας
Κλίτσας Γιώργος
Κοπάδης Θανάσης
Κοτσώνης Γιώργος
Κώνστας Χάρης
Λαζαρίδης Χρήστος
Λιτζερίνος Χρήστος
Μιχαήλογλου Στέλιος
Μπαλός Λάμπρος
Μπιρμπίλης Κώστας
Μπούζας Δημήτρης
Οικονομοπούλου Βάσια
Παπαμικρούλης Δημήτρης
Παπαπαναγιώτου Κώστας
Πάτσης Ανδρέας
Πατσιμάς Δημήτρης
Πετρόπουλος Βασίλης
Σίσκας Χρήστος
Σκέντζος Δημήτρης
Σκίτσας Νώντας
Σπλήνης Νίκος
Σταυρόπουλος Παύλος
Τρύφων Παύλος
Τσούκας Βαγγέλης
Φράγκου Μαρία
Χατζόπουλος Μάκης
Εξώφυλλο: Δημήτρης Μοσχόπουλος

4. Στο παρόν αρχείο παρουσιάζονται 501 επαναληπτικά θέματα στα
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου, συνοδευόμενα από
υποδειγματικές λύσεις.
Δύο φίλοι και συνάδελφοι αποφασίσαμε τον Μάρτιο του 2014 να
συλλέξουμε και να επεξεργαστούμε θέματα από προσωπικές μας
σημειώσεις. Στη συνέχεια προσθέσαμε ιδέες συναδέλφων
(όπως τα 200 πρώτα θέματα από το μαθηματικό forum mathematica.gr)
λύνοντας τα όλα από μηδενική βάση.
Μετά από εικοσιέξι μήνες ενασχόλησης, σας παρουσιάζουμε με
ιδιαίτερη χαρά το αποτέλεσμα μίας επίπονης εργασίας, με την
ελπίδα να φανεί χρήσιμο σε μαθητές και εκπαιδευτικούς.
Για εμάς το αρχείο αυτό αποτελεί ένα είδος «ιδανικής τράπεζας
θεμάτων». Πρόθεση μας είναι να διασωθεί και να διαμοιραστεί
υλικό, που θα κατέληγε σε προσωπικές σκοτεινές βιβλιοθήκες.
Ζητούμε συγνώμη για τυχόν παραλείψεις ή αστοχίες που δύσκολα
αποφεύγονται στην εκπόνηση μιας εργασίας τέτοιας έκτασης
(1360 σελίδων).
Οι λύσεις των θεμάτων είναι προτεινόμενες και όχι περιοριστικές
ως προς την αντιμετώπιση τους. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις,
διορθώσεις και βελτιωτικές προτάσεις είναι ευπρόσδεκτα.
Με εκτίμηση
Δημήτρης Παπαμικρούλης
υπεύθυνος ψηφιακής επεξεργασίας θεμάτων
δακτυλογράφηση εκφωνήσεων/λύσεων
επιμέλεια σχημάτων-ταξινόμηση
papamikroulis.dimitris@gmail.com
Παύλος Τρύφων
υπεύθυνος επίλυσης θεμάτων
pavtrifon@gmail.com
Πρόλογος

5. Στη συλλογή περιέχονται και κάποια θέματα εκτός
τρέχουσας σχολική ύλης (μιγαδικοί αριθμοί και
παράγωγος συνάρτησης ολοκλήρωμα).
Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή όλων των θεμάτων
ως προς το περιεχόμενο τους.
Με αυτόν τον τρόπο ο αναγνώστης μπορεί να
διαχωρίσει εκείνα ακριβώς που τον ενδιαφέρουν.

6. Θέμα Αντίστοιχη Θεματική Ενότητα
1 μιγαδικοί αριθμοί /ακρότατα συνάρτησης
2 συνάρτηση ολοκλήρωμα / συνέχεια / ΘΜΤ και ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα
3 συνέχεια / ασύμπτωτες / εμβαδόν
4 ολοκλήρωμα / όρια / πλήθος ριζών / ακρότατα / 1-1 / εφαπτομένη
5 γεωμετρικός τόπος μιγαδικού αριθμού
6 ολοκληρωτικός λογισμός
7 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / σταθερή συνάρτηση / εμβαδόν
8 Rolle / ΘΜΤ / όρια
9 συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα και εφαπτομένη / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα / ανισοτική σχέση εμβαδού
10 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ΘΜΤ
11 αντίστροφη συνάρτηση / συνάρτηση ολοκλήρωμα / όρια / Bolzano / μονοτονία
12 Bolzano / ΘΜΤ / Rolle
13 Bolzano / ορισμένο ολοκλήρωμα / εμβαδόν / μιγαδικοί αριθμοί
14 μονοτονία / αντίστροφη συνάρτηση / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
15 συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα και εφαπτομένη / σύνολο τιμών / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
16 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / ακρότατα / κυρτότητα και εφαπτομένη / Bolzano
17 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ακρότατα / εμβαδόν / ορισμός παραγώγου
18 Bolzano / μονοτονία και ακρότατα
19 μέτρο μιγαδικού αριθμού και γεωμετρικός τόπος
20 μονοτονία / σύνθεση συναρτήσεων / αντίστροφη συνάρτηση / κυρτότητα και εφαπτομένη
21 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ΘΜΤ / μονοτονία / κυρτότητα / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
22 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / όρια / μονοτονία / εμβαδόν / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
23 σταθερό πρόσημο συνάρτησης / κυρτότητα / μεγιστοποίηση μέτρου μιγαδικού /ορισμένο ολοκλήρωμα
24 όρια / μιγαδικοί αριθμοί / Bolzano
25 μονοτονία / ορισμένο ολοκλήρωμα
26 μονοτονία / κυρτότητα / πρόσημο συνάρτησης / σύνολο τιμών
27 ορισμός μονοτονίας
28 ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
29 μιγαδικοί αριθμοί / ΘΜΤ / Bolzano
30 παράγωγος και ανισότητα / συνέχεια σε σημείο / ΘΜΤ / μονοτονία και ακρότατα / 1-1
31 Bolzano / Rolle / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
32 μονοτονία / αντίστροφη συνάρτηση / σύνθεση συναρτήσεων / εμβαδόν
33 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία και ακρότατα / σταθερό πρόσημο συνάρτησης / εμβαδόν
34 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / όρια / ασύμπτωτες
35 μονοτονία και ακρότατα / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα / σταθερή συνάρτηση
36 ορισμένο ολοκλήρωμα / Rolle / εφαπτομένη
37 μιγαδικοί αριθμοί / Rolle
38 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ασύμπτωτες / αντίστροφη συνάρτηση / ορισμένο ολοκλήρωμα
39 συνάρτηση ολοκλήρωμα / αντίστροφη συνάρτηση / ΘΜΤ / εμβαδόν
40 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία / Rolle / Bolzano
41 μονοτονία και ακρότατα / ΘΜΤ / Bolzano / κυρτότητα / ορισμένο ολοκλήρωμα
42 μιγαδικοί αριθμοί / Bolzano / ακρότατα
43 μιγαδικοί αριθμοί και ορισμένο ολοκλήρωμα / όρια / εμβαδόν
44 μιγαδικοί αριθμοί / ορισμένο ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών / μονοτονία και ακρότατα
45 μιγαδικοί αριθμοί / όρια / ΘΜΤ / κυρτότητα / ορισμένο ολοκλήρωμα
46 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία / κυρτότητα / όρια / ΘΜΤ
47 μιγαδικοί αριθμοί
48 σύνολο τιμών / μονοτονία / ανισοτική σχέση εμβαδού
49 μιγαδικοί αριθμοί / συνάρτηση ολοκλήρωμα / ΘΜΤ
50 σύνολο τιμών / μονοτονία / ασύμπτωτες
51 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία / σύνολο τιμών / κριτήριο παρεμβολής σε συνάρτηση ολοκλήρωμα
52 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ακρότατα/εφαπτομένη / ΘΜΤ / πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / όριο
53 μονοτονία και ακρότατα / μέτρο μιγαδικού / ρυθμός μεταβολής
54 αντίστροφη συνάρτηση / μονοτονία / κοίλα / εμβαδόν / πρόσημο συνάρτησης / ΘΜΤ
55 συνάρτηση ολοκλήρωμα / εφαπτομένη / κυρτότητα / εμβαδόν / ΘΜΤ και ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα
56 μονοτονία / σύνολο τιμών / κριτήριο παρεμβολής / Bolzano / ανισοτική σχέση εμβαδού
57 συνάρτηση ολοκλήρωμα / εφαπτομένη / Rolle / ΘΜΤ / όριο
58 μιγαδικοί αριθμοί / Rolle
59 Bolzano / Rolle / μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα / όριο / ασύμπτωτες
60 μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / πλήθος ριζών / κριτήριο παρεμβολής σε συνάρτηση ολοκλήρωμα
61 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Rolle / Bolzano
62 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία και ακρότατα / μέτρο μιγαδικού αριθμού
63 συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα / εφαπτομένη / Rolle / ανισοτική σχέση εμβαδού / μονοτονία / ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα
64 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / μονοτονία / ΘΜΤ
65 συνάρτηση ολοκλήρωμα / συνέχεια και παράγωγος σε σημείο / ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα / Bolzano / Rolle
66 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα / πρόσημο συνάρτησης / Rolle / εφαπτομένη / σύνολο τιμών / όρια / Bolzano / ΘΜΤ
67 μονοτονία / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα / κυρτότητα / ΘΜΤ
68 σύνολο τιμών / Fermat / Rolle / Bolzano / ΘΜΤ
69 μονοτονία / πλήθος ριζών / κυρτότητα / ορισμένο ολοκλήρωμα
70 μονοτονία / κυρτότητα / πρόσημο συνάρτησης / κυρτότητα / Rolle / σύνολο τιμών / κατακόρυφη ασύμπτωτη
71 σταθερό πρόσημο / μιγαδικοί αριθμοί / εμβαδόν
72 μιγαδικοί αριθμοί / εφαπτομένη / εμβαδόν
73 συνέχεια / θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής / Fermat / Bolzano / ΘΜΤ / κυρτότητα
74 συνάρτηση ολοκλήρωμα / συνέχεια και παραγωγισιμότητα σε σημείο / ΘΜΤ / μονοτονία / Rolle
75 όριο / μονοτονία / Fermat / κυρτότητα / Bolzano / συνάρτηση ολοκλήρωμα / ΘΜΤ και ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα
76 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μιγαδικοί αριθμοί / παράγωγος σε σημείο / Rolle
77 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μιγαδικοί αριθμοί / Fermat / εμβαδόν / ΘΜΤ και κριτήριο παρεμβολής
78 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / ακρότατα / ΘΜΤ
79 μιγαδικοί αριθμοί
80 Bolzano / Rolle / ορισμός μονοτονίας / σημείο καμπής / εμβαδόν
81 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Rolle / κυρτότητα
82 συνέχεια σε σημείο / παράγωγος σε σημείο / ασύμπτωτες / κυρτότητα
83 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μιγαδικοί αριθμοί / κυρτότητα / μονοτονία και ακρότατα / ΘΜΤ
84 πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία / ορισμένο ολοκλήρωμα
85 εφαπτομένη / ασύμπτωτες / εμβαδόν / όρια
86 πρόσημο συνάρτησης / σταθερή συνάρτηση / όριο / μονοτονία / ανισοτική σχέση εμβαδού
87 αντίστροφη συνάρτηση / σύνολο τιμών / πρόσημο συνάρτησης / όριο
88 ασύμπτωτη / κυρτότητα και εφαπτομένη / όριο / ανισοτική σχέση εμβαδού
89 μιγαδικοί αριθμοί / συνάρτηση ολοκλήρωμα / Fermat / εμβαδόν / όρια
90 μιγαδικοί αριθμοί / ασύμπτωτη / Bolzano / μονοτονία και ακρότατα
91 ανισοτική σχέση ολοκληρώματος / μονοτονία / μιγαδικοί αριθμοί
92 ασύμπτωτη / εμβαδόν / όριο / μονοτονία και ακρότατα / μιγαδικοί αριθμοί / συνάρτηση ολοκλήρωμα
93 μιγαδικοί αριθμοί / ασύμπτωτη / μονοτονία / εμβαδόν
94 σύνθεση συναρτήσεων / 1-1 / παράγωγος σε σημείο / ορισμένο ολοκλήρωμα / Rolle
95 μονοτονία / κυρτότητα / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα
96 μιγαδικοί αριθμοί / Bolzano / ΘΜΤ / όριο συνάρτησης ολοκλήρωμα
97 συνάρτηση ολοκλήρωμα / πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία / κυρτότητα και εφαπτομένη / αντίστροφη συνάρτηση / εμβαδόν
98 πρόσημο συνάρτησης / εφαπτομένη / μονοτονία και ακρότατα / Bolzano / πλήθος ριζών εξίσωσης με σύνολο τιμών
99 μιγαδικοί αριθμοί / Fermat / Rolle / εμβαδόν
100 ΘΜΤ / μονοτονία / συνάρτηση ολοκλήρωμα / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα / Bolzano

7. Θέμα Αντίστοιχη Θεματική Ενότητα
101 μιγαδικοί αριθμοί / συνάρτηση ολοκλήρωμα / Fermat / μονοτονία και ακρότατα / όριο
102 μονοτονία και ακρότατα / ασύμπτωτες / σύνολο τιμών / κυρτότητα / πλήθος ριζών εξίσωσης
103 μονοτονία / όριο / σύνολο τιμών / ασύμπτωτη / αρχική συνάρτηση / εμβαδόν
104 κυρτότητα / μονοτονία και ακρότατα / όρια εμβαδού
105 κυρτότητα / μονοτονία / σύνολο τιμών / συνάρτηση ολοκλήρωμα και θεώρημα Bolzano
106 1-1 με ορισμό και εύρεση αντίστροφης συνάρτησης / μονοτονία / κυρτότητα συνάρτησης ολοκλήρωμα / μιγαδικοί αριθμοί και ορισμένο ολοκλήρωμα
107 όρια / ασύμπτωτη / 1-1 με ορισμό και εύρεση αντίστροφης συνάρτησης / πρόσημο συνάρτησης / κυρτότητα και εφαπτομένη / εμβαδόν / Bolzano
108 συνάρτηση ολοκλήρωμα / και εύρεση αντίστροφης συνάρτησης / εμβαδόν / επίλυση ανίσωσης με ορισμένο ολοκλήρωμα
109 μονοτονία και σύνολο τιμών / εφαπτομένη / ΘΜΤ / ορισμένο ολοκλήρωμα / Bolzano
110 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Rolle / μονοτονία και ακρότατα / πρόσημο συνάρτησης / κυρτότητα
111 μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / πλήθος λύσεων εξίσωσης
112 παράγουσα συνάρτηση / μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / συνάρτηση ολοκλήρωμα / ΘΜΤ / όρια
113 μιγαδικοί αριθμοί / μονοτονία και ακρότατα / σταθερό πρόσημο συνάρτησης / κυρτότητα και εφαπτομένη / συνάρτηση ολοκλήρωμα και Bolzano
114 εύρεση συνάρτησης μέσω ορίου / συνάρτηση ολοκλήρωμα και εξισώσεις / μονοτονία / σύνολο τιμών / ορισμός παραγώγου / εφαπτομένη / εμβαδόν
115 κυρτότητα / μονοτονία και ακρότατα
116 μονοτονία / Rolle
117 συνάρτηση ολοκλήρωμα / σταθερή συνάρτηση / ασύμπτωτες / εμβαδόν / όρια
118 μιγαδικοί αριθμοί
119 1-1 / πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / κρίσιμα σημεία / Bolzano / Rolle / ΘΜΤ
120 μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα / σύνολο τιμών
121 μιγαδικοί αριθμοί
122 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / ορισμός μονοτονίας / πρόσημο συνάρτησης / Rolle / Bolzano
123 παράγουσα συνάρτησης / μονοτονία / κυρτότητα / ΘΜΤ / όρια
124 μιγαδικοί αριθμοί / μονοτονία / ΘΜΤ
125 ΘΜΤ / συνάρτηση ολοκλήρωμα / σταθερή συνάρτηση / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
126 μιγαδικοί αριθμοί / μονοτονία συνάρτησης / σύνολο τιμών / Bolzano
127 ΘΜΤ / θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής / Fermat / Rolle / Bolzano
128 σταθερό πρόσημο συνάρτησης / όριο / ορισμένο ολοκλήρωμα
129 συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα και μονοτονία / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
130 μιγαδικοί αριθμοί / 1-1 / μονοτονία
131 ορισμός συνέχειας / ορισμός παραγώγου / μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / αντίστροφη συνάρτηση / ασύμπτωτες / ορισμένο ολοκλήρωμα
132 μιγαδικοί αριθμοί / αντίστροφη συνάρτηση
133 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία / Rolle / όρια
134 κυρτότητα και εφαπτομένη / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα / εμβαδόν / όριο / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
135 συνάρτηση ολοκλήρωμα και Fermat / Bolzano / Rolle
136 μονοτονία / σύνολο τιμών / όρια / Bolzano / μιγαδικοί αριθμοί
137 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / συνάρτηση ολοκλήρωμα και ανισοτικές σχέσεις
138 αντίστροφη συνάρτηση / Rolle / Bolzano / ΘΜΤ
139 σύνθεση συναρτήσεων / ορισμός μονοτονίας / Bolzano / αντίστροφη συνάρτηση / εφαπτομένη
140 όρια / Bolzano / θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής
141 1-1 / μιγαδικοί αριθμοί
142 ορισμός συνέχειας / ορισμός παραγώγου / ορισμός μονοτονίας / ορισμένο ολοκλήρωμα
143 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / μονοτονία και ακρότατα / ασύμπτωτες / πλήθος λύσεων εξίσωσης / μιγαδικοί αριθμοί
144 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / μονοτονία και ακρότατα / πρόσημο συνάρτησης / εμβαδόν
145 μονοτονία και ακρότατα / όρια / σύνολο τιμών / εφαπτομένη / ΘΜΤ / αντίστροφη συνάρτηση
146 εύρεση συνάρτησης από όριο / εφαπτομένη / Rolle / μονοτονία και ακρότατα / Bolzano
147 ασύμπτωτες / μονοτονία / όρια / σύνολο τιμών / Rolle
148 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα / ιδιότητες ολοκληρωμάτων και εύρεση συνάρτησης
149 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / Bolzano / σταθερή συνάρτηση / Rolle / όριο
150 συνάρτηση ολοκλήρωμα και εύρεση συνάρτησης / εμβαδόν / εφαπτομένη / όρια / Rolle / Bolzano
151 συνάρτηση ολοκλήρωμα / όρια / σύνολο τιμών / κυρτότητα και εφαπτομένη / ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης / τεχνικές ολοκλήρωσης
152 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / αντίστροφη συνάρτηση / ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης
153 συνέπεια θεωρήματος Bolzano / μονοτονία και ακρότατα / μιγαδικοί αριθμοί και ΘΜΤ
154 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ακρότατα συνάρτησης /ΘΜΤ
155 πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / 1-1 / ΘΜΤ και όρια / σύνολο τιμών και ρίζες εξίσωσης
156 συνάρτηση ολοκλήρωμα / εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / ασύμπτωτες / κυρτότητα και εφαπτομένη / εμβαδόν / Bolzano
157 συνέπεια θεωρήματος Bolzano / συνάρτηση ολοκλήρωμα / ορισμός συνέχειας / Rolle
158 ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / ορισμός συνέχειας / μονοτονία / συνάρτηση ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών και ρίζες εξίσωσης
159 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ΘΜΤ / Bolzano / ανισοτικές σχέσεις με ορισμένο ολοκλήρωμα
160 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Bolzano / 1-1 / συνέχεια σε διάστημα
161 ανισοτική σχέση με παραγώγους / πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία / όριο / εμβαδόν
162 ορισμός παραγώγου / συνάρτηση ολοκλήρωμα και όριο / Bolzano
163 μονοτονία / κυρτότητα / Bolzano / ΘΜΤ
164 εύρεση συνάρτησης μέσω αντίστροφης / όρια αντίστροφης συνάρτησης
165 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση / όρια / περιττή συνάρτηση
166 σύνθεση συναρτήσεων / ορισμός 1-1 συνάρτησης / ύπαρξη ορίου / όρια αντίστροφης συνάρτησης / μονοτονία
167 ΘΜΤ / συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα και εφαπτομένη
168 εύρεση μονοτονίας από διαφορική εξίσωση / ορισμένο ολοκλήρωμα και Bolzano / όριο αντίστροφης συνάρτησης
169 μονοτονία και ακρότατα / αντίστροφη συνάρτηση / τεχνικές ολοκλήρωσης
170 πρόσημο συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / μονοτονία / ανισοτική σχέση εμβαδού / μιγαδικοί αριθμοί
171 συνάρτηση ολοκλήρωμα / σταθερή συνάρτηση / όριο
172 ανισοτική σχέση με παραγώγους / ορισμός μονοτονίας / Fermat / εμβαδόν
173 μονοτονίας / μιγαδικοί αριθμοί και μεγιστοποίηση μέτρου / Bolzano / κυρτότητα / σύνθεση συναρτήσεων / σύνολο τιμών / όριο
174 μιγαδικοί αριθμοί και ανισοτικές σχέσεις με παραγώγους / Bolzano
175 κυρτότητα και εφαπτομένη / μονοτονία και ακρότατα / Rolle
176 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / εμβαδόν
177 ασύμπτωτες / κυρτότητα / ΘΜΤ / μονοτονία και ακρότατα / Fermat
178 συνάρτηση ολοκλήρωμα / πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία και ακρότατα / εμβαδόν / ΘΜΤ και όριο
179 ορισμός μονοτονίας / αντίστροφη συνάρτηση /εφαπτομένη /ασύμπτωτη αντίστροφης / Bolzano / Rolle /κυρτότητα και εφαπτομένη /τεχνικές ολοκλήρωσης
180 αντίστροφη συνάρτηση / μιγαδικοί αριθμοί
181 Bolzano / μιγαδικοί αριθμοί και ακρότατα / εφαπτομένη
182 μιγαδικοί αριθμοί και μονοτονία συνάρτησης
183 μονοτονία συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση / αντίστροφη συνάρτηση / μιγαδικοί αριθμοί / εμβαδόν / ορισμός παραγώγου
184 συναρτησιακή σχέση και περιττή συνάρτηση/ορισ μονοτονίας όρια/ ορισ συνέχειας/αντίστροφη συνάρτηση/ορισ παραγώγου /όριο/τεχνικές ολοκλήρωσης
185 μονοτονία / ΘΜΤ / πρόσημο συνάρτησης / όρια / ασύμπτωτες / εμβαδόν / μιγαδικοί αριθμοί και ορισμένο ολοκλήρωμα
186 συνάρτηση ολοκλήρωμα και σταθερή συνάρτηση / πρόσημο συνάρτησης / Bolzano / Rolle
187 όρια / περιττή συνάρτηση και ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών
188 συνάρτηση ολοκλήρωμα και εύρεση συνάρτησης / Bolzano / Rolle
189 μονοτονία / ασύμπτωτες / πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών / συνάρτηση ολοκλήρωμα και κριτήριο παρεμβολής
190 μιγαδικοί αριθμοί / σύνολο τιμών
191 συνάρτηση ολοκλήρωμα / πρόσημο συνάρτησης / εφαπτομένη / μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα και εφαπτομένη
192 ορισμός συνέχειας / ορισμός παραγώγου / Fermat / μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα και εφαπτομένη / ΘΜΤ
193 ορισμός συνέχειας σε συνάρτηση ολοκλήρωμα / όριο / μονοτονία / ΘΜΤ
194 ΘΜΤ / μιγαδικοί αριθμοί / μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα και εφαπτομένη
195 συνάρτηση ολοκλήρωμα / εφαπτομένη / μονοτονία
196 μονοτονία και ακρότατα / αντίστροφη συνάρτηση / ορισμός συνέχειας και παραγώγου / κυρτότητα και εφαπτομένη / ΘΜΤ / Bolzano / μιγαδικοί αριθμοί
197 συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα / ΘΜΤ / Rolle / μονοτονία / ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα
198 ΘΜΤ / σύνθεση συναρτήσεων / εφαπτομένη / εμβαδόν
199 ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / ευθεία που χωρίζει χωρίο σε δύο ισεμβαδικά / μονοτονία
200 τεχνικές ολοκλήρωσης / ίσες συναρτήσεις / μονοτονία / 1-1 / εμβαδόν / εμβαδόν χωρίου που ορίζεται από την αντίστροφη συνάρτηση

8. Θέμα Αντίστοιχη Θεματική Ενότητα
201 μονοτονία / τεχνικές ολοκλήρωσης / κυρτότητα / ΘΜΤ
202 10 παραδείγματα σε βασική τεχνική ολοκλήρωσης (σε ορισμένο ολοκλήρωμα)
203 τεχνικές ολοκλήρωσης (σε ορισμένο ολοκλήρωμα)
204 τεχνικές ολοκλήρωσης (σε ορισμένο ολοκλήρωμα)
205 τεχνικές ολοκλήρωσης (σε ορισμένο ολοκλήρωμα) / όριο συνάρτησης ολοκλήρωμα
206 τεχνικές ολοκλήρωσης (σε ορισμένο ολοκλήρωμα) / δύο όρια συνάρτησης ολοκλήρωμα
207 ορισμός μονοτονίας / σύνολο τιμών / αντίστροφη συνάρτηση / ορισμός παραγώγου / τεχνικές ολοκλήρωσης / όρια / πλήθος λύσεων
208 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία / κυρτότητα και εφαπτομένη / σύνολο τιμών / ανισοτική σχέση εμβαδού / τεχνικές ολοκλήρωσης / όριο
209 συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα / σύνολο τιμών / Bolzano / όρια
210 σταθερή συνάρτηση / μονοτονία και ακρότατα / μιγαδικοί αριθμοί
211 εφαπτομένη / μονοτονία και ακρότατα / ασύμπτωτες / εμβαδόν
212 μιγαδικοί αριθμοί / όριο / ανισοτική σχέση με ολοκλήρωμα
213 μονοτονία και ακρότατα / συνάρτηση ολοκλήρωμα (τεχνικές ολοκλήρωσης)
214 μιγαδικοί αριθμοί / συνάρτηση ολοκλήρωμα και εύρεση συνάρτησης / τεχνικές ολοκλήρωσης και όρια
215 εφαπτομένη / ορισμένο ολοκλήρωμα και μιγαδικοί αριθμοί / Fermat / θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής
216 ορισμένο ολοκλήρωμα και μιγαδικοί αριθμοί / Rolle
217 συνέπεια του θεωρήματος Bolzano / κυρτότητα και εφαπτομένη / ΘΜΤ / όριο / μονοτονία / συνάρτηση ολοκλήρωμα
218 συνάρτηση ολοκλήρωμα / συνέπεια του θεωρήματος Bolzano / Fermat / ορισμός παραγώγου / κυρτότητα και εφαπτομένη / μονοτονία
219 συνάρτηση ολοκλήρωμα / εμβαδόν / μονοτονία / όρια / σύνολο τιμών και πλήθος ριζών εξίσωσης
220 μιγαδικοί αριθμοί / όριο με αντικατάσταση / μονοτονία / συνέπεια του θεωρήματος Bolzano / πεδίο ορισμού / εφαπτομένη / ορισμένο ολοκλήρωμα
221 μιγαδικοί αριθμοί
222 μονοτονία συνάρτησης / μιγαδικοί αριθμοί / τεχνικές ολοκλήρωσης / συνάρτηση ολοκλήρωμα / κυρτότητα / όρια
223 σταθερό πρόσημο συνάρτησης / σύνολο τιμών / ΘΜΤ / Rolle / τεχνικές ολοκλήρωσης
224 μιγαδικοί αριθμοί
225 μιγαδικοί αριθμοί
226 μιγαδικοί αριθμοί / απόσταση σημείου παραβολής από ευθεία!
227 εύρεση συναρτήσεων από διαφορικές εξισώσεις / μονοτονία / ΘΜΤ / 1-1
228 σύνθεση συναρτήσεων / μιγαδικοί αριθμοί / μονοτονία / 1-1 / αντίστροφη συνάρτηση
229 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή ανίσωση / ασύμπτωτες / Fermat / σύνολο τιμών / Bolzano / Rolle / τεχνικές ολοκλήρωσης
230 ΘΜΤ για συνάρτηση ολοκλήρωμα / Fermat / Rolle / πιθανή θέση ακροτάτου / πιθανή θέση σημείου καμπής
231 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Bolzano / κυρτότητα και εφαπτομένη / ανισοτική σχέση εμβαδού με χρήση ΘΜΤ
232 μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα / ΘΜΤ / Bolzano / μιγαδικοί αριθμοί και ορισμένο ολοκλήρωμα
233 σταθερό πρόσημο συνάρτησης / όρια / μονοτονία με χρήση συνόλου τιμών
234 συνάρτηση ολοκλήρωμα / συνέπειες ΘΜΤ / μονοτονία / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένα ολοκληρώματα
235 μιγαδικοί αριθμοί
236 μονοτονία και ακρότατα / ασύμπτωτες / σύνολο τιμών / εμβαδόν
237 κυρτότητα / ΘΜΤ / τεχνικές ολοκλήρωσης
238 μιγαδικοί αριθμοί
239 ορισμός μονοτονίας / μονοτονία και διάταξη τιμών συνάρτησης / εύρεση ορίων από συναρτησιακή σχέση / ορισμός συνέχειας και κριτήριο παρεμβολής
240 συνάρτηση ολοκλήρωμα και περιττή συνάρτηση / Bolzano / Fermat / ΘΜΤ / Rolle / όριο
241 πρόσημο συνάρτησης από σύνολο τιμών / μονοτονία / θεώρημα Bolzano σε συνάρτηση ολοκλήρωμα
242 μιγαδικοί αριθμοί / απόσταση σημείου παραβολής από ευθεία / ρυθμός μεταβολής
243 συνάρτηση ολοκλήρωμα και ΘΜΤ / μονοτονία / σύνθεση συναρτήσεων / μιγαδικοί αριθμοί
244 συνάρτηση ολοκλήρωμα και εύρεση τύπου συνάρτησης / κοινή εφαπτομένη δύο γραφικών παραστάσεων / μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών
245 μονοτονία και ακρότατα από συναρτησιακή σχέση / εφαπτομένη
246 μονοτονία και ακρότατα / πρόσημο συνάρτησης /ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα /εμβαδόν / Bolzano και γενίκευση / Rolle / ρυθμός μεταβολής
247 σταθερή συνάρτηση / μονοτονία / σύνολο τιμών / κυρτότητα και εφαπτομένη
248 Bolzano / κοινή εφαπτομένη / Rolle / ΘΜΤ
249 συμπλήρωση τετραγώνου σε συναρτησιακή σχέση και κριτήριο παρεμβολής / όρια / Bolzano
250 μιγαδικοί αριθμοί
251 μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / κυρτότητα και εφαπτομένη
252 εφαπτομένη / Rolle / σταθερό πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία
253 εφαπτομένη και εύρεση παραμέτρων / μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / ΘΜΤ
254 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / μονοτονία και ακρότατα / τεχνικές ολοκλήρωσης
255 ΘΜΤ / μονοτονία / σύνολο τιμών / Rolle / Bolzano
256 μονοτονία / ανισοτική σχέση εμβαδού / σύνολο τιμών / ΘΜΤ / θεώρημα ενδιάμεσων τιμών / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
257 μιγαδικοί αριθμοί
258 ορισμός συνέχειας / μονοτονία και ακρότατα / σημεία καμπής / εφαπτομένη / Bolzano
259 συνάρτηση ολοκλήρωμα / πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία και ακρότατα / ελαχιστοποίηση μέτρου μιγαδικού αριθμού
260 συνάρτηση ολοκλήρωμα και μιγαδικοί αριθμοί / σταθερή συνάρτηση / μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών και πλήθος ριζών εξίσωσης / όριο
261 μιγαδικοί αριθμοί και συναρτήσεις / Bolzano / μεγιστοποίηση μέτρου μιγαδικού αριθμού
262 πεδίο ορισμού και μονοτονία συνάρτησης ολοκλήρωμα/κυρτότητα και εφαπτομένη /Bolzano/ασύμπτωτες/ιδιότητες ολοκληρώματος και κρ. παρεμβολής
263 αρχική συνάρτηση / εύρεση τύπου συνάρτησης και σύνολο τιμών / εφαπτομένη / ασύμπτωτη / μονοτονία / τεχνικές ολοκλήρωσης / όρια
264 συνάρτηση ολοκλήρωμα και εύρεση τύπου συνάρτησης / μονοτονία / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα / όρια συνάρτησης ολοκλήρωμα / ΘΜΤ
265 σταθερό πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία / σύνολο τιμών / Bolzano
266 πεδίο ορισμού συνάρτησης με απόδειξη ανισοτικής σχέσης /σύνολο τιμών / εφαπτομένη / Rolle /σταθερό πρόσημο συνάρτησης / Bolzano / εμβαδόν / όρια
267 μονοτονία και κυρτότητα συνάρτησης ολοκλήρωμα / πρόσημο συνάρτησης / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
268 μιγαδικοί αριθμοί
269 μιγαδικοί αριθμοί / ρυθμός μεταβολής
270 συνάρτηση ολοκλήρωμα / ορισμός συνέχειας και παραγώγου / Rolle / μονοτονία / ανισότητα με ορισμένα ολοκληρώματα / Bolzano / όριο
271 όρια / εφαπτομένη / μιγαδικοί αριθμοί / συνάρτηση ολοκλήρωμα και ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
272 τεχνικές ολοκλήρωσης / μονοτονία / σύνολο τιμών / ΘΜΤ / μιγαδικοί αριθμοί και εμβαδόν
273 Rolle / ΘΜΤ / σταθερό πρόσημο συνάρτησης / μονοτονία / σύνολο τιμών / ανισοτική σχέση με ορισμένο ολοκλήρωμα
274 κανόνες παραγώγισης / σταθερή συνάρτηση / όρια / Bolzano / κυρτότητα και εφαπτομένη / μονοτονία
275 εύρεση συνάρτησης από όριο και συναρτησιακή σχέση/τεχνικές ολοκλήρωσης/ μονοτονία και ακρότατα/ορ. παραγώγου/ορισμένο ολοκλήρωμα & διάταξη
276 εύρεση συνάρτησης από όριο και ορισμένο ολοκλήρωμα / εφαπτομένη και διάταξη ορισμένου ολοκληρώματος / όρια / ΘΜΤ / όριο και εμβαδόν
277 μιγαδικοί αριθμοί και Fermat / Rolle / σύνολο τιμών / ανισοτική σχέση εμβαδού / όρια
278 απόδειξη ανισοτικής σχέσης / συνάρτηση ολοκλήρωμα και όρια/ τεχνικές ολοκλήρωσης & διάταξη ορισμένου ολοκληρώματος / ανισοτική σχέση εμβαδού
279 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση με χρήση ορισμού παραγώγου ή μερικής παραγώγισης / «οπτική επαφή» εφαπτομένης / ακρότατα
280 ασύμπτωτες / σύνθεση συναρτήσεων / μονοτονία / σύνολο τιμών και εφαρμογές
281 μιγαδικοί αριθμοί
282 μιγαδικοί αριθμοί / μονοτονία και ακρότατα / ασύμπτωτες/ Bolzano / όριο συνάρτησης ολοκλήρωμα
283 μονοτονία και ακρότατα / ασύμπτωτες / πλήθος ριζών εξίσωσης / ασύμπτωτες / μιγαδικοί αριθμοί / εμβαδόν
284 Rolle και μιγαδικοί αριθμοί / εμβαδόν
285 απόδειξη ανισοτικής σχέσης με χρήση παραγώγων / ανισοτική σχέση εμβαδού /όριο / μονοτονία συνάρτησης ολοκλήρωμα και ανισότητα
286 μιγαδικοί αριθμοί και θεωρήματα Bolzano και Rolle
287 προσδιορισμός τιμών συνεχούς συνάρτησης από όριο / κριτήριο παρεμβολής / ορισμός μονοτονίας / σύνολο τιμών και εφαρμογή σε λύσεις εξίσωσης
288 μιγαδικοί αριθμοί και ακρότατα-όρια
289 συντελεστής διεύθυνσης εφαπτομένης / Rolle / Bolzano
290 εφαπτομένη / ΘΜΤ και μονοτονία πρώτης παραγώγου / Bolzano
291 ορισμός μονοτονίας / σύνολο τιμών / σύνθεση συναρτήσεων
292 εφαπτομένη / μονοτονία / ασύμπτωτη / εμβαδόν / όριο
293 Rolle και συνάρτηση ολοκλήρωμα
294 μιγαδικοί αριθμοί
295 σταθερό πρόσημο συνάρτησης / Rolle και συνάρτηση ολοκλήρωμα
296 συναρτησιακή σχέση και θεώρημα Rolle / μονοτονία / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
297 συνάρτηση ολοκλήρωμα και σταθερή συνάρτηση/εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση με συνάρτηση ολοκλήρωμα/ανισοτική σχέση ορ. ολοκληρ.
298 παραγοντική ολοκλήρωση / μονοτονία συνάρτησης ολοκλήρωμα / εμβαδόν
299 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση συνάρτησης ολοκλήρωμα / μονοτονία / κυρτότητα / ασύμπτωτες / εμβαδόν
300 Bolzano / κυρτότητα / ΘΜΤ / σύνθεση συναρτήσεων / μονοτονία / σύνολο τιμών

9. Θέμα Αντίστοιχη Θεματική Ενότητα
301 μιγαδικοί αριθμοί
302 Bolzano / πεδίο ορισμού – μονοτονία – πλήθος λύσεων συνάρτησης ολοκλήρωμα / όριο / μονοτονία & ακρότατα /ανισοτική σχέση ορισμ. ολοκληρώματος
303 μονοτονία / κυρτότητα / ισότητα συναρτήσεων / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / εμβαδόν / ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος
304 σύνθεση συναρτήσεων / μονοτονία / Fermat
305 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Rolle / σημείο καμπής
306 μονοτονία συνάρτησης ολοκληρώματος / σταθερή συνάρτηση/ όρια
307 διαδοχικές εφαρμογές θεωρήματος Fermat σε συνάρτηση ολοκλήρωμα
308 εύρεση συναρτήσεων από συναρτησιακές σχέσεις / ασύμπτωτες / όρια
309 σταθερή συνάρτηση / ασύμπτωτες / συνάρτηση ολοκλήρωμα και μονοτονία
310 πλήθος ριζών εξίσωσης και παράγωγοι / Bolzano
311 ολοκλήρωση αντίστροφης συνάρτησης / συνάρτηση ολοκλήρωμα και παράγωγοι
312 ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος και εύρεση συνάρτησης / ΘΜΤ / Rolle
313 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση / απόδειξη συναρτησιακής σχέσης από δεδομένη συνάρτηση / τεχνικές ολοκλήρωσης
314 σταθερή συνάρτηση από συναρτησιακή σχέση / εφαπτομένη / Fermat
315 ΘΜΤ – Bolzano - μονοτονία σε συνάρτηση ολοκλήρωμα
316 εφαπτομένη και Rolle / μονοτονία / ΘΜΤ
317 μιγαδικοί αριθμοί
318 σταθερή συνάρτηση από συναρτησιακή σχέση / ισότητα συναρτήσεων / Rolle / ΘΜΤ
319 μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών και ύπαρξη ρίζας / ασύμπτωτες /
320 μονοτονία / σύνολο τιμών / κυρτότητα και εφαπτομένη / Fermat / Rolle /εμβαδόν
321 τεχνικές ολοκλήρωσης / σταθερό πρόσημο συνάρτησης και μονοτονία / σύνολο τιμών / Rolle / Bolzano
322 μιγαδικοί αριθμοί
323 κυρτότητα / μονοτονία / σύνολο τιμών και μιγαδικοί αριθμοί / Bolzano / ορισμένο ολοκλήρωμα και διάταξη
324 ορισμένο ολοκλήρωμα και θεώρημα Fermat / μονοτονία και ακρότατα / ΘΜΤ / όριο / εμβαδόν
325 μονοτονία συνάρτησης ολοκλήρωμα / ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος / όριο / σύνολο τιμών
326 όρια / μονοτονία / Bolzano / θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
327 Rolle σε συνάρτηση ολοκλήρωμα / Bolzano / σταθερή συνάρτηση
328 1-1 συνάρτηση / σύνθεση συναρτήσεων και ορισμός παραγώγου / μονοτονία / όριο
329 εύρεση συνάρτησης από διπλή συναρτησιακή σχέση / ακρότατα συνάρτησης και εύρεση παραμέτρου / ακρότατα συνάρτησης και μιγαδικοί αριθμοί
330 μιγαδικοί αριθμοί
331 μιγαδικοί αριθμοί και θεώρημα Fermat σε συνάρτηση ολοκλήρωμα / μεγιστοποίηση μέτρου μιγαδικού αριθμού / Rolle και εφαπτομένη
332 ασύμπτωτες / μονοτονία / αντίστροφη συνάρτηση / όριο / Bolzano / ΘΜΤ
333 τεχνικές ολοκλήρωσης / ΘΜΤ σε συνάρτηση ολοκλήρωμα / Bolzano / θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής
334 σύνολο τιμών και πρόσημο συνάρτησης / ίσες συναρτήσεις / ρυθμός μεταβολής / όρια με ΘΜΤ και κριτήριο παρεμβολής / σταθερή συνάρτηση / εμβαδόν
335 κριτήριο παρεμβολής / όριο με αντικατάσταση / μιγαδικοί αριθμοί και όριο / Bolzano
336 σύνολο τιμών / μονοτονία και επίλυση ανίσωσης / Bolzano / ΘΜΤ / Rolle
337 σταθερό πρόσημο συνάρτησης / τεχνικές ολοκλήρωσης / ΘΜΤ σε συνάρτηση ολοκλήρωμα / Rolle
338 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση με συνάρτηση ολοκλήρωμα/σύνολο τιμών & πλήθος ριζών εξίσωσης / κυρτότητα & ανισοτική σχέση/ Rolle
339 μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα / πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / όριο και εύρεση τιμών συνάρτησης / ΘΜΤ
340 συνάρτηση (διπλό) ολοκλήρωμα και θεώρημα Fermat / κυρτότητα / μονοτονία / σύνολο τιμών / ΘΜΤ / εμβαδόν
341 αντίστροφη συνάρτηση / μονοτονία και ακρότατα / ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης / μιγαδικοί αριθμοί
342 συνάρτηση ολοκλήρωμα / σταθερή συνάρτηση / ΘΜΤ / Bolzano / τεχνικές ολοκλήρωσης και εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / Rolle
343 μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα και ανισοτικές σχέσεις / Bolzano / τεχνικές ολοκλήρωσης και ανισοτική σχέση εμβαδού
344 μιγαδικοί αριθμοί / κάθετες εφαπτομένες σε γραφική παράσταση (παραβολή) / ελαχιστοποίηση εμβαδού
345 εύρεση συνάρτησης / ανισοτική σχέση ορισμένων ολοκληρωμάτων/πλήθος ριζών παραμετρικής εξίσωσης / ΘΜΤ σε συνάρτηση ολοκλήρωμα
346 συνάρτηση ολοκλήρωμα / τεχνικές ολοκλήρωσης / σταθερή συνάρτηση / όρια / ασύμπτωτες / σύνολο τιμών / ΘΜΤ και ανισοτική σχέση
347 ορισμός συνέχειας / Fermat / πεδίο ορισμού συνάρτησης ολοκλήρωμα / κυρτότητα και εφαπτομένη / Bolzano / εμβαδόν
348 όρια / κυρτότητα και εφαπτομένη / ΘΜΤ και ανισοτική σχέση / Rolle
349 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση/όρια και συνέχεια σε σημείο /Fermat / μονοτονία και ανισοτική σχέση ορισμένων ολοκληρωμάτων / Bolzano
350 συνέπειες ΘΜΤ / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / μονοτονία συνάρτησης ολοκλήρωμα / Bolzano
351 συνέχεια – παράγωγος - κυρτότητα δίκλαδης συνάρτησης / ΘΜΤ / όριο με αντικατάσταση και κριτήριο παρεμβολής
352 μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / κυρτότητα και εφαπτομένη / ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος
353 όρια και προσδιορισμός τιμών συνάρτησης / ολοκλήρωση με αντικατάσταση / συνάρτηση ολοκλήρωμα και κανόνας DL / Rolle
354 Fermat / Rolle / ΘΜΤ / κυρτότητα και μονοτονία / ανισοτική σχέση εμβαδού
355 μονοτονία / κυρτότητα και εφαπτομένη / σύνολο τιμών / Rolle / θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
356 Bolzano / μονοτονία / μιγαδικοί αριθμοί / μονοτονία και ακρότατα
357 ΘΜΤ σε συνάρτηση ολοκλήρωμα / συνέπειες ΘΜΤ και ίσες συναρτήσεις / όρια
358 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Fermat / μονοτονία και πρόσημο συνάρτησης / Bolzano / όριο (με ΘΜΤ ή κριτήριο παρεμβολής συνάρτησης ολοκλήρωμα)
359 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση / συνάρτηση ολοκλήρωμα / Rolle
360 μονοτονία / κυρτότητα / ασύμπτωτες / εφαπτομένη και ρυθμός μεταβολής
361 μονοτονία (με εύρεση συνόλου τιμών παραγώγου ή με ΘΜΤ) / σύνολο τιμών και ύπαρξη ρίζας εξίσωσης / συνάρτηση ολοκλήρωμα και ΘΜΤ
362 εύρεση συντήρησης από συναρ. σχέση διπλού ολοκληρώματος /μονοτονία & ακρότατα /θεώρ. ενδιάμεσων τιμών ασύμπτωτες / Bolzano / ΘΜΤ / εμβαδόν
363 μιγαδικοί αριθμοί /Fermat
364 εύρεση συντήρησης από συναρτησιακή σχέση ορισμένου ολοκληρώματος / τεχνικές ολοκλήρωσης / σταθερή συνάρτηση / ρυθμός μεταβολής
365 Fermat / κυρτότητα / Rolle / μονοτονία και ακρότατα / Bolzano
366 μονοτονία / Bolzano / ΘΜΤ / σταθερό πρόσημο συνάρτησης
367 μονοτονία και ακρότατα / εφαπτομένη / ορισμένο ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών / ρυθμός μεταβολής
368 συνάρτηση ολοκλήρωμα / Fermat / εφαπτομένη / όριο / ΘΜΤ / εμβαδόν / Rolle
369 εύρεση συνάρτησης (παράγωγοι) / εμβαδόν
370 ορισμός συνέχειας-παραγώγου / εφαπτομένη / όρια με αντικατάσταση και κριτήριο παρεμβολής
371 μιγαδικοί αριθμοί / θεώρημα Bolzano
372 ορισμός παραγώγου / Fermat / μονοτονία / σύνθεση συναρτήσεων / Bolzano
373 κυρτότητα και εφαπτομένη / σημείο καμπής / Fermat / μονοτονία / ΘΜΤ
374 ορισμός παραγώγου / σταθερό πρόσημο συνάρτησης / συνάρτηση ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών / ΘΜΤ / Bolzano / Rolle / ανισοτική σχέση εμβαδού
375 μιγαδικοί αριθμοί
376 μιγαδικοί αριθμοί
377 μιγαδικοί αριθμοί
378 μιγαδικοί αριθμοί
379 ολοκλήρωμα & περιττή συνάρτηση /όριο και περιττή συνάρτηση /σύνολο τιμών & εφαρμογές/μονοτονία /επίλυση ανίσωσης με θεώρηση 1-1 συνάρτησης
380 παράγωγοι και παράγοντες πολυωνύμου
381 Rolle / Bolzano / ΘΜΤ
382 ορισμός συνέχειας / ορισμός παραγώγου / όρια
383 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση με συνάρτηση ολοκλήρωμα / εμβαδόν και ρυθμός μεταβολής / ασύμπτωτες
384 μιγαδικοί αριθμοί / Bolzano
385 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση με θεώρηση κατάλληλης 1-1 συνάρτησης / εφαπτομένη / μιγαδικοί αριθμοί
386 όριο / εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση με θεώρηση κατάλληλης 1-1 συνάρτησης / μονοτονία και ακρότατα / θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
387 απόδειξη ανισοτικής σχέσης με θεώρηση κατάλληλης γνησίως μονότονης συνάρτησης / κυρτότητα / όρια / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση εμβαδού / Bolzano
388 1-1 / όριο / Fermat / ορισμός παραγώγου / Rolle / ανισοτική σχέση εμβαδού
389 ρυθμός μεταβολής
390 ρυθμός μεταβολής
391 διάταξη ορισ. ολοκληρώματος/συνάρτηση ολοκλήρωμα & όριο/ συνάρτηση ολοκλήρωμα & Rolle/συνέπειες ΘΜΤ / συνάρτηση ολοκλήρωμα & μονοτονία
392 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / μονοτονία και εφαρμογές σε ανισώσεις / Bolzano
393 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση – ορ. παραγώγου / συνέπεια θεωρήματος Bolzano/ Fermat/ μονοτονία και ανισοτική σχέση ολοκληρώματος
394 εύρεση συνάρτησης και προσήμου συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / κυρτότητα
395 ακρότατα δίκλαδης συνάρτησης και σύνολο τιμών / ανισοτική σχέση και σύνολο τιμών / ιδιότητες ορισμ. ολοκληρώματος και παραγοντική ολοκλήρωση
396 συνέπειες ΘΜΤ / Bolzano
397 ρυθμός μεταβολής
398 παράγωγοι και παράγοντες πολυωνύμου
399 υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος / ορισμένο ολοκλήρωμα και διάταξη / όριο
400 συναρτησιακή σχέση / ΘΜΤ / σταθερή συνάρτηση / συνάρτηση ολοκλήρωμα

10. Θέμα Αντίστοιχη Θεματική Ενότητα
401 σταθερό πρόσημο συνάρτησης και μονοτονία / ίσες συναρτήσεις / εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / εμβαδόν
402 παραμετρική συνάρτηση και: σύνολο τιμών / πλήθος ριζών εξίσωσης / εμβαδόν
403 εύρεση συνάρτ. από ιδιότητα ορισμένου ολοκληρώματος /μονοτονία συνάρτ. ολοκλήρωμα+ανισοτικές σχέσεις ολοκληρωμάτων/ανισοτική σχέση εμβαδού
404 μιγαδικοί αριθμοί
405 Fermat / ορισμός παραγώγου και εύρεση ορίου / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος και εύρεση συνάρτησης
406 μιγαδικοί αριθμοί
407 μονοτονία / κυρτότητα / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση εμβαδού / ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος
408 μιγαδικοί αριθμοί
409 μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα / σημεία τομής συνάρτησης με τους άξονες
410 πρόβλημα ελαχιστοποίησης κόστους
411 ορισμός παραγώγου
412 πρόβλημα μεγιστοποίησης κέρδους
413 πρόβλημα ελαχιστοποίησης απόστασης
414 σύνολο τιμών ρητής συνάρτησης και εύρεση αντίστροφης
415 πρόβλημα μεγιστοποίησης εμβαδού
416 πρόβλημα μεγιστοποίησης εμβαδού
417 πρόβλημα ελαχιστοποίησης χρόνου
418 μελέτη άρρητης συνάρτησης
419 πρόβλημα ελαχιστοποίησης εμβαδού επιφάνειας κυλίνδρου
420 υπολογισμός 7 ορίων με χρήση κανόνα DL
421 7 ανισοτικές σχέσεις με χρήση ΘΜΤ
422 όριο και διάταξη / Fermat / Rolle
423 μονοτονία / ΘΜΤ / σύνολο τιμών / Bolzano
424 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / μονοτονία και ανισοτική σχέση ορισμένων ολοκληρωμάτων / παράγουσα συνάρτησης
425 ΘΜΤ / Bolzano / σύνολο τιμών και πλήθος ριζών εξίσωσης / κυρτότητα και ανισοτική σχέση
426 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / μονοτονία και επίλυση εξίσωσης / σύνθεση συναρτήσεων / σύνολο τιμών / ΘΜΤ
427 μονοτονία / σύνολο τιμών / ασύμπτωτες / εμβαδόν αντίστροφης συνάρτησης
428 μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα και εφαπτομένη / ΘΜΤ / εμβαδόν
429 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / ΘΜΤ / σύνολο τιμών / κυρτότητα και εφαπτομένη / εμβαδόν
430 συνέπειες ΘΜΤ / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / Bolzano
431 κοινό σημείο γραφικών παραστάσεων / όρια
432 μονοτονία συνάρτησης και ανισοτική σχέση / όρια
433 ορισμός μονοτονία και σύγκριση τιμών συνάρτησης / πρόσημο συνάρτησης / τιμές αντίστροφης συνάρτησης / θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
434 μονοτονία και ακρότατα / πλήθος ριζών εξίσωσης / εφαπτομένη και ανισοτική σχέση / μονοτονία συνάρτησης ολοκλήρωμα και όριο
435 μονοτονία και ισοδύναμες εξισώσεις / ισοδύναμες εξισώσεις και πλήθος ριζών εξίσωσης με χρήση συνόλου τιμών
436 σχετική θέση συναρτήσεων / κοινή εφαπτομένη / εμβαδόν
437 σημεία τομής γραφικής παράστασης με τους άξονες / ορισμένο ολοκλήρωμα / όρια / μονοτονία και ακρότατα / εμβαδόν
438 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / σύνολο τιμών / πρόσημο συνάρτησης / Bolzano / εμβαδόν και όριο
439 πεδίο ορισμού συνάρτησης / μονοτονία / κυρτότητα / σύνολο τιμών και πλήθος λύσεων εξίσωσης / κριτήριο παρεμβολής και αντικατάσταση / εμβαδόν
440 όρια με αντικατάσταση / ασύμπτωτες / μονοτονία και πρόσημο συνάρτησης / περιττή συνάρτηση και ορισμένο ολοκλήρωμα / κυρτότητα / εμβαδόν
441 μονοτονία συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση / περιττή συνάρτηση από συναρτησιακή σχέση / επίλυση συναρτησιακής εξίσωσης +ανίσωσης
442 θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής / θεώρημα ενδιάμεσων τιμών / Bolzano
443 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / πλήθος ριζών παραμετρικής εξίσωσης / αρχική συνάρτηση / ΘΜΤ / ανισοτική σχέση / Bolzano
444 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος / ασύμπτωτες / εύρεση εμβαδού με χρήση πλευρικού ορίου
445 όριο με αντικατάσταση και ειδικές περιπτώσεις
446 εύρεση συνάρτησης από διπλή διαφορική εξίσωση / επίλυση εξίσωσης με θεώρηση κατάλληλης συνάρτησης / σταθερή συνάρτηση / ΘΜΤ
447 ορισμός μονοτονίας / Bolzano
448 εύρεση παραμέτρων συνάρτησης / πεδίο ορισμού / μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών και πλήθος ριζών εξίσωσης
449 πεδίο ορισμού / μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών και πλήθος ριζών εξίσωσης / αντίστροφη συνάρτηση / ορισμένο ολοκλήρωμα / εμβαδόν
450 σύνολο τιμών και πλήθος ριζών εξίσωσης / μονοτονία / ορισμός συνέχειας
451 ασύμπτωτες / συνάρτηση ολοκλήρωμα / όριο με αντικατάσταση
452 μονοτονία και ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος / Rolle / εμβαδόν
453 μονοτονία – ακρότατα – πρόσημο συνάρτησης / σύνολο τιμών / πλήθος ριζών παραμετρικής εξίσωσης / 1-1 συνάρτηση και επίλυση εξίσωσης
454 σύνολο τιμών και ρίζα εξίσωσης / πεδίο ορισμού συνάρτησης / ασύμπτωτες / μονοτονία / ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος και όριο
455 συνάρτηση ολοκλήρωμα και εύρεση συνάρτησης / ίσες συναρτήσεις / ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος με χρήση ΘΜΤ
456 Fermat / ορισμός παραγώγου / ΘΜΤ / Bolzano
457 σύνολο τιμών και Bolzano / ακρότατα / συνάρτηση ολοκλήρωμα και σταθερή συνάρτηση / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
458 συναρτησιακή σχέση και: ρίζες εξίσωσης / Bolzano / θεώρημα ενδιάμεσων τιμών / ορισμός παραγώγου
459 μιγαδικοί αριθμοί
460 εύρεση συνάρτησης από αρχική συνάρτηση / εφαπτομένη / σύνολο τιμών και πλήθος ριζών παραμετρικής εξίσωσης / ΘΜΤ / Bolzano / όριο
461 συναρτησιακή σχέση και πρόσημο συνάρτησης / ορισμός παραγώγου / υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος με αντικατάσταση / ρυθμός μεταβολής
462 εύρεση μονοτονίας από συναρτησιακή σχέση / συνάρτηση ολοκλήρωμα και ΘΜΤ / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
463 ορισμός παραγώγου – σύνολο τιμών / ασύμπτωτες / μονοτονία και ανισοτική σχέση / εφαπτομένη
464 εφαπτομένη / κυρτότητα / σύνολο τιμών / ανισοτική σχέση ορισμένων ολοκληρωμάτων / όριο / Bolzano
465 συνάρτηση ολοκλήρωμα / μονοτονία και ακρότατα / εύρεση συνάρτησης με βοηθητική 1-1 συνάρτηση / ΘΜΤ
466 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση / σύνθεση συναρτήσεων / σύνολο τιμών / Rolle / ρυθμός μεταβολής
467 ορισμός παραγώγου / σύνολο τιμών / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / Bolzano σε συνάρτηση ολοκλήρωμα
468 διαφορική εξίσωση από ανισοτική σχέση ολοκληρώματος / σταθερή συνάρτηση / όριο / συνέπειες Bolzano
469 μονοτονία και ακρότατα παραμετρικής συνάρτησης / ελαχιστοποίηση παραμέτρου
470 εύρεση συνάρτησης από διαφορική εξίσωση με συνάρτηση ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών / όριο / εφαπτομένη
471 παραγώγιση συνάρτησης ολοκλήρωμα + εύρεση τύπου συνάρτησης / κυρτότητα / ΘΜΤ / εμβαδόν και όριο
472 όρια / μονοτονία και ακρότατα / αναγωγικός τύπος ολοκληρώματος
473 ορισμός συνέχειας / σύνολο τιμών / αύξουσα συνάρτηση + ανισοτική σχέση / ΘΜΤ
474 συνάρτηση ολοκλήρωμα και παράγωγος / συνάρτηση ολοκλήρωμα και ανισοτική σχέση / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
475 μιγαδικοί αριθμοί και Ανάλυση
476 πρόβλημα ελαχιστοποίησης / σύνολο τιμών και πλήθος ριζών εξίσωσης
477 παράγωγος συνάρτησης ολοκλήρωμα και εύρεση τύπου συνάρτησης / εφαπτομένη / μονοτονία και επίλυση εξίσωσης
478 ΘΕΤ / ΘΜΤ / ορισμός παραγώγου και ανισοτικές σχέσεις
479 μονοτονία και ακρότατα / Bolzano / σταθερό πρόσημο συνεχούς συνάρτησης
480 μονοτονία και ακρότατα / σύνολο τιμών / σύνθεση συναρτήσεων / ορισμός συνέχειας/ εμβαδόν / παράγωγος συνάρτησης ολοκλήρωμα
481 σύνθεση συναρτήσεων / σύνολο τιμών / ΘΜΤ / μονοτονία και ακρότατα / κυρτότητα και (νέες) γεωμετρικές συνέπειες
482 κυρτότητα και ΘΜΤ / μονοτονία / χρήση της πρότασης «κάθε συνεχής και 1-1 συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη»
483 μονοτονία / Rolle / ΘΜΤ / όριο
484 συνέπειες θεωρήματος Bolzano / όρια με κριτήριο παρεμβολής / συνέπειες ΘΜΤ / ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος / ορισμός μονοτονίας
485 κρίσιμα σημεία / άρτιες-περιττές συναρτήσεις / συνέπειες θ.Bolzano / σταθερή συνάρτηση / κοινή εφαπτομένη γρ. παραστάσεων / μονοτονία & ακρότατα
486 μονοτονία συνάρτησης ολοκλήρωμα / 1-1 συνάρτηση / Fermat / ανισοτική σχέση εμβαδού και ορισμένου ολοκληρώματος
487 συναρτησιακή σχέση και: περιττή συνάρτηση – σταθερή συνάρτηση-ορισμός παραγώγου / Fermat / ΘΜΤ
488 Fermat / αρχική συνάρτηση / 1-1 και επίλυση εξίσωσης / σύνολο τιμών / αντίστροφη συνάρτηση / ΘΜΤ / ορισμένο ολοκλήρωμα αρχικής συνάρτησης
489 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση & ορισμό παραγώγου σε αρχική συνάρτηση / ΘΜΤ / μονοτονία και ανισοτικές σχέσεις / Bolzano
490 συνάρτηση από συναρτησιακή σχέση +σημείου καμπής +Fermat με αρχική συνάρτηση/σύνολο τιμών/Bolzano/ΘΜΤ/ανισοτική σχέση ολοκληρωμάτων
491 πεδίο ορισμού / Bolzano / μονοτονία και ακρότατα / πλήθος ριζών εξίσωσης / πρόσημο συνάρτησης / κυρτότητα / πλήθος σημείων καμπής
492 αρχική συνάρτηση & ορισμός παραγώγου / συντελεστής διεύθυνσης εφαπτομένης / σύνθεση συναρτήσεων / συνέπειες ΘΜΤ σε ένωση διαστημάτων / όριο
493 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση/υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος/σύνθεση συναρτήσεων/σύνολο τιμών/όρια/μονοτονία/εφαπτομένη
494 εύρεση συνάρτησης από όριο/ισότητα συναρτήσεων /κυρτότητα / ασύμπτωτες / όριο & κρ. παρεμβολής / σύνθεση συναρτήσεων & ορισμένο ολοκλήρωμα
495 αρχική συνάρτηση / ορισμός παραγώγου / μονοτονία & ακρότατα / επίλυση εξίσωσης με χρήση ορ. μονοτονίας / υπολογισμός ορισμένου ολοκληρώματος
496 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση / συντελεστής διεύθυνσης εφαπτομένης / σύνθεση συναρτήσεων / πλήθος ριζών εξίσωσης /Bolzano
497 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση με αρχική συνάρτηση/σύνολο τιμών/πλήθος ριζών εξίσωσης/μεγιστοποίηση παραμέτρου / ΘΜΤ/όριο /Rolle
498 εύρεση συνάρτησης από συναρτησιακή σχέση με αρχική συνάρτηση / κοινές εφαπτομένες / σύνολο τιμών / Bolzano / πλήθος ριζών εξίσωσης / Rolle
499 σύνολο τιμών από συναρτησιακή σχέση / αντίστροφη συνάρτηση / κυρτότητα και εύρεση παραμέτρων / όριο / Bolzano / ΘΜΤ / τεχνικές ολοκλήρωσης
500 ορισμός μονοτονίας σε συνάρτηση ολοκλήρωμα / ανισοτική σχέση με συνάρτηση ολοκλήρωμα / σύνολο τιμών / ΘΜΤ / όριο με κριτήριο παρεμβολής
501 εύρεση τιμής συνάρτησης με επίλυση βασικής βοηθητικής εξίσωσης / ανισοτικές σχέσεις με χρήση ΘΜΤ ή κυρτότητας και εφαπτομένης

12. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
Λύση Θέματος 1ου
Καταρχήν, επειδή w 2 w 1   , άρα ο z είναι καλά ορισμένος.
i)    
4 w z 4
z 4 w z w 1 4 w zw z zw w z 4 w z 1 z 4 w
w 1 z 1
 
                  
 
Σχόλιο: z 1  , διότι αν ήταν

          

4 w
z 1 1 4 w 1 w 4 1
w 1
, άτοπο.
Τώρα,
     2 2z 4
w 2 2 z 4 2z 2 z 4 2z 2 z 4 z 4 2z 2 2z 2
z 1

                 

2
zz 4z 4z 16 4zz 4z 4z 4 z 4 z 2            .
ii)
a. z w z w z w 2 2 4         .
b.
2
2 w 4
w 4 4 w 1 4
w 1

     

. Έχουμε
2 2 2
w 4 w w w 4 w w w 4 w 4 w 4
w w
w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1
       
       
     
2 z 2 2 4     .
iii)                4 2 4 2 2 2
w 8 2 w 32Rew 80 w 8w 16 32Rew 80 w 4 32 Rew 80
Θέμα 1ο
(προτάθηκε από τους Γ.Ησίοδο / Συγκελάκη)
Δίνονται οι μιγαδικοί z, w με και
i. Να βρείτε την αριθμητική τιμή του
ii. Να δείξετε ότι:
a.
b.
iii. Να δείξετε ότι:
iv. Να βρείτε του μιγαδικούς z, w ώστε η απόσταση εικόνων τους να είναι μέγιστη.
1

13. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
   2 2
w 4 32 Rew 80
Όμως, από το βii ερώτημα:
      2 2 2 2
w 4 4 w 1 w 4 16 w 1 .
Αρκεί, λοιπόν, να αποδείξουμε ότι:
             2 2
16 w 1 32Rew 80 w 1 2Rew 5 w 1 w 1 2Rew 5
       2
w w w 1 2Rew 5
 2 2
2 w w 2Rew 4 2 2Rew 2Rew 4 4 4           , το οποίο ισχύει.
iv) Οι εικόνες των μιγαδικών z , w βρίσκονται στον κύκλο 2 2
x y 4  , αφού z w 2  (άρα, 2 2
y 4 x  ).
Έχουμε:
  2 2 22 2
2 2
z 4 z 1 z z z 4z 44 z z z 4 z z 4
z w z
z 1 z 1 z 1 z 1 z 1
        
       
    
  2
2
2 2
4 z z z 44z 4z z 4
z 1 z 1
    
  
 
 
 
2 2
2 2
4 2yi x yi 4 2x 8 2x 8
iy
2x 5 2x 5x 1 y
     
 
  
.
Μετά από πράξεις (χρησιμοποιώντας τη σχέση 2 2
y 4 x  ) προκύπτει ότι
2
2 4 x
z w 4 , x 2
2x 5
 
      
.
Αν ονομάσουμε
 
2
4 x
f x , x 2 , 2
2x 5

    
, τότε  
  
 
 2
2 x 1 x 4
f x , x 2 , 2
2x 5
  
   

.
   f x 0 x 2 , 1     
   f x 0 x 1 , 2    
Άρα, η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 . Δηλαδή, το μέτρο z w μεγιστοποιείται για x 1  . Για x 1 
είναι  2 2
y 4 1 3 y 3       . Άρα, z 1 3 i   ή z 1 3 i   και
4 z
w 1 3 i
z 1

  

ή w 1 3i  .
Άρα, οι ζητούμενοι τύποι είναι
   z , w 1 i 3 , 1 i 3    ή  1 i 3 , 1 i 3   .
Επειδή    z w 1 i 3 1 i 3 2 2i 3 4 12 4             διάμετρος κύκλου 2 2
x y 4  προκύπτει
ότι τελικά οι εικόνες των μιγαδικών z , w είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου 2 2
x y 4  .
(Παρόμοια,    z w 1 i 3 1 i 3 4       .)
2

14. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
Λύση Θέματος 2ου
Α) Για  
 
x
1
f t dt
x 1 , g x
x 1

 

. Η f συνεχής (ως παραγωγίσιμη) άρα  
x
1
f t dt παραγωγίσιμη g
παραγωγίσιμη στο  1 ,   , ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων άρα g συνεχής στο  1 ,   . Για τη
συνέχεια της g στο 0
x 1 έχουμε:
  
   
 
 
   
x
1
xx 0f συνεχής
0 f συνεχής
11
στο 1 στο 1x 1 x 1 x 1 x 1
f t dtf t dt f x
lim g x lim lim lim f 1 1 g 1
x 1 1
x 1
 
 
 
   
   
       
 
Άρα, η g είναι συνεχής στο 1 ,   .
Β) Για x 1 ,
 
       
 
x x
1 1
2
f t dt x 1 f x f t dt
g x
x 1 x 1
 
   
   
  
 
 
.
Επίσης,
Θέμα 2ο
Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι κυρτή με συνεχή πρώτη παράγωγο και
Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g, με τύπο
Σας ζητάτε να :
A. Δείξετε ότι η g συνεχής στο .
B. Βρείτε την παράγωγο της g.
C. Δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο .
D. Δείξετε ότι
3

15. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
   
 
x
1
x 1 x 1
f t dt
1
g x g 1 x 1
lim lim
x 1 x 1 


 

 
   
 
 
 
x
0 0
f συνεχής0 0
1
2 στο 1x 1 x 1
f t dt x 1 f x 1
lim lim
x 1 2 x 1 
  
   
 
  
  
   f συνεχής
στο 1x 1 x 1
f x 1 f x f 1
lim lim 0
2 2
2 x 1

 

  
   


.
Άρα,
 
     
 
x
1
2
x 1 f x f t dt
, x 1g x
x 1
0 , x 1

  
    

 
C) Επειδή η g είναι συνεχής στο 1, αρκεί να αποδείξουμε ότι  g x 0  , για κάθε x 1 , δηλαδή ότι
     
x
1
x 1 f x f t dt 0    , για κάθε x 1 .
1ος τρόπος
Θεωρώντας τη συνάρτηση
       
x
1
G x x 1 f x f t dt    , x 1 ,   .
Η G είναι παραγωγίσιμη στο  1 ,   , με
             G x f x x 1 f x f x x 1 f x          .
Όμως, f κυρτή f  στο 1 ,   , άρα για
 x 1 f x    f 1 0   f στο 1 ,    .
Άρα,
     G x x 1 f x 0    , για κάθε x 1 άρα G  στο 1 ,   .
Άρα, για
         
x
1
x 1 G x G 1 x 1 f x f t dt 0       .
2ος τρόπος
Έστω    
x
1
F x f t dt , x 1  . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι      x 1 f x F x  , για κάθε x 1 .
Από το Θ.Μ.Τ. για την F στο 1 , x   υπάρχει  ξ 1 , x :
 
     
 
 F x F 1 F x F x
F ξ f ξ
x 1 x 1 x 1

    
  
.
1 x
4

16. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
Όμως,
   
 
       
f F x
1 ξ x f ξ f x f x F x x 1 f x
x 1

        

.
D) Έστω
1 a β  . Τότε
 
 
   
   
βα a
1 1 1
β
1
f t dt f t dt f t dt
a 1
g a g β
β 1 a 1 β 1
f t dt
  
    
  

,
το οποίο ισχύει, διότι g  στο 1 ,   .
5

17. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
Λύση Θέματος 3ου
i. Αρκεί να αποδείξουμε ότι
   x 0
lim f x f 0

 , δηλαδή  x 0
lim f x 0

 .
Είναι
  xx 0 x 0
xημx
lim f x lim 0
e 1 
 

, διότι
2
x x
xxημx
e 1 e 1

 
(λόγω της σχέσης ημx x ) και ισχύει
 
 
0 222 0
x x xx 0 x 0 x 0 x 0
x
x xx 2x 0
lim lim lim 0 άρα lim 0
1e 1 e e 1e 1
   

    
 
.
Άρα, από το κριτήριο της παρεμβολής, xx 0
xημx
lim 0
e 1


.
[ Σχόλιο: Το  x 0
lim f x 0

 μπορεί να βρεθεί και με κανόνα DL. :
 
 
 
 
 
  
   
   


0
0
x xD.Lx 0 x 0 x 0
x
χ ημχχ ημχ ημχ x συνχ 0 0
lim lim lim 0
1e 1 e
e 1
]
Θέμα 3ο
Έστω η συνάρτηση με τύπο
i. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.
ii. Να βρείτε την ασύμπτωτη της στο και να δείξετε ότι έχει άπειρα κοινά σημεία με
την.
iii. Αν τότε:
a. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις
των f,g και τις ευθείες .
b. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα .
6

18. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
ii. Η f είναι συνεχής στο *
, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, η f είναι συνεχής στο 0. Άρα, η f είναι
συνεχής στο , οπότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες (αφού    0
0 0
x x
lim f x f x , x

    ).
Πλάγιες – Οριζόντιες στο  
  x
xx x x
xημx
f x e 1 ημx
λ lim lim lim 0
x x e 1        

   

, διότι x
x x
ημx 1
0
e 1 e 1
  
 
 
και το συμπέρασμα λ 0 έπεται από το κριτήριο παρεμβολής. Επίσης,
           
    
xx x x
xημx
β lim f x λχ lim f x lim 0
e 1
, διότι x x
xx ημx
e 1 e 1


 
, για κάθε x 0 .
Ισχύει
 
x xx x x
x
x x 1 1
lim lim lim 0
e 1 e
e 1
  
    
        

   
 

, άρα
xx
x
lim 0
e 1 


.
Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι β 0 . Άρα, η ευθεία y 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της
f
C στο   . Για τα κοινά σημεία: θα λύσουμε την εξίσωση
  x
xημx
f x 0 0 xημx 0 x 0 ή x κπ , κ
e 1
        

.
Άρα, υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία της μορφής  κπ , 0 κ  .
iii.α) Η συνάρτηση g είναι συνεχής, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων. Έχουμε:
   
x
x x
xe ημx
, x 0
g x e f x e 1
0 , x 0


  
 
και            x x xημx , x 0
g x f x e f x f x e 1 f x
0 , x 0
 
      

.
Οπότε    g x f x xημx , x    . Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο 0 , π   , άρα το ζητούμενο
εμβαδόν είναι
       
π π π π πxημx 0
π
0στο 0 , π
0 0 0 0 0
E g x f x dx xημx dx xημxdx x συνx dx x συνx συνx dx

  
                 
π
0
π ημx π     τετραγωνικές μονάδες.
β) Παρατηρούμε ότι:
   
 xx
x x
xe ημ xxe ημx
g x g x xημx , x 0
e 1 e 1


 
       
 
.
Άρα,
x 0  ,    g x g x xημx   .
Η σχέση όμως αυτή ισχύει και για x 0 , αφού  g 0 0 .
Άρα,
7

19. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
   g x g x xημx   , x  .
Άρα,
 

 
π
π
I g x dx     
π π π
π π π
xημx g x dx xημxdx g x dx
  
        .
Για το  
π
π
g x dx

 θέτουμε u x du dx     .
Άρα,
 
π
π
g x dx

      
π π π
π π π
g u du g u du g x dx I

 
       .
Άρα,
 
π π π
π π π
1 1
I xημxdx I I xημxdx x συνx dx
2 2  
            

 
         
 

π
π
π
π
1 1
x συνx συνxdx 2π 0 π
2 2
8

20. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
Λύση Θέματος 4ου
Α)
i. Η h είναι παραγωγίσιμη στο  0 ,   , με   1
h x 1 0 , x 0 h
x
        στο     0 , h 1 1 . Για το
ολοκλήρωμα  
1 e
1
1
I h x dx


  θέτουμε      1
u h x x h u dx h u du
     .
 Για            x 1 h u 1 h u h 1 u 1 .
 Για           x 1 e h u 1 e h e u e .
Άρα,
   
   
e
2 2e e e
1 1 1
1
1 u 1 e 41
I uh u du u 1 du 1 u du
u 2 2
    
         
    
   .
Θέμα 4ο
(προτάθηκε από τον Χ.Λαζαρίδη)
A. Έστω η συνάρτηση
i. Να αποδείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, έστω
iii. Να υπολογίσετε τα όρια και
B. Έστω η συνάρτηση
i. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο του (Α.ii) ερωτήματος.
ii. Να εξετάσετε αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο εφάπτεται και
στη γραφική της g, όπου
iii. Να υπολογίσετε το όριο όπου του Α),ii) ερωτήματος.
9

21. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
ii. Επειδή h γνησίως μονότονη, αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση lnx x 0  έχει τουλάχιστον μία ρίζα
θετική.
Εύρεση του συνόλου τιμών της h:
        
h συνεχής
xx 0
h 0 , lim h x , lim h x ,   
 
         
 
και το 0  , άρα η εξίσωση  h x 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα ρ 0 .
iii. Τα ζητούμενα όρια είναι :
 x 0 x 0 x 0
ημx ημx 1 1
lim lim lim ημx 0 0 0 0
x lnx x lnxh x  
  
 
       
   
,
   2 2x x
ημx ημx
lim lim 0
h x x lnx     
 

, διότι
     
x
2 2 2
ημx 1 1
0
x lnx x lnx
  
  
   
και το συμπέρασμα προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής.
Β)
i. Η f είναι παραγωγίσιμη στο  0 ,   , με      
2
x
f x xlnx x lnx x h x , x 0
2
          
 
.
Για      
h
x ρ h x h ρ 0 h x 0

      .
Για      
h
0 x ρ h x h ρ 0 h x 0

       .
0 ρ  
 f x  
 f x 2 1
min
Το πρόσημο της f ταυτίζεται με το πρόσημο της h . Άρα η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ρ.
ii.Είναι  
1
f 1
2

 και  f 1 1  . Άρα, η εφαπτομένη είναι
1 3
ε : y x 1 ε : y x
2 2
      . Λύνουμε το σύστημα:
  
 
                
  
 
3 3
2 2 3 2
y g x
x x11 3 1
x x x x 0 x 3x 3x 1 03 3 6 2 3 3y x
2
                    3 2
x 1 3x x 1 0 x 1 x x 1 3x x 1 0
                          2 2 2
x 1 x x 1 3x 0 x 1 x 2x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 μοναδική λύση
10

22. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
Ισχυρισμός: Η εξίσωση της εφαπτομένης της g
C στο   1 , g 1  είναι η
3
ε : y x
2
  [η απόδειξη απλή,
παίρνοντας τον τύπο της εφαπτομένης     y g 1 g 1 x 1     ]. Άρα, η απάντηση στο Bii ερώτημα είναι
ΝΑΙ.
iii.
     
 
0
0
x ρ x ρ x ρ x ρ x ρ
1
1f x h x x lnxx lnx 1xlim lim lim lim lim 1
x ρ x ρ x ρ 1 ρ
x ρ
 
 
 
    
  
     
   
.
11

23. επίλυση θεμάτων: Παύλος Τρύφων – Μάιος 2016
εκφωνήσεις-λύσεις 501 επαναληπτικών θεμάτων - ψηφιακή επεξεργασία αρχείου: Δημήτρης Παπαμικρούλης
Λύση Θέματος 5ου
Ας ονομάσουμε  z w ρ 0 ρ 0 , διότι z w 0      .
i. Έστω ότι ο w είναι φανταστικός, δηλαδή w βi, β 0  . Έχουμε: 2 2
w z zi βi βi zi     
     
 
                    
z χ yi
2 2 2 2 2
βi β zi βi β x yi i βi β xi y β x i β y β x 0 και β y 0
 2
x β , y β    .
Άρα, 2
z β β i  . Όμως,
          2 4 2 4 2 4
z w β β βi β β β β 0 β 0 , άτοπο.
ii.                       2 2
w z zi w z zi w zz zi w z z i w z z i ρ ρ z i z i 1 .
Οπότε, αν z x yi  , x , y  , τότε οι εικόνες του z κινούνται στον κύκλο κέντρου  Κ 0 , 1 και ακτίνας 1.
Δηλαδή,    2 2
x y 1 1 1   .
Έστω w a βi, a , β   . Τότε από τη σχέση
               2 2 2 2 2
w z zi α βi x y x yi i a βi x y xi y
 
2 2
a x y y
2
β x
    
  
  
.
Όμως από τη σχέση     2 2
1 x y 2y . Άρα,    
   
  
  
a y
2 3
β x
Θέμα 5ο
Έστω οι μιγαδικοί με τις ιδιότητες και Να δείξετε οτι:
i. Ο μιγαδικός w δεν είναι φανταστικός.
ii. Οι εικόνες των μιγαδικών z, w ανήκουν σε δυο τεμνόμενους κύκλους.
iii. Οι εικόνες των μιγαδικών z, w δεν ταυτίζονται.
12