Επιμέλεια: Θανάσης Κοπάδης (εκφωνήσεις) και Γιάννης Κάκανος (λύσεις) για το lisari.blogspot.gr

1. thanasiskopadis.blogspot.com
3o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
(μέχρι και συνέπειες Θ.Μ.Τ.) 04/02/2017
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο
0x , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
7 μονάδες
Α2. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού;
4 μονάδες
Α3. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου
ορισμού της;
4 μονάδες
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η
πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν οι συναρτήσεις ,f g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε και η συνάρτηση
f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει        0 0 0
    f g x f x g x
β) Ισχύει ότι   1
3 3   x x
x , για κάθε x
γ) Για κάθε 0x ισχύει ότι   1
ln  x
x
δ) Αν 1a , τότε lim 0

x
x
a
ε) Κάθε συνάρτηση f , για τη οποία ισχύει   0 f x για κάθε
   0 0, , x a x x  , είναι σταθερή στο    0 0, ,a x x 
10 μονάδες
ΘΕΜΑ B
Δίνεται η συνάρτηση  
2
1 , 0
1 , 0
  
 
  
x x
f x
x x
B1. Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f

2. thanasiskopadis.blogspot.com
8 μονάδες
B2. Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του
Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο  1,1
8 μονάδες
B3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f η οποία διέρχεται από το σημείο
5
0,
4
 
 
 
9 μονάδες
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση : f παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει:
     1 4  f x x f x x , για κάθε x και  0 1f
Γ1. Να δείξετε ότι   2
4 1  f x x x , x
7 μονάδες
Γ2. Να υπολογίσετε το όριο     lim 1

 
x
f x x για τις διάφορες τιμές του

6 μονάδες
Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f που σχηματίζει γωνία
3
4


 με τον άξονα x x
6 μονάδες
Γ4. Να δείξετε ότι υπάρχει  0 2,2 x τέτοιο, ώστε
     3 4
0 0 0 0 04 16    x f x f x x f x
6 μονάδες
ΘΕΜΑ Δ
Έστω : f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με   0 f x
για κάθε x , η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις:
●     
2
 x
f x e f x , για κάθε x

3. thanasiskopadis.blogspot.com
●  2 0 1 0  f και
●  0 ln2f
Δ1. Να δείξετε ότι   1
1
  

x
x
e
f x
e
, x
6 μονάδες
Δ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (3 μονάδες) και
στη συνέχεια ότι      2 2 1 4    f x f x f x για κάθε x (3 μονάδες)
6 μονάδες
Δ3. Να δείξετε ότι    ln 1 
  x
f x e , x
5 μονάδες
Δ4. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
4 μονάδες
β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή
της 1
f
4 μονάδες
Καλή Επιτυχία
Θανάσης Κοπάδης
Μαθηματικός

4. 3ο
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ
Επιμέλεια λύσεων: Γιάννης Κάκανος
ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 99
Α2. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 128
Α3. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 95
Α4. α) Λάθος
β) Λάθος
γ) Σωστό
δ) Σωστό
ε) Λάθος
ΘΕΜΑ Β
Β1. Για x < 0 η f συνεχής ως πολυωνυμική.
Για x > 0 η f συνεχής ως πολυωνυμική.
Για x = 0 είναι:
2
x 0 x 0
x 0 x 0
imf(x) im( x 1) 1
imf(x) im( x 1) 1
 
 
 
 
    

   
οπότε  x 0 x 0
imf(x) imf(x) f 0 1 
 
  
άρα η f συνεχής στο x0 = 1,
οπότε η f συνεχής στο R .
Β2. Η f είναι συνεχής στο  1, 1 από το Β1. ερώτημα
Για x < 0, η f παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με  f x 2x  

5. Για x > 0, η f παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με  f x 1   .
Για x = 0 είναι:
 
2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
x 0 x 0 x 0
f(x) f(0) x 1 1 x
im im im im x 0
x 0 x x
f(x) f(0) x 1 1 x
im im im 1
x 0 x x
   
  
   
  
     
     

        
 
Επειδή
x 0 x 0
f(x) f(0) f(x) f(0)
im im
x 0 x 0 
 
 

 
άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0,
οπότε η f δεν παραγωγίσιμη στο (–1, 1).
Οπότε δεν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο [–1, 1].
Β3. Έστω   0 0B x , f x το σημείο επαφής, με 0x 0 γιατί η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.
Τότε, η εξίσωση εφαπτόμενης είναι:     0 0 0y f x f x x x  
 Για 0x 0 , είναι:     2 2
0 0 0 0 0y x 1 2x x x y 2x x x 1           
Η εφαπτόμενη διέρχεται από το
5
A 0,
4
 
 
 
οπότε είναι:
2 2
0 0 0
5 1
2x 0 x 1 x
4 4
      
και επειδή 0x 0 , είναι 0
1
x
2
 
Οπότε, η εξίσωση της εφαπτόμενης που διέρχεται από το Α είναι η ευθεία:
 
5
ε : y x
4
  
 Για 0x 0 , είναι:    0 0y x 1 x x y x 1         
Η εφαπτόμενη δεν διέρχεται από το
5
A 0,
4
 
 
 
οπότε η περίπτωση αυτή απορρίπτεται.

6. ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Είναι:            f x x f x 1 4x f x x f x x 4x      
     2 f x x f x x 8x   
    2 2
f x x 4x
    
 
Οι συναρτήσεις   
2
f x x , 2
4x είναι συνεχείς στο R οπότε υπάρχει σταθερά cR τέτοια
ώστε:   
2 2
f x x 4x c   για κάθε x  R
Για x = 0, είναι:   
2
f 0 c c 1  
Οπότε,   
2 2
f x x 4x 1   για κάθε x  R
Αλλά, 2
4x 1 0  για κάθε x  R οπότε και   
2
f x x 0  για κάθε x  R ,
άρα  f x x 0  για κάθε x  R
Η f είναι συνεχής, οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο.
Επειδή  f 0 1 0  , άρα  f x x 0  για κάθε x  R
Οπότε    2 2
f x x 4x 1 f x 4x 1 x       για κάθε x  R
Γ2. Είναι:     2 2
f x 1 x 4x 1 x x x 4x 1 x            
Οπότε:    2 2
2x x x
1
im 4x 1 x im 4x 1 x im x 4 x
x  
 
           
 
x
2 2x x x x
1 1
im x 4 x im x 4
x x

  
    
            
    
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
 Αν 2 0 2      τότε     x
im f x 1 x

    

7.  Αν 2 0 2      τότε     x
im f x 1 x

    
 Αν 2 0 2      τότε
2 2 x
x x x x x
2 2 2
4x 1 4x 1 1
im im im 0
1 1 1
x 4 2x x 4 2x x 4 2
x x x

   
 
   
 
      
 
γιατί 2x x
1 1
im im 0
x x 
 
Γ3. Έστω   0 0A x , f x το σημείο επαφής.
Η εξίσωση εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σχηματίζει γωνία
3
4

  , οπότε είναι:     0
3π
f x εφ 1
4
Αλλά,    2
2 2
1 4x
f x 4x 1 1 1
2 4x 1 4x 1
      
 
Οπότε: 0 0
0 02 2
0 0
4x 4x
1 1 0 4x 0 x 0
4x 1 4x 1
        
 
Άρα,     y f 0 f 0 x 0   οπότε y 1 x y x 1      
Γ4. Α΄ τρόπος
Θεωρούμε συνάρτηση        3 4
g x 4x f x 16f x x f x   
Η g είναι στο  2, 2 συνεχής, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
Είναι:            
3 4
g 2 4 2 f 2 16f 2 2 f 2         
     24f 2 16f 2 16f 2       
 24 17 2 0   
       3 4
g 2 4 2 f 2 16f 2 2 f 2    
     24f 2 16f 2 16f 2   

8.  24 17 2 0  
Οπότε    g 2 g 2 0  
Άρα, από θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον  0x 2, 2  τέτοιο ώστε:
       3 4
0 0 0 0 0 0g x 0 4x f x 16f x x f x 0     
     3 4
0 0 0 0 04x f x 16f x x f x    
Β΄ τρόπος
Θεωρούμε συνάρτηση          4 4
g x x f x 16f x x 16 f x   
Η g είναι συνεχής στο  2, 2 , ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
Η g είναι παραγωγίσιμη στο  2, 2 , ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
.        3 4
g x 4x f x x f x 16f x    
Είναι:       
4
g 2 2 16 f 2 0     
     4
g 2 2 16 f 2 0  
Οπότε    g 2 g 2 0  
Άρα, από θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον  0x 2, 2  τέτοιο ώστε:
       3 4
0 0 0 0 0 0g x 0 4x f x 16f x x f x 0      
     3 4
0 0 0 0 04x f x 16f x x f x    

9. ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Είναι:     
 
    
 
2x x x
2
f x 1
f x e f x e e
f xf x

             
Οι συναρτήσεις
 
1
f x


, x
e είναι συνεχείς στο R οπότε υπάρχει σταθερά cR τέτοια
ώστε:
 
  

x1
e c
f x
για κάθε x  R
Για x = 0, είναι:
 
       

01
e c 2 1 c c 1
f 0
Άρα,
 
             
  
x
x x
1 1 1
e 1 f x f x 1 1
f x e 1 e 1
   
 
      
 
x x
x x
e 1 1 e
f x 1 f x 1
e 1 e 1
Δ2. Η f  είναι παραγωγίσιμη στο R με  
     
 
     
    
  
x x x xx
2x x
e e 1 e e 1e
f x 1
e 1 e 1
 
   
      
 
 
x x x x x x x x x
2 2x x
e e 1 e e e e e e e
e 1 e 1
 
 

x
2x
e
0
e 1
Άρα η f  είναι γνησίως αύξουσα στο R
Η f είναι συνεχής στο R άρα και στο  x 2, x 1 
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R άρα και στο  x 2, x 1 
Άρα από θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον  1 x 2, x 1    τέτοιο ώστε

10.  
   
   
   
1
f x 1 f x 2 f x 1 f x 2
f
x 1 x 2 3
     
   
  
Η f είναι συνεχής στο R άρα και στο  x 1, x 4 
Η f είναι παραγωγίσιμη στο R άρα και στο  x 1, x 4 
Άρα από θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον  2 x 1, x 4    τέτοιο ώστε
 
   
   
   
2
f x 4 f x 1 f x 4 f x 1
f
x 4 x 1 3
     
   
  
Είναι:    
f
1 2 1 2x 2 x 1 x 4 f f

             
1
       f x 1 f x 2 f x 4 f x 1
3 3
     
 
       f x 1 f x 2 f x 4 f x 1       
     2f x 1 f x 4 f x 2     
Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση      x
g x f x n 1 e
  
Η g είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:
     
x x
x
x x x
1 e e
g x f x 1 e 1
1 e e 1 e 1


 
      
  
x x x xx
x x x x x x
x
1
e e 1 e e 1 1e1 1 0
1e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 11
e

         
     
Οπότε  g x 0  για κάθε xR και η g είναι συνεχής, άρα η g είναι σταθερή, οπότε
υπάρχει σταθερά cR τέτοια ώστε:      x
g x c f x n 1 e c
    
Για x = 0, είναι:    0
f 0 n 1 e c c 0    

11. Άρα,        x x
f x n 1 e 0 f x n 1 e , 
      για κάθε xR
Δ4. α. Είναι:    

          
    
x x x x
x x x x x
e e e e 1 1
f x 1 f x 1 0
e 1 e 1 e 1 e 1 e 1
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R
Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Α = R, οπότε είναι:
        x x
f A im f x , im f x 0,
 
   
γιατί:     x
x x
im f x im n 1 e
 
  
Θέτουμε x
u 1 e
  οπότε  x
0
x
u im 1 e 1

  
οπότε    x u 1
im f x im nu 0
 
 
    x
x x
im f x im n 1 e
 
  
Θέτουμε x
u 1 e
  οπότε  x
0
x
u im 1 e

   
οπότε    x u
im f x im nu
 
  
β. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R άρα γνησίως μονότονη, άρα 1 – 1, οπότε ορίζεται η
1
f 
με πεδίο ορισμού    1
f
A f A 0,    
Είναι:    x x y x y
f x y n 1 e y 1 e e e e 1  
         
   y y
x n e 1 x n e 1       
Άρα,      1 x
f x n e 1 , x 0,
     