Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ – Ισχυρισμοί και Αντιπαραδείγματα
Θεωρείστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
“ O κύκλος αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης . ”
α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιο σας το γράμμα Α, αν
είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ αν είναι ψευδής.
β) Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας στο α. ερώτημα.
α) Ψ
β) Γνωρίζουμε ότι για κάθε συνάρτηση f : A→ℝ ισχύει ότι κάθε x∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα
μόνο y∈ℝ . Έτσι δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με ίδια τετμημένη.
Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με την γραφική παράσταση της f το πολύ ένα
κοινό σημείο. Άρα ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης.
“ Η γραφική παράσταση συνάρτησης f έχει με κάθε κατακόρυφη ευθεία το πολύ ένα κοινό
σημείο . ”
α) Α
β)Γνωρίζουμε ότι για κάθε συνάρτηση f : A→ℝ ισχύει ότι κάθε x∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα
μόνο y∈ℝ . Έτσι δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με ίδια τετμημένη.
Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με την γραφική παράσταση της f το πολύ ένα
κοινό σημείο.
1
02.06.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 18
Επιμέλεια: Θεόδωρος Βαρδαξής
Επιμέλεια: Θεόδωρος Βαρδαξής - Χανιά Κρήτης

“ Αν f, g δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι f ∘ g και g∘f τότε αυτές είναι υποχρεωτικά ίσες,
δηλαδή ισχύει ότι f ∘ g=g ∘f . ”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f (x)=ln x , x>0 και g(x)=√x , x≥0 ισχύει:
{ x∈Dg
g(x)∈Df
⇔ {x≥0
√x>0
⇔ {x≥0
x>0
⇔ x>0 οπότε ορίζεται η f ∘g με Df ∘g=(0,+∞) και
{ x∈Df
f (x)∈Dg
⇔ { x>0
lnx≥0
⇔ {x>0
x≥1
⇔ x≥1 οπότε ορίζεται η g∘f με Dg∘f =[1 ,+∞) .
Eπειδή Df ∘g≠Dg∘f ⇒ f ∘g≠g∘f .
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής:
“Αν f, g δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι f ∘g και g∘f τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες μεταξύ τους
δηλαδή δεν ισχύει υποχρεωτικά ότι f ∘g=g∘f ”
Τότε α) Α και β) ομοίως
“ Υπάρχουν συναρτήσεις που παρουσιάζουν μόνο μέγιστο ή μόνο ελάχιστο. ”
2

α) Α
β) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x)=−x2
+1, x∈ℝ ισχύει:
x2
≥0 ⇔ −x2
≤0 ⇔ −x2
+1≤1 ⇔ f (x)≤f (0) για κάθε x∈ℝ
οπότε παρουσιάζει στο x0=0 μέγιστο το f (0)=1 .
ή
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x)=|x−1| ,x∈ℝ ισχύει:
|x−1|≥0 ⇔f (x)≥f (1) για κάθε x∈ℝ
οπότε παρουσιάζει στο x0=1 ελάχιστο το f (1)=1 .
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής: “Υπάρχουν συναρτήσεις που παρουσιάζουν μόνο μέγιστο.” ή
“Υπάρχουν συναρτήσεις που παρουσιάζουν μόνο ελάχιστο.”
Τότε α) Α και β) επιλέγουμε την κατάλληλη συνάρτηση ώστε να αληθεύει το ζητούμενο.
Ακόμη ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί ως εξής: “Δεν υπάρχει συνάρτηση που παρουσιάζει μόνο μέγιστο.” ή
“Δεν υπάρχει συνάρτηση που παρουσιάζει μόνο ελάχιστο.” ή
“Δεν υπάρχουν συναρτήσεις που παρουσιάζουν μόνο μέγιστο ή
μόνο ελάχιστο.”
Τότε για όλους στο α) Ψ και για το β) για τους πρώτους δύο ισχυρισμούς επιλέγουμε την κατάλληλη συνάρτηση
ενώ για τον τελευταίο κάποια από τις συναρτήσεις.
“ Υπάρχουν συναρτήσεις που παρουσιάζουν και ελάχιστο και μέγιστο. ”
3

α) Α
β) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f (x)=ημx, x∈ℝ έχει ελάχιστο το -1 και μέγιστο 1.
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής: “Δεν υπάρχει συνάρτηση που παρουσιάζει και ελάχιστο και μέγιστο.”
Τότε για το α) Ψ και για το β) όμοια .
“ Μια συνάρτηση που έχει ελάχιστο ή μέγιστο το παρουσιάζει σε μοναδικό σημείο του
πεδίου ορισμού της. ”
α) Ψ
β) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f (x)=ημx, x∈ℝ έχει ελάχιστο το -1 και μέγιστο 1 τα οποία
παρουσιάζονται σε άπειρο πλήθους σημεία του ℝ . Ενδεικτικά αναφέρουμε ότι η f
λαμβάνει την μέγιστη τιμή της σε κάθε x της μορφής 2 κπ+
π
2
με κ∈ℤ .
4

“ Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν παρουσιάζουν ούτε ελάχιστο ούτε μέγιστο. ”
α) Α
β) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση f (x)=x3
, x∈ℝ είναι γνησίως
αύξουσα στο ℝ . Οπότε δεν παρουσιάζει ούτε ελάχιστο ούτε
μέγιστο.
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής: “Δεν υπάρχει συνάρτηση που να μην
παρουσιάζει ή ελάχιστο ή μέγιστο. ”
Τότε για το α) Ψ και για το β) όμοια .
“ Κάθε συνάρτηση είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισμού της. ”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x)=x2
, x∈ℝ ισχύει ότι
f (−1)=f (1)=1 αν και είναι −1≠1 . Έτσι δεν ισχύει για
οποιαδήποτε x1 , x2∈ℝ η συνεπαγωγή αν x1≠x2 τότε
f (x1)≠f ( x2) , οπότε η f δεν είναι συνάρτηση 1 – 1 .
5

ή
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x)=β , x∈ℝ ισχύει ότι f (x1)=f ( x2)=β
για οποιαδήποτε x1 , x2∈ℝ .Έτσι δεν ισχύει για οποιαδήποτε x1 , x2∈ℝ η
συνεπαγωγή αν x1≠x2 τότε f (x1)≠f ( x2) , οπότε η f δεν είναι συνάρτηση
1 – 1 .
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής: “Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισμού τους. ”
Τότε για το α) Α και για το β) όμοια .
“ Αν μια συνάρτηση είναι 1 – 1 στο πεδίο ορισμού της τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει την
γραφική της παράσταση σε ένα το πολύ σημείο.”
α) Α
β) Επειδή όταν συνάρτηση f είναι 1 – 1 οποιαδήποτε διαφορετικά
στοιχεία του πεδίου ορισμού της έχουν πάντοτε διαφορετικές
εικόνες, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με
ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει την
γραφική της παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.
“ Μια συνάρτηση γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της είναι και 1 – 1 ”
6

α) Α
β) Όταν συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, για οποιαδήποτε στοιχεία x1 , x2 του πεδίου
ορισμού της είτε ισχύει η συνεπαγωγή αν x1<x2 τότε f (x1)<f (x2) , είτε η συνεπαγωγή αν
x1<x2 τότε f (x1)>f (x2) . Έτσι διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού της έχουν πάντοτε
διαφορετικές εικόνες οπότε μια γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι πάντα και 1 – 1 .
“ Μια συνάρτηση 1 – 1 στο πεδίο ορισμού της είναι και γνησίως μονότονη”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x)=
{
x , x≤0
1
x
, x>0
, από την
γραφική της παράσταση παρατηρούμε ότι είναι 1 – 1 αφού
κάθε οριζόντια ευθεία την τέμνει σε ένα το πολύ σημείο αλλά
δεν είναι γνησίως μονότονη αφού είναι γνησίως αύξουσα στο
(−∞,0] και γνησίως φθίνουσα στο (0,+∞) .
“ Υπάρχουν συναρτήσεις που ορίζονται σε περιοχή της μορφής ( α ,x0)∪( x0 ,β) που δεν
έχουν όριο στο x0 ”
α) Α
β) Γνωρίζουμε ότι συναρτήσεις που ορίζονται σε περιοχή της μορφής ( α ,x0)∪( x0, β ) έχουν όριο
στο x0 μόνο όταν ισχύει lim
x→x0
-
f ( x)=lim
x→x0
+
f (x) .
7

Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)=
|x|
x
={−1, x<0
1 , x>0
, από την γραφική
της παράσταση παρατηρούμε ότι lim
x→0-
f (x)=−1≠1=lim
x→0+
f (x) . Έτσι δεν
έχει όριο στο x0=0 .
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής:
“Κάθε συνάρτηση που ορίζεται σε περιοχή της μορφής (α , x0 )∪( x0 ,β ) έχει όριο στο x0 .”
Τότε για το α) Ψ και για το β) όμοια.
“ Αν για συνάρτηση f υπάρχει το lim
x→x0
|f ( x)| τότε υποχρεωτικά υπάρχει και το lim
x→x0
f ( x) .”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)=
|x|
x
={−1, x<0
1 , x>0
ισχύει
ότι |f (x)|=||x|
x |=
|x|
|x|
=1 οπότε lim
x→0
|f (x)|=1 αλλά από την
γραφική της παράσταση παρατηρούμε ότι lim
x→0-
f (x)=−1≠1=lim
x→0+
f (x) .
Έτσι η f δεν έχει όριο στο x0=0 .
“ Αν για συνάρτηση f ισχύει ότι lim
x→x0
|f ( x)|=λ∈ℝ τότε υποχρεωτικά ισχύει ότι
lim
x→x0
f ( x)=λ ή −λ . ”
8

α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)=
|x|
x
={−1, x<0
1 , x>0
ισχύει
ότι |f (x)|=||x|
x |=
|x|
|x|
=1 οπότε lim
x→0
|f (x)|=1 αλλά από την
γραφική της παράσταση παρατηρούμε ότι lim
x→0-
f (x)=−1≠1=lim
x→0+
f (x) .
Έτσι η f δεν έχει όριο στο x0=0
“Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f,g που ορίζονται σε ίδια περιοχή του x0 με lim
x→x0
f ( x)=−∞
και lim
x→x0
g(x)=+∞ ισχύει lim
x→x0
(f (x)+ g( x))=0 ”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f (x)=−
1
x2
και g(x)=
1
x2
+1 με x≠0 ισχύει ότι
lim
x→0
f (x)=lim
x→0 (−
1
x2)=−∞ και lim
x→0
g(x)=lim
x→0 (1
x2
+1
)=+∞ αλλά
lim
x→0
(f (x)+g(x))=lim
x→0 (−
1
x2
+
1
x2
+1
)=lim
x→0
1=1≠0
“Κάθε συνάρτηση f : A→ℝ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Α.”
9

α) Ψ
β) Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Α όταν ισχύει
lim
x→x0
f (x)=f (x0) για κάθε x0∈A .
Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)={x2
+1, x≤0
2−x , x>0
με Df =ℝ ισχύει ότι
lim
x→0-
f (x)=lim
x→0-
(x2
+1)=1 και lim
x→0+
f (x)=lim
x→0+
(2−x)=2 οπότε δεν έχει όριο στο x0=0 . Έτσι
δεν είναι συνεχής στο 0 οπότε δεν είναι συνεχής ℝ .
ή
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x)=
{
x2
−1
x−1
, x≠1
3, x=1
με Df =ℝ ισχύει
lim
x→1
f (x)=lim
x→1
x2
−1
x−1
=lim
x→1
(x−1)( x+1)
x−1
=lim
x→1
(x+1)=2≠3=f (1)
οπότε δεν είναι συνεχής στο x0=1 άρα δεν είναι συνεχής στο ℝ .
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής: “Υπάρχουν συναρτήσεις f : A →ℝ που δεν είναι συνεχείς στο πεδίο
ορισμού τους Α.”
Τότε για το α) Α και για το β) όμοια .
“Μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α , β] με f (α)≠f ( β)
παίρνει υποχρεωτικά όλες τις τιμές ανάμεσα στα f (α) και f ( β) ”
α) Ψ
β) Θα πρέπει επιπλέον η f να είναι συνεχής στο [ α , β ] . Αν
δεν είναι συνεχής στο [ α , β ] όπως φαίνεται στο διπλανό
σχήμα δε παίρνει υποχρεωτικά όλες τις τιμές ανάμεσα στα
f (α) και f ( β) .
10

“ Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της τότε είναι και
παραγωγίσιμη σε αυτό. ”
α) Ψ
β) Η συνάρτηση f (x)=|x| είναι συνεχής στο x0=0 , αφού είναι
συνεχής στο ℝ , αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού
lim
x→0
+
f (x)−f (0)
x−0
=lim
x→0
+
x
x
=1 ενώ lim
x→0
-
f (x)−f (0)
x−0
=lim
x→0
-
−x
x
=−1 .
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί και ως εξής: “Υπάρχουν συναρτήσεις που ενώ είναι συνεχείς σε σημείο x0 του
πεδίου ορισμού τους δεν είναι παραγωγίσιμες σε αυτό . ”
Τότε για το α) Α και για το β) όμοια
“ Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της τότε δεν μπορεί
να είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. ”
α) Α
β) Γνωρίζουμε ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της
τότε είναι και συνεχής σε αυτό (Θεώρημα).
11

“ Αν συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής σε σύνολο Α=Δ1∪Δ2 και ισχύει f '(x)=0 σε
κάθε εσωτερικό σημείο του Α τότε η f είναι σταθερή στο Α. ”
ή
“Κάθε συνάρτηση f για την οποία ισχύει f '(x)=0 για κάθε x∈(α , x0)∪(x0 , β) είναι
σταθερή στο (α ,x0)∪(x0 , β) . ”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)={−1, x<0
1,x>0
, παρατηρούμε ότι ενώ είναι ορισμένη και
συνεχής στο (−∞,0)∪( 0,+∞) και ισχύει f '(x)=0 για κάθε x∈(−∞,0)∪(0,+∞) δεν
είναι σταθερή στο (−∞,0)∪( 0,+∞) .
ή αντίστοιχα:
Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)={−1, x<0
1,x>0
ισχύει f '(x)=0 για κάθε
x∈(−∞,0)∪(0 ,+∞) αλλά δεν είναι σταθερή στο (−∞,0)∪( 0,+∞) .
Σχόλιο
Με την 2η διατύπωση έχει δοθεί σε Σ – Λ ( Πανελλήνιες 2016)
“ Αν συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και
γνησίως αύξουσα στο Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει ότι f '(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο
του Δ. ”
12

α) Ψ
β) Η συνάρτηση f (x)=x3
είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο ℝ αλλά δεν
ισχύει ότι η παράγωγός της f '(x)=3 x2
είναι θετική σε όλο το ℝ αφού f '(0)=0 .
“ Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο
της συνάρτησης . ”
α) Α
β) Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι το τοπικό μέγιστο που
παρουσιάζεται στο x1 είναι μικρότερο από το τοπικό ελάχιστο
που παρουσιάζεται στο x4 .
Σχόλιο
Ο ισχυρισμός μπορεί να δοθεί ως εξής:
“Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης μπορεί να είναι μεγαλύτερο από
ένα τοπικό μέγιστο της συνάρτησης”
Τότε για το α) Α και για το β) όμοια
Σε περίπτωση που δοθεί ως “άρνηση” π.χ “ Δεν υπάρχει συνάρτηση που ένα τοπικό της μέγιστο να είναι
μικρότερο από ένα τοπικό της ελάχιστο” για το α) Ψ και για το β) όμοια .
13

“ Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι πάντοτε το μέγιστο της
συνάρτησης . ” ή
“ Το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης είναι πάντοτε το ελάχιστο της
συνάρτησης .”
α) Ψ
β) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας
συνάρτησης συνεχής στο ℝ που ενώ έχει τοπικά μέγιστα δεν
έχει μέγιστο.
(αντίστοιχα ενώ έχει τοπικά ελάχιστα δεν έχει ελάχιστο)
“ Αν συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα Δ και σε εσωτερικό σημείο x0 του Δ ισχύει
f '(x0)=0 τότε υποχρεωτικά η f παρουσιάζει στο x0 τοπικό ακρότατο . ”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)=x3
ισχύει ότι f '(0)=0 ,
αφού f '(x)=3 x2
, αλλά από την γραφική της παράσταση προκύπτει
ότι το x0=0 δεν είναι θέση τοπικού ακροτάτου.
14

“ Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι πάντοτε θέσεις τοπικών ακροτάτων . ”
α) Ψ
β) Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f (x)={ x3
, x<1
(x−2)2
, x≥1
, η f είναι
συνεχής στο ℝ και παραγωγίσιμη σε όλο το ℝ εκτός από το 1
με f '(x)={ 3 x2
, x<1
2(x−2), x>1
. Η f΄ μηδενίζεται στα σημεία 0 και 2
και έτσι η f έχει κρίσιμα σημεία τα 0, 1 και 2. Όμως όπως φαίνεται
από την γραφική της παράσταση το 0 δεν είναι θέση τοπικού
ακροτάτου.
“Αν συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ, 2 – φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ
και κυρτή στο Δ τότε υποχρεωτικά ισχύει ότι f ''(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο
του Δ. ”
α) Ψ
επειδή η f '(x)=4 x3
είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ η f (x)=x4
είναι κυρτή στο ℝ .
Όμως η f ' '(x)=12x2
δεν είναι θετική στο ℝ αφού
f ' '(0)=0 .
15

“ Αν συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα Δ και σε εσωτερικό σημείο x0 του Δ ισχύει
f ''(x0)=0 τότε υποχρεωτικά το Α(x0 ,f (x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής
παράστασης της f. ”
α) Ψ
ισχύει ότι f ' '(0)=0 ,
αφού f '(x)=4 x3
οπότε f ' '(x)=12x2
, αλλά από την γραφική
της παράσταση προκύπτει ότι το Ο(0,0) δεν είναι σημείο καμπής.
“ Αν συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ α , β] τότε το ∫
α
β
f (x)dx δίνει το εμβαδόν
Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και
τις ευθείες x=α και x=β . ”
α) Ψ
β) Για να είναι ο ισχυρισμός αληθής θα πρέπει επιπλέον να ισχύει ότι
f (x)≥0 για κάθε x∈[α , β] . Τότε πράγματι το ∫
α
β
f (x)dx
δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω.
16

“ Αν συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ α , β] τότε το ∫
α
β
c dx εκφράζει το εμβαδόν
ενός ορθογωνίου με βάση β – α και ύψος c . ”
α) Ψ
β) Για να είναι αληθής ο ισχυρισμός θα πρέπει επιπλέον να ισχύει
ότι c>0 . Πράγματι τότε το ∫
α
β
c dx εκφράζει το εμβαδόν
ορθογωνίου με βάση β – α και ύψος c .
“ Αν συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και ισχύει f (x)≥0 για κάθε x∈Δ τότε το
∫
α
β
f (x)dx , για οποιαδήποτε α και β στο Δ, δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που
περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες
x=α και x=β . ”
α) Ψ
β) Για να είναι ο ισχυρισμός αληθής θα πρέπει να ισχύει ότι α<β .
Τότε πράγματι με τις προϋποθέσεις που αναφέρονται το ∫
α
β
f (x)dx
δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω.
17

“ Αν συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και ισχύει f (x)≥0 για κάθε x∈Δ τότε για
οποιαδήποτε α, β στο Δ το ∫
α
β
f (x)dx≥0 . ”
α) Ψ
β) Για να είναι ο ισχυρισμός αληθής θα πρέπει να ισχύει ότι α<β . Τότε, με τις προϋποθέσεις που
αναφέρονται, το ∫
α
β
f (x)dx δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από την
γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x=α και x=β . Έτσι το ∫
α
β
f (x)dx
θα είναι πράγματι αριθμός μη αρνητικός.
“ Αν συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ, f (x)≥0 για κάθε x∈Δ και η συνάρτηση f
δεν είναι παντού μηδέν στο Δ τότε για οποιαδήποτε α, β στο Δ το ∫
α
β
f (x)dx>0 . ”
α) Ψ
β) Για να είναι ο ισχυρισμός αληθής θα πρέπει να ισχύει ότι α<β . Τότε, με τις προϋποθέσεις που
αναφέρονται, το ∫
α
β
f (x)dx δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από την
γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες x=α και x=β . Επειδή όμως η f δεν
είναι παντού μηδέν τελικά το εμβαδόν θα είναι αριθμός θετικός και έτσι το ∫
α
β
f (x)dx>0 .
18

Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019

Similar to Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019 (20)

More from Μάκης Χατζόπουλος

More from Μάκης Χατζόπουλος (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019