Nick Splinis Diagwnisma prosomoiwshs 10-01-16

1. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου
Διαγώνισμα στις συναρτήσεις έως τον ορισμό της παραγώγου
Νίκος Π. Σπλήνης
1
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα  ,  .
Αν η f είναι συνεχής στο  ,  και    f f   τότε, να αποδείξετε ότι, για κάθε
αριθμό η μεταξύ των  f  και  f  υπάρχει ένας τουλάχιστον  0x ,   τέτοιος
ώστε  0f x  
Μονάδες 7
Α2. Πότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 5
Α3. Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:
1. Οι συναρτήσεις  
x
f x
x 1


και  
x
g x
x 1


είναι ίσες.
2. Η σύνθεση της g με την f , αν ορίζεται έχει τύπο     f g x f g(x)
3. Υπάρχει συνάρτηση f :  τέτοια ώστε    2 3
f x f 4x 1 0   για κάθε x
4. Η συνάρτηση  f : ,   με  f 0   , δεν παρουσιάζει ελάχιστο στο 
5. Αν  x
lim f x 5

  , τότε υπάρχει 1x 0 ώστε  1f x 0
Μονάδες 10
Α4. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Μονάδες 3
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση x
f(x) e x 1  
Β1. Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη της f (μονάδες 5) και να βρείτε το πεδίο
ορισμού της 1
f 
(μονάδες 4).
Μονάδες 9
Β2. Να λύσετε την εξίσωση    2
f x 1 f 5(x 1)  
Μονάδες 4
Β3. Να λύσετε την ανίσωση    x 1
f e f 2

Μονάδες 4
Β4. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f , τέμνει τον x x άξονα σε ακριβώς
ένα σημείο με τετμημένη  0x 2, 1  
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :[0, )  με f(0) 0 και f(1) 2 για
την οποία ισχύει:
2
lnx
2 2 x
f (x) x 2xf(x) e   , για κάθε x 0 .

2. Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου
Διαγώνισμα στις συναρτήσεις έως τον ορισμό της παραγώγου
Νίκος Π. Σπλήνης
2
Γ1. Να δείξετε ότι:
i. αν f συνεχής στο (0, ) τότε,
ln x
x
e x, x 0f(x)
0 , x 0
   
 
Μονάδες 6
ii. η f είναι συνεχής στο x 0
Μονάδες 3
iii. η εξίσωση lnx
f(3) 2 f(e) 2
2016
ln x e 2
 
 

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο  1,2 .
Μονάδες
6
Γ2. Να λύσετε την εξίσωση 20 31 47
f(x) f(x ) f(x ) f(x )  
Μονάδες 5
Γ3. Να υπολογίσετε το όριο
2 2
2h 0
f(1 2h ) f(1 3h ) 4
lim
h
   
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συναρτήσεις f :  και 2x
g(x) e , το όριο
2
2 2
t
x
lim t (f(x) 2x )t 2 t
2
     
 
Δ1. Να δείξετε ότι 2
f(x) 3x 
Μονάδες 5
Δ2. Να δείξετε ότι, η εξίσωση  x 1 ln 3x    έχει μια τουλάχιστον ρίζα
στο
1
1,
3
 
  
 
.
Μονάδες 3
Δ3. Να δείξετε ότι,
i. δεν υπάρχει σημείο κοινό των f gC ,C που να δέχονται κοινή εφαπτομένη
Μονάδες 4
ii. υπάρχει κοινή εφαπτομένη των f gC ,C
Μονάδες 6
Δ4. Δίνεται η συνάρτηση h(x) f(x) g(x) 
i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται στο ( ,0) .
Μονάδες 3
ii. Αν η 1
h
είναι παραγωγίσιμη στο  h  , να βρείτε την εξίσωση της
εφαπτομένης της 1
h
C  στο σημείο με τετμημένη 1.
Μονάδες 4