1. Βαθμός (κλίμακα του 100)
Διαγώνισμα
Υπογραφή καθηγητή
Μαθηματικά Κατ.
Εξεταζόμενο μάθημα
Β΄ Λυκείου
Τάξη
Επώνυμο
Όνομα
Κυριακή 23/02/2014
Τμήμα
Ημερομηνία
Ζαχαριάδης Γιώργος
Μάγκος Μιχάλης
Μπούρας Θάνος
Πλουμάκης Κώστας
Καθηγητές
ΘΕΜΑ Α
Α1. Δίνεται ο κύκλος ( C ): x2 + y2 = ρ2 και Α(x1 , y1) ένα σημείο του.
Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π τ ο μ έ ν η ς τ ο υ κ ύ κ λο υ ( C ) σ το Α ε ί ν α ι :
x1x + y1y = ρ2.
Μ ο ν ά δε ς 1 0
Α 2 . Ν α γ ρ ά ψ ε τ ε τ ην ε ξ ί σ ω σ η ε υ θ ε ί α ς ( ε ) π ο υ δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό σ η μ ε ίο Α ( x 0 , y 0 )
και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.
Μονάδες 5
Α 3 . Σ ε κ ά θ ε μ ί α απ ό τ ι ς π α ρ α κ ά τω π ρ ο τ ά σ ε ι ς μ ί α ε ί ν α ι η σ ω σ τ ή απ ά ν τ η ση .
Ν α γ ρ ά ψ ετ ε σ τ η ν κό λ λ α σ α ς τ ο γ ρ ά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ το ι χ ε ί σ τ η σ ω σ τ ή α π ά ν τ η ση .
i. Ο κύκλος x2 + (y - κ)2 = κ2
Α . ε φ ά π τ ε τ α ι σ το ν ά ξ ο ν α x ΄ x
Β. διέρχεται απ’ το σημείο Α(κ , 0)
Γ . ε φ ά π τ ε τ α ι σ το ν ά ξ ο ν α y ΄ y
i i . Το ε μ β α δ ό ν το υ π α ρ α λ λ ηλ ο γ ρ ά μ μ ο υ Α Β Γ Δ μ ε Α ( 0 , 0) , Β ( 3 , 1 ) , κ α ι Γ ( 5 , 3 )
είναι ίσο με:
Α. 1
Β. 8
Γ. 4
Δ. 5
Ε. 2
2 + y2 = 2
iii. Η ευθεία ε: y = x + 5 και ο κύκλος c: x
Α. τέμνονται
Β. εφάπτονται
Γ. δεν έχουν κοινά σημεία
i v . Η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ απ το μ έ ν η ς το υ κ ύ κ λο υ x 2 + y 2 = ρ 2 σ τ ο σ η μ ε ί ο το υ
Μ(ρσυνθ , ρημθ) είναι:
Α. x + y = ρ Β. συνθ x + ημθ y = ρ2 Γ. συνθ x + ημθ y = ρ
v. Οι κύκλοι C1 : (x - 2)2 + y2 = 4 και C2 : x2 - 2x + y2 = 0
Α. τέμνονται σε δύο σημεία
Β. δεν έχουν κοινά σημεία
Γ . ε φ ά π το ν τ α ι ε ξ ω τε ρ ι κ ά
Δ . ε φ ά π το ν τ α ι ε σ ω τε ρ ι κ ά
Μ ον ά δ ε ς 1 0
ΘΕΜΑ Β
Β . 1 . Δ ί ν ε τ α ι τ ρ ί γ ω ν ο μ ε κ ο ρ υφ έ ς τ α σ η μ ε ί α Α ( 2λ - 1 , 3λ + 2) , Β ( 1 , 2 ) κ α ι Γ ( 2 , 3 )
μ ε   R  2 .
Σελίδα 1 από 3

2. i . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η κ ο ρ υ φ ή Α κ ι ν ε ί τ α ι σ ε δ ύ ο η μ ι ε υ θ ε ί ε ς γ ι α κ ά θ ε   R  2 .
Μονάδες 7
i i . Α ν λ = 1 , τ ό τ ε ν α π ρ ο σ δ ιο ρ ί σ ε τ ε τ ο ν κ ύ κ λ ο π ο υ έ χ ε ι κ έ ν τ ρ ο τ ο σ η μ ε ίο Α
και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ.
Μονάδες 8
Β . 2 . i . Ν α α π ο δ ε ί ξ ετ ε ό τ ι η ε ξ ί σ ω σ η x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 2 0 = 0 π α ρ ι σ τ ά ν ε ι
κύκλο (C) του οποίου να βρείτε το κέντρο κα ι την ακτίνα.
Μονάδες 5
i i . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η ε υ θ ε ί α ( ε ) : 3 x + 4 y + 8 = 0 τ έμ ν ε ι τ ο ν κ ύ κ λ ο ( C ) σ ε δ ύ ο
σημεία Α και Β και να βρείτε το μήκος της χορδής ΑΒ.
Μ ον ά δ ε ς 5
ΘΕΜΑ Γ
Δ ί ν ο ν τ α ι τ α σ η μ ε ί α A ( - 2 , 1 ) , B ( 3 , 5 ) κ αι Γ ( 2 , 4 ) .
Γ1. Να δειχθεί ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου.
Μονάδες 3
Γ 2 . Έ ν α μ ε τ α β λ η τό σ η μ ε ί ο Μ ( x , y ) έ χ ε ι τ η ν ι δ ι ό τ η τ α ( Μ ΒΓ ) = 3 ( Α Β Γ ) .
Ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι τ ο Μ κ ι ν ε ί τ α ι σ ε δ ύ ο π α ρ ά λλ η λ ε ς ε υ θ ε ί ε ς μ ε ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς
ε1: y = x -1 και ε2: y = x + 5.
Μονάδες 6
Γ 3 . Ν α β ρ ε θ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς μ ε σ ο π α ρά λ λ ηλ η ς τ ω ν ε 1 , ε 2 .
Μονάδες 5
Γ 4 . Ν α β ρ ε θ ε ί τ ο ε μ β α δ ό ν τ ο υ τ ε τ ρ α γώ ν ο υ π ο υ ο ι δ ύ ο το υ π λ ε υ ρ έ ς
βρίσκονται στις ευθείες ε1 , ε2.
Μονάδες 5
Γ 5 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν ε ξ ί σ ω σ η τ ο υ κ ύ κ λο υ π ο υ έ χ ε ι κ έ ν τ ρ ο τ ο Α κ α ι ε φ άπ τ ε τ α ι
στην ευθεία ΒΓ.
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Έστω η εξίσωση
(c): x2  y 2  4    2 x  2 y  5 2 16 11  0
με

.
Δ1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( c) παριστάνει ίσους κύκλους για κάθε
  π ο υ δ ε ν δ ι έ ρ χ ο ν τ αι α π ό σ τ α θ ε ρ ά σ η μ ε ί α .
Μ ον ά δ ε ς 5
Δ 2 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι τ α κ έ ν τ ρ α τ ω ν κύ κ λ ω ν ( c) β ρ ί σ κ ο ν τ α ι σ ε σ τ α θ ε ρ ή
ευθεία για κάθε

.
Μ ον ά δ ε ς 5
Σελίδα 2 από 3

3. Δ3. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (c)
κάθε  
.
εφάπτονται σε δυο σταθερές ευθείες για
Μ ον ά δ ε ς 5
Δ 4 . Ν α α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι α π ό τ η ν α ρ χ ή τ ω ν α ξ ό ν ω ν δ ι έ ρ χ ο ν τα ι δ υ ο μ ό ν ο κ ύ κ λ ο ι
τ η ς μ ο ρφ ή ς ( c ) .
Μ ον ά δ ε ς 4
Δ 5 . Έ σ τ ω ( C 1 ) ο κ ύκ λ ο ς γ ι α λ = - 1 . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι το σ η μ εί ο Μ ( 5 , - 1 ) ε ί ν α ι
ε ξ ω τ ε ρ ι κό τ ο υ C 1 κ α ι ν α β ρ ε ί τ ε τ η μ έ γ ι σ τ η κ α ι τ η ν ε λ ά χ ι σ τ η α π ό σ τα σ η π ο υ
α π έ χ ε ι τ ο Μ α π ό το ν κ ύ κ λ ο ( C 1 )
Μ ον ά δ ε ς 6
Ν α έ χ ε τ ε επ ι τ υ χ ία
Επιμέλεια:
Σελίδα 3 από 3