Μάκης Χατζόπουλος, profile picture
Uploaded byΜάκης Χατζόπουλος
46,276 views

Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17

Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος για το lisari

Embed presentation

Downloaded 50 times
1 / 139
2 / 139
3 / 139
4 / 139
5 / 139
6 / 139
7 / 139
8 / 139
9 / 139
10 / 139
11 / 139
12 / 139
13 / 139
14 / 139
15 / 139
16 / 139
17 / 139
18 / 139
19 / 139
20 / 139
21 / 139
22 / 139
23 / 139
24 / 139
25 / 139
26 / 139
27 / 139
28 / 139
29 / 139
30 / 139
31 / 139
32 / 139
33 / 139
34 / 139
35 / 139
36 / 139
37 / 139
38 / 139
39 / 139
40 / 139
41 / 139
42 / 139
43 / 139
44 / 139
45 / 139
46 / 139
47 / 139
48 / 139
49 / 139
50 / 139
51 / 139
52 / 139
53 / 139
54 / 139
55 / 139
56 / 139
57 / 139
58 / 139
59 / 139
60 / 139
61 / 139
62 / 139
63 / 139
64 / 139
65 / 139
66 / 139
67 / 139
68 / 139
69 / 139
70 / 139
71 / 139
72 / 139
73 / 139
74 / 139
75 / 139
76 / 139
77 / 139
78 / 139
79 / 139
80 / 139
81 / 139
82 / 139
83 / 139
84 / 139
85 / 139
86 / 139
87 / 139
88 / 139
89 / 139
90 / 139
91 / 139
92 / 139
93 / 139
94 / 139
95 / 139
96 / 139
97 / 139
98 / 139
99 / 139
100 / 139
101 / 139
102 / 139
103 / 139
104 / 139
105 / 139
106 / 139
107 / 139
108 / 139
109 / 139
110 / 139
111 / 139
112 / 139
113 / 139
114 / 139
115 / 139
116 / 139
117 / 139
118 / 139
119 / 139
120 / 139
121 / 139
122 / 139
123 / 139
124 / 139
125 / 139
126 / 139
127 / 139
128 / 139
129 / 139
130 / 139
131 / 139
132 / 139
133 / 139
134 / 139
135 / 139
136 / 139
137 / 139
138 / 139
139 / 139
Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής ............................................................................................9 Ε.2 Σύνολα .......................................................................................................................13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o: Πιθανότητες 1.1 Δειγματικός Χώρος - Ενδεχόμενα ................................................................................20 1.2 Έννοια της Πιθανότητας .............................................................................................29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους .................................................................................43 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών ..................................................................................54 2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού .........................................................................61 2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ......................................................................................69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o: Εξισώσεις 3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού ................................................................................................79 3.2 Η Εξίσωση xν = α .........................................................................................................86 3.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού ................................................................................................88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4o: Ανισώσεις 4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού ..............................................................................................101 4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού ..............................................................................................106 4.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο .................................................................115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5o: Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες ................................................................................................................121 5.2 Αριθμητική Πρόοδος..................................................................................................125 5.3 Γεωμετρική Πρόοδος .................................................................................................132 5.4 Ανατοκισμός - Ίσες Καταθέσεις.................................................................................141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6o: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης .........................................................................................145 6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης .............................................................................152 6.3 Η Συνάρτηση f (x) = αx + β.......................................................................................159 6.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης ....................................................168 6.5 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης .......................................................175 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7o: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 7.1 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2 ..........................................................................188 7.2 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = α x ..........................................................................194 7.3 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2 + βx + γ ............................................................199 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ .................................................................................... 207 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ........................................................ 213 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποί- ες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέ- στερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο. Η συνεπαγωγή Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Είναι γνωστό ότι: Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι: Αν ο ισχυρισμός «α = β» είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α β2 2 = » θα είναι αληθής. Γι’ αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α β= » συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α β2 2 = » και γρά- φουμε: α = β ⇒ α2 = β2 . Γενικά: Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q⇒ . Ο ισχυρισμός «P Q⇒ » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής(1) . (1) Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» να είναι αληθής και στην περίπτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ κεΦαΛαιο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεω- ρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου αυτού των Μαθη- ματικών αποτέλεσε η γόνιμη αλληλογραφία που αναπτύχθηκε ανάμεσα στους Pascal και Fermat το 17ο αιώνα με αφορμή διάφορα προβλήματα που προέκυψαν από την ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια. Μολονότι όμως τα τυχερά παιχνίδια ήταν ευρέως διαδεδομένα και στους Αρχαίους Έλληνες και στους Ρωμαίους, η Θεωρία των Πιθανοτήτων δεν αναπτύχθηκε κατά την αρχαιότητα, όπως συνέβη με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, αλλά πολύ αργότερα, το 16ο και 17ο αιώνα μ.Χ. Γι' αυτό πολλοί απορρίπτουν την άποψη ότι η Θεωρία των Πιθανοτήτων οφείλει τη γένεσή της στην ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια και την αποδίδουν στις ανάγκες να λυθούν προβλήματα που παρουσιάστηκαν με την ανάπτυξη του εμπορίου, των ασφαλίσεων, της συλλογής εσόδων του κράτους κτλ. Η ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων οφείλεται επί- σης και στις ανάγκες των Φυσικών Επιστημών όπως η εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλ- μάτων σε αστρονομικές παρατηρήσεις. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε ακόμα περισσότερο το 18ο αιώνα με τις αξιοσημείωτες εργασίες των μαθηματικών Bernoulli, Moivre, Laplace και Gauss. Ιδιαίτερα ο Laplace με τις εργασίες του άνοιξε μια καινούργια εποχή για τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Γιατί ο Laplace δεν περιορίζεται μόνο στη μαθηματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών, αλλά εφαρμόζει τα συμπεράσματά του και σε ένα πλήθος από επιστημονικά και πρακτικά προβλήματα. Έτσι, με αφορμή τη μελέτη των σφαλμάτων πιθανοτήτεσ Κεφάλαιο 1ο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
2. OI ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ56 ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ • Έστω α > β . Τότε, από τη (*), για α1 = α2 = ... = αν = α > 0 και β1 = β2 = ... = βν = β > 0, προκύπτει ότι: αν > βν . • Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν > βν και α ≤ β. Τότε: 9 αν ήταν α = β , από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε αν = βν (άτοπο), ενώ 9 αν ήταν α < β , θα είχαμε αν < βν (άτοπο). Άρα, α > β . Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι: Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α = β ⇔ αν = βν ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ • Έστω α = β. Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προη- γουμένως, ότι αν = βν . • Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν = βν και α ≠ β . Τότε: 9 αν ήταν α > β , λόγω της (4), θα είχαμε αν > βν (άτοπο), ενώ 9 αν ήταν α < β, λόγω της (4), θα είχαμε αν < βν (άτοπο). Άρα, α = β. ΣΧΟΛΙAΣΧΟΛΙA 1ο Σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσου- με κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με την αφαίρεση. Για παράδειγμα, είναι 10 > 6 και 7 > 2, αλλά 10 ‒ 7 < 6 ‒ 2. 2ο Επίσης, σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς με θε- τικούς, όμως, όρους τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τη διαίρεση. Για παράδειγμα, είναι 24 > 10 και 6 > 2, αλλά 24 6 10 2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
2. ΡΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚ ΑΡΙΘΜ 71 Για παράδειγμα: 2 266 , ενώ ( ) .− = − =2 2 266 Ισχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας: Αν α, β ≥ 0, τότε: 1. α β α βν ν ν⋅ = ⋅ 2. α β α β ν ν ν= (εφόσον β ≠ 0) 3. α ανµ µ ν = ⋅ 4. α αµ ρν ρ µν⋅⋅ = ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Έχουμε: α β α β α β α βν ν ν ν ν ν ν ν ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅( ) ( ) ⇔ ⋅ = ⋅( ) ( )α β α βν ν ν ν ⇔ ⋅ = ⋅α β α β, που ισχύει. 2. Αποδεικνύεται όπως και η 1. 3. Έχουμε: α α α ανµ µ ν νµ µ ν µ ν µ ν = ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ( ) ⇔ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =( )α ανµ µ ν ⇔ =( ) ,α αν ν που ισχύει. 4. Έχουμε: α α α αµ ρν ρ µ ρρν µ ρρν µν⋅⋅ ⋅ = = =( ) . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ Πρόσημο γινομένου Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = Α(x) . Β(x) . … . Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες Α(x), Β(x) , … , Φ(x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx2 + βx + γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x∈ℝ το πρόσημο του γινομένου P x x x x x x( ) ( )( )( ).= − + − + +1 6 2 12 2 ΛΥΣΗΛΥΣΗ Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής: 9 Επειδή x x− ≥ ⇔ ≥1 0 1, το x ‒ 1 είναι θετικό για x > 1, μηδέν για x = 1 και αρνητικό για x < 1. 9 Επειδή x x x x x2 6 0 3 2 0 3+ − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ −( )( ) ή x 2, το x2 + x ‒ 6 είναι θετικό για x < ‒3 και για x > 2 , μηδέν για x = ‒3 και για x = 2 και αρνητικό για ‒3 < x < 2. 9 Επειδή το 2x2 + x +1 έχει διακρίνουσα Δ = 1 ‒ 8 = ‒7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε x∈ℝ. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων. x ‒ ‒3 1 2 + x‒1 ‒ ‒ 0 + + x2 +x‒6 + 0 ‒ ‒ 0 + 2x2 +x+1 + + + + P(x) ‒ 0 + 0 ‒ 0 + Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για ‒3 < x < 1 και για x > 2, ενώ είναι αρνητικό για x < ‒3 και για 1 < x < 2. Τέλος είναι μηδέν για x = ‒3, για x = 1 και για x = 2. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
.2 ΑΡΙΘΜ ΤΙΚ ΠΡΟΟ Ο 127 Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου Ας θεωρήσουμε την αριθμητική πρόοδο 1, 2, 3, 4, ... και ας βρούμε το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της S100 =1+2+3+...+98+99+100 Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Γράφουμε δυο φορές το παραπάνω άθροισμα, αλλά με αντίθετη τη σειρά των προσθετέ- ων και προσθέτουμε τις δυο ισότητες κατά μέλη: S100 1 2 3 98 99 100= + + + + + +... S100 100 99 98 3 2 1= + + + + + +... 2 1 100 2 99 3 98 98 3 99 2 100 1100S = + + + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ή 2 101 101 101 101 101 101100S = + + + + + +... ή 2 100 101100S = ⋅ , άρα S100 100 101 2 5050= ⋅ = Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, θα απο- δείξουμε ότι: Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (αν ) με διαφορά ω είναι Sν ν ν α α= + 2 1( ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ*ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Έχουμε: Sν α α ω α ω α ν ω α ν ω= + + + + + + + − + + −1 1 1 1 12 2 1( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ] και Sν ν ν ν ν να α ω α ω α ν ω α ν ω= + − + − + + − − + − −( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ]2 2 1 Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε: 2 1 1 1 1 1Sν ν ν ν ν να α α α α α α α α α= + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ή 2 1Sν νν α α= +( ). Άρα Sν ν ν α α= + 2 1( ). Επειδή α α ν ων = + −1 1( ) , ο τύπος Sν ν ν α α= + 2 1( ) γράφεται: Sν ν α ν ω= + − 2 2 11[ ( ) ] lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
133. Γ Μ ΤΡΙΚ ΠΡΟΟ Ο Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, ‒6, 12, ‒24, ... η οποία έχει α1 = 3 και λ = − = − 6 3 2 ο νos = όρος της είναι αν ν = ⋅ − − 3 2 1 ( ) . Επομένως ο 5os = όρος της είναι α5 = 3 . (‒2)4 = 48, ο δέκατος όρος της είναι α10 = 3 . (‒2)9 = ‒1536 κτλ. Γεωμετρικός μέσος Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει β α λ= και γ β λ= , επομένως β α γ β = ή β αγ2 = Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει β2 = αγ, τότε έχουμε β α γ β = , που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β2 = αγ. Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου Ας θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, ... στην οποία είναι α1 =1 και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S7 των 7 πρώτων όρων της. Έχουμε S7 1 3 9 27 81 243 729= + + + + + + (1) Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ = 3 και έχουμε 3 3 9 27 81 243 729 21877S = + + + + + + (2) Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε: 3 2187 17 7S S− = − 2 21867S S7 1093 Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα απο- δείξουμε ότι: Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν ) με λόγο λ≠1 είναι Sν ν α λ λ = − − 1 1 1 . . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
5.4 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ - ΙΣΕΣ ΚΑΤΑΘΕΣΕΙΣ Με τη βοήθεια των γεωμετρικών προόδων μπορούμε να λύσουμε προβλήματα οικονομι- κής φύσεως, που συχνά παρουσιάζονται στις συναλλαγές με πιστωτικούς οργανισμούς. Ανατοκισμός ΠΡΟΒΛΗΜΑΠΡΟΒΛΗΜΑ Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προ- κύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του νoυ = χρόνου. (Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού.) ΛΥΣΗΛΥΣΗ Στο τέλος του 1oυ = χρόνου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο ε α 100 ⋅ και μαζί με τον τόκο θα γίνει .α α ε α α ε 1 100 1 100 = + = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Στο τέλος του 2oυ = χρόνου το κεφάλαιο α1 θα δώσει τόκο ε α 100 1⋅ και μαζί με τον τόκο θα γίνει α α ε α α ε 2 1 1 1 100 1 100 = + = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ . Στο τέλος του 3oυ = χρόνου το κεφάλαιο α2 μαζί με τους τόκους θα γίνει α α ε 3 2 1 100 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ κτλ. και γενικά στο τέλος του νoυ = χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει α α ε ν ν= + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟−1 1 100 . Παρατηρούμε ότι τα α1 , α2 , α3 , …, αν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με α α ε και λ ε 1 1 100 1 100 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + . Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του νoυ = όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του νoυ = χρόνου το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίνει α α ε ε ν ν = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 1 100 1 100 1 ή α α ε ν ν = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟1 100 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
. Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ154 Απόσταση σημείων Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Α(x1 ,y1 ) και B(x2 ,y2 ) δύο ση- μεία αυτού. Θα δείξουμε ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο: ( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 1 2 2 1 2 ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το ορθογώνιο τρίγωνο K AB του διπλανού σχήματος έχουμε: ( ) ( ) ( )AB KA KB2 2 2 = + = − + −x x y y2 1 2 2 1 2 = − + −( ) ( )x x y y2 1 2 2 1 2 οπότε: ( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 1 2 2 1 2 Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που η ΑΒ είναι παράλληλη με τον άξονα x′x (Σχήμα γ′) ή παράλληλη με τον άξονα y′y (Σχήμα δ′). B(x ,y ) xx y y y 1 x2 2 2 2 Α(x ,y )1 1 Κ(x ,y )2 11 O xx y y = y 1 x2 Α(x ,y )1 1 B(x ,y )2 2 1 2 Σχήμα γ´ Σχήμα δ´ x y x x1 2 Α(x ,y )1 1 B(x ,y )2 22 y 1 y =OO Για παράδειγμα, αν Α(3,1), Β(3,5) και Γ(‒1,1) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου AΒΓ, τότε θα είναι: ( ) ( ) ( )AB = − + − = =3 3 5 1 4 42 2 2 ( ) ( ) ( )AΓ = − − + − = =1 3 1 1 4 42 2 2 ( ) ( ) ( ) .ΒΓ = − − + − = + =1 3 1 5 4 4 4 22 2 2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
. Α ΙΚ ΟΙ Τ ΑΡΤ160 Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + β Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x) = 0,5x + 1. Όπως πρακτικά διαπιστώσαμε στο Γυμνάσιο, η γραφική παράσταση της ƒ είναι ευθεία γραμμή με εξίσωση y = 0,5x+1 (Σχήμα). x y ω A(–2,0) O(0,0) B(0,1) y = 0,5x + 1 Η ευθεία αυτή: 9 Τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(‒2,0), αφού για y = 0 βρίσκουμε x = ‒2, και τον άξονα y′y στο σημείο Β(0,1), αφού για x = 0 βρίσκουμε y = 1 και 9 Έχει κλίση: λ εϕω= = = = ( ) ( ) , ΟΒ ΟΑ 1 2 0 5. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η κλίση λ της ευθείας y = 0,5x+1 είναι ίση με το συντελεστή του x. Γενικά, όπως θα αποδείξουμε στη Β′ Λυκείου, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = αx + β είναι μία ευθεία, με εξίσωση y = αx + β, η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο Β(0,β) και έχει κλίση λ = α . Είναι φανερό ότι: • αν α > 0, τότε 0° < ω < 90° • αν α < 0, τότε 90° < ω < 180° • αν α = 0, τότε ω = 0°. Στην περίπτωση που είναι α = 0, η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f (x) = β και λέγεται σταθερή συνάρτηση, διότι η τιμή της είναι η ίδια για κάθε x∈ℝ. Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία A(x1 ,y1 ) και B(x2 ,y2 ) της ευθείας y = αx + β. x y ω ω ε A(x ,y )1 1 K(x ,y )2 1 B(x ,y )2 2 O lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f ( ) .x x= +1 Επειδή f ( ) , , ,x x x x x = − + < + ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 1 0 1 0 αν αν η γραφική παράσταση της συνάρτη- σης f ( ) ,x x= +1 θα αποτελείται από τις ημιευθείες 9 y x= − +1, με x ≤ 0 και 9 y x= +1, με x ≥ 0, που έχουν αρχή το σημείο 1 του άξο- να y′y και είναι παράλληλες με τις δι- χοτόμους των γωνιών x'Ôy και xÔy από τις οποίες, όπως είναι γνωστό, αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( )x x= (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( )x x= κατακόρυφα(1) και προς τα πάνω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f ( ) .x x= +1 Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f ( ) ( ) ,x x= +ϕ 1 για κάθε x∈ℝ, που σημαίνει ότι για κάθε x∈ℝ το ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο του φ(x). Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ, με: f ( ) ( )x x c= +ϕ , όπου c > 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα α'). (1) Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα y'y. y y = xx´ O 1 1 1 1 1 1 |x| + 1 y =|x| lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μονοτονία συνάρτησης Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης T = ƒ(t) που εκφρά- ζει τη θερμοκρασία Τ ενός τόπου συναρτήσει του χρόνου t κατά το χρονικό διάστημα από τα μεσάνυχτα μιας ημέρας (t = 0) μέχρι τα μεσάνυχτα της επόμενης μέρας (t = 24). α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [4,16] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας ανέρχεται. O 4 16 24 3 5 11 t(h) T=f (t) T( C)o Ο 4 1 2 t1 2t 16 24 t(h) T=f (t) f (t ) f (t ) o T( C) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f (x) =1 1 x x α x Η συνάρτηση (x) = 1 1 x x α x Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση g x x ( ) 1 . Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ* = (‒∞,0)∪(0, +∞) και είναι περιττή, διότι για κάθε x∈ℝ* ισχύει: g x x g x( ) ( )− = − = − 1 Επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γι’ αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα (0, +∞). Έχουμε λοιπόν: • Μονοτονία: Έστω τυχαία x x1 2 0, ( , )∈ +∞ με x x1 2. Τότε θα ισχύει 1 1 1 2x x , οπότε θα έχουμε g x g x( ) ( ).1 2 Άρα η συνάρτηση g x x ( ) 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞). • Πρόσημο των τιμών της : Για κάθε x∈(0,+∞) ισχύει g x x ( ) .= > 1 0 Επομένως, στο διάστημα (0, +∞) η γραφική παράσταση της g θα βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x. • Συμπεριφορά της για μικρές τιμές του x: Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για "πολύ μικρές" τιμές του x: Παρατηρούμε ότι, καθώς το x μειώνεται απεριόριστα και παίρνει τιμές οσοδήποτε κοντά στο 0 ή, όπως λέμε, τείνει στο 0 , το1 1 x x α x αυξάνεται απεριόριστα και τείνει στο + . Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x "πλησιάζει" το 0 από τα δεξιά, η γραφική παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα Oy. Γι’αυτό ο άξονας y′y λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα πάνω. x g(x) = 10 –10 10 –20 10 –50 10 –1000 10 1000 10 –100 10 10 10 20 10 50 10 100 ....... ....... →0 → ∞+ 1 x lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 Α ΛΥΚΕΙΟΥ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωµετρία 9 1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας....................................................... 10 1.2 Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωµετρίας.......................... 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα 15 2.1 Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες ......................................................................... 16 2.2 Το επίπεδο.......................................................................................................... 16 2.3 Η ευθεία.............................................................................................................. 17 2.4 Η ηµιευθεία ........................................................................................................ 17 2.5 Το ευθύγραµµο τµήµα....................................................................................... 17 2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο.................................................................................. 18 2.7 Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων ................................................................... 18 2.8 Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων.......................................................... 19 2.9 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων............................... 20 2.10 Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο................................................................... 20 2.11 Ηµιεπίπεδα ......................................................................................................... 21 2.12 Η γωνία............................................................................................................... 22 2.13 Σύγκριση γωνιών ............................................................................................... 22 2.14 Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία ................................................................ 24 2.15 Πράξεις µεταξύ γωνιών...................................................................................... 25 2.16 Απλές σχέσεις γωνιών........................................................................................ 25 2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου......................................................................... 28 2.18 Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου ..................................... 30 2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας .................................................................................... 33 2.20 Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου................................. 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων ................................................................................ 40 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 41 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου ................................................................... 49 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων......................................................... 49 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος.................................................................. 55 3.8 Κεντρική συµµετρία............................................................................................ 56 3.9 Αξονική συµµετρία............................................................................................. 57 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας .............................................................. 59 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών........................................................... 60 3.12 Τριγωνική ανισότητα.......................................................................................... 60 3.13 Κάθετες και πλάγιες............................................................................................ 64 3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου ................................................................... 66 3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα ......................................................................................... 68 3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων .............................................................................. 69 3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές ......................................................................... 73 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων........................................................................... 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79 4.1 Εισαγωγή............................................................................................................ 80 4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα ..................................................... 80 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας....................................................................... 83 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες......................................................................... 84 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου........................................................................ 85 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου.............................................................................. 88 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες................................................................................. 89 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου .................................................................. 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 101 5.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 102 5.2 Παραλληλόγραµµα.......................................................................................... 102 5.3 Ορθογώνιο....................................................................................................... 105 5.4 Ρόµβος.............................................................................................................. 106 5.5 Τετράγωνο........................................................................................................ 107 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα................................................................................... 109 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου...................................................................................... 112 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου................................................................................. 113 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου......................................................... 114 5.10 Τραπέζιο ........................................................................................................... 117 5.11 Ισοσκελές τραπέζιο........................................................................................... 118 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου................................................... 121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα 127 6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί....................................................................................... 128 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης........................................... 128 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης ....................................................................... 129 6.4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία ........................................................ 131 6.5 Το εγγεγραµένο τετράπλευρο.......................................................................... 135 6.6 Το εγγράψιµο τετράπλευρο ............................................................................. 136 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων........................................................... 140 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες 147 7.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 148 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη ............................................ 148 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων ...................................................................... 148 7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες................................................... 150 7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος....................................................................... 151 7.6 ∆ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο .......... 151 7.7 Θεώρηµα του Θαλή......................................................................................... 154 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου............................................................. 160 7.9 Απολλώνιος Κύκλος........................................................................................ 163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα 171 8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα...........................................................................172 8.2 Κριτήρια οµοιότητας.................................................................................................... 173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 183 9.1 Ορθές προβολές .............................................................................................. 184 9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρηµα................................................................................. 184 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές................................................................................... 188 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος....................................................... 190 9.5 Θεωρήµατα ∆ιαµέσων ..................................................................................... 196 9.6 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι ............................................................................... 197 9.7 Τέµνουσες κύκλου........................................................................................... 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά 209 10.1 Πολυγωνικά χωρία .......................................................................................... 210 10.2 Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα.......... 210 10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων................................................... 211 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου ............................................................ 217 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων........................................... 220 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του.......................................... 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 229 11.1 Ορισµός κανονικού πολυγώνου ..................................................................... 230 11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων ................................................ 230 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους ........ 235 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα ....................... 240 11.5 Μήκος τόξου .................................................................................................... 241 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα............................ 243 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος .......................................... 243 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου.................................................................................... 246 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 255 12.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 256 12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του................................................. 257 12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων ............................................................. 259 12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή.................................. 263 12.5 Γωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες....................................................... 267 12.6 Απόσταση σηµείου από επίπεδο - Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων.............................................................. 272 12.7 ∆ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα ............... 275 12.8 Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο - Γωνία ευθείας και επιπέδου ............................................................................. 280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα 285 13.1 Περί πολυέδρων .............................................................................................. 286 13.2 Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος................................................................ 288 13.3 Παραλληλεπίπεδο - κύβος .............................................................................. 289 13.4 Μέτρηση πρίσµατος ......................................................................................... 290 13.5 Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας ..................................................................... 296 13.6 Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο..................................................................... 298 13.7 Μέτρηση πυραµίδας ........................................................................................ 298 13.8 Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας.................................................... 301 13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας................................................... 301 13.10 Στερεά εκ περιστροφής .................................................................................... 304 13.11 Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου ..................................................................... 304 13.12 Μέτρηση κυλίνδρου ........................................................................................ 305 13.13 Ορισµός και στοιχεία κώνου............................................................................ 307 13.14 Μέτρηση του κώνου ........................................................................................ 307 13.15 Κόλουρος κώνος.............................................................................................. 309 13.16 Ορισµός και στοιχεία σφαίρας ......................................................................... 311 13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα................................................. 312 13.18 Μέτρηση σφαίρας ............................................................................................ 313 13.19 Κανονικά πολύεδρα......................................................................................... 318 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A΄................................................................................................................... 323 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ ................................................................................................................... 329 ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ............................................................................................ 332 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ................................................................................................................ 349 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ.................................................................................................... 352 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ..................................................................................................................... 355 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 TΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι η εμπέδωση και η συστηματική μελέτη των πρωταρχικών εννοιών: σημείο, ευθεία, επίπεδο καθώς και των βασικών γεωμετρικών σχημάτων: ευθύγραμ- μο τμήμα, γωνία, κύκλος, επίπεδο ευθύγραμμο σχήμα. Όπως είδαμε, οι πρωταρχικές έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο δίνονται χωρίς ορισμό και με βάση αυτές ορίζονται τα βασικά γεω- μετρικά σχήματα, τα οποία θα μελετήσουμε στη συνέχεια. Andrea Mantegna (Ιταλός, περίπου 1431 - 1506). Οροφή από την "Camera degli Sposi" (Δωμάτιο των Συζύγων), τοιχογραφία από το Δουκικό Παλάτι, στη Μάντοβα της Ιταλίας. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
41 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευ- ράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμ- βολίζονται αντίστοιχα με υα, υβ και υγ. Στο σχ.10 το ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ. Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγο- νται δευτερεύοντα στοιχεία του. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρί- γωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτί- ζονται. Συνεπώς: • Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. • Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρί- σκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες. Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξα- σφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους. Οι προτάσεις αυτές αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τρι- γώνων. 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο – ΠΓΠ) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΑΓ = ΑʹΓʹ και Â = Âʹ (σχ.11). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑʹΒʹΓʹ, ώστε το σημείο Αʹ να ταυτιστεί με το Α και η ημιευθεία ΑʹΒʹ να ταυτιστεί με την ΑΒ. Επειδή Â = Âʹ και η ημιευθεία ΑʹΓʹ θα ταυτισθεί με την ΑΓ. Τότε, αφού ΑΒ = ΑʹΒʹ και ΑΓ = ΑʹΓʹ, το σημείο Βʹ ταυτίζεται με το Β και το Γʹ με το Γ. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν, άρα είναι ίσα. Σχήµα 8 A B Γ Μ μα Σχήµα 9 A B Γ Δ δα Σχήµα 10 (α) υα A B Γ Δ (β) A BΔ υα Γ ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΠΓΠ σημαί- νει πλευρά, γωνία, πλευρά. A B Γ Aʹ Bʹ Γʹ Σχήµα 11 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
44 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Με τη βοήθεια του 1ου κριτηρίου αποδεικνύουμε το 2ο και 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων. Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ (2ο Κριτήριο – ΓΠΓ) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.16) έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, B̂ = B̂ ʹ και Γ̂ = Γ̂ ʹ. Θα αποδείξουμε ότι έχουν και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε υπάρχει σημείο Δ στην ΑΒ, ώστε να είναι ΒΔ = ΒʹΑʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΒʹΑʹ και B̂ = B̂ ʹ, επομένως (ΠΓΠ) είναι ίσα, οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ ʹ. Αλλά Γ̂ ʹ = Γ̂ , οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ που είναι άτοπο, γιατί το Δ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας ΑΓ̂ Β και επομένως ΒΓ̂ Δ < Γ̂ . Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, άρα ΑΒ =ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα, λοι- πόν, ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΑΒ = ΑʹΒʹ και B̂ = B̂ ʹ, άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα. * Σημείωση: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με τη μέθοδο της μετατόπισης, όπως το θεώρημα I (σελ. 41). 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Η ισότητα δύο τριγώνων εξασφαλίζεται και από την ισότητα των τριών πλευρών τους, μία προς μία, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ (3o Κριτήριο – ΠΠΠ) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΓΑ = ΓʹΑʹ (σχ.17). Αρκεί να αποδείξουμε ότι Â = Âʹ. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια. Θεωρούμε την ημιευθεία Βx, ώστε ΓB̂ x = B̂ ʹ (σχ.17) και σημείο της Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΑʹΒʹ και ΓB̂ Δ = B̂ ʹ. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΑʹ και Δ̂ = Âʹ. ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΓΠΓ σημαίνει γωνία, πλευρά, γωνία. ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΠΠΠ σημαί- νει πλευρά, πλευρά, πλευρά. Σχήµα 16 A B Γ Aʹ Bʹ Γʹ Δ 1 1 2 2 A B Γ Δ Aʹ Bʹ Γʹ x Σχήµα 17 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
49 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου Στο 2o κεφάλαιο αναφερθήκαμε στην κάθετη που φέρεται από σημείο σε ευθεία. Στην παρούσα παράγραφο θα μελε- τήσουμε τη μοναδικότητα και την ύπαρξή της. Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ευθεία xʹx, σημείο Α εκτός αυτής και σημείο Μ της xʹx (σχ.23). Αν η ΑΜ είναι κάθετη στην xʹx, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η ΑΜ δεν είναι κάθετη στην xʹx. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η xʹx και δεν περιέχει το Α θεωρούμε την ημιευθεία Μy, ώστε να είναι xM̂ y = AM̂ x και πάνω σε αυτή σημείο Β, ώστε ΜΑ = ΜΒ. Επειδή τα σημεία Α, Β είναι εκατέρωθεν της xʹx, η xʹx τέμνει την ΑΒ σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. Αφού ΜΑ = ΜΒ και M̂ 1 = M̂ 2, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο ΜΑΒ, άρα είναι και ύψος και επομένως ΑΒ⊥xʹx. Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία ΑΛ κάθετη στην xʹx . Τότε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΒΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ κοινή, ΜΑ = ΜΒ και M̂ 1 = M̂ 2, οπότε θα είναι και Λ̂ 1 = Λ̂ 2. Όμως Λ̂ 1= 90°, άρα και Λ̂ 2 = 90°, οπότε Λ̂ 1 + Λ̂ 2 = 180° το οποίο σημαίνει ότι τα σημεία Α, Λ, Β είναι συνευθειακά, δηλαδή η ΑΛ ταυτίζεται με την ΑΚ, που είναι άτοπο. 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την ορθή, από το 1ο (ΠΓΠ) και 2ο (ΓΠΓ) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι: • Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευ- ρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.24) • Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευ- ρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.25) Η ισότητα ορθογώνιων τριγώνων εξασφαλίζεται ακόμη και από τα επόμενα θεωρήματα. 1 1 2 2 xxʹ A B y Κ Γ ΛΜ Σχήµα 23 A Γ B Aʹ Γʹ Bʹ Σχήµα 24 A Γ B Aʹ Γʹ Bʹ Σχήµα 25 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
50 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω δύο τρίγωναΑΒΓ καιΑʹΒʹΓʹ με Â = Âʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και B̂ = B̂ ʹ (σχ.26). Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ , π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε στην πλευρά ΒΑ υπάρχει σημείο Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΔΒ = ΑʹΒʹ και B̂ = B̂ ʹ, επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι Δ̂ = Âʹ = 90°, δη- λαδή ΓΔ⊥ΑΒ. Έτσι έχουμε ΓΑ⊥ΑΒ και ΓΔ⊥ΑΒ που είναι άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ. Άρα ΑΒ = ΑʹΒʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΑ = ΒʹΑʹ και B̂ = B̂ ʹ (ΠΓΠ). Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.27) με Â = Âʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Θα αποδείξουμε ότι και B̂ = B̂ ʹ. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΒʹΑʹ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Δ και Δʹ, ώστε να είναι ΑΔ = ΑΒ και ΑʹΔʹ = ΑʹΒʹ. Τότε η ΓΑ είναι μεσοκάθετος του ΔΒ και η ΓʹΑʹ μεσοκά- θετος του ΔʹΒʹ. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ΓΔ = ΓΒ και ΓʹΔʹ = ΓʹΒʹ. Από τις τελευταίες ισότητες και την ΒΓ = ΒʹΓʹ προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΔʹ. Έτσι τα τρίγωνα ΓΔΒ και ΓʹΔʹΒʹ έχουν ΓΔ = ΓʹΔʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΔΒ = ΔʹΒʹ (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ΑΒ και ΑʹΒʹ), επομένως είναι ίσα, οπότε B̂ = B̂ ʹ. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ). Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. ΠΟΡΙΣΜΑ Ι Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ Σχήµα 27 A BΔ Γ Γʹ BʹAʹΔʹ A Γ B Aʹ Γʹ BʹΔ Σχήµα 26 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
56 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Συµµετρικά σχήµατα 3.8 Κεντρική συµµετρία Στην §2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε- τρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37). Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέ- ντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία. Av στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο (σχ.39), κατά 180 ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό. A AʹΟ Σχήµα 37 180ο Ο A Σ Σʹ Aʹ Σχήµα 38 180ο Ο A Aʹ Σχήµα 39 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προ- τάσεις. i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι .......................................... ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι ....................................... Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κο- ρυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν σταθερή την πλευρά ΒΓ = α και τη διάμε- σο ΑΜ με γνωστό μήκος. 2. Δίνεται κύκλος (Ο, R). Αν Ν τυχαίο ση- μείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέ- κταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν διαγράφει τον κύκλο. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ ΣΧΟΛΙΟ Από το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί τα εξής στάδια: Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή Γ πάνω στην οποία βρίσκεται. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο σημείο Ν της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Αν αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή Γ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
57 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα: • Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του (σχ.40α). • Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.40β). • Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ). α β γ A BΟ AΟAʹ xx΄ A B Bʹ Aʹ Ο Σχήµα 40 ε A Aʹ Σχήµα 42 ε Σ Σʹ AʹA Σχήµα 43 Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φο- ρέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό. Απόδειξη Έστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει στην ευθεία ΑΒ και Αʹ, Βʹ τα συμμετρικά των Α, Β ως προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑʹ = ΟΑ, OBʹ = OB και ΑʹÔΒʹ =ΑÔΒ, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΑʹΟΒʹ είναι ίσα, οπό- τε ΑʹΒʹ = ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του ΑΒ και Μʹ η τομή της ΜΟ με το ΑʹΒʹ. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι Â = Âʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΑʹΟΜʹ είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑʹ = ΟΑ, Â = Âʹ και Ô1 = Ô2. Επομένως ΟΜʹ = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μʹ είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μʹ του ΑʹΒʹ είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 2 A BΜ Bʹ Μʹ Aʹ Ο Σχήµα 41 3.9 Αξονική συµµετρία Στην §2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε- τρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42). Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ (σχ.43) λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντί- στροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήμα- τος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
59 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Ανισοτικές σχέσεις Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τρι- γωνική ανισότητα. 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΒΔ (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το Δ, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε ΔΕ = ΒΔ. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνί- ας ΓÂx έχουμε ΓÂΕ < ΓÂx = Âεξ. Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ και Δ̂ 1 = Δ̂ 2, οπότε Γ̂ = ΓÂΕ. Από την τελευταία ισότητα και την ΓÂΕ < Âεξ προκύπτει ότι Âεξ >Γ̂ . Όμοια αποδεικνύεται ότι και Âεξ > B̂ . i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρό- τερο των 180°. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων: Α, Β, Δ, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ. 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Γ ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να απο- δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα. 3. Αν xʹÂʹyʹ είναι η συμμετρική της γωνίας xÂy, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα ση- μείο Ο, εξωτερικό της xÂy, τότε να απο- δειχθεί ότι xʹÂʹyʹ = xÂy. 4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τρι- γώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΒΓ είναι τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ. 5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνί- ας είναι άξονας συμμετρίας της. 6. Έστω ε, εʹ δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μʹ είναι το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μʹʹ το συμμετρικό του Μʹ ως προς εʹ, τότε να αποδείξετε ότι: i) ΟΜ = ΟΜʹʹ, ii) τα σημεία Μ, Ο, Μʹʹ είναι συνευθεια- κά. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ 1 2 x A Ε B Γ Δ Σχήµα 47 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
60 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδι- κό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ = ΑΒ. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ΒΔ και επομένως B̂ 1 = Δ̂ 1 = ω. Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας B̂ , είναι B̂ > B̂ 1, ενώ η Δ̂ 1, ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ είναι μεγαλύτερη από τη Γ̂ , δηλαδή Δ̂ 1 > Γ̂ . Έτσι έχουμε B̂ > ω και ω > Γ̂ , επομένως B̂ > Γ̂ . Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ . Τότε θα είναι και β > γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β < γ θα είχαμε B̂ = Γ̂ ή B̂ < Γ̂ αντίστοιχα, που είναι άτοπο. i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευ- ρά του τριγώνου. ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισο- σκελές. iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ 3.12 Τριγωνική ανισότητα Γνωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημεί- ων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα. Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ (σχ.49). Γι’ αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α, κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκε- λές και η ΓΑ εσωτερική ημιευθεία της ΒΓ̂ Δ, οπότε έχουμε αντίστοιχα Δ̂ = Γ̂ 1 και Γ̂ 1 < ΒΓ̂ Δ. Από τις σχέσεις αυτές προ- ω ω A B Γ Δ1 1 Σχήµα 48 1 β A β γ αB Γ Δ Σχήµα 49 ΣΧΟΛΙΟ Το διπλανό πόρισμα (ii) είναι το αντίστροφο του πορίσματος I της §3.2. Τα δύο αυτά πορίσμα- τα συνοψίζονται στο εξής: ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
65 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισα- πέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ I ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κά- θετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΒ = ΚΓ. Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = ΚΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΚ είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή §3.12) το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ. Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: (i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. (ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι απο- στάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ II ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ (σχ.56), η γωνία K̂ είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > ΑΚ. ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο ΑΚ στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, ΑΓ, όπου Β, Γ σημεία της ε (σχ.57). Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη Β, Γ των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ. Ας υποθέσουμε ότι ΚΓ > ΚΒ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των Κ, Γ, η ΑB̂ Γ εί- ναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΚΑΒ, επομένως ΑB̂ Γ > K̂ = 1⌊, δηλαδή η ΑB̂ Γ είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευράΑΓ βρίσκεται απέναντι από τηνΑB̂ Γ, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΑΓ > ΑΒ. Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αν ήταν ΚΓ = ΚΒ, τότε θα είχαμε ΑΓ = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν ΚΓ < ΚΒ, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θα είχαμε ότι ΑΓ < ΑΒ, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως ΚΓ > ΚΒ. A B ΓΚ Σχήµα 55 A B Κ Σχήµα 56 A BΓ Κ ε Σχήµα 57 ΣΧΟΛΙΟ Την ιδιότητα (i) του Θεωρήμα- τος II, που έχει το κάθετο τμήμα συνήθως εκφράζουμε και ως: η απόσταση ενός σημείου Α από μία ευθεία ε είναι μικρότερη από την απόσταση του Α από τυχόν σημείο της ευθείας. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
67 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α κλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία xʹx εφάπτεται του κύκλου (Ο, R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι: Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μο- ναδική. • Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα ση- μείο Μ, ώστε ΑΜ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού ΟΜ > ΑΜ = R. Έτσι η ημιευθεία Αx, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοι- νό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αxʹ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Βʹ. Επομένως, η xʹx έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην περίπτωση αυτή η ευθεία xʹx, λέγεται τέμνουσα του κύκλου και τα κοινά της σημεία με τον κύκλο λέγονται σημεία το- μής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο. Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε: • Αν δ > R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. • Αν δ = R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο. • Αν δ < R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. Με την ίδια επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα. Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. ΘΕΩΡΗΜΑ I ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο, ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, ταΑ, Β, Γ (σχ. 59). Επειδή ΟΑ= ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ, ζ των ΑΒ, ΒΓ αντί- στοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε, τις ξ, ζ, που είναι άτοπο. ε ζ ξ B Γ Ο A Σχήµα 59 ΣΧΟΛΙΟ Από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι τρία οποιαδήπο- τε σημεία ενός κύκλου δεν είναι συνευθειακά. Στην §4.5 θα δού- με ότι από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος, που είναι και μοναδικός. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
81 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. (§3.10) Άρα ε1//ε2. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι πα- ράλληλες. ΠΟΡΙΣΜΑ Ι Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Πράγματι οι γωνίες ω και φ (σχ.4α) είναι ορθές, οπότε ω = φ. Άρα ε1//ε2. Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορού- με να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες. Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής (σχ.4β). Φέρουμε την ΑΒ⊥ε και ονομάζουμε εʹ την ευθεία που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α. Τότε εʹ//ε (αφού και οι δύο είναι κάθετες στην ΑΒ). Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία εʹ που διέρχεται από ένα ση- μείο Α που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε. Δεχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι μοναδική, δηλαδή: Αίτηµα παραλληλίας Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλλη- λη προς αυτή. Γ A ε B ω φ ε1 ε2 Σχήµα 3 ε1 ε2 ε ε ω φ A B A B (α) (β) Σχήµα 4 ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των “Στοιχεί- ων” του Ευκλείδη (Ευκλείδειο αίτημα). Το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμό του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της Γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (βλ. Ιστορικό σημείωμα, σελ. 96) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
82 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ιδιότητες παράλληλων ευθειών Άμεσες συνέπειες του αιτήματος παραλληλίας είναι οι πα- ρακάτω προτάσεις. ΠΡΟΤΑΣΗ Ι Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχημα- τίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι ε1//ε2 και ε μια τέμνουσα (σχ.5). Θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. Αν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε οι γωνίες xÂB και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε Αx//ε2 γιατί τεμνόμενες από την ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το Α προς την ε2, που είναι άτοπο. Άρα ω = φ. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχημα- τίζουν i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωμα- τικές. ΠΟΡΙΣΜΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙ Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους πα- ράλληλες, δηλαδή αν ε1//ε και ε2//ε, τότε ε1//ε2. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν οι ε1 και ε2 τέμνονταν σε σημείο Α, θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε1//ε2. ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙΙ Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε1 στο Α. Αν η ε δεν έτεμνε την ε2, θα ήταν ε//ε2 και έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλ- ληλες προς την ε2, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε2. ε1 ε φ ω ε2 A B x Σχήµα 5 A ε1 ε2 ε Σχήµα 6 ε A ε1 ε2 Σχήµα 7 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
83 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. ΠΟΡΙΣΜΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙV Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότε- ρο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι η ε τέμνει τις ε1, ε2 στα Α και Β (σχ.8) αντίστοιχα και ότι φ + ω ≠ 2⌊. Τότε οι ε1 και ε2 δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω ≠ 2⌊ (Πόρισμα σελ. 82). Έστω ότι οι ε1 και ε2 τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική γωνία ω του τριγώνου ΑΚΒ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Â1, δηλαδή ω > Â1 = 2⌊ – φ ή ω + φ > 2⌊, που είναι άτοπο. Άρα οι ε1, ε2 τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ. Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. (βλέπε §3.18 - Πρόβλημα 2) ΠΟΡΙΣΜΑ 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας Είδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία εʹ, η οποία διέρχεται από ένα σημείο Α και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία ε. Για την κατασκευή της εʹ φέρουμε από το Α ένα πλάγιο τμήμα ΑΒ προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που σχηματίζει το ΑΒ με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ (§2.6) ώστε να έχει κορυφή το Α, η μια πλευρά της να είναι η ΑΒ και η άλλη πλευρά της ΑΓ να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. Επειδή ΓÂΒ = φ έχουμε ΑΓ//ε, αφού τεμνόμενες από την ΑΒ, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία ΑΓ είναι η ζητούμενη ευθεία εʹ. A ε ε1 ε2 ω φ B 1 Κ Σχήµα 8 Γ A ε ε φ φ B Σχήµα 9 ΣΧΟΛΙΟ Η πρόταση IV αποτελεί βασικό κριτήριο με το οποίο εξετάζου- με αν δύο ευθείες τέμνονται. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
86 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ των γωνιών του B̂ και Γ̂ αντίστοιχα. Οι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται σε σημείο I αφού ΕB̂ Γ + ΖΓ̂ Β = B̂ 2 + Γ̂ 2 < B̂ + Γ̂ < 2⌊. (§4.2 - Πρόταση IV) Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της B̂ θα ισαπέχει από τις πλευ- ρές της ΒΑκαι ΒΓ, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ.Ανάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της Γ̂ , δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. Επομένως το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και ΑΓ και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Â. Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή από- σταση του Ι από τις πλευρές του ΑΒΓ, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Οι παρεγγεγραµµένοι κύκλοι τριγώνου Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ια, Ιβ, Ιγ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι (σχ.17α,β). Οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτο- μεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτά- σεις των δύο άλλων. Απόδειξη ΕΦΑΡΜΟΓΗ A B Γ α β Ιγ Ιβ Ια Ια x y B Γ A Σχήµα 17 A B ΓΔ Ε Ζ Θ Λ Ν Ι Σχήµα 16 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
89 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ii) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. iv) Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60ο . ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Έχουμε Â + B̂ + Γ̂ = 2⌊ και Γ̂ εξ + Γ̂ = 2⌊, οπότε Â + B̂ + Γ̂ = Γ̂ εξ + Γ̂ ή Γ̂ εξ = Â + B̂ . ii) – iv) Προφανή. 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες Δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω οι γωνίες xÔy = ω και xʹÔʹyʹ= φ με Οx⊥Oʹxʹ και Oy⊥Oʹyʹ. Τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟʹΒΓ έχουν Â = B̂ = 1⌊ και Γ̂ 1 = Γ̂ 2 (κατακορυφήν). Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ. i) Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κά- θετες είναι ίσες. ii) Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπλη- ρωματικές. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, θʹ + φ = 2⌊, οπότε θ = θʹ, αφού ω = φ. ii) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, οπότε θ + φ = 2⌊, αφού ω = φ. Γεξ ΓB A x Σχήµα 19 y z θ ω xy θ φ z Ο Ο A Γ1 2 xB Σχήµα 20 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
90 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου Ας θεωρήσουμε κυρτό πεντάγωνοΑΒΓΔΕ και Ο τυχαίο εσωτε- ρικό σημείο του.Αν ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του πεντα- γώνου, σχηματίζονται πέντε τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Έτσι το άθροισμα των γωνιών και των πέντε τριγώνων είναι (2∙5) ορθές. Αν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô1 + Ô2 + Ô3 + Ô4 + Ô5 = 4 ορθές, θα μείνει το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου, δηλαδή: Â + B̂ + Γ̂ + Δ̂ + Ê = (2∙5 – 4) ορθές. Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροι- σμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι 2ν ορθές. Αν αφαι- ρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô1+Ô2+Ô3+ ... +Ôν = 4 ορθές έχουμε: Â1 + Â2 + Â3 +...+ Âν = (2ν – 4) ορθές. Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι πρέπει: Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι 2ν – 4 ορθές. Άλλη απόδειξη. Ας θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο Α1Α2... Αν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. την Α1, όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι το πολύγωνο διαιρείται σε ν – 2 τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά από τις πλευρές του, εκτός των Α1Α2 και Α1Αν που διέρχο- νται από την κορυφή Α1, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. Επειδή το άθροισμα των γωνιών των ν – 2 τριγώνων είναι 2(ν – 2) = (2ν – 4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου, προκύπτει ότι: Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 2ν – 4 ορθές. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές. ΠΟΡΙΣΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ Έχουμε Â1εξ + Â1 = 2⌊ Â2εξ + Â2 = 2⌊ ... + ... = ... προσθέτουμε κατά μέλη οπότε: Âνεξ + Âν = 2⌊ (Â1εξ + Â2εξ + ... + Âνεξ) + (Â1 + Â2 + ... + Âν) = 2ν⌊ ή (Â1εξ + Â2εξ + ... + Âνεξ) + (2ν – 4)⌊ = 2v⌊ ή Â1εξ + Â2εξ+ ... + Âνεξ = 4⌊. A B Γ Δ Ε Ο 1 2 34 5 Σχήµα 21 Α1 Α2 Α3 Α4 Α5 Αν-1Αν 1 2 3 4 ν-1 ν Ο Σχήµα 22 Α1 Α2 Α3 Α4 Α5 Αν-1 Αν Σχήµα 23 Α1 Α2 Α3 Α4 Αν Σχήµα 24 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
110 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα EZ = ΔΕ. Το τετράπλευ- ρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ = // ΓΖ, οπότε ΔΒ = // ΓΖ, αφού ΑΔ = ΔΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλό- γραμμο, οπότε: (i) ΔΖ // ΒΓ άρα ΔΕ // ΒΓ και (ii) ΔΖ = ΒΓ ή 2ΔΕ = ΒΓ ή ΔΕ = ΒΓ 2 . Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευ- θεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας φέρουμε από το μέσο Δ της ΑΒ την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε (σχ.21). Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της ΑΓ. Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ. Αν Z είναι το μέσο της ΑΓ, το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ΔΖ // ΒΓ. Έτσι, όμως, έχουμε από το Δ δύο παράλληλες προς τη ΒΓ, που είναι άτοπο. Άρα το Ε είναι μέσο της ΑΓ. Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε1, ε2, ε3 οι οποίες τέ- μνουν την δ1 στα σημεία Α, Β, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ (σχ.22). Αν μια άλλη ευθεία δ2 τέμνει τις ε1, ε2, ε3 στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι ΔΕ = ΕΖ. Φέρουμε ΑΚ // ΔΖ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΕΖΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε ΑΗ = ΔΕ (1) και ΗΚ = ΕΖ (2). Στο τρίγωνο ΑΚΓ το Β είναι το μέσο της ΑΓ και ΒΗ // ΓΚ. Άρα το Η είναι μέσο της ΑΚ, δηλαδή ΑΗ = ΗΚ (3). Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΔΕ = ΕΖ. ► Η µεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 και ένα τμήμα ΑΒ = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις Σχήµα 20 A ΕΔ B Γ Ζ Σχήµα 21 A B Γ Δ Ε Ζ Σχήµα 22 δ1 δ2 ε1 ε2 ε3 A B Γ Δ ΕΗ Κ Ζ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
112 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τις δύο διαμέσους ΒΕ και ΓΖ. Επειδή B̂ 1 + Γ̂ 1 < B̂ + Γ̂ < 2⌊, οι δύο διάμεσοι τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο Θ του τριγώνου. Αν η ΑΘ τέμνει τη ΒΓ στο Δ, θα αποδείξουμε ότι i) η ΑΔ είναι η τρίτη διάμεσος του τριγώνου, δηλαδή ΒΔ = ΔΓ και ii) ΑΘ = 2 3 ΑΔ. i) Στην ημιευθεία ΘΔ παίρνουμε τμήμα ΘΚ = ΑΘ. Παρα- τηρούμε ότι τα σημεία Ε και Θ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΚΓ, οπότε ΕΘ = // ΓΚ 2 (1). Όμοια από το τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε ΖΘ = // ΒΚ 2 (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΕ // ΓΚ και ΓΖ // ΒΚ, δηλαδή το ΒΘΓΚ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι δια- γώνιοί του διχοτομούνται, οπότε ΒΔ = ΔΓ. Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του ΑΒΓ, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. ii) Από το παραλληλόγραμμο ΒΘΓΚ έχουμε ακόμη ΘΔ = ΔΚ = ΘΚ 2 , άρα ΘΔ = ΑΘ 2 ή ΑΘ = 2ΘΔ. Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι ΕΘ = ΓΚ 2 = ΒΘ 2 ή ΒΘ = 2ΘΕ. Όμοια από τις (2) και (3) έχουμε ΓΘ = 2ΘΖ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. Επίσης έχουμε ότι ΑΔ = ΑΘ + ΘΔ = 2ΘΔ + ΘΔ = 3ΘΔ. Άρα ΘΔ = 1 3 ΑΔ, οπότε ΑΘ = 2 3 ΑΔ. Όμοια προκύπτει ότι ΒΘ = 2 3 ΒΕ και ΓΘ = 2 3 ΓΖ. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Η απόσταση του βαρυκέντρου Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ από κάθε κορυφή του ισούται με τα 2 3 του μήκους της αντί- στοιχης διαμέσου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην παραπάνω πρόταση θεω- ρήσαμε το σημείο τομής Θ των δύο διαμέσων ΒΕ και ΓΖ και αποδείξαμε ότι η ΑΘ αν προε- κταθεί είναι η τρίτη διάμεσος ΑΔ. Αυτός ο τρόπος αποτελεί μια βασική μέθοδο για να απο- δεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συ- ντρέχουν σε κάποιο σημείο. Σχήµα 26 A B Γ Δ ΕΖ Θ Κ 1 1 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
113 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου Λήµµα Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Από τις κορυφές Α, Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλλη- λες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ (σχ.27). Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων ΚΑΓΒ, ΛΑΒΓ και ΜΒΑΓ έχουμε: ΚΑ = ΒΓ = ΑΛ, ΛΓ = ΑΒ = ΓΜ και ΚΒ = ΑΓ = ΒΜ. Επομένως τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ. Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Από τις κορυφές του Α, Β, Γ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές (σχ.28). Σύμφωνα με το Λήμμα, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείεςΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις ΒΓ,ΑΓ και ΑΒ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. Δηλαδή οι ευθείεςΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η. Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Οι κορυφές Α, Β, Γ, τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. ΠΟΡΙΣΜΑ Πράγματι οι κορυφές π.χ. Β, Γ και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ ορίζουν το τρίγωνο ΒΗΓ. Τα ύψη ΗΔ, ΒΖ και ΓΕ του τριγώνου ΒΗΓ τέμνονται στο Α, οπότε το Α είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΗΓ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν το τρίγωνο είναι ορθο- γώνιο, το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ορ- θόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Σχήµα 27 A B Γ Κ Λ Μ Σχήµα 28 A B Γ Δ Ε Ζ Μ Κ Λ Η Σχήµα 29 A B Γ Ζ Ε Η Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
121 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου Είδαμε προηγούμενα (§4.5 και §5.7 - §5.8) ότι σε ένα τρί- γωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες συντρεχουσών ευθειών. Ανακεφαλαιώνοντας, σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ αποδείξαμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο: • Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο Ο λέγεται περίκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος (Ο, ΟΑ) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. • Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευ- ρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. • Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του ΑΒΓ. • Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθό- κεντρο του ΑΒΓ. ΣΧΟΛΙΟ Για να αποδείξουμε ότι υπάρ- χουν κάποια από τα αξιοσημεί- ωτα σημεία τριγώνου (βαρύκε- ντρο, ορθόκεντρο κτλ.) καθώς και τις βασικές τους ιδιότητες χρησιμοποιήσαμε τη θεωρία των παραλληλογράμμων που στηρί- ζεται στο αίτημα παραλληλίας (§4.2). ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β ≠ γ) με Â = 60°, τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ και τα μέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΝΔ. 2. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε1, ε2 και σημείο Α της ε1. Φέρουμε ΑΚ⊥ε2. Αν Β ση- μείο της ε2 και μια ευθεία, που διέρχεται από το Β, τέμνει τις ΑΚ και ε1 στα Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = 2ΑΒ, να αποδεί- ξετε ότι ΑB̂ Κ = 3ΕB̂ Κ. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, Δ το μέσο της ΑΒ και σημείο Ε της ημιευθείας ΔΒ, ώστε ΔΕ = ΑΓ 2 . Από τα Β και Ε φέ- ρουμε κάθετες στη διχοτόμο της γωνίας Â, οι οποίες τέμνουν την ΑΓ στα Βʹ και Εʹ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) ΒʹΕʹ = ΑΓ – ΑΒ 2 . ii) Η ευθεία ΕΕʹ διέρχεται από το μέσο της ΒΓ. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ, B̂ > 60° και το ύψος του ΑΕ προς τη ΒΓ (ΑΕ⊥ΒΓ). Αν Ζ, Η είναι τα μέσα των ΓΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να απο- δείξετε ότι: i) το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος, ii) η ΖΕ είναι διχοτόμος της ΗÊΓ, iii) το ΗΕΓΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο, iv) ΔẐΕ = 3ΖÊΓ. 5. Ευθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου ΑΒΓ προς το ίδιο μέρος της. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ, Κʹ οι προβολές των Α, Β, Γ και του βαρυ- κέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδεί- ξετε ότι ΑΑʹ + ΒΒʹ + ΓΓʹ = 3ΚΚʹ. 6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ΔΕ⊥ΑΓ. Αν Ζ το μέσο του ΕΓ, να αποδείξετε ότι: i) ΔΖ//ΒΕ, ii) AH⊥BE, όπου Η το μέσο του ΔΕ. 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τρι- γώνου τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
128 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Εγγεγραµµένη γωνία 6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί Δίνεται μία κυρτή γωνία xÂy και ένας κύκλος (Ο, R). Οι σχετικές θέσεις τους καθορίζονται από τη θέση της κορυφής της και των πλευρών της: i) Αν η κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου (σχ.1), τότε η γωνία λέγεται επίκεντρη, όπως είδαμε στη §2.18. ii) Αν η κορυφή (σχ.2) είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουσες του κύκλου, τότε η γωνία λέγε- ται εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου. Το τόξο B͡ Γ που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της ή διαφορετικά λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία Â βαίνει στο τόξο B͡ Γ. iii) Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου, η μία της πλευρά είναι τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου (σχ.3), τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης. 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης Η σχέση μίας εγγεγραμμένης και μίας επίκεντρης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο δίνεται από το ακόλουθο θεώ- ρημα: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκε- ντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω κύκλος (O, R) και ένα τόξο του A͡ B. Ας θεωρήσου- με την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ΑÔΒ και σημείο Γ του κύκλου που δεν ανήκει στο τόξο A͡ B. Τότε θα αποδείξουμε ότι ΑÔΒ = 2ΑΓ̂ Β. i) Ας μελετήσουμε πρώτα την περίπτωση όπου το κέντρο Ο του κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμ- μένης γωνίας ΑΓ̂ Β (σχ.4α). Έστω Γʹ το αντιδιαμετρικό σημείο του Γ. Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισοσκελές, επομέ- νως ΟÂΓ = ΟΓ̂ Α. Η ΓʹÔΑ είναι εξωτερική του τριγώ- νου ΑΟΓ, επομένως ΓʹÔΑ = 2ΟΓ̂ Α και όμοια έχουμε ότι ΓʹÔΒ = 2ΟΓ̂ Β. Σχήµα 1 A x y Σχήµα 2 A x yB Γ Σχήµα 3 x y A Σχήµα 4 A Γ B ΓΟ (α) (β) A Γ B Ο (γ) Γ A Ο Γ B lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
129 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6 . Ε Γ Γ Ε Γ Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ισότητες έχου- με ότι AÔΒ = 2ΑΓ̂ Β. ii) Ας εξετάσουμε κατόπιν την περίπτωση όπου το O ανήκει σε μία πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας ΑΓ̂ Β (σχ.4β). Η επίκεντρη γωνία ΑÔΒ είναι εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου ΓΟΒ, οπότε ΑÔΒ = 2ΑΓ̂ Β. iii) Όμοια με τις προηγούμενες περιπτώσεις (σχ.4γ). i) Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. ii) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. iii) Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντί- στροφα. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης Η σχέση μίας γωνίας χορδής και εφαπτομένης με την εγγε- γραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγε- γραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι η γωνία χορδής και εφαπτομένης xÂy εί- ναι οξεία (σχ.6) και ΑΓ̂ Β μια τυχαία εγγεγραμμένη γω- νία που βαίνει στο τόξο της χορδής ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι ΑΓ̂ Β = ΑÔΒ 2 . Φέρουμε το απόστημα ΟΜ, οπότε ΑÔΜ = ΜÔΒ = ΑÔΒ 2 = ΑΓ̂ Β. Αλλά xÂy = ΑÔΜ ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές. Επομένως xÂy = ΑΓ̂ Β. Αν η γωνία χορδής και εφαπτομένης είναι αμβλεία, η από- δειξη είναι ανάλογη.Σχήµα 6 x x A Γ Ο Μ B y ΣΧΟΛΙΟ Από το πόρισμα (iii) συμπεραί- νουμε εύκολα ότι τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παράλλη- λων χορδών είναι ίσα (σχ.5) και αντίστροφα. Σχήµα 5 A B Γ Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
137 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 6 . Ε Γ Γ Ε Γ Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Έστω Â + Γ̂ = 2⌊. Φέρουμε τον κύκλο που ορίζουν τα σημεία Α, Β, Δ και τη χορδή του ΒΔ. Τα σημεία Α, Γ βρίσκονται εκατέρωθεν της ΒΔ, οπότε κάθε εγγε- γραμμένη γωνία στο τόξο BΑ∆ ισούται με τη Γ̂ , ενώ κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο Β ∆E (σχ.19) ισούται με την παραπληρωματική της, δηλαδή την Â. Επομένως το Γ είναι σημείο του Β ∆E και ομοκυκλικό με τα Α, Β, Δ. ii) Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε ΔÂΓ = ΔB̂ Γ = φ. Τότε τα Α, Β ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο των ση- μείων του επιπέδου από τα οποία το τμήμα ΓΔ φαίνεται υπό ορισμένη γωνία φ. Ο γεωμετρικός αυτός τόπος εί- ναι (βλ. §6.4) δύο συμμετρικά τόξα ως προς το ΓΔ. Τα Α, Β όμως βρίσκονται στο ίδιο μέρος της ΓΔ, συνεπώς ανήκουν στο ίδιο τόξο, επομένως τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι ομοκυκλικά. iii) Έστω ότι xΓ̂ Β = Â (σχ. 21), τότε Â + Γ̂ = 2⌊, επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί έχει δύο απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές, λόγω του κριτηρίου i). Σχήµα 19 A B Γ Δ Ε Σχήµα 20 B A Γ Δ Σχήµα 21 B A Γ Δ x ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΨΙΜΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ ΣΕ ΚΥΚΛΟ Ένα τετράπλευρο, του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο, λέγεται περιγεγραμμένο στον κύκλο αυτό, ενώ ο κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος στο τε- τράπλευρο αυτό. (Α) Να αποδειχθούν οι ιδιότητες ενός περιγεγραμμένου τετραπλεύρου ΑΒΓΔ: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. (Β) Να αποδείξετε ότι για να είναι ένα τετράπλευρο περιγράψιμο σε κύκλο αρκεί να ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. Απόδειξη (Α) Απλή (βλ. σχ.22). A B ΓΔ Η Ε μ μν ν κ κ λ λ Ζ ΟΘ Σχήµα 22 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
140 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Να εξετασθεί η ύπαρξη κύκλου που διέρχεται από: i) δύο δοσμένα σημεία, ii) τρία δοσμένα σημεία, iii) τέσσερα δοσμένα σημεία, και η μοναδικότητά του σε καθεμία από τις παραπάνω περι- πτώσεις. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων Σε προηγούμενα κεφάλαια συναντήσαμε ορισμένους βασι- κούς γεωμετρικούς τόπους, όπως ο κύκλος, η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος, η διχοτόμος μίας γωνίας, η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών και τέλος το τόξο γνωστής χορδής ΑΒ, τα σημεία του οποίου βλέπουν το τμήμα ΑΒ υπό δοσμένη γωνία φ. Οι γεωμετρικοί αυτοί τόποι μας είναι χρήσιμοι στη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών. Ας δούμε ένα πα- ράδειγμα. A Δ Ε A1 B Η Ζ Ο Ο Γ A A 1 τ τ΄ υυ υ ε ε Σχήµα 27 ΠΡΟΒΛΗΜΑ1 Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία Â = ω, όπου α, υ γνωστά τμήματα και ω γνωστή γωνία. Λύση Ανάλυση. Έστω ΑΒΓ το ζητούμενο τρίγωνο (σχ.27) που έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία Â = ω. Επειδή Â = ω η κορυφή Α βλέπει γνωστό τμήμα ΒΓ υπό γνω- στή γωνία, άρα είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ1 που αποτελείται από τα τόξα τ͡ και τ͡ ʹ, που γράφονται με χορδή τη ΒΓ εκατέρωθεν αυτής και δέχονται το καθένα γωνία ω. Επίσης, αφού το Α απέχει από τη ΒΓ γνωστή απόσταση υ, είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ2 που αποτελείται από δύο ευθείες παράλληλες προς τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής σε απόσταση υ. Άρα η κορυ- φή Α είναι η τομή των γεωμετρικών τόπων Τ1 και Τ2. Σύνθεση. Με χορδή τμήμα ΒΓ = α γράφουμε τα τόξα τ͡ και τ͡ ʹ, που δέχονται γωνία ω. Στη συνέχεια σε απόσταση ΖΗ = υ από τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής φέρουμε ευθείες ε, εʹ//ΒΓ που τέμνουν τα τόξα τ͡ και τ͡ ʹ. Αν Α είναι ένα από τα σημεία τομής των Τ1, Τ2, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΠΕΡΙΕΧοΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙο 1ο : Συστήματα 1.1 Γραμμικά Συστήματα.........................................................................9 1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα................................................................24 ΚΕΦΑΛΑΙο 2ο : Ιδιότητες Συναρτήσεων 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης..............................30 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης.............................40 ΚΕΦΑΛΑΙο 3ο : Τριγωνομετρία 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας....................................................49 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ............................................60 3.3 Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο........................................................65 3.4 Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις....................................................73 3.5 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις ..............................................83 3.6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών.............................89 3.7 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας 2α.........................................97 3.8 Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων ....................103 3.9 Η Συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx....................................................108 3.10 Επίλυση Τριγώνου .........................................................................114 ΚΕΦΑΛΑΙο 4ο : Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Εξισώσεις 4.1 Πολυώνυμα....................................................................................128 4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων ..................................................................132 4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις.......................................140 4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές .........150 ΚΕΦΑΛΑΙο 5ο : Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση 5.1 Εκθετική Συνάρτηση .....................................................................160 5.2 Λογάριθμοι.....................................................................................173 5.3 Λογαριθμική Συνάρτηση ...............................................................181 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ................................................................193 ΥΠοΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ............................195 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
Κεφάλαιο 1ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση αx + βy = γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με τη βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx + βy = γ, με α ¹ 0 ή β ¹ 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το συμπέρασμα αυτό ως εξής: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν β ¹ 0, τότε η εξίσωση γράφεται: α β γ β α γ α β γ β x y y x y x + = ⇔ = − + ⇔ = − + , Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυν- σης λ α β = − και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο γ β . Σχήμα α΄ Σχήμα β΄ Ειδικότερα: 9 Αν α ¹ 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α΄), ενώ αx+βy=γ, α=0 O x y γ β αx+βy=γ, β≠0 x γ γ α β y O lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2. Να λύσετε το σύστημα: 3. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 120cm 2 . Αν η μία διάσταση του ορθο- γωνίου αυξηθεί κατά 3cm , ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2cm , τότε το εμ- βαδόν του δεν μεταβάλλεται. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. 4. Δίνεται η παραβολή y x= − 2 και η ευθεία y x= + . Να βρείτε για ποιες τιμές του k η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. 5. Να λύσετε τo σύστημα 2 2 y x y x = = + ⎧ ⎨ ⎩ µ και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: , , , με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή. Α) Έχει μοναδική λύση, Β) Είναι αδύνατο, Γ) Έχει άπειρο πλήθος λύσεων. II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. A Ψ 2. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D = 0 , τότε το σύστημα είναι κατ’ ανάγκη αδύνατο. Α Ψ 3. Το σύστημα xy x y = + = ⎧ ⎨ ⎩ 1 0 είναι αδύνατο. Α Ψ 4. Ο κύκλος x y2 2 1+ = και η παραβολή y x= +2 1 δεν έχουν κοινά σημεία. A Ψ ( ):Σ1 2 1 2 4 0 x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ ( ):Σ2 1 2 4 x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ ( ):Σ3 2 4 2 2 1 x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ ( ):Σ4 2 1 1 x y x y − = + = ⎧ ⎨ ⎩ α (Σ1 ) (Σ2 ) (Σ3 ) (Σ4 ) 2 5 0 4 3 2 2 xy y y y x x − − = = − + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 61 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων (1) και (2), θα αποδείξουμε δύο επιπλέον χρή- σιμες ταυτότητες. 3. εφω . σφω = 1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι: εϕω ηµω συνω = και σϕω συνω ηµω = (εφόσον συνω ¹ 0 και ημω ¹ 0) Επομένως: εϕω σϕω ηµω συνω συνω ηµω ⋅ = ⋅ =1 . 4. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας ηµ ω συν ω2 2 1+ = με συν ω2 0≠ και έχουμε: ηµ ω συν ω συν ω συν ω συν ω εϕ ω συν ω συν ω εϕ ω 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + = ⇔ + = ⇔ = + . Άρα συν ω εϕ ω 2 2 1 1 = + . ii) Αν στην ταυτότητα ηµ ω συν ω2 2 1+ = θέσουμε συν ω εϕ ω 2 2 1 1 = + , έχουμε: ηµ ω εϕ ω ηµ ω εϕ ω ηµ ω εϕ ω εϕ ω 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 + + = ⇔ = − + ⇔ = + . Άρα ηµ ω εϕ ω εϕ ω 2 2 2 1 = + . συν ω εϕ ω 2 2 1 1 = + ηµ ω εϕ ω εϕ ω 2 2 2 1 = + .και lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 71 Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 2. Να αποδείξετε ότι: ηµ π ω συν π ω ηµ π ω συν π ω σϕ π ω ηµ ( ) ( ) ( ) 5 7 5 2 7 2 5 + ⋅ − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⋅ (( ) . 7 5 2 7 2 12 π ω συν π ω σϕ π ω ηµ ω − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − 3. Αν εϕ π εϕ π 3 6 5− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =x x , να υπολογίσετε την τιμή της παράστα- σης: εϕ π εϕ π2 2 3 6 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟x x . 4. Να αποδείξετε ότι: 0 1< + + + < εϕ π εϕ σϕ π ( ) ( ) . x x x I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν ημω = 1, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω = 0 . Α Ψ 2. Αν συνω = 0 , τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω = 1. Α Ψ 3. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω = 2 . Α Ψ 4. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω συν ω= −1 2 Α Ψ 5. ηµ ηµ2 2 20 70 1+ = Α Ψ 6. Για κάθε x∈ ισχύει ηµ π ηµ( )x x− = − Α Ψ 7. Για κάθε x∈ ισχύει ηµ ηµ2 2 x x= Α Ψ 8. Αν συν π ηµx x− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + = 2 0, τότε ηµx = 0 Α Ψ 9. Για κάθε x∈ ισχύει συν π ηµ π x x− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 6 3 0 Α Ψ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ηµ συν συν συν εϕ εϕ 495 120 495 120 120 495 ⋅ + ⋅ − − + ( ) ( ) . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = 0 ii) ηµx = 2 2 iii) συνx = 0 iv) συνx = 2 2 2. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = − 1 2 ii) ηµx = −1 iii) συνx = − 2 2 iv) συνx = −1 3. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕx = 0 ii) εϕx = 3 3 iii) σϕx =1 iv) σϕx = 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕx = − 3 3 ii) σϕx = − 3 3 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( )( )1 2 3 0− − =ηµ ηµx x ii) ( )( )2 2 1 0ηµ συνx x+ − = 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( )( )3 1 0+ − =εϕ εϕx x ii) ( )( )2 1 3 02 συν εϕ σϕx x x+ − = 7. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς πίνακες ή επιστημονικό κομπιουτε- ράκι να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = 0 951, ii) συνx = −0 809, iii) εϕx = 28 636, 8. Να λύσετε τις εξισώσεις i) . ii) συν x 5 1 0+ = iii) 3 2 7 3 0εϕ x − = 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ π x + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − 3 1 ii) 2 3 4 1συν π x − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = iii) εϕ π 4 5 3− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =x 10. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 2 1 02 ηµ ω ηµω+ − = ii) 2 3 2 02 συν συνx x+ − = iii) 3 3 2 32 εϕ εϕt t= + 11. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ συν2 2 5 4x x+ = ii) εϕ σϕx x⋅ =2 1 12. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: i) . 0 2≤ <x π, ii) . 0 2≤ <x π . ΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 89 13. Οι μηνιαίες πωλήσεις ενός εποχιακού προϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια) δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο S t = + ⋅75 50 6 ηµ π , όπου t o χρόνος σε μήνες και με t = 1 να αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε ποιους μήνες οι πωλήσεις φτάνουν τις 100000 κομμάτια. ii) Να βρείτε ποιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό πωλήσεων και πόσες είναι αυτές. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ συν π x x+ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 4 0 ii) εϕ σϕ π 2 3 3 0x x− + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 2. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ ηµ ηµ εϕx x x x⋅ + = +1 ii) . 3. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης εϕx =1 στο διάστημα (3π,4π). * 4. Να λύσετε την εξίσωση 1+συνx=ημx στο διάστημα [0,2π). 5. Να λύσετε την εξίσωση: εϕ σϕ π x x= + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 στο διάστημα [0, 2π). 3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΑθΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M M1 2, αντιστοίχως (Σχ. 1). Έστω επιπλέον και η γωνία α β− , που η τελική της πλευρά τέμνει τον τρι- γωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. 2). O O y y x xαβ α−β M (συνα, ημα)1 M (συνβ, ημβ) M(συν(α–β), ημ(α–β))2 Α(1,0) Σχ. (1) Σχ. (2) Α(1,0) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α 97 5. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ Α∆= ⋅3 , να αποδείξετε ότι: i) όπου Β ΑΒΓ= ˆ ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β = 60 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµ ηµ συν εϕ Α Β Γ Β Γ Β + − − = ( ) ( ) , να αποδείξετε ότι Α = π 2 και αντιστρόφως. *7. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) σϕ σϕ σϕ σϕ σϕ σϕΑ Β Β Γ Γ Α+ + =1, ii) 8. Να λυθεί στο διάστημα [0,π] η εξίσωση: *9. Αν 0 2 < <x y z, , π με εϕx = 1 2 , εϕy = 1 5 και εϕz = 1 8 , να αποδείξετε ότι: εϕω εϕ εϕ = + 2 3 2 Β Β , συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ Α Β Γ Β Γ Α Γ Α Β + + = 2 εϕ π εϕ π ( ) ( )4 4 2 3+ − − =x x x y z+ + = π 4 Οι τύποι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές περιπτώ- σεις των τύπων της προηγούμενης παραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύ- πους του ηµ α β( ),+ του συν α β( )+ και της εϕ α β( )+ αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε: 3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α Γ Δ Α Β ω • ηµ α2 = + = + =ηµ α α ηµασυνα συναηµα( ) • συν α2 = + = −συν α α συνασυνα ηµαηµα( ) = − −συν α συν α2 2 1( ) 2 12 συν α= − = − −( )1 2 2 ηµ α ηµ α 1 2 2 ηµ α−= Επομένως: (1) Επίσης συν α συν α ηµ α2 2 2 = − 2ημασυνα ημ2α = 2ημασυνα −= συν α ηµ α2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Επομένως: (2) Επομένως: (3) Επομένως: (4) (5) (6) συν α συν α ηµ α συν α ηµ α 2 2 1 1 2 2 2 2 2 = − = − = − • εϕ α2 = + − = εϕα εϕα εϕαεϕα1 2 1 2 εϕα εϕ α− εϕ α εϕα εϕ α 2 2 1 2 = − Από τους τύπους (2) μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συν2α. Πράγματι, έχουμε: • = − ⇔ + =συν α συν α συν α συν α2 2 1 1 2 22 2 =⇔ + συν α συν α2 1 2 2 • = − ⇔ = −συν α ηµ α ηµ α συν α2 1 2 2 1 22 2 − ηµ α συν α2 1 2 2 ⇔ = εϕ α2 = = − + = ηµ α συν α συν α συν α 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − + συν α συν α ηµ α συν α2 1 2 2 = − συν α συν α2 1 2 2 = + εϕ α συν α συν α 2 1 2 1 2 = − + lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 103 8. Να αποδείξετε ότι: i) συν π συν π4 4 8 3 8 3 4 + = ii) ηµ π ηµ π4 4 8 3 8 3 4 + = iii) 8 1 42 2 ⋅ = −ηµ ασυν α συν α 9. Αν συν α β γ x = + ,συν β γ α y = + και συν γ α β z = + , να αποδείξετε ότι: 3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνο- μετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροι- σμα σε γινόμενο. Στην παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύπους με τους οποίους γίνονται οι παραπάνω μετασχηματισμοί. Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα Από τις γνωστές μας ισότητες: ηµ α β ηµασυνβ συναηµβ( )+ = + ηµ α β ηµασυνβ συναηµβ( )− = − με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: ηµ α β ηµ α β ηµασυνβ( ) ( )+ + − = 2 δηλαδή: (1) ενώ από τις: συν α β συνασυνβ ηµαηµβ( )− = + συν α β συνασυνβ ηµαηµβ( )+ = − με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: (2) (3) 2ημασυνβ = ημ(α + β) + ημ(α – β ) 2συνασυνβ = συν(α – β) + συν(α + β) 2ημαημβ = συν(α – β) – συν(α + β) εϕ εϕ εϕ2 2 2 2 2 2 1 x y z + + = . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) 6. Να αποδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: 2 2 2 2 1 2 2 ⋅ − = ⋅ − συν συν συν Β Γ Β Γ 7. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ηµ συν συνΑ Β Γ= + , να αποδείξετε ότι Β = 90 ή Γ = 90 και αντιστρόφως. Στην προηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f(x)=ρημx, ρ > 0 είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με −ρ. Η γραφική της παράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Μια τέτοια συνάρτηση είναι, π.χ., και η f(x)=2.ημx, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f x x( ) .= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟2 4 ηµ π Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή προκύπτει από την g x x( ) = ⋅2 ηµ αν, όπου x, θέσουμε x + π 4 , δηλαδή ισχύει f x g x( ) = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ π 4 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά π 4 μονάδες, προς τα αριστε- ρά. Όμως η συνάρτηση g x x( ) = ⋅2 ηµ έχει περίοδο 2π, μέγιστο ίσο με 2 και ελάχιστο ίσο με −2. συν συν συν ηµ ηµ ηµΑ Β Γ Α Β Γ + + = + ⋅1 4 2 2 2 y = ημx y = 2ημx 2 1 O π−π 2π 3π –1 –2 y x lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) f x x x( ) ,= + +5 12 3ηµ συν ii) f x x x x( ) ( )= +4συν ηµ συν 4. Να λύσετε την εξίσωση: 5. Με συρματόπλεγμα μήκους 40m περιφράσσουμε τμή- μα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υποτεί- νουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία θrad (Σχήμα). i) Να αποδείξετε ότι: h = + + 40 1ηµθ συνθ ii) Για ποια τιμή του θ το h παίρνει τη μικρότερη τιμή και ποια είναι αυτή; 6. Στο διπλανό σχήμα: i) Να δείξετε ότι η περίμετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται με Ρ = + +1 2 2ηµ θ συν θ. ii) Για ποια τιμή του θ το Ρ παίρνει τη μεγαλύτε- ρη τιμή και ποια είναι αυτή; 3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το κλασικό πρόβλημα της Τριγωνομετρίας, από το οποίο πήρε και το όνομά της, είναι η επίλυση τριγώνου, δηλαδή ο υπολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του. Η επίλυση τριγώνου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των παρακάτω δυο βα- σικών θεωρημάτων, που είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημιτόνων και το άλλο ως νόμος των συνημιτόνων. ΘΕΩΡΗΜΑΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: όπου R, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Νόμος των ημιτόνων α ηµ β ηµ γ ηµΑ Β Γ = = = 2R h θ 2 3 2 1⋅ ⋅ − = −ηµ συν ηµx x x( ) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το xν ν α− είναι παράγοντας του xµ µ α− , (μ, ν θετικοί ακέραιοι). 2. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το αx+β, α ≠ 0 είναι υ β α = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟P . ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο α βx3 + διαιρεί- ται με το αx+β. 3. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώ- νυμο P x x x x x( ) = − + − +2 6 5 3 24 3 2 διαιρείται με το (x-1)(x-2) και να βρείτε το πηλίκο. 4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P x x x x( ) ( ) ,= + − −2 2ν ν έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του 2 33 2 x x x+ + . 5. Να υπολογίσετε τους α β, ∈ , για τους οποίους το P x x x( ) = + ++ α βν ν1 1 έχει παράγοντα το ( ) .x −1 2 Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων α β α β γx x x+ = + + =0 02 , και α β γx x4 2 0+ + = , με α ≠ 0 Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής α α α αν ν ν ν x x x+ + + + =− − 1 1 1 0 0...... , αν ≠ 0 Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2 5 2 03 2 x x x− + − = και − + + =3 5 1 06 2 x x εί- ναι πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου P x x x x( ) ......= + + + +− − α α α αν ν ν ν 1 1 1 0, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0. Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, έτσι και για τις πο- λυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυ- τού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 177 Οι φυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογι- στή τσέπης, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν: Αλλαγή βάσης Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 10 και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ln325 325 ln0,37 0.37 Αν α,β>0 με α β, ≠1 , τότε για κάθε θ>0 ισχύει: Έστω ότι είναι log .β θ = x Τότε θ β= x , οπότε: log log log log logα α α β αθ β β θ β= = = ⋅x x (επειδή x = logβ θ ) Άρα έχουμε: log log log ,β α αθ β θ⋅ = οπότε log log log β α α θ θ β = ΣΧΟΛΙΟΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε: log log log β θ θ β = και log ln ln β θ θ β = Επομένως ο υπολογισμός του logβ θ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ. Για παράδειγμα είναι: Επειδή το σύμβολο logαθ ορίσθηκε μόνο όταν α > 0 με α ≠1 και θ > 0, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > 0 με α ≠1 και θ > 0 χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα. log log log ,2 17 17 2 4 087462841= = ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ*ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ* log log log β α α θ θ β = ΠΡΟΣΟΧΗ ! In = 5.783825172 0.994252273=In lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 181 5. Να αποδείξετε ότι: * 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε x> 0 ισχύει: *7. Να αποδείξετε ότι: i) log logα ββ α⋅ =1 ii) log logα ββ α2 3 6⋅ = iii) log log logα β γβ γ α⋅ ⋅ =1 *8. Να αποδείξετε ότι: i) log logα α θ θ+ =1 0 ii) log ( ) log ( ) log ( ) log ( )α β α βαβ αβ αβ αβ+ = ⋅ log logα α x x= 2 2 5.3 ΛΟΓΑΡΙθΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η λογαριθμική συνάρτηση Έστω α ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας. Όπως είδαμε στην παράγραφο 4.2, για κάθε x>0 ορίζεται ο log .α x Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε x∈ +∞( , )0 στο log ,α x ορίζουμε τη συνάρτηση f :( , )0 +∞ → με f x x( ) log= α Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α. Ας θεωρήσουμε, τώρα, τη λογαριθμική συνάρτηση f x x( ) log .= α Επειδή log ,α αx y xy = ⇔ = αντοΜ(ξ,η)είναισημείοτηςγραφικήςπαράστασηςτηςσυνάρτησης y x= log ,α τότε το Ν(η,ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = αx και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, Μ(ξ,η) και Ν(η,ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xÔy και x Ô y.' ' Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και y = α x είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xÔy και x Ô y.' ' y x= logα lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 Β ΛΥΚΕΙΟΥ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωµετρία 9 1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας....................................................... 10 1.2 Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωµετρίας.......................... 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα 15 2.1 Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες ......................................................................... 16 2.2 Το επίπεδο.......................................................................................................... 16 2.3 Η ευθεία.............................................................................................................. 17 2.4 Η ηµιευθεία ........................................................................................................ 17 2.5 Το ευθύγραµµο τµήµα....................................................................................... 17 2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο.................................................................................. 18 2.7 Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων ................................................................... 18 2.8 Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων.......................................................... 19 2.9 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων............................... 20 2.10 Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο................................................................... 20 2.11 Ηµιεπίπεδα ......................................................................................................... 21 2.12 Η γωνία............................................................................................................... 22 2.13 Σύγκριση γωνιών ............................................................................................... 22 2.14 Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία ................................................................ 24 2.15 Πράξεις µεταξύ γωνιών...................................................................................... 25 2.16 Απλές σχέσεις γωνιών........................................................................................ 25 2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου......................................................................... 28 2.18 Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου ..................................... 30 2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας .................................................................................... 33 2.20 Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου................................. 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων ................................................................................ 40 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 41 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου ................................................................... 49 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων......................................................... 49 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος.................................................................. 55 3.8 Κεντρική συµµετρία............................................................................................ 56 3.9 Αξονική συµµετρία............................................................................................. 57 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας .............................................................. 59 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών........................................................... 60 3.12 Τριγωνική ανισότητα.......................................................................................... 60 3.13 Κάθετες και πλάγιες............................................................................................ 64 3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου ................................................................... 66 3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα ......................................................................................... 68 3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων .............................................................................. 69 3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές ......................................................................... 73 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων........................................................................... 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79 4.1 Εισαγωγή............................................................................................................ 80 4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα ..................................................... 80 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας....................................................................... 83 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες......................................................................... 84 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου........................................................................ 85 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου.............................................................................. 88 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες................................................................................. 89 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου .................................................................. 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 101 5.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 102 5.2 Παραλληλόγραµµα.......................................................................................... 102 5.3 Ορθογώνιο....................................................................................................... 105 5.4 Ρόµβος.............................................................................................................. 106 5.5 Τετράγωνο........................................................................................................ 107 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα................................................................................... 109 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου...................................................................................... 112 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου................................................................................. 113 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου......................................................... 114 5.10 Τραπέζιο ........................................................................................................... 117 5.11 Ισοσκελές τραπέζιο........................................................................................... 118 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου................................................... 121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα 127 6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί....................................................................................... 128 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης........................................... 128 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης ....................................................................... 129 6.4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία ........................................................ 131 6.5 Το εγγεγραµένο τετράπλευρο.......................................................................... 135 6.6 Το εγγράψιµο τετράπλευρο ............................................................................. 136 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων........................................................... 140 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες 147 7.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 148 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη ............................................ 148 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων ...................................................................... 148 7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες................................................... 150 7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος....................................................................... 151 7.6 ∆ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο .......... 151 7.7 Θεώρηµα του Θαλή......................................................................................... 154 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου............................................................. 160 7.9 Απολλώνιος Κύκλος........................................................................................ 163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα 171 8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα...........................................................................172 8.2 Κριτήρια οµοιότητας.................................................................................................... 173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 183 9.1 Ορθές προβολές .............................................................................................. 184 9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρηµα................................................................................. 184 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές................................................................................... 188 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος....................................................... 190 9.5 Θεωρήµατα ∆ιαµέσων ..................................................................................... 196 9.6 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι ............................................................................... 197 9.7 Τέµνουσες κύκλου........................................................................................... 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά 209 10.1 Πολυγωνικά χωρία .......................................................................................... 210 10.2 Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα.......... 210 10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων................................................... 211 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου ............................................................ 217 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων........................................... 220 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του.......................................... 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 229 11.1 Ορισµός κανονικού πολυγώνου ..................................................................... 230 11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων ................................................ 230 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους ........ 235 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα ....................... 240 11.5 Μήκος τόξου .................................................................................................... 241 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα............................ 243 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος .......................................... 243 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου.................................................................................... 246 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 255 12.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 256 12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του................................................. 257 12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων ............................................................. 259 12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή.................................. 263 12.5 Γωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες....................................................... 267 12.6 Απόσταση σηµείου από επίπεδο - Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων.............................................................. 272 12.7 ∆ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα ............... 275 12.8 Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο - Γωνία ευθείας και επιπέδου ............................................................................. 280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα 285 13.1 Περί πολυέδρων .............................................................................................. 286 13.2 Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος................................................................ 288 13.3 Παραλληλεπίπεδο - κύβος .............................................................................. 289 13.4 Μέτρηση πρίσµατος ......................................................................................... 290 13.5 Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας ..................................................................... 296 13.6 Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο..................................................................... 298 13.7 Μέτρηση πυραµίδας ........................................................................................ 298 13.8 Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας.................................................... 301 13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας................................................... 301 13.10 Στερεά εκ περιστροφής .................................................................................... 304 13.11 Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου ..................................................................... 304 13.12 Μέτρηση κυλίνδρου ........................................................................................ 305 13.13 Ορισµός και στοιχεία κώνου............................................................................ 307 13.14 Μέτρηση του κώνου ........................................................................................ 307 13.15 Κόλουρος κώνος.............................................................................................. 309 13.16 Ορισµός και στοιχεία σφαίρας ......................................................................... 311 13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα................................................. 312 13.18 Μέτρηση σφαίρας ............................................................................................ 313 13.19 Κανονικά πολύεδρα......................................................................................... 318 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A΄................................................................................................................... 323 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ ................................................................................................................... 329 ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ............................................................................................ 332 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ................................................................................................................ 349 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ.................................................................................................... 352 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ..................................................................................................................... 355 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
148 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 7.1 Εισαγωγή Μέγεθος γενικά λέγεται οτιδήποτε επιδέχεται αύξηση ή ελάττωση. Γεωμετρικά μεγέθη λέγονται τα μεγέθη που εξετάζονται από τη Γεωμετρία. Τέτοια είναι τα ευθύγραμμα τμήματα, οι γωνίες, τα τόξα, οι επιφάνειες επίπεδων σχημά- των, οι όγκοι των στερεών κτλ. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τα απλούστερα γε- ωμετρικά μεγέθη, τα ευθύγραμμα τμήματα. Αρχικά θα διαιρέσουμε δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα μέρη. 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, το οποίο θέλουμε να διαι- ρέσουμε σε ν ίσα μέρη (ν ≥ 2). Φέρουμε τυχαία ημιευθεία Αx, διαφορετική από την ΑΒ και παίρνουμε με το διαβήτη πάνω σε αυτή ν διαδοχικά ίσα τμή- ματα ΑΜ1 = M1M2 = ... = Μν-1Μν. Έπειτα φέρουμε το τμήμα ΜνΒ και από τα σημεία Μ1, Μ2, ..., Μν-1 φέρουμε παράλληλες προς τη ΜνΒ που τέμνουν το ΑΒ στα σημεία Ρ1,Ρ2, ..., Ρν-1 αντίστοιχα. Οι παράλληλες αυ- τές, σύμφωνα με το θεώρημα III, §5.6, ορίζουν ν ίσα τμήμα- τα πάνω στην ΑΒ. Επομένως τα ν ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΡ1, Ρ1Ρ2, ..., Ρν-1Β είναι τα ζητούμενα. Στη συνέχεια θα ορίσουμε, γενικά, το γινόμενο ευθύγραμ- μου τμήματος με οποιονδήποτε ρητό αριθμό και το λόγο δύο ευθύγραμμων τμημάτων. 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων • Όπως είδαμε στην §2.8, αν ΑΒ = α ευθύγραμμο τμήμα και ν φυσικός αριθμός, ονομάζουμε γινόμενο του τμήματος ΑΒ επί το φυσικό αριθμό ν το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι το άθροισμα ν ευθύγραμμων τμημάτων ίσων προς το ΑΒ = α. Γράφουμε ΓΔ = ν ∙ ΑΒ. • Αν χωρίσουμε, όπως παραπάνω, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = α σε ν ίσα μέρη καθένα από τα ν ίσα τμήματα τα παριστάνουμε με ΑΒ ν ή 1 ν ∙ ΑΒ. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ λέγεται υποδιαίρεση (ή υποπολλαπλάσιο) του ΑΒ αν Σχήµα 1 A Ρ1 Ρ2 Ρν-1 Μ1 Μ2 Μν-1 Μν B x Σχήµα 2 α α α α ν φορές Γ Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
152 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Πράγματι, αν Μʹ εσωτερικό σημείο του ΑΒ ώστε ΜʹΑ ΜʹΒ = λ, τότε έχουμε: ΜΑ ΜΒ Μ Α Μ Β ΜΑ ΜΑ ΜΒ Μ Α Μ Α Μ Β = ′ ′ ⇔ + = ′ ′ + ′ ⇔ ⇔ = ′ ⇔ = ′ ΜΑ ΑΒ Μ Α ΑΒ ΜΑ Μ Α, οπότε το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Μʹ. Αν ΜΑ ΜΒ = λ, τότε ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΑ ΜΒ = ⇔ + = + ⇔ λ λ λ1 1 ΜΜΑΑ ΑΑΒΒ== ++ λλ λλ 1 και ΜΒ ΑΒ ΜΑ ΑΒ ΑΒ= − = − + ⇔ λ λ 1 ΜΜΒΒ ΑΑΒΒ== ++ 1 1λλ . 2) Αν Μ σημείο στην προέκταση του ευθύγραμμου τμή- ματος ΑΒ, τότε πάλι ο λόγος των αποστάσεών του από τα Α και Β ισούται με ΜΑ ΜΒ . Λέμε ότι το Μ διαιρεί εξωτε- ρικά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο αν ΜΑ ΜΒ = λ. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και σε αυτή την περίπτωση, το σημείο Μ είναι μοναδικό. ∆ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ i) Αν λ = 1, τότε προφανώς δεν υπάρχει σημείο Μ που να διαιρεί εξωτερικά το ΑΒ σε λόγο λ = 1, αφού ΜΑ ≠ ΜΒ. Στην περίπτωση αυτή το Μ είναι το μέσο του ευθύ- γραμμου τμήματος. ii) Αν λ > 1, τότε ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ> ⇔ >1 , οπότε το Μ βρί- σκεται στην προέκταση του ΑΒ, προς το μέρος του Β (σχ.5). Στην περίπτωση αυτή έχουμε: ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΑΒ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔λ λ λ λ λ λ1 1 1 ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΑΒ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔λ λ λ λ λ λ1 1 1 ΜΜΑΑ ΑΑΒΒ== −− λλ λλ 1 και ΜΒ ΜΑ ΑΒ ΑΒ ΑΒ= − = − − ⇔ λ λ 1 ΜΜΒΒ ΑΑΒΒ== −− 1 1λλ . iii) Αν λ < 1 τότε ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ< ⇔ <1 , οπότε το Μ βρί- Σχήµα 5 x yA B Μ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
154 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 7.7 Θεώρηµα του Θαλή Είδαμε στην §5.6 ότι αν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες και ορίζουν ίσα τμήματα πάνω στη μία, θα ορίζουν ίσα τμήματα και πάνω στην άλλη. Τα παραπάνω γενικεύονται για οποιονδήποτε λόγο στο επόμενο θεώρημα που είναι γνωστό ως θεώρημα του Θαλή. Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δυο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. ΘΕΩΡΗΜΑ Δηλαδή: Αν ε1//ε2//ε3, τότε ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ = ΑΓ ΕΗ (σχ.8α). Αν δ1//δ2//δ3, τότε ΚΛ ΕΖ = ΛΜ ΖΗ = ΚΜ ΕΗ (σχ.8β). ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Αν τα τμήματα ΑΒ και ΒΓ (σχ.9) είναι σύμμετρα, υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα μ τέτοιο, ώστε ΑΒ = κμ και ΒΓ = λμ (1), όπου κ, λ φυσικοί αριθμοί. Διαιρούμε το τμήμα ΑΒ σε κ τμήματα ίσα με το μ και το ΒΓ σε λ τμήματα ίσα με το μ. Από τα σημεία που ορίζονται με τον παραπάνω τρό- πο φέρουμε ευθείες παράλληλες προς την ε1, οι οποίες τέμνουν τη δ2. Επειδή τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ1 είναι ίσα μεταξύ τους, τότε και τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ2 θα είναι ίσα τμήματα, που το μήκος του καθενός ας είναι ν. Τότε θα έχουμε ΕΖ = κν και ΖΗ = λν (2). 2. Ο λόγος μιας γωνίας ω προς την παρα- πληρωματική της είναι 1 3 . Να βρεθεί η γωνία ω. 3. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 6, 3, 4. Αν η περί- μετρος του τριγώνου είναι 65cm, να βρε- θούν τα μήκη των πλευρών του. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών 2, 3 και 4. Να υπο- λογισθούν οι εσωτερικές του γωνίες. 2. Σε ευθεία ε παίρνουμε διαδοχικά τα ση- μεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε ΑΒ = 6cm, ΒΓ = 12cm, ΓΔ = 2cm. Να βρεθεί σημείο Μ του ΒΓ, το οποίο διαιρεί εσωτερικά τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ στον ίδιο λόγο. 3. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ανα- λογιών, να διαιρέσετε δοσμένο τμήμα AB = α σε δύο τμήματα, τα οποία έχουν λόγο 3 4 . Σχήµα 8 ε1 ε2 ε3 ε ε α β δ1 δ2 A Ε B Ζ Γ Η Κ Ε Ζ Λ Η Μ δ1 δ2 δ3 Σχήµα 9 ε1 ε2 ε3 δ1 δ2 A Ε B Ζ Γ Η lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
155 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: ΑΒ ΒΓ = κμ λμ = κ λ και ΕΖ ΖΗ = κν λν = κ λ , οπότε ΑΒ ΒΓ = ΕΖ ΖΗ ή ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ (3). Από την αναλογία (3) παίρνουμε: ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ = ΑΒ + ΒΓ ΕΖ + ΖΗ ή ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ = ΑΓ ΕΖ . ii) Αν τα τμήματα ΑΒ και ΒΓ είναι ασύμμετρα, ο λόγος ΑΒ ΒΓ είναι ασύμμετρος αριθμός. Αποδεικνύεται ότι και σε αυτή την περίπτωση ισχύει η προηγούμενη αναλογία. Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή. Θεωρούμε δύο ευθείες δ1 και δ2 που τέμνουν δύο παράλλη- λες ευθείες ε1 και ε2 στα σημεία Α, Β και Ε, Ζ αντίστοιχα. Αν Γ και Η είναι σημεία των ευθειών δ1 και δ2 αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΑΒ ΒΓ = ΕΖ ΖΗ , τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλ- ληλη προς τις ε1 και ε2 (σχ.9). ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη με μία από τις πλευ- ρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο άλλες πλευρές σε μέρη ανάλογα και αντίστροφα. ΠΟΡΙΣΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΕ//ΒΓ (σχ.10). Φέρουμε από την κορυφή Α ευθεία ε//ΒΓ//ΔΕ, οπότε από το θεώρημα του Θαλή προκύπτει ότι ΑΔ ΑΕ = ΔΒ ΕΓ . Μια σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή είναι το επόμενο θεώρημα. Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τρι- γώνου. ΘΕΩΡΗΜΑ Σχήµα 10 A Δ Ε B Γ ε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το παραπάνω πόρισμα ισχύει και στην περίπτωση που η ΔΕ τέμνει τις προεκτάσεις των πλευ- ρών του τριγώνου ΑΒΓ. Σχήµα 11 Ε Δ B Γ A lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
157 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ Δύο σημεία Γ και Δ, που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα ΑΒ στον ίδιο λόγο, λέγονται συζυγή αρμονικά των Α και Β (σχ.16). Δηλαδή τα Γ και Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α και Β, αν τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά και ΓΑ ΓΒ = ΔΑ ΔΒ . Από τη σχέση αυτή παίρνουμε την αναλογία ΓΑ ΔΑ = ΓΒ ΔΒ ή ΑΓ ΑΔ = ΒΓ ΒΔ , από την οποία προκύπτει ότι και τα Α και Β είναι συζυγή αρμονικά των Γ και Δ. Τα τέσσερα σημεία (Α, Β) και (Γ, Δ) λέμε ότι αποτελούν αρμονική τετράδα. A B Γ Δ Σχήµα 16 ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ∆ΟΣΜΕΝΟ ΛΟΓΟ Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, εσωτερικά και εξωτερικά, σε δοσμένο λόγο μ ν , όπου μ, ν γνωστά τμήματα. Λύση Από το Α φέρουμε μια ημιευθεία Αx, πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα ΑΕ = μ. Από το Β φέρουμε ευθεία πα- ράλληλη της Αx και παίρνουμε πάνω σε αυτή εκατέρωθεν του Β τμήματα ΒΖ = ΒΗ = ν. Τα σημεία Γ και Δ στα οποία οι ευθείες ΕΗ και ΕΖ τέμνουν την ευθεία ΑΒ είναι τα ζητούμενα. Πράγματι, τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΓΗΒ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε: ΓΑ ΓΒ = ΑΕ ΒΗ = μ ν . Όμοια τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΔΒΖ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε: ΔΑ ΔΒ = ΑΕ ΒΖ = μ ν . • Αν μ = ν, το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι παραλληλόγραμ- μο, οπότε η ΕΖ δε δίνει σημείο Δ πάνω στην ΑΒ, ενώ το Γ είναι το μέσο του ΑΒ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ2 A B ΔΓ Η Ε μ ν ν x Ζ Ε A BΓ Ζ μ ν ν Η Σχήµα 14 Σχήµα 15 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Το Δ λέγεται αρμονικό συζυ- γές του Γ ως προς τα Α και Β. Όπως είδαμε παραπάνω, αν το Γ είναι το μέσο του ΑΒ, το Δ δεν υπάρχει. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
159 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ Οι παράλληλες από τα Δ και Ε προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα τέμνουν την ΑΒ στο Ζ και την ΑΓ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΖΗ//ΒΓ. 7. Από τυχαίο σημείο Κ της διαμέσου ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΒ και ΑΓ, που τέμνουν τη ΒΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ. 8. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και Ε το μέσο της μικρής βάσης ΑΒ. Αν η ΔΕ τέ- μνει την ΑΓ στο Ζ και την προέκταση της ΓΒ στο Η, να αποδείξετε ότι τα Ζ, Η είναι συζυγή αρμονικά των Δ, Ε. 9. Δεξαμενή ύψους υ = 12m περιέχει νερό που φτάνει σε ύψος h. Ράβδος μήκους 15m τοποθετείται στη δεξαμενή, όπως στο παρακάτω σχήμα. Βγάζουμε τη ράβδο και παρατηρούμε ότι το τμήμα που βρέχτηκε έχει μήκος 10m. Μπορούμε να υπολογί- σουμε το ύψος h του νερού; { {12m h Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Αν τα Γ, Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β και Ο είναι το μέσο του ΑΒ, να αποδείξε- τε ότι τα Γ και Δ βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Ο. 2. Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα AB = a σε τμήματα x, y, ω τέτοια, ώστε 4x=6y= 3ω. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ- κλο (Ο, R) και έστω Δ η τομή της διαμέ- τρου ΑΕ με τη ΒΓ. Αν Ζ και Η είναι οι προβολές του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοι- χα, να αποδείξετε ότι ΖΗ//ΒΓ. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ση- μείο Ε της ΔΒ τέτοιο, ώστε ΔΕ = 1 5 ΔΒ. Αν η ΓΕ τέμνει την ΑΔ στο Ζ, να αποδεί- ξετε ότι ΑΖ = 3ΔΖ. 5. Από την κορυφή Β παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρουμε ευθεία ε, που τέμνει την πλευρά ΑΔ στο Ε και την προέκταση της ΓΔ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΔΑ ΔΕ – ΔΓ ΔΖ = 1. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε της ΒΓ ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ. Η παράλλη- λη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει τη διάμεσο ΑΜ στο Κ. Να αποδείξετε ότι: i) Το Κ είναι το βαρύκεντρο του τριγώ- νου ΑΒΓ. ii) ΚΕ//ΑΓ. 7. Τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) οι διαγώνιες ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο Ο. Από το Ο φέ- ρουμε παράλληλες προς τις ΑΔ, ΒΓ που τέμνουν τη ΔΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΓΖ. Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ώστε ΔΑ ΔΒ = ΕΓ ΕΑ . Να αποδείξετε ότι τα μέσα Κ, Λ, Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντίστοιχα, είναι συνευ- θειακά σημεία. 2. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τυχαία ευθεία, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΖΑ ∙ ΗΓ = ΗΑ ∙ ΖΒ. 3. Δίνεται ευθεία ε, τέσσερα διαδοχικά ση- μεία της Α, Γ, Β, Δ και σημείο Ο εκτός αυ- τής. Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΟΑ, η οποία τέμνει τις ΟΓ, ΟΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα Γ, Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β, αν και μόνο αν ΒΕ = ΒΖ. 4. Αν ένα σημείο Δ χωρίζει εσωτερικά την πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ σε λόγο λ και ένα σημείο Ε χωρίζει εσωτερικά το ΑΔ σε λόγο κ, να υπολογισθεί ο λόγος στον οποίο χωρί- ζει η ευθεία ΒΕ την πλευρά ΑΓ. 5. Η εφαπτομένη ενός κύκλου σε σημείο του Μ τέμνει τις εφαπτόμενες στα άκρα Α, Β μιας διαμέτρου του ΑΒ, στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Αν Κ είναι το σημείο τομής των ΒΓ, ΑΔ, να αποδείξετε ότι ΜΚ⊥ΑΒ. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
160 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου Θα μελετήσουμε εδώ, ως εφαρμογές του θεωρήματος του Θαλή, βασικές ιδιότητες της εσωτερικής και εξωτερικής δι- χοτόμου γωνίας τριγώνου. Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκεί- μενων πλευρών. ΘΕΩΡΗΜΑ (εσωτερικής διχοτόµου τριγώνου) Δηλαδή, αν ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ . ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ (σχ.18). Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΔ, που τέμνει την προέ- κταση της ΑΓ στο Ε. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρίγω- νο ΓΕΒ έχουμε ΔΒ ΔΓ = ΑΕ ΑΓ (1). Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΕ = ΑΒ. Πράγματι: Â1 = B̂ 1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ), Â2 = Ê (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ), Â1 = Â2 (ΑΔ διχοτόμος), οπότε B̂ 1 = Ê άρα ΑΕ = ΑΒ (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ . Επειδή το σημείο Δ που διαιρεί την πλευρά ΒΓ σε λόγο ΑΒ ΑΓ είναι μοναδικό, το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: Αν τοΔείναι σημείο της πλευράς ΒΓ και ισχύει ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ τότε η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Â. Σχήµα 17 1 2 A B ΓΔ Σχήµα 18 1 1 2 A B ΓΔ Ε lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
161 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ ► Υπολογισµός των ευθύγραµµων τµηµάτων, στα οποία διαιρεί η διχοτόµος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α, β, γ. Στο σχ.18 θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Δ από τα Β και Γ. Η προηγούμενη αναλογία γράφεται: ΔΒ ΔΓ = γ β ή ΔΒ ΔΒ + ΔΓ = γ β + γ ή ΔΒ α = γ β + γ οπότε ΔΒ = αγ β + γ . Όμοια βρίσκουμε ΔΓ = αβ β + γ . Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. ΘΕΩΡΗΜΑ (εξωτερικής διχοτόµου τριγώνου) Δηλαδή, αν η ΑΕ είναι εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ότι: ΕΒ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ . ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η εξωτερική διχοτόμος του ΑΕ (σχ.20). Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΕ, που τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρί- γωνο ΓΑΕ έχουμε ΕΒ ΕΓ = ΑΖ ΑΓ (1). Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΖ = ΑΒ. Πράγματι: Â1 = B̂ 1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ), Â2 = Ẑ1 (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ), Â1 = Â2 (ΑΕ εξωτερική διχοτόμος), οπότε B̂ 1 = Ẑ1 άρα ΑΕ = ΑΒ (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΕΒ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ . Σχήµα 19 1 2 A B ΓΕ Σχήµα 20 1 1 1 2 2 A B Γ Ε Ζ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
162 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν Δ και Ε είναι τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Â, τριγώνου ΑΒΓ, στην απέναντι πλευρά, θα είναι ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ και ΕΒ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ , οπότε ΔΒ ΔΓ = ΕΒ ΕΓ . Δηλαδή τα ίχνη Δ και Ε των δύο διχοτόμων είναι σημεία συζυγή αρμονικά ως προς τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. Σχήµα 21 1 23 4 A B ΓΔΕ Το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: Αν το Ε είναι σημείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ και ισχύει ΒΕ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ , τότε η ΑΕ είναι η εξωτερική διχοτό- μος της γωνίας Â. ► Υπολογισµός των ευθύγραµµων τµηµάτων στα οποία διαιρεί η εξωτερική διχοτόµος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α, β, γ. Στο σχ.20 θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Ε από τα Β και Γ. Η προηγούμενη αναλογία γράφεται: ΕΒ ΕΓ = γ β ή ΕΒ ΕΓ – ΕΒ = γ β – γ ή ΕΒ α = γ β – γ , οπότε ΕΒ = αγ β – γ . Όμοια βρίσκουμε ότι ΕΓ = αβ β – γ . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το σημείο Ε βρίσκεται προς το μέρος της μικρότερης πλευράς. Πράγ- ματι αν β > γ τότε B̂ > Γ̂ οπότε Γ̂ = φ > 0. Αρκεί να αποδείξουμε ότι Â1 + B̂ 2 < 180° . Έχουμε Â1 = Âεξ 2 = B̂ + Γ̂ 2 και B̂ 2 = 180° – B̂ , οπότε Â1 + B̂ 2 = 180° – B̂ + B̂ 2 + Γ̂ 2 = 180° – ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ B̂ – Γ̂ 2 = 180° – φ 2 < 180°. Αν ΑΒ = ΑΓ, τότε το Ε δεν υπάρχει. (Εφαρμογή 1 - §4.8) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
163 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ 7.9 Απολλώνιος Κύκλος Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που οι αποστάσεις τους από δύο ορισμένα σημεία Α και Β του επιπέδου έχουν γνωστό λόγο μ ν ≠ 1. Λύση Έστω δύο δεδομένα σημεία Α, Β και Μ τυχαίο ση- μείο του τόπου με την ιδιότητα ΜΑ ΜΒ = μ ν (1). Φέρουμε την εσωτερική διχοτόμο ΜΓ και την εξωτε- ρική διχοτόμο ΜΔ του τριγώνου ΜΑΒ. Τότε ΓΑ ΓΒ = ΜΑ ΜΒ = μ ν (2) και ΔΑ ΔΒ = ΜΑ ΜΒ = μ ν (3). Δηλαδή, τα σημεία Γ και Δ είναι ορισμένα, αφού χωρίζουν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο μ ν . Ακόμα είναι ΓM̂ Δ = 90°, επειδή οι ΜΓ και ΜΔ είναι διχοτόμοι των δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών ΑM̂ Β και ΒM̂ Η. Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο με διάμετρο το τμήμα ΓΔ. Αντίστροφα: Έστω Ν ένα σημείο του κύκλου με διάμετρο το τμήμα ΓΔ. Τότε ΓN̂ Δ = 90°. Θα αποδείξουμε ότι ΝΑ ΝΒ = μ ν . Από το Β φέρουμε ΒΕ//ΓΝ, οπότε στο τρίγωνο ΑΒΕ είναι ΝΑ ΝΕ = ΓΑ ΓΒ ή λόγω της (2) ΝΑ ΝΕ = μ ν (4). Επίσης φέρουμε ΒΖ//ΔΝ, οπότε στο τρίγωνο ΑΔΝ είναι ΝΑ ΝΖ = ΔΑ ΔΒ ή λόγω της (3) ΝΑ ΝΖ = μ ν (5). Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει ότι ΝΑ ΝΕ = ΝΑ ΝΖ , οπότε ΝΕ = ΝΖ, δηλαδή το Ν είναι μέσο του ΕΖ. Επειδή ΓN̂ Δ = 90° και ΒΕ//ΓΝ, ΒΖ//ΔΝ, θα είναι και EB̂ Z = 90°, δηλαδή το τρίγωνο ΕΒΖ είναι ορθογώνιο στο B̂ με διάμεσο ΒΝ, οπότε ΝΒ = ΝΕ = ΝΖ (6). Από τις σχέσεις (4) και (6) έχουμε ΝΑ ΝΒ = μ ν . Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με διάμετρο ΓΔ. Κατασκευή: Αν δοθούν τα σημεία Α και Β και ο λόγος μ ν , διαιρούμε το τμήμα ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο μ ν , όπως στο πρόβλημα 2, §7.7 και βρίσκουμε τα Γ και Δ. Στη συνέχεια γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο ΓΔ. Διερεύνηση: Αν είναι μ ν = 1, τότε ΜΑ ΜΒ = 1 ή ΜΑ = ΜΒ. Άρα το Μ ισαπέχει από τα Α και Β, οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ A B Γ Δ Ε Ζ Ν Η Μ Σχήµα 22 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
165 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ 1. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους ΔΕ και την ΑΒ κάθετη στη ΔΕ. Να αποδείξετε ότι AB R R = + 2 ρ ρ . 2. Μια μεταβλητή ευθεία ε διέρχεται από το βαρύκεντρο Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ και τέ- μνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα Δ, Ε αντίστοι- χα. Να αποδείξετε ότι ∆Β ∆Α ΕΓ ΕΑ + = 1. 3. i) Θεώρημα Μενελάου. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε που τέμνει τις ευθείες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ στα Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ∆Α ∆Β ΕΒ ΕΓ ΖΓ ΖΑ ⋅ ⋅ = 1. ii) Θεώρημα Ceva. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ των ευθειών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ συντρέχουν, τότε ισχύει: ∆Β ∆Γ ΕΓ ΕΑ ΖΑ ΖΒ ⋅ ⋅ = 1. Να εξετασθεί και για τα δύο θεωρήματα, αν ισχύει το αντίστροφο. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Δίνονται οι διαδοχικές γωνίες xÔy = yÔz = zÔt = 45° και τα σημεία Α, Δ των Οx, Ot αντίστοιχα, τέτοια ώστε OA = ΟΔ. Αν Β, Γ είναι τα σημεία τομής της ΑΔ με τις Oy, Οz αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΑΒ 2 = ΒΓ ∙ΑΔ. 2. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ ενός τρι- γώνου ΑΒΓ φέρουμε την παράλληλη στη διχοτόμο του ΑΔ, που τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΑΔ και το έγκεντρό του I. i) Να υπολογισθεί ο λόγος ΑΙ ΙΔ , ως συ- νάρτηση των πλευρών α, β, γ του τρι- γώνου. ii) Αν β + γ = 2α και Κ το βαρύκεντρο του τριγώνου, τότε: α) ΙΚ//ΒΓ β) ΖΕ = +β γ 3 , όπου Ζ, Ε τα σημεία τομής των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα με την ευθεία ΙΚ. 4. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών B̂ και Γ̂ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τέμνουν τη διάμεσό του ΑΜ στα Δ και Ε αντίστοιχα, να αποδείξε- τε ότι Α∆ ∆Μ ΑΕ ΕΜ + > 2. 5. Οι μη παράλληλες πλευρές τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) τέμνονται στο Ο. Αν η δι- χοτόμος της γωνίας ΑÔΒ τέμνει τις ΑΒ, ΓΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) ΖΔ∙ΒΓ = ΖΓ∙ΑΔ , ii) ΕΑ∙ΒΓ = ΕΒ∙ΑΔ . Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ- κλο (Ο, R). Αν η κάθετη διάμετρος ΚΛ στη ΒΓ τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρ- μονικά των Κ, Λ. 2. Αν οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών τε- τραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται πάνω στη δια- γώνιο που ενώνει τις δύο άλλες κορυφές του, τότε είναι ΑΒ ∙ ΓΔ = ΑΔ ∙ ΒΓ. Να εξε- τασθεί αν ισχύει η αντίστροφη πρόταση. 3. Δίνεται τόξο A͡ B κύκλου (Ο, R). Να ορί- σετε σημείο Μ του τόξου A͡ B, τέτοιο ώστε ΜΑ ΜΒ = μ ν , όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = ΒΖ. Αν Η είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΔΖ, να αποδεί- ξετε ότι η ΓΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΓ̂ Δ. 5. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ = α, ύψος ΑΗ = υ και ΑΒ ΑΓ = μ ν , όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
173 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ (ανάλογα αποδεικνύεται για ευθύγραμμα σχήματα με περισσότερες κορυφές). Λόγω της ομοιότητας θα έχουμε ότι ΑʹΒʹ ΑΒ = ΒʹΓʹ ΒΓ = ΓʹΔʹ ΓΔ = ΔʹΕʹ ΔΕ = ΕʹΑʹ ΕΑ = λ, και από τις ιδιότητες των αναλογιών, το άθροισμα των αριθ- μητών προς το άθροισμα των παρονομαστών ισούται με λ, δηλαδή: ΑʹΒʹ+ ΒʹΓʹ+ ΓʹΔʹ+ ΔʹΕʹ+ ΕʹΑʹ ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΑ = λ. 8.2 Κριτήρια οµοιότητας Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με την ομοιότητα των τριγώνων, καθώς αποδεικνύεται (εφαρμογή 3) ότι δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο Οµοιότητας) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με Â = Âʹ, B̂ = B̂ ʹ, οπότε και Γ̂ = Γ̂ ʹ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, επομένως υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ τέτοιο, ώστε ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από τη Βʹʹ φέρουμε παράλ- ληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ. Τότε τα τρίγω- να ΑΒʹʹΓʹʹκαι ΑΒΓ είναι όμοια, αφού ισχύει ότι ΒʹʹΓʹʹ//ΒΓ, οπότε ΑΒʹʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ = ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ και η Â είναι κοινή, ενώ B̂ ʹʹ = B̂ οπότε και Γ̂ ʹʹ = Γ̂ . Όμως τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, καθώς έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι όμοια. i) Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν μία οξεία γωνία τους ίση. ii) Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. iii) Δύο ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν μία αντίστοι- χη γωνία ίση, είναι όμοια. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ A B Γ Δ Ε A B Γ Δ Ε Σχήµα 3 A B Γ A B Γ Β Γ Σχήµα 4 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
174 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ (2ο Κριτήριο Οµοιότητας) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.4) έτσι, ώστε Â = Âʹ και ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεω- ρούμε ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, επομένως θα υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ, με ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από το Βʹʹ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ. Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑΒΓ είναι όμοια. Επειδή ΑΒΓ ≈ ΑΒʹʹΓʹʹ είναι ΑΒʹʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ ή ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ . Όμως, από την υπόθεση ισχύει ότι ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ . Επομένως καταλήγουμε ότι ΑΓʹʹ ΑΓ = ΑʹΓʹ ΑΓ ή ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, καθώς έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ (3ο Κριτήριο Οµοιότητας) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.4), ώστε ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ = ΒʹΓʹ ΒΓ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ΑʹΒʹ < ΑΒ , επομέ- νως θα υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ, με ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από το Βʹʹ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑΒΓ είναι όμοια. Επειδή ΑΒΓ ≈ ΑΒʹʹΓʹʹ είναι ΑΒʹʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ = ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ ή ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ = ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ . ΣΧΟΛΙΟ Το θεώρημα που εκφράζει ότι δύο όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτε- λούν τους βασικούς συνδετικούς κρίκους της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα. Η σύνδεση της Γεωμε- τρίας με την Άλγεβρα είναι ιδι- αίτερα εποικοδομητική, καθώς μας επιτρέπει να χρησιμοποιού- με την εποπτεία της Γεωμετρίας σε αλγεβρικά προβλήματα και την ευχέρεια των πράξεων της Άλγεβρας σε γεωμετρικά προ- βλήματα. Τα όμοια τρίγωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα απο- τέλεσαν τα θεμέλια της Τριγω- νομετρίας. Χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαστάσεις ενός αντικειμένου μετρώντας τις διαστάσεις ενός μικρότερου μοντέλου του. Το μοντέλο αυτό θα έχει τις ίδιες γωνίες με το αρχικό, επομένως οι διαστάσεις του αρχικού προκύπτουν αν πολ- λαπλασιάσουμε τις αντίστοιχες διαστάσεις του μοντέλου με το λόγο ομοιότητας των δύο σχη- μάτων. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
175 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α Ας θεωρήσουμε δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ με λόγο ομοιότητας λ και ση- μεία Μ της ΒΓ, Μʹ της ΒʹΓʹ τέτοια, ώστε ΒΜ ΜΓ = ΒʹΜʹ ΜʹΓʹ . Τότε ισχύει ότι ΑΜ ΑʹΜʹ = ΒΜ ΒʹΜʹ = ΓΜ ΓʹΜʹ = λ. Απόδειξη Έστω ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, οπότε θα υπάρχει σημείο Βʹʹ της ΑΒ τέτοιο, ώστε ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ και σημείο Γʹʹ της ΑΓ τέτοιο, ώστε ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ, με ΒʹʹΓʹʹ//ΒΓ. Έστω σημείο Μʹʹ της ΒʹʹΓʹʹ τέτοιο, ώστε ΒʹʹΜʹʹ = ΒʹΜʹ. Προεκτείνουμε την ΑΜʹʹ ώστε να τμήσει τη ΒΓ σε σημείο Ε. Τότε τα τρίγωνα ΑΒʹʹΜʹʹ και ΑΒΕ είναι όμοια, οπότε ΑΒʹʹ ΑΒ = ΒʹʹΜʹʹ ΒΕ = ΑΜʹʹ ΑΕ ή λ = ΒʹΜʹ ΒΕ = ΑʹΜʹ ΑΕ . A B Γ A B Γ Μ Μ Ε Β Μ Γ Σχήµα 5 Όμοια έχουμε ότι λ = ΜʹΓʹ ΕΓ = ΑʹΜʹ ΑΕ . Οπότε ΒʹΜʹ ΜʹΓʹ = ΒΕ ΕΓ = ΒΜ ΜΓ , συνεπώς τα Ε και Μ ταυτίζονται. ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η Όμως από την υπόθεση έχουμε ότι ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ = ΒʹΓʹ ΒΓ . Επομένως προκύπτει ότι ΑΓʹʹ ΑΓ = ΑʹΓʹ ΑΓ και ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ = ΒʹΓʹ ΒΓ , οπότε ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ και ΒʹʹΓʹʹ = ΒʹΓʹ. Άρα τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
176 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α i) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων υψών τους. ii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διχοτόμων τους. iii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διαμέσων τους. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Πόσο ύψος έχει το σχολείο σας; Λύση 12m 6cm A B A B Γ Δ z y x Γ Σχήµα 6 Ένας μαθητής βλέπει την κορυφή Γ του σχολείου από δύο σημεία Α και Β στο έδαφος (σχ.6). Χρησιμοποιώντας έναν εξάντα (βλ. επόμενη παράγραφο) μετράει τις γωνίες Â, B̂ με τις οποίες φαίνεται το σχολείο, π.χ. Â = 19° και B̂ = 43°. Κατόπιν μετράει την απόσταση από το σημείο Α ως το Β, π.χ. ΑΒ = 12 μέτρα. Η μέτρηση των γωνιών έγινε από κάποια απόσταση από το έδαφος ίση με το ύψος του μαθητή, ας υποθέσουμε ότι έχει ύψος 1,8 μέτρα. Για να υπολογίσουμε το ύψος του σχολείου κατασκευάζουμε σε μία κόλλα χαρτί το αντίστοιχο μοντέλο. Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα AʹBʹ = 6 cm. Προεκτείνουμε την ΑʹΒʹ προς το μέρος του Βʹ και σχηματίζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο γωνίες xÂʹy = 19° και xB̂ ʹz = 43°. Οι ημιευθείες Aʹy και Bʹz τέμνονται στο σημείο Γʹ. Από το σημείο Γʹ φέρουμε την κάθετη ΓʹΔʹ στην ΑʹΒʹ και έχουμε κατασκευάσει το μοντέλο μας. Μετράμε ότι το ΓʹΔʹ ισούται με 3,3 cm. Ο λόγος ομοιότητας είναι λ = ΑΒ ΑʹΒʹ = 200. Επομένως το πραγματικό μήκος του ΓΔ είναι ΓΔ = λΓʹΔʹ = 6,6 μέτρα. Προσθέτοντας και το ύψος του μαθητή, έχουμε ότι το πραγματικό ύψος του σχολείου είναι 8,4 μέτρα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ2η ΣΧΟΛΙΟ Με τη χρήση της ομοιότητας μπορούμε να μετρήσουμε μήκη ευθύ- γραμμων τμημάτων που είναι απρόσιτα. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
177 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α Ο ΕΞΑΝΤΑΣ Το διπλανό σχήμα εκφράζει τη λειτουργία του εξάντα, δηλαδή μας παρουσιάζει έναν απλό μηχανισμό για να μετράμε τις γωνίες υπό τις οποίες φαίνεται ένα σχήμα. Για να κατασκευασθεί χρειάζεται ένα ίσιο ξύλο, ένα μοιρογνωμόνιο, μία χορδή (κιθάρας) ή πετο- νιά, ένα βαράκι (νήμα της στάθμης) και δύο ανθρώπους, έναν για να βλέπει το αντικεί- μενο και έναν για να διαβάζει τη μέτρηση. ΣΧΟΛΙΟ Παλιά οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι για να επιλύουν τέτοιου είδους προβλήματα ήταν αρκετό να έχουν έναν πίνακα με τρίγω- να και τις διαστάσεις τους, οπότε θα αρκούσε να μελετούν τον πίνακα παρά να κατασκευά- ζουν μοντέλα των τριγώνων που προέκυπταν από φυσικά προβλήματα. Παρατήρησαν ότι αρκεί ο πίνακας αυτός να έχει μόνο ορθογώνια τρίγωνα αφού κάθε τρίγωνο διαμερίζεται σε δύο ορθογώνια (σχ.8). Ένας τέτοιος πίνακας είναι οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 1. Πρακτικά τα αποτελέσματα από την τριγωνομετρία είναι ακριβέστερα από αυτά που προκύπτουν από μέτρηση και κατασκευή μοντέλου, όπως προηγουμένως. Ωστόσο οι τριγωνομετρικοί πίνακες δεν είναι τίποτε άλλο, παρά πίνακες όμοιων τριγώνων. Ζητούμενη γωνία Οριζόντια γραμμή Εξάντας Βαράκι θ Σχήµα 7 Σχήµα 8 Να αποδείξετε ότι δύο όμοια ευθύγραμ- μα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα. Απόδειξη Θα αποδείξουμε την εφαρμογή για δύο πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ, κα- θώς η απόδειξη είναι ανάλογη για κάθε πολύγωνο. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο πεντάγωνα εί- ναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ. Από τις κορυφές Α, Αʹ των πενταγώνων φέρουμε τις διαγωνίους ΑΓ, ΑΔ και ΑʹΓʹ, ΑʹΔʹ αντίστοιχα, οπότε κάθε πεντάγωνο χωρίσθηκε σε τρία τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΕ και ΑʹΒʹΓʹ, ΑʹΓʹΔʹ, ΑʹΔʹΕʹ αντίστοιχα. Τότε έχουμε ότι ΑΒΓ ≈ ΑʹΒʹΓʹ και ΑΔΕ ≈ ΑʹΔʹΕʹ. Επομένως, θα είναι και Γ̂ 1 = Γ̂ ʹ1 και ΑΓ ΑʹΓʹ = λ. Τότε όμως θα έχουμε ότι Γ̂ 2 = Γ̂ ʹ2 (αφού Γ̂ = Γ̂ ʹ) και ΓΔ ΓʹΔʹ = λ. Επομένως και τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑʹΓʹΔʹ θα είναι όμοια. ΕΦΑΡΜΟΓΗ3η 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 3 3 A B Γ Δ Ε A B Γ Δ Ε Σχήµα 9 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
179 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α 7. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες; Αιτιολογήστε την απά- ντησή σας. A 6 12 7 2 4 3 B Γ Δ Ε Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊). Από τυχαίο σημείο Δ της ΑΓ φέρουμε ΔΕ⊥ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια, ii) ΑΓ∙ΕΔ = ΑΒ∙ ΕΓ. 2. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ θε- ωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ = 1 3 ΑΒ και ΓΕ = 2 3 ΑΓ. Να αποδεί- ξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια, ii) ΒΓ = 3ΔΕ. 3. Μία μεταλλική πλάκα έχει σχήμα ορθογώ- νιου τριγώνου με πλευρές α, β, γ. Η πλάκα θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνε- ται κάθε πλευρά της κατά το 1 15 της. Θα παραμείνει ορθογώνιο τρίγωνο το σχήμα της πλάκας; 4. Ένα δέντρο ρίχνει κάποια στιγμή σε ορι- ζόντιο έδαφος σκιά μήκους 24m. Στο ίδιο σημείο, την ίδια στιγμή, μια κατακόρυφη ράβδος μήκους 2m ρίχνει σκιά μήκους 3m. Να βρεθεί το ύψος του δέντρου. 5. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: i) ΑΔ2 = ΔΒ ∙ ΔΓ, ii) ΑΒ2 = ΒΔ ∙ ΒΓ, iii) ΑΒ ∙ ΑΓ = ΑΔ ∙ ΒΓ. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ- κλο (O, R) και οι ευθείες Αx και Αy που σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις ΑΒ και ΑΓ και τέμνουν τη ΒΓ και τον κύκλο αντίστοι- χα στα Δ και Ε. Να αποδείξετε ότι ΑΔ ∙ ΑΕ = ΑΒ ∙ ΑΓ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. O παρατηρητής ΑΒ βλέπει το φως του λα- μπτήρα Γ μέσα από τον καθρέπτη Κ. Να υπολογίσετε το ύψος του φανοστάτη ΔΓ, όταν είναι ΔΚ=3m, ΑΚ=2m και το ύψος του παρατηρητή 1,70m. (Είναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης). Γ Δ Κ Β Α x 3m 2m 1.70m 2. Να αποδείξετε ότι: i) δύο παραλληλόγραμμα είναι όμοια, αν δύο διαδοχικές πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς δύο διαδοχικές πλευρές του άλλου και οι γωνίες των πλευρών αυτών είναι ίσες, ii) δύο ορθογώνια με ίση τη γωνία των διαγωνίων τους είναι όμοια. 3. Θεωρούμε τους κύκλους (O1, R1) και (O2, R2) που τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν οι εφαπτόμενες στο Α τέμνουν τους κύκλους στα Α1 και Α2 αντίστοιχα, να απο- δείξετε ότι ΑΒ 2 = ΒΑ1 ∙ ΒΑ2. 4. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι ΗΔ ∙ ΗΑ = ΗΒ ∙ ΗΕ = ΗΓ ∙ ΗΖ. 5. Από το μέσο Μ του τόξου A͡ B φέρουμε τις χορδές ΜΔ και ΜΖ, που τέμνουν τη χορδή ΑΒ στα Δʹ και Ζʹ αντίστοιχα. Να αποδει- χθεί ότι ΜΔ ∙ ΜΔʹ = ΜΖ ∙ ΜΖʹ. 6. Σε ορθογώνιο τραπέζιο (Â = Δ̂ = 1⌊) οι διαγώνιοι είναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι το ύψος του είναι μέσο ανάλογο των βάσεων. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
180 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σύνθετα Θέµατα 1. Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανά- λογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. 2. Έστω δοσμένη γωνία xÔy και σημείο Μ. O τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα O και Μ τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΜΒ ΜΓ = d dʹ , όπου d, dʹ είναι οι αποστά- σεις του Μ από τις Ox, Οy, αντίστοιχα. 3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Η διχοτόμος της γω- νίας Γ̂ τέμνει το ΑΔ στο Ζ και η διχοτόμος της ΔÂΒ τέμνει τη ΒΓ στο Ε. Να αποδεί- ξετε ότι ΖΕ//ΑΒ. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ – Γ̂ = 1⌊ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ 2 = ΔΒ ∙ ΔΓ. 5. Η διχοτόμος ΑΔ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέ- μνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε. Να αποδείξετε ότι: i) AB ∙ ΑΓ = ΑΔ ∙ ΑΕ, ii) ΕΒ 2 = ΕΑ ∙ ΕΔ. 1. Έστω δοσμένος κύκλος (Ο, R) και ση- μείο Α στο εξωτερικό του κύκλου. Από το Α φέρουμε την εφαπτομένη ΑΤ και την τέμνουσα ΑΒΓ. Να αποδειχθεί ότι AΒ AΓ = TB2 TΓ 2 . 2. Από σημείο Α φέρουμε τις εφαπτόμενες ΑΒ και ΑΓ κύκλου (Ο, R) και τυχαία τέ- μνουσα ΑΔΕ. Να αποδειχθεί ότι ΒΔ ∙ ΓΕ = ΒΕ ∙ ΓΔ. 3. Αν Ε, Ζ είναι οι προβολές των κορυφών Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ (με β ≠ γ) στη δι- χοτόμο του ΑΔ να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Δ. 4. Σε κάθε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ να απο- δειχθεί ότι οι αποστάσεις τυχαίου σημείου της διαγωνίου ΑΓ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις πλευρές αυτές. 5. Αν Μ τυχαίο σημείο κύκλου (Ο, R), να αποδείξετε ότι: i) η απόσταση d του Μ από χορδή ΑΒ του κύκλου είναι d = MA∙MB 2R , ii) η απόσταση dʹ του Μ από την εφα- πτομένη σε τυχαίο σημείο Α του κύ- κλου είναι dʹ = MA 2 2R , iii) αν d,d1,d2 οι αποστάσεις του Μ από μία χορδή ΓΔ του κύκλου και από τις εφαπτόμενες στα Γ, Δ αντίστοιχα, τότε d2 = d1∙d2 . 6. Θεώρημα Πτολεμαίου: Σε κάθε εγγρά- ψιμο τετράπλευρο το άθροισμα των γινο- μένων των απέναντι πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των διαγωνίων του. ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κατασκευασθούν δύο τετράπλευρα των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες μία προς μία, αλλά δεν είναι όμοια. 2. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Να κατασκευασθεί τετράπλευρο ΑʹΒʹΓʹΔʹ το οποίο να αποτελείται από τρίγωνα ίσα με τα τρίγωνα στα οποία χωρίζει η διαγώνιος ΑΓ το ορθογώνιο έτσι, ώστε το ΑʹΒʹΓʹΔʹ να μην είναι όμοιο με το ΑΒΓΔ. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Κατασκευάστε έναν εξάντα και υπολογίστε το ύψος μίας πολυκατοικίας στη γειτονιά σας ακολουθώ- ντας τη διαδικασία της εφαρμογής 2. Εργασία lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
187 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ 2. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) είναι B̂ = 2Γ̂ τότε ο λόγος β γ είναι ίσος με: α. 1 2 β. 1 γ. 3 δ. 2 ε. 3 Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας. 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) φέ- ρουμε το ύψος ΑΔ. Αν είναι ΑΒ = 5 και ΒΔ = 25 13 , να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα: ΑΓ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που έχει πλευρές α = κ 2 +λ 2 , β = 2κλ και γ = κ 2 – λ 2 , όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο. 2. Αν ΑΕ, ΑΖ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών ΑΓ και ΑΔ ενός κύκλου σε μία διάμετρό του ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΑΖ ∙ ΑΓ 2 = ΑΕ ∙ ΑΔ2 . 3. Αν Δ είναι μέσο της κάθετης πλευράς ΑΓ ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ (Â = 1⌊) και Ε η προβολή του στη ΒΓ, τότε να απο- δείξετε ότι ΕΓ 2 + ΑΒ2 = ΕΒ2 . Στη συνέ- χεια διατάξτε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα ΔΒ, ΕΒ, ΕΓ. 4. Δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (Â = Âʹ = 1⌊) έχουν μβ = μβʹ και μγ = μγʹ. Να αποδείξετε ότι: i) α = αʹ ii) β = βʹ. Τι συμπεραίνετε για τα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ; 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέ- ρουμε το ύψος του ΒΕ. Να αποδείξετε ότι α 2 +β 2 +γ 2 = 3ΒΕ 2 +2ΑΕ 2 +ΓΕ 2 . Σύνθετα Θέµατα 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Αν Ε, Ζ εί- ναι οι προβολές του Δ πάνω στις ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) ΑΒ3 ΑΓ3 = ΒΕ ΓΖ ii) ΑΔ 3 = ΒΓ ∙ ΔΕ ∙ ΔΖ. 2. Δίνονται δύο κύκλοι (K, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Αν ΒΓ εί- ναι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους και (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτεται στους (K, R), (Λ, ρ) και στη ΒΓ, να απο- δείξετε ότι: i) ΒΓ = 2 Rρ ii) 1 1 1 R + = ρ σ . 3. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ με Â = B̂ = 1⌊. Αν Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων ΒΔ, ΑΓ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της ΑΜ με τη ΒΓ να αποδείξετε ότι: i) το ΑΒΚΔ είναι ορθογώνιο, ii) ΔΓ 2 – ΑΒ 2 = 4ΜΝ 2 . 4. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) να αποδείξετε ότι 2μ 2 α ≥ βγ. 5. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), διάμετρό του ΑΒ και μία χορδή του ΓΔ που τέμνει την ΑΒ στο Ε και σχηματίζει με αυτή γωνία 45°. Να αποδείξετε ότι ΕΓ 2 + ΕΔ 2 = 2R 2 . 6. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Αν x, y και ω είναι αντίστοιχα τα μήκη οποιωνδήποτε ομόλογων γραμμικών στοιχείων των τρι- γώνων (π.χ. διαμέσων, υψών, ακτίνων εγ- γεγραμμένων κύκλων κτλ.) ΔΑΒ, ΔΑΓ και ΑΒΓ, τότε x 2 + y 2 = ω 2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
193 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ ΕΦΑΡΜΟΓΗ2η Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο υυ αα ττ ττ αα ττ ββ ττ γγαα == −− −− −− 2 ( )( )( ), όπου τ = 1 2 (α + β + γ) η ημιπερίμετρος του τριγώνου. Ανάλογες εκφράσεις ισχύ- ουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ. Απόδειξη Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του υα. Από το ορθο- γώνιο τρίγωνο ΔΑΒ έχουμε υ2 α = γ2 – ΒΔ2 (1). Πρέπει επομένως να υπολογί- σουμε την προβολή ΒΔ της γ πάνω στην α. • Αν B̂ ≤ 1⌊, από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε β2 = α2 + γ2 – 2α∙ΒΔ ή ΒΔ = 1 2α (α2 + γ 2 – β 2 ) (2). • Αν B̂ ≥ 1⌊, από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε β2 = α 2 + γ 2 + 2α∙ΒΔ ή ΒΔ = – 1 2α (α2 + γ 2 – β 2 ) (3). A B ΓΔ βγ α υα A Δ B Γ υα γ β α Σχήµα 13 Αν μεταξύ των πλευρών α, β, γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει γγ αα ββ ααββ== ++ ++2 2 3 , τότε: i) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, ii) να υπολογίσετε τη γωνία Γ̂ . Λύση i) Από τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι η γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και επι- πλέον ότι γ2 > α2 + β2 , οπότε η γωνία Γ̂ είναι αμβλεία. ii) Επειδή η γωνία Γ̂ είναι αμβλεία, σύμφωνα με το θεώρημα αμβλείας γωνίας έχουμε: γ2 = α2 + β2 + 2α ∙ ΓΔ (1). Από την υπόθεση όμως έχουμε γ α β αβ2 2 2 3= + + (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Γ∆ = 3 2 β. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε Α∆ Γ∆2 2 2 2 4 = − =β β , οπότε ΑΔ = β 2 = ΑΓ 2 που σημαίνει ότι Γ̂ εξ = 30° και επομένως Γ̂ = 150°. ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η A Δ Γ B εξ Σχήµα 12 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
195 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώστε τα κενά: Α Β Ε Δ Γ i) ΒΓ 2 = ... + ... + 2ΑΒ ... ii) ΒΓ 2 = ... + ... + 2ΑΓ ... 2. Να βρεθεί το είδος των γωνιών τριγώνου ΑΒΓ όταν: i) β 2 = 3α 2 + γ 2 , ii) γ 2 = α 2 – β 2 , iii) α 2 – β 2 = 2γ 2 . 3. Αν β η ...................... πλευρά αμβλυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ τότε ... > α 2 + ... (Να συ- μπληρώσετε τα κενά). 4. Αν στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και Â = 120°, να δικαιολογήσετε γιατί α 2 = 3β 2 . Α 120 o Β Γ Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ, με α = 6μ, β = 5μ, γ = 4μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. 2. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α = 6, β = 5, γ = 4; Αν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου. 3. ΔίνεταιτρίγωνοΑΒΓμεα= 2,β=1+ 3, γ = 2. Να υπολογισθεί η γωνία Â. 4. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 4cm, ΑΓ = 5cm και ΑB̂ Δ = 30°, όπου ΒΔ το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του ΒΓ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ έχουν μήκη ΑΒ = 9cm, ΒΓ = 7cm και ΑΓ = 12cm. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της ΒΓ πάνω στην ΑΒ. 2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ, ΓΔ ισχύει ότι ΑΓ 2 + ΒΔ2 = ΑΔ2 + ΒΓ2 + 2ΑΒ ∙ ΓΔ. 3. Αν ΒΒʹ, ΓΓʹ είναι ύψη ενός οξυγώνι- ου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι α2 = β∙ΓΒʹ + γ∙ΒΓʹ. 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊). Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά ΓΔ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ2 = 2ΒΓ∙ΑΔ. 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέ- ρουμε παράλληλο της ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ 2 = ΕΓ2 + ΒΓ∙ΔΕ. 6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5α, 4β, 3γ; Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Â = 30°. Να αποδείξετε ότι α β= −2 3 . 2. Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και μία χορδή του ΓΔ//ΑΒ. Αν Μ είναι τυ- χαίο σημείο της ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΜΓ 2 + ΜΔ 2 = ΜΑ 2 + ΜΒ 2 . 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α3 = β 3 + γ 3 . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
205 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ 5. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â =1⌊), εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και το ύψος του ΑΔ. Αν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι ΓΜ ∙ ΓΗ = ΓΑ 2 . Σύνθετα Θέµατα 1. Αν η διχοτόμος ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε και εί- ναι ΑΔ 2 = ΔΒ ∙ ΔΓ, να αποδείξετε ότι ΑΕ 2 =2ΕΓ 2 . 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β2 + γ 2 = 2α 2 . Αν η διάμεσος ΑΜ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Δ να αποδείξετε ότι Μ∆ = α 3 6 . 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ βγ = 3 2 . Αν Μ το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να απο- δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΜ εφάπτεται της ΒΓ στο Β. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΑΔ, η διάμεσός του ΑΜ και ο περιγεγραμμένος κύκλος (Κ) του τριγώνου ΑΔΜ. Αν Ε, Ζ είναι τα σημεία τομής των ΑΒ και ΑΓ με τον κύκλο (Κ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. 1. Έστω ΑΒ, ΓΔ δύο ευθύγραμμα τμήμα- τα. Ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ΑΒ⊥ΓΔ είναι να ισχύει ότι ΑΓ 2 – ΑΔ2 = ΒΓ 2 – ΒΔ 2 . 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ είναι η δι- χοτόμος της γωνίας Â, να αποδείξετε ότι ΑΒ ∙ ΑΓ = ΑΔ 2 + ΒΔ ∙ ΔΓ. 3. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ οξυγώ- νιου τριγώνου ΑΒΓ και ΒΔ το ύψος του, να αποδείξετε ότι ΑΜ 2 = ΒΜ 2 + ΑΔ ∙ ΑΓ. 4. Θεώρημα Stewart i) Έστω Δ σημείο της πλευράς ΒΓ, τριγώ- νου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ∙ΑΓ 2 + ΔΓ∙ΑΒ2 = ΒΓ(ΑΔ2 + ΒΔ∙ΔΓ). ii) Να διατυπώσετε το θεώρημα Stewart όταν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). 5. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μβ⊥μγ. Να αποδείξετε ότι: i) β2 + γ 2 = 5α 2 , ii) αν ΑΔ ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΗ ∙ ΑΔ = 2α2 . 6. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ. Αν Δ η προβολή του Μ πάνω στην ΑΒ να αποδείξετε ότι ΒΓ 2 = 3ΑΒ 2 + ΑΓ 2 – 4ΑΒ ∙ ΑΔ. 7. Δίνεται κύκλος (Ο, R) μια ακτίνα ΟΑ και χορδή ΒΓ παράλληλη προς την ΟΑ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ΑΒ2 + ΑΓ2 εί- ναι σταθερό. 8. Δίνεται κύκλος (Ο, R), μία διάμετρος ΑΒ και Γ, Δ τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ αντίστοιχα. Αν μία χορδή ΕΗ που διέρχεται από το Γ είναι ΕΗ = 13 2 R,να αποδείξετε ότι ΕΔ̂ Η =1⌊. ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
217 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 . Ε Μ Β Α ∆ Α 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τρι- γώνου ΑΒΓ, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι: i) Ε =ΕΕ == −− −− −−ττ ττ αα ττ ββ ττ γγ( )( )( ) (τύπος του Ήρωνα), όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου. ii) Ε = τρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. iii) E = αβγ 4R , όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 1, ΑΓ = 2 και Â = 120°. Με πλευρές τις ΑΒ και ΑΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΘ αντί- στοιχα. Τότε: i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ, ii) να αποδείξετε ότι τα Δ, Ε, Θ είναι συ- νευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πο- λυγωνικής επιφάνειας ΒΓΖΘΕΔ είναι 5 + . 7. Αν ω είναι η γωνία των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να απο- δείξετε ότι (ΑΒΓΔ) = 1 2 ΑΓ ∙ ΒΔ∙ ημω. 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 18 m μεγαλύτερο του πλάτους, θέ- λει να σχηματίσει γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού μια δενδροστοιχία πλάτους 2,5 m. Έτσι αναγκάζεται να αγο- ράσει από τους γείτονές του 695 m 2 . Να βρεθούν οι διαστάσεις του οικοπέδου. Σύνθετα Θέµατα 1. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Στις προεκτάσεις των ημιευθειών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ, Η, Θ και I, ώστε ΒΖ = ΑΒ, ΓΗ = ΒΓ, ΔΘ = ΓΔ και ΑΙ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι i) (ΙΘΑ) = (ΑΘΔ) = (ΑΓΔ), ii) (ΙΘΔ) + (ΖΗΒ) = 2(ΑΒΓΔ) και iii) (ΙΖΗΘ) = 5(ΑΒΓΔ). 2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε το μέσο Μ της διαμέσου ΑΔ, το μέσο Ν του ΓΜ και το μέσο Ρ του ΒΝ. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 1 8 (ΑΒΓ). 3. Στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς α παίρνουμε τα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε ΖΓ = ΗΔ = α 4 . i) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΖ και ΒΗ τέμνονται κάθετα σε σημείο Κ. ii) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμη- μάτων: ΑΚ, ΑΗ και ΚΗ. iii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τε- τραπλεύρου ΑΚΗΔ. 4. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι i) (ΟΑΒ) + (ΟΓΔ) = (ΑΒΓ) και ii) (ΟΑΓ) + (ΟΒΓ) = (ΟΓΔ). 5. Αν ΑΒΓΔ και ΚΛΜΝ είναι ρόμβος πλευ- ράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοι- χα, να αποδείξετε ότι (ΑΒΓΔ) ≤ (ΚΛΜΝ). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
218 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Στην §9.4 (Εφαρμογή 2) αποδείξαμε ότι υ α τ τ α τ β τ γα = − − − 2 ( )( )( ), οπότε έχουμε: Ε = = − − − = 1 2 1 2 2 αυ α α τ τ α τ β τ γα ( )( )( ) = − − −τ τ α τ β τ γ( )( )( ). ii) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ (σχ.16) και ο εγγεγραμμένος κύ- κλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε: Ε = (ΑΒΓ) = (ΙΒΓ) + (ΙΓΑ) + (ΙΑΒ) = = 1 2 αρ + 1 2 βρ + 1 2 γρ = 1 2 (α +β + γ)ρ = 1 2 2τρ = τρ. iii) Είναι γνωστό ότι βγ = 2Rυα (Εφαρμογή 5 §8.2), οπότε έχουμε ότι υα = βγ 2R και με αντικατάσταση στον τύπο E = 1 2 αυα προκύπτει το ζητούμενο. Τέλος, το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο: Ε = 1 2 βγημΑ = 1 2 γαημΒ = 1 2 αβημΓ. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν Â < 1⌊, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ (σχ.17α) προ- κύπτει ότι υβ = γ∙ημΑ. Αν Â > 1⌊, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ (σχ.17β) προκύπτει ότι: υβ = γ ∙ ημΑεξ = γ ∙ ημ(180 ο – Α)= γ ∙ ημΑ. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υβ = γ ∙ ημΑ οπότε Ε = 1 2 βυβ = 1 2 βγ · ημΑ. Όταν Â = 1⌊, τότε υβ = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι. ρ ρ ρΙ Α Β ΓΔ Ζ Ε Σχήµα 16 α β β γ Α Δ Β Γ βγ υβ Δ Α Β Γ υβ 1 Σχήµα 17 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όμοια αποδεικνύεται ότι ο τύ- πος (2) ισχύει για οποιοδήποτε περιγεγραμμένο σε κύκλο πολύ- γωνο με ημιπερίμετρο τ. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
220 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Εµβαδόν και οµοιότητα 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων Ας θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με εμβαδά Ε και Εʹ αντίστοιχα. Τότε είναι E = 1 2 αυα και Eʹ = 1 2 αʹυαʹ , οπότε Ε Εʹ = αυα αʹυαʹ .Από την ισότητα αυτή προκύπτει άμεσα ότι: • Αν α = α΄, τότε Ε Εʹ = υα υαʹ (σχ.19α). • Αν υα = υα΄, τότε Ε Εʹ = α αʹ (σχ.19β). Δηλαδή: αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. Στην περίπτωση που τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι όμοια, ισχύει το επόμενο θεώρημα. 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) με ΑΒ = 6 και ΑΓ = 8. Να βρείτε: i) το εμβαδόν, ii) το ύψος υα , iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύ- κλου. Ασκήσεις Αποδεικτικές 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει βγ = αυα να αποδείξετε ότι Â = 1⌊. 2. Αν Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) Ε < τ(τ – α) ⇔ Α < 1⌊, ii) Ε = τ(τ – α) ⇔ Α = 1⌊, iii) Ε > τ(τ – α) ⇔ Α > 1⌊. 3. Αν δυο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι εγγε- γραμμένα στον ίδιο κύκλο να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ) (ΑʹΒʹΓʹ) = αβγ αʹβʹγʹ . 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Â ≠ 1⌊ φέρουμε τα ύψη ΒΖ και ΓΗ. Να αποδείξετε ότι (ΑΖΗ) = (ΑΒΓ)συν 2 Α. 5. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: 1 υα + 1 υβ + 1 υγ = 1 ρ . Σύνθετα Θέµατα 1. i) Δίνεται γωνία xÔy και σταθερό σημείο Κ στο εσωτερικό αυτής. Από το Κ φέρου- με μεταβλητή ευθεία ε που τέμνει τις πλευ- ρές Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 1 (ΟΚΜ) + 1 (ΟΚΝ) είναι σταθερό. ii) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, σημείο Κ στο εσωτερικό του και τα τμήματα ΑΑʹ, ΒΒʹ και ΓΓʹ που διέρχονται από το Κ. Αν E1,E2,...,E6 είναι αντίστοιχα τα εμβαδά των τριγώνων ΑΚΓʹ, ΒΚΓʹ, ΒΑʹΚ, ΓΚΑʹ, ΓΚΒʹ και ΑΚΒʹ, να αποδείξετε ότι: 1 Ε1 + 1 Ε3 + 1 Ε5 = 1 Ε2 + 1 Ε4 + 1 Ε6 . 2. Αν ρα , ρβ , ργ είναι οι ακτίνες των παρεγ- γεγραμμένων κύκλων τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ) = (τ – α)ρα = (τ – β)ρβ = (τ – γ)ργ . 3. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγράψιμο σε κύκλο. Αν θέσουμε ΑΒ = α, ΒΓ = β, ΓΔ = γ και ΔΑ = δ να αποδείξετε ότι ΑΓ ΒΔ = αδ + βγ αβ + γδ (2° Θεώρημα Πτολεμαίου). Σχήµα 19 α β α αʹ υα υαʹ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
221 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 . Ε Μ Β Α ∆ Α Αν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.20) με Â= Âʹ και B̂ = B̂ ʹ. Τότε α αʹ = υα υαʹ = λ (1), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. Αλλά, όπως και παραπάνω, είναι Ε Εʹ = α αʹ ∙ υα υαʹ (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Ε Εʹ = λ2 . Το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει γενικότερα και για όμοια πολύγωνα, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα. Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ (σχ.21) με λόγο ομοιότητας: ΑΒ ΑʹΒʹ = ΒΓ ΒʹΓʹ = ΓΔ ΓʹΔʹ = ΔΕ ΔʹΕʹ = λ (1). Φέρουμε τις διαγωνίους των πολυγώνων από τις κορυφές Α και Αʹ, οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. Αν Ε1, Ε2, Ε3 και Εʹ1, Εʹ2, Εʹ3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα και τη σχέση (1), θα έχουμε: Ε1 Εʹ1 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ΑΒ ΑʹΒʹ 2 = λ 2 , Ε2 Εʹ2 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ΓΔ ΓʹΔʹ 2 = λ 2 και Ε3 Εʹ3 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ΔΕ ΔʹΕʹ 2 = λ2 , οπότε λ2 = Ε1 Εʹ1 = Ε2 Εʹ2 = Ε3 Εʹ3 = Ε1 + Ε2 + Ε3 Εʹ1 + Εʹ2 + Εʹ3 = (ΑΒΓΔΕ) (ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ) , δηλαδή το ζητούμενο. Για το λόγο των εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές ισχύει το επόμενο θεώρημα. Σχήµα 20 A B ΓΔ α υα Aʹ Bʹ ΓʹΔʹ αʹ υαʹ Σχήµα 21 A B Γ Δ Ε Εʹ1 Εʹ2 Εʹ3 Ε1 Ε2 Ε3 Εʹ Aʹ Bʹ Γʹ Δʹ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
224 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Το πρόβληµα του τετραγωνισµού κυρτού πολυγώνου 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του Σε πολλές περιπτώσεις, για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ευθύγραμμου σχήματος επιδιώκουμε τον μετασχηματι- σμό σε ένα ισοδύναμο τετράγωνο. Η κατασκευή ενός τετρα- γώνου ισοδύναμου με ένα πολύγωνο λέγεται τετραγωνισμός αυτού. Η λύση των επόμενων δύο προβλημάτων αποτελεί τη μέθοδο κατασκευής του ισοδύναμου τετραγώνου. 2. Από εσωτερικό σημείο Σ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. Αν E1, Ε2, Ε3 είναι τα εμβαδά των τρι- ών τριγώνων που σχηματίζονται να απο- δείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εμβαδών E1, Ε2, Ε3 είναι όμοιο με το ΑΒΓ, ii) Ε Ε Ε Ε1 2 3+ + = , όπου Ε = (ΑΒΓ). 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις διχοτόμους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Να αποδείξετε ότι i) (ΔΕΖ) = 2αβγ (α+β)(β+γ)(γ+α) (ΑΒΓ), ii) (ΔΕΖ) ≤ 1 4 (ΑΒΓ). 4. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Κ, Λ των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Από τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρί- ζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναμα μέρη. Να μετασχηματισθεί πολύγωνο σε άλλο ισοδύναμό του με μια πλευρά λιγότερη. Λύση Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, π.χ. ένα πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ (σχ. 25). Από την κορυφή Α φέρουμε τη διαγώνιο ΑΓ, που αφήνει προς το ένα μέρος της μόνο μια κορυφή, τη Β. Από το Β φέ- ρουμε την παράλληλο προς την ΑΓ, η οποία τέμνει την ευθεία ΔΓ στο Ζ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΖΓ έχουν κοινή βάση ΑΓ και τα αντίστοιχα προς αυτή ύψη ίσα, αφού ΒΖ // ΑΓ. Επομένως (ΑΒΓ) = (ΑΖΓ), οπότε (ΑΒΓΔΕ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΔΕ) δηλαδή το πεντάγωνοΑΒΓΔΕ είναι ισοδύναμο με το τετράπλευροΑΖΔΕ και επομένως το αρχικό μας πολύγωνο είναι ισοδύναμο με πολύγωνο που έχει μια πλευρά λιγότερη. Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία στο τετράπλευρο ΑΖΔΕ, θα μετασχη- ματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. Έτσι, το αρχικό μας πολύγωνο μπορεί να μετασχη- ματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ1 A B Γ Δ Ε Ζ Σχήµα 25 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
231 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ΑΒΓΔ ...Τ ένα κανονικό πολύγωνο (σχ.3). Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, R) που διέρχεται από τις κορυφές Α, Β, Γ του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρ- χεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ = R. Επειδή OB = OΓ = R, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές και επομέ- νως B̂ 1 = Γ̂ 1 = σ, οπότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα, γιατί έχουν: ΟΒ = ΟΓ, ΑΒ = ΓΔ (αφού ΑΒΓΔ...T κανονικό) και B̂ 2 = B̂ – σ = Γ̂ – σ = Γ̂ 2. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ = OA = R. Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O, R) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ, ... Τ και επομένως το πολύγωνο εί- ναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O, R), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α. Επομένως, ο κύκλος (O, α) εφάπτεται στις πλευρές του ΑΒΓΔ...Τ, άρα το πολύγωνο είναι περι- γράψιμο σε κύκλο. Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O, R) και ο εγγεγραμμένος (O, α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι. ► Στοιχεία κανονικού πολυγώνου Αποδείξαμε παραπάνω ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει έναν περιγεγραμμένο και έναν εγγεγραμμένο κύκλο που έχουν κοινό κέντρο. Το κοινό κέντρο των δύο αυτών κύκλων λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου λέ- γεται ακτίνα του πολυγώνου, ενώ η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. Επειδή τα τόξα A͡ B, B͡ Γ, ..., T͡ A (σχ.3) είναι ίσα, οι επίκεντρες γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ, ..., ΤÔΑ είναι ίσες. Καθεμία από τις γω- νίες αυτές, δηλαδή η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου. Στα επόμενα, σε ένα κανονικό ν-γωνο θα συμβολίζουμε με Σχήµα 3 A B Γ Δ Τ α Ο R 1 1 2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
232 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α R την ακτίνα του, με λν την πλευρά του, με αν το απόστημά του, με ων την κεντρική του γωνία, με Ρν την περίμετρό του και Εν το εμβαδόν του. Για τα στοιχεία των κανονικών πολυγώνων ισχύει το εξής θεώρημα. Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής σχέ- σεις: i) α2 ν + λ 2 ν 4 = R 2 ii) Ρν = νλν iii) ων = 360° ν iv) Εν = 1 2 Ρναν ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ΑΒΓΔ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λν η πλευρά του και OH = αν το απόστημά του (σχ.4). i) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟΑ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH2 +HA2 =OA2 , δηλαδή α2 ν + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ λν 2 2 = R 2 . ii) Επειδή ΑΒ = ΒΓ = ... = ΤΑ = λν, θα είναι Ρν = νλν. iii) Επειδή A͡ B = B͡ Γ = ... = T͡ A θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ = ...= ΤÔΑ = ων και αφού οι γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ, ... και ΤÔΑ έχουν άθροισμα 360°, έχουμε νων = 360°, δηλαδή ων = 360° ν . iv) Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ, ... , ΟΤΑ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε: Εν = ν(ΟΑΒ) = ν 1 2 ΑΒ ∙ ΟΗ = 1 2 νλναν = 1 2 Ρναν αφού Ρν = νλν. Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισού- ται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των απο- στημάτων τους. ΠΟΡΙΣΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και ΑʹΒʹΓʹ...Τʹ Σχήµα 4 A B Γ Δ Τ Ο R Η lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
235 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους Από την παρατήρηση της προηγούμενης παραγράφου προ- κύπτει ότι για να κατασκευάσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν (ν ≥ 3) πλευρές, αρκεί να χωρίσουμε έναν κύκλο σε ν ίσα τόξα. Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη δεν είναι δυνατή για κάθε ν. (σχόλιο §11.2). Στη συνέχεια, θα ασχο- ληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πο- λυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε τα στοιχεία τους. ► Τετράγωνο Έστω ένας κύκλος (Ο, R) (σχ.7). Αν φέρουμε δύο κάθε- τες διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ, θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ = ΓÔΔ = ΔÔΑ= 90°, οπότεA͡ B = B͡ Γ = Γ͡ Δ=Δ͡ Ακαι επομένως τοΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε λ4 2 = ΑΒ2 = ΟΑ2 + ΟΒ2 = R2 + R2 = 2R2 , από την οποία προκύπτει ότι: λλ4 2== R .. Από τη βασική σχέση α 2 ν + λ 2 ν 4 = R2 με ν = 4 προκύπτει ότι α4 2 2 2 2 2 4 2 = − =R R( ) , R δηλαδή αα4 2 2 == R .. 6. Αν Eα, Εβ, Εγ είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοι- χα με τις πλευρές α, β, γ ορθογώνιου τρι- γώνου ΑΒΓ (Â = 1⌊), να αποδείξετε ότι Εβ + Εγ = Εα . Σύνθετα Θέµατα 1. Οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι υπάρ- χουν τρία μόνο κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες μπορούν να καλύψουν το επίπεδο γύρω από ένα σημείο. Τα κα- νονικά αυτά πολύγωνα είναι τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα τετράγωνα και τα κανονικά εξάγωνα. Να αποδείξετε την αλήθεια του ισχυρισμού αυτού των Πυθαγορείων. 2. Έστω κανονικό ν-γωνο και σημείο Σ στο εσωτερικό του. Αν d1,d2,...,dv εί- ναι οι αποστάσεις του Σ από τις πλευ- ρές του ν-γώνου, να αποδείξετε ότι d1 + d2 + ... + dv = ναν , όπου αν το από- στημα του ν-γώνου. 3. Σε κανονικό δεκάγωνο ΑΒΓΔ...Κ η πλευρά ΑΒ προεκτεινόμενη τέμνει την προέκταση της ακτίνας ΟΓ στο σημείο Μ. Να αποδεί- ξετε ότι ΑΜ = ΑΔ. A B Γ Δ Η Ο Σχήµα 7 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
237 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφεί κανονικό δεκάγωνο. Λύση Έστω ΑΒ = λ10 (σχ.10) η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον κύκλο (Ο, R). Η κεντρική γωνία AÔB είναι 360° 10 = 36° και καθεμία από τις γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ΟΑΒ είναι Â = B̂ = 72°. Έτσι, αν φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ της γωνίας ΟÂΒ τα τρίγωνα ΔΟΑ και ΑΒΔ είναι ισοσκελή, αφού είναι ΔÂΟ = 36° = AÔB και ΑΔ̂ Β = Â1 + Ô = 36° + 36° = 72° = B̂ . Επομένως, ΟΔ = ΑΔ = ΑΒ = λ10 και ΒΔ = R – λ10. Με εφαρμογή του θεωρήματος της διχοτόμου στο τρίγωνο ΟΑΒ προκύπτει ότι: AB ΑΟ = ΔΒ ΔΟ ⇔ λ10 R = R – λ10 λ10 ⇔ λ 2 10 = R (R – λ10) και επειδή λ10 =ΑΒ >ΔΒ = R – λ10 (αφούΑΔ̂ Β > ΒÂΔ), η τελευταία ισότητα εκφράζει ότι το λ10 είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα που προκύπτουν αν διαιρέσουμε την ακτίνα R σε μέσο και άκρο λόγο. Για την κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο, διαιρούμε την ακτίνα του κύκλου σε μέσο και άκρο λόγο και στη συνέχεια ορίζουμε τα διαδοχικά τόξαA͡ B, B͡ Γ, ..., που έχουν το καθένα χορδή ίση με το μεγαλύτερο τμήμα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα με τη διαίρεσή της σε μέσο και άκρο λόγο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η Ο A B Δ 1 Σχήµα 10 Σε δοσμένο κύκλο, να εγγραφεί κανονικό οκτάγωνο και να υπολογισθούν η πλευρά του και το απόστημά του. Λύση Εγγράφουμε στον κύκλο (σχ.11) το τετράγωνο ΑΒΓΔ και στη συνέχεια παίρνουμε τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ. Τότε το ΑΕΒ...Θ είναι το ζητούμενο οκτάγωνο. Αν θεωρήσουμε τη διάμετρο ΕΗ που αντιστοιχεί στο Ε, επειδή το τρίγωνο ΑΗΕ είναι ορθογώνιο και η ΑΒ κάθετη στην ΕΗ, έχουμε ΑΕ2 = ΕΗ ∙ ΕΙ = 2R (R – OI) και τελικά, αφού ΑΕ = λ8 και ΟΙ = α4, έχουμε: λ α8 2 4 2 2 2 2 2 2 2= − = − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = −R R R R R R( ) ( ) και επομένως λλ8 2 2== −−R .. Τέλος, από τη σχέση α 2 8 + λ2 8 4 = R 2 προκύπτει ότι αα8 2 2 2== ++ R .. ΕΦΑΡΜΟΓΗ2η A B ΓΔ Ε Ζ Η Θ Ι Ο Σχήµα 11 Να αποδειχθεί ότι λλ10 2 5 1== −− R ( ) και να υπολογισθεί το α10. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
238 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗ∆Η Ένα κανονικό ν-γωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Να εγγραφεί στον ίδιο κύκλο κανονικό 2ν-γωνο και να απο- δειχθεί ότι λ2 2ν = 2R (R – αν). Λύση Αν πάρουμε τα μέσα των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευ- ρές του κανονικού ν-γώνου, ο κύκλος διαιρείται σε 2ν ίσα τόξα. Έτσι προκύπτει το εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο με 2ν πλευρές. Έστω ΑΒ = λν (σχ.12) και Μ το μέσο του τόξου A͡ B. Τότε ΑΜ = λ2ν και ΟΜ⊥ΑΒ. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΗΜ έχουμε ΑΜ2 = ΑΗ 2 + ΗΜ 2 ή λ λ α λ α αν ν ν ν ν ν2 2 2 2 2 2 2 2 4 2= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + − = + + −( )R R R ή λ αν ν2 2 2 2 2= −R R (αφού λ αν ν 2 2 2 4 + = R ) ή λλ αανν νν2 2 2== −−R R( ).. ΕΦΑΡΜΟΓΗ3η A Μ B Ο Η Σχήµα 12 ΣΧΟΛΙΟ Από τη σχέση α λ ν ν 2 2 2 2 2 4 + = R προκύπτει ότι α λ α α ν ν ν ν 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 4 = − = − − = +R R R R R R( ) ή αα αανν νν2 2 2 == ++ R R( ). ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμέ- νες (Λ) τις παρακάτω ισότητες, δικαιολο- γώντας τις απαντήσεις σας. i) λ2 6 + λ2 3 = λ2 4 Σ Λ ii) λ λ λ3 4 6 3 1 2 3+ + = + +R( ) Σ Λ iii) a a a R 3 4 6 2 1 2 3+ + = + +( ) Σ Λ 2. Αν A, B, Γ, Δ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε ΑΒ = R 2, ΒΓ = λ12 και ΓΔ = R, να εξηγήσετε γιατί η ΑΔ είναι διάμετρος του κύκλου. 3. Αν A, B, Γ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε A͡ B = 120° και B͡ Γ = 60°, η περί- μετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι: α. (3 + 3)R, β. 4R, γ. ( 2+ 3)R, δ. (3 + 2)R. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 4. Στο παρακάτω σχήμα η γωνία Μ είναι: α. 30° β. 45° γ. 50° δ. 60° ε. 75° Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Α Β Μ O Η R/2 Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμ- βαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου, ενός τε- τραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο, R). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
239 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ 2. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 10cm και απόστημα αν = 5 3 cm. Να βρεθεί η πλευρά του λν και το εμβαδόν του Εν. 3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 8cm και πλευρά λν = 8 2 cm. Να βρεθεί το απόστημά του αν και το εμβαδόν του. 4. Σε κύκλο (Ο, R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα A͡ B = 60°, B͡ Γ = 90° και Γ͡ Δ = 120°. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3 cm2 . Να βρεθεί η ακτίνα του. 2. Σε κύκλο (O, R) και εκατέρωθεν του κέ- ντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ και ΓΔ, ώστε ΑΒ = R και ΓΔ = R 3 . Να υπολογισθούν οι μη πα- ράλληλες πλευρές ΑΓ και ΒΔ του τραπεζί- ου ΑΒΔΓ, το ύψος του και το εμβαδόν του, ως συνάρτηση του R. 3. Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του R η πλευρά λ12 και το απόστημα α12 ενός κα- νονικού 12-γώνου εγγεγραμμένου σε κύ- κλο (O, R). 4. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου, χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται κύκλος (O, R) και χορδή του ΓΔ = λ6. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρω- θεν του Ο παίρνουμε σημεία Α, Β, ώστε ΟΑ = ΟΒ = α3. Αν Μ το μέσο της ΓΔ, να αποδείξετε ότι ΜΑ 2 + ΜΒ2 = λ2 4. 2. Από το σημείο Α εκτός κύκλου (Ο, R) φέ- ρουμε τέμνουσα ΑΒΓ, ώστε ΑΒ = ΒΓ. Αν ΟΑ = R 7 να αποδείξετε ότι ΒΓ = λ3 και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ. 3. Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, ώστε ΑΒ = λ6 και ΒΓ = λ3. Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της ΑΜ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R, το τμή- μα ΜΔ. 1. Ερμηνεύοντας σε “γεωμετρική γλώσσα” την αριθμητική ισότητα 1 6 − 1 10 = 1 15 , δώστε έναν τρό- πο κατασκευής της πλευράς κανονικού 15-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο. 2. Κάνοντας το ίδιο για την αριθμητική ισότητα 1 3 − 1 4 = 1 12 , να δώσετε ένα δεύτερο τρόπο κατα- σκευής της πλευράς κανονικού 12-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
242 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Αντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης Α με την τιμή του στη στήλη Β. Α Β Μήκος κύκλου ακτίνας R Μήκος τόξου μο (σε κύκλο ακτίνας R) Μήκος τόξου αrad (σε κύκλο ακτίνας R) αR 2πR πRμ 360 2αR πRμ 180 2. Το μήκος L τόξου, κύκλου ακτίνας R με χορδή λ6 είναι: α. 6R β. πR γ. 1 3 πR δ. 2πR ε. 1 3 R Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντη- σης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Αν L1, L2, L3, και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα να αποδεί- ξετε ότι L1 + L2 + L3 = L. 2. Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 10cm. 3. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντι- στοιχεί στην πλευρά κανονικού 10-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5cm. 4. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόστα- ση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα R κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος, που έχει ακτίνα ρ κάνει 2ν στροφές. Να αποδείξε- τε ότι R = 2ρ. 5. Δίνεται κύκλος (O, R) και τα διαδοχι- κά του σημεία Α, Β, Γ, ώστε να είναι AB = R 2 και ΒΓ = R 3 . Να βρεθούν τα μήκη των τόξων A͡ B, B͡ Γ και Γ͡ Α, ως συνάρτηση του R. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Με διάμετρο την ακτίνα ΟΑ ενός κύκλου (O, R) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο) στο Γ και τον κύκλο (Κ) στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τόξα A͡ Γ και A͡ Δ έχουν ίσα μήκη. 2. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο ομόκεντρους κύ- κλους, ισούται με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των μηκών αυτών, όταν αντί- στοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσω- τερικό του ή όχι το μικρότερο κύκλο. 3. Δίνεται τρίγωνοΑΒΓ με α = 13cm, β = 14cm και γ = 15cm. Να βρείτε το μήκος i) του εγγεγραμμένου κύκλου του τρι- γώνου, ii) του περιγεγραμμένου κύκλου του τρι- γώνου. Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται ημικύκλιο (Ο, R) διαμέτρου ΑΒ. Με διαμέτρους τις ΑΟ και ΟΒ γράφουμε στο εσωτερικό του πρώτου ημικύκλια. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου, ο οποί- ος εφάπτεται των τριών αυτών ημικυκλί- ων, ως συνάρτηση του R. 2. Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο A͡ B. Με διάμετρο την ΟΑ γράφουμε στο εσωτερικό του τε- ταρτοκυκλίου, ημικύκλιο και στη συνέχεια γράφουμε κύκλο (Κ) που εφάπτεται στο ημι- κύκλιο, στην πλευρά ΟΒ και στο τόξο A͡ B. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου (Κ) ισούται με το μήκος του τόξου A͡ B. 3. Να βρείτε το μήκος της γραμμής ΑΒΓΔΕΖ του παρακάτω σχήματος. A Β Γ Δ Ε Κ Λ Μ Ζ Ι Θ4 3 6 7 7 8 9 2 2 2 2 5 { ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
246 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου Τετραγωνισμός κύκλου λέγεται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου ισοδύναμου με το δοσμένο κύκλο. Έστω R η ακτίνα ενός κύκλου και Ε το εμβαδόν του. Επειδή Ε = 1 2 L ∙ R, όπου L το μήκος του κύκλου, προκύ- πτει ότι ο κύκλος είναι ισοδύναμος με τρίγωνο, που έχει βάση L και ύψος R. Κάθε τρίγωνο όμως είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ανά- γεται στην κατασκευή του L, αφού το R είναι ένα δοσμένο τμήμα. Επειδή όμως L = 2πR, η κατασκευή του ανάγεται στην κατασκευή τμήματος μήκους π (αφού για R = 1 2 εί- ναι L = π). Για να είναι η κατασκευή αυτή δυνατή, όπως έχει αποδειχθεί, θα έπρεπε ο π να είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, δηλαδή αλγεβρικός αριθμός, βαθμού 2ν , όπου ν φυσικός. Όμως, ο Γερμανός Μα- θηματικός Lindemann, το 1882, (ιστορικό σημείωμα, σελ. 252) απέδειξε ότι ο π δεν είναι αλγεβρικός αριθμός αλλά υπερβατικός και επομένως δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. Αποδείχθηκε έτσι το αδύνατο της γεωμετρικής λύσης του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου. Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισο- σκελές, το Β∆Γ ημικύκλιο διαμέτρου ΒΓ και το ΓΕΒ τόξο του κύκλου (Α, ΑΒ). Να αποδείξετε ότι ο σχηματιζόμενος μηνίσκος τετραγωνίζεται. (Απάντηση: (μ) = (ΑΒΓ)) ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Α Γ Δ μ Ε Β lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
262 Ε Υ Κ Λ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδα- σκαλίας: i) δύο ευθείες παράλληλες και το επίπεδο που αυτές ορίζουν, ii) δύο ευ- θείες τεμνόμενες, το επίπεδο που αυτές ορίζουν και να βρείτε άλλες ευθείες πάνω σε αυτό, iii) δύο ευθείες ασύμβατες και να διαπιστώσετε ότι δεν υπάρχει επίπεδο που να περιέχει και τις δύο και iv) τρεις ευθεί- ες ανά δύο ασύμβατες. 2. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδασκα- λίας δύο επίπεδα: i) τεμνόμενα, ii) παράλ- ληλα. 3. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδασκα- λίας διάφορα επίπεδα και ευθείες: i) που ανήκουν σε αυτά, ii) που είναι παράλληλες προς αυτά ή iii) που τα τέμνουν. Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να κατασκευάσετε ευθεία που διέρχε- ται από σταθερό σημείο Ο και τέμνει δύο σταθερές ασύμβατες ευθείες. 2. Δίνονται τρεις ευθείες ασύμβατες ανά δύο. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέμνει και τις τρεις. 3. Να κατασκευάσετε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α και τέμνει ευθεία εʹ και κύ- κλο (Κ) του χώρου. 4. Δίνονται οι τεμνόμενες ευθείες ΧΟΧʹ και ΨΟΨʹ και ευθεία ε ασύμβατη σε αυτές. Αν Μ τυχαίο σημείο της ε, να βρείτε την τομή των επιπέδων (Μ, Χ, Χʹ) και (Μ, Ψ, Ψʹ). Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι επίπεδο και κύκλος, που δεν ανήκει σε αυτό, έχουν δύο το πολύ κοινά σημεία. 2. Να αποδείξετε ότι τρεις ευθείες: i) αν τέ- μνονται ανά δύο χωρίς να διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε είναι συνεπίπεδες, ii) αν τέμνονται ανά δύο χωρίς να είναι συ- νεπίπεδες, τότε διέρχονται από το ίδιο ση- μείο. 3. Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε1 και ε2, δύο σημεία Α και Β στην ε1 και δύο ση- μεία Γ και Δ στην ε2. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ είναι ασύμβατες. 4. Δίνονται τέσσερις ευθείες ε1, ε2, ε3 και ε4, από τις οποίες οι ε1 και ε2 είναι παράλλη- λες. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέ- μνει και τις τέσσερις. 5. Να αποδείξετε ότι αν τρία επίπεδα τέμνο- νται ανά δύο, τότε οι τομές τους διέρχο- νται από το ίδιο σημείο ή είναι παράλλη- λες. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ Δύο επίπεδα μπορεί να έχουν: 1. τρία κοινά σημεία, οπότε ταυτίζονται, 2. δύο μόνο κοινά σημεία, οπότε τέμνονται κατά την ευθεία που ορίζουν τα δύο αυτά σημεία, 3. κανένα κοινό σημείο, οπότε είναι παράλληλα. Εάν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε τέμνονται σε μια ευθεία που περνάει από αυτό. Δύο ευθείες του χώρου μπορεί να: 1. Ταυτίζονται αν έχουν δύο κοινά σημεία. 2. Τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Τότε ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο ανήκουν. 3. Είναι παράλληλες. Τότε ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο ανήκουν. 4. Είναι ασύμβατες. Δεν έχουν κοινό σημείο και δεν είναι παράλληλες. Τότε δεν υπάρχει επίπεδο που να τις περιέχει. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
285 Πυραμίδα, είσοδος στο μουσείο του Λούβρου, Παρίσι (1989). Αρχιτέκτων ο Γιέο Μιγκ Πέι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε δύο οικογένειες στερεών σχημάτων, τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής. Τα πολύεδρα αποτελούνται από τμήματα επιπέδων, κατάλληλα τοπο- θετημένα, ώστε να σχηματίζουν ένα κλειστό στερεό σύνολο. Υπάρχουν πολλά είδη πολυέδρων, εδώ όμως θα μελετήσουμε τα απλούστερα από αυτά, όπως είναι τα πρίσματα και οι πυραμί- δες. Τα στερεά εκ περιστροφής με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η σφαίρα. Τα στερεά αυτά λέγονται έτσι γιατί σχηματίζονται κατά την περιστροφή επίπεδων σχημάτων, όπως είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο τρίγωνο και ο κύκλος. Τα πολύεδρα αποτελούν μία κατηγορία σχημάτων του χώρου, τα οποία παρουσιάζουν θεω- ρητικό ενδιαφέρον, είναι όμως χρήσιμα και από πλευράς εφαρμογής σε διάφορους τομείς της τεχνολογίας και της τέχνης. Στις διάφορες εφαρμογές χρησιμοποιούνται για να προσομοιά- ζουν σχήματα του φυσικού χώρου που συναντάμε γύρω μας και είναι σημαντικές όχι μόνο οι μετρικές αλλά και οι καθαρά γεωμετρικές ιδιότητές τους. Ektojsyns € lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διανύσματα 1.1 Η Έννοια του Διανύσματος 11 1.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων 16 1.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 21 1.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 29 1.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Η Ευθεία στο Επίπεδο 2.1 Εξίσωση Ευθείας 57 2.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 65 2.3 Εμβαδόν Τριγώνου 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Κωνικές Τομές 3.1 Ο Κύκλος 81 3.2 Η Παραβολή 89 3.3 Η Έλλειψη 100 3.4 Η Υπερβολή 113 3.5 Η Εξίσωση Αx2 + By2 + Γx + Δy + E = 0 125 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρία Αριθμών 4.1 Η Μαθηματική Επαγωγή 135 4.2 Ευκλείδεια Διαίρεση 140 4.3 Διαιρετότητα 145 4.4 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 150 4.5 Πρώτοι Αριθμοί 161 4.6 Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 170 4.7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 175 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 185 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
25 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Ας πάρουμε ένα διάνυσμα AB και ένα σημείο αναφοράς Ο. Επειδή AM MB= , έχουμε OM OA OB OM− = − , οπότε 2OM OA OB= + και άρα OM OA OB = + 2 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1* Να αποδειχτεί ότι: (i) Ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν και μόνο αν ισχύει GA+ GΒ + GΓ = 0 και (ii) Αν G είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε για οποιοδή- ποτε σημείο Ο ισχύει ( ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Γνωρίζουμε από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότι αν G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ, τότε Α ∆G G= 2 , όπου ΑΔ η διάμεσος του τριγώνου. Επομέ- νως, ισχύει AG G= 2 ∆ , οπότε έχουμε GA GB G GA G GA AG GG+ + = + = + = =Γ ∆2 0. Αντιστρόφως, αν για ένα σημείο G ισχύει GA GB G+ + =Γ 0 , τότε θα έχουμε GA G+ =2 0∆ , όπου Δ το μέσον της ΒΓ, οπότε θα ισχύει AG G= 2 ∆ . Έτσι, το ση- μείο G ανήκει στη διάμεσο ΑΔ και ισχύει Α ∆G G= 2 . Άρα, το G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. (ii) Από τη σχέση GA GB G+ + =Γ 0 έχουμε: OA OG OB OG O OG− + − + − =Γ 0 . Άρα lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
26 2. Να αποδειχτεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α β γ δ, , , τα διανύσματα θέσεως των κορυφών Α, Β, Γ, Δ, αντιστοίχως, ενός τετρά- πλευρου ΑΒΓΔ ως προς ένα σημείο αναφο- ράς Ο. Τα διανύσματα θέσεως των μέσων Η της ΒΓ και Θ της ΑΔ είναι 1 2 ( )β γ+ και 1 2 ( )α δ+ αντιστοίχως και το διάνυσμα θέσεως του μέ- σου G του ΗΘ είναι το 1 2 1 2 1 2 1 4 ( ) ( ) ( )β γ α δ α β γ δ+ + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + + + . Ομοίως βρίσκουμε ότι το διάνυσμα θέσεως των μέσων των τμημάτων ΕΖ και ΙΚ είναι το 1 4 ( )α β γ δ+ + + . Άρα τα τμήματα ΗΘ, ΕΖ και ΙΚ διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από αυτό. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν α είναι ένα διάνυσμα, τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο και την κατεύ- θυνση του διανύσματος α α α0 1 = ⋅ | | ; 2. Να βρείτε το διάνυσμα x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: (i) 1 2 1 3 ( ) ( )x x+ = +α β (ii) x x+ + = − −3 4 3( ) ( )α β α β . 3. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ( ) ( )ΒΜ ΜΓ= 2 , να αποδείξετε ότι x = + 1 3 2( )β γ . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
31 Συντεταγμένες Διανύσματος Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA = α. Αν A1 και A2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες x′x και y′y αντιστοίχως, έχουμε: OA OA OA= +1 2 (1) Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει OA x1 = ι και OA yj2 = . Επομένως η ισό- τητα (1) γράφεται αα = +xi yj Αποδείξαμε δηλαδή ότι το α είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j. Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί x και y είναι μοναδικοί. Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του α ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μο- ναδική. Πράγματι, έστω ότι ισχύει και α = ′ + ′x i y j . Τότε θα έχουμε xi yj x i y j+ = ′ + ′ ( ) ( )x x i y y j− ′ = ′− Αν υποθέσουμε ότι x x≠ ′, δηλαδή ότι x x− ′ ≠ 0, τότε θα ισχύει i y y x x j= ′ − − ′ Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i j/ / , που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά. Επομένως x x= ′, που συνεπάγεται ότι και y y= ′. Ώστε: “Κάθε διάνυσμα αα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή αα == ++xi yj”. Τα διανύσματα xi και yj λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α κατά τη διεύθυνση των i και j αντιστοίχως, ενώ οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του α στο σύστημα Οxy. Πιο συγκεκριμένα, ο x λέγεται τετμημένη του α και ο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
35 Επομένως: Η απόσταση των σημείων Α( , )x y1 1 και Β( , )x y2 2 είναι ίση με ( ) ( ) ( )ΑΒ = − + −x x y y2 1 2 2 1 2 Για παράδειγμα, η απόσταση των σημείων Α( , )2 7− και Β( , )5 3− είναι ίση με ( ) ( ) ( )ΑΒ = − + − + = + =5 2 3 7 3 4 52 2 2 2 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Αν ΑΑ( , )−−2 1 καιΒΒ( , )1 4 είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ και ΚΚ ( , )2 3−− το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ. ΛΥΣΗ Αν Γ ( , )x y1 1 και 2 2x y( , )∆ είναι οι δύο άλλες κο- ρυφές του παραλληλόγραμμου, επειδή το Κ είναι το μέσον των ΑΓ και ΒΔ, έχουμε: x y 1 1 2 2 2 1 2 3 + − = + = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ( ) και x y 2 2 1 2 2 4 2 3 + = + = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ . Επομένως, x y 1 1 6 7 = = − ⎧ ⎨ ⎩ και x y 2 2 3 10 = = − ⎧ ⎨ ⎩ . Άρα, οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ είναι ( , )6 7− και ( , )3 10− αντιστοίχως. 2.* Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του. ΛΥΣΗ Αν ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 , ( , )x y3 3 είναι οι συντεταγμέ- νες των κορυφών Α, Β, Γ αντιστοίχως και ( , )x y είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
36 ΑΒΓ, επειδή OG OA OB O = + + Γ 3 (Εφαρμ. 1 § 1.3), θα έχουμε: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x y = + +1 1 2 2 3 3 3 = + + + + = + + + +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ( , ) , x x x y y y x x x y y y1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 Άρα x x x x y y y y = + + = + +1 2 3 1 2 3 3 3 , . Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω α = ( , )x y1 1 και β = ( , )x y2 2 δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου. — Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα και υποθέσουμε ότι β ≠ 0 , τότε θα υπάρ- χει λ ∈R, τέτοιος, ώστε α λβ= . Επομένως, θα έχουμε ( , ) ( , )x y x y1 1 2 2= λ ή ισο- δύναμα: x x1 2= λ και y y1 2= λ , οπότε θα ισχύει x y y x x y y x1 2 1 2 2 2 2 2 0− = − =λ λ ή ισοδύναμα x y x y 1 1 2 2 0= . — Αν β = 0, τότε θα ισχύει x y x y x y1 1 2 2 1 1 0 0 0= = . Δείξαμε δηλαδή ότι αν τα διανύσματα α και β είναι παράλληλα, τότε x y x y 1 1 2 2 0= . ● Αντιστρόφως, αν x y x y 1 1 2 2 0= , τότε τα διανύσματα α και β θα είναι παράλληλα. Πράγματι, επειδή x y x y 1 1 2 2 0= , έχουμε x y x y1 2 2 1= . Επομένως, — Αν 2 0x ≠ , τότε y x x y1 1 2 2= , οπότε, αν θέσουμε x x 1 2 = λ, θα έχουμε x x1 2= λ και y y1 2= λ . Άρα, α λβ= και συνεπώς α β/ / . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
42 Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j = j i =⋅ ⋅ 0 και i = j =2 2 1 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Θα δούμε τώρα πώς μπορούμε να εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α = ( , )x y1 1 και β = ( , )x y2 2 συναρτήσει των συντεταγμένων τους. Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA = α και OB = β. Από το νόμο των συνημιτό- νων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητα 2 2 2 ˆ( ) ( ) ( ) 2( )( )ΑΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ= + − συν , η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά. Όμως είναι ( ) ( ) ( )ΑΒ 2 2 1 2 2 1 2 = − + −x x y y , ( )ΟΑ 2 1 2 1 2 = +x y και ( )ΟΒ 2 2 2 2 2 = +x y . Επομένως, έχουμε διαδοχικά: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 ˆ( ) ( ) 2( )( )συνx x y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ− + − = + + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ˆ2 2 2( )( )συνx x x x y y y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ+ − + + − = + + + − και επειδή ˆ( )( )ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ α βσυν = ⋅ , έχουμε τελικά: α β⋅ = +x x y y1 2 1 2 Δηλαδή: “Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γι- νομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους”. Για παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο των α = −( , )3 4 και β = −( , )2 1 είναι: α β⋅ = − ⋅ + − = −( ) ( )3 2 4 1 10. Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου θα αποδεί- ξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
45 3. Να αποδειχτεί ότι σσυυνν σσυυνν σσυυνν ηηµµ ηηµµ( )αα ββ αα ββ αα ββ− = + , όπου 0 ≤ < ≤ββ αα ππ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν στον τριγωνομετρικό κύκλο τα διανύσματα OA και OB σχηματίζουν με τον άξονα x′x γωνίες α και β αντιστοίχως, τότε θα είναι OA = ( , )συν ηµα α και OB = ( , )συν ηµβ β . Επομένως, θα έχουμε: OA OB OA OB⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =| | | | ( ) ( ) (συν συν συνα β α β1 1 αα β− ) και OA OB⋅ = = ⋅ + ⋅( , )( , )συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµα α β β α β α β . Άρα, συν συν συν ηµ ηµ( )α β α β α β− = ⋅ + ⋅ Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Έστω α, v δύο διανύσματα του επιπέδου με α ≠ 0. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρ- νουμε τα διανύσματα OA = α και OM =ν . Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύ- θυνση του OA και έστω Μ1 το ίχνος της καθέτου. Το διάνυσμα OM1 λέγεται προβολή του νν στο αα και συμβολίζεται με ππρροοββ νναα . Δηλαδή, OM1 = προβ να . Αποδεικνύεται ότι η προβολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επι- λογή του σημείου Ο. Για το εσωτερικό γινόμενο των α και ν έχουμε: α α α α⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =v OM M M OM M M( )1 1 1 1 αα α ν⋅ = ⋅OM1 προβα Επομένως: α ν α ν⋅ = ⋅προβα lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
47 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν α = −( , )1 3 και β = ( , )2 5 , τότε (i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α β⋅ , ( ) ( )2 3α β⋅ − και ( ) ( )α β α β− ⋅ +3 (ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ λ, ∈R, ώστε το εσωτερικό γι- νόμενο των διανυσμάτων u = ( , )κ λ και β να είναι ίσο με μηδέν. Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή; 2. Αν u v= =( , ), ( , )1 2 4 2 και w = ( , )6 0 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: u v w⋅ +( )7 , | | ( )u v w⋅ , | ( ) |u v w⋅ και (| | )u v w⋅ . 3. Αν α = ( , )1 0 και β = ( , )1 1 , να βρείτε τον λ ∈R , ώστε: (i) Τα διανύσματα α και α λβ+ να είναι κάθετα (ii) Τα διανύσματα β και α λβ+ να είναι κάθετα. 4. Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u = −( , )3 2 και έχουν μέτρο ίσο με 1. 5. Αν | |α = 2, | |β = 3 και ( , )α β π∧ = 3 , να υπολογίσετε τον κ ∈R, ώστε τα δια- νύσματα u = −3α β και v = +κα β2 να είναι κάθετα. 6. Αν α κ= ( , )1 και β = ( , )4 3 , να βρείτε τον κ ∈R ώστε να ισχύει: (i) α β⋅ = 0 (ii) ( , )α β π∧ = 4 (iii) α β/ / . 7. Αν | | | |α β= =1 και ( , )α β π∧ = 2 3 , να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων u = +2 4α β και v = −α β. 8. Αν τα διανύσματα α. και β είναι μη μηδενικά, να αποδείξετε ότι: α α β α β α β ⊥ − ⇔ ( , ) = | | | | ( ) συν . 9. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u = +| | | |α β β α και v = −| | | |α β β α είναι κάθετα. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
48 10. Να αποδείξετε ότι για δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β, το διάνυσμα v = − ⋅β α α β β2 ( ) είναι κάθετο στο β . 11. Δίνονται τα σημεία Α Β Γ( , ), ( , ), ( , )3 2 6 4 1 5− − και Δ(‒1,2). Να υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ Γ∆⋅ (ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα ΑΒ και Γ∆ ; 12. Δίνονται τα διανύσματα α = −( , )2 4 και β = −( , )8 5 . Να αναλύσετε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α. 13. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κα- τασκευάζεται με τα διανύσματα 5 2α β+ και α β−3 , αν | |α = 2 2 , | |β = 3 και ( , )α β ∧ = 45 . 14. Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε την πα- ράσταση ΑΒ ΑΓ ΑΒ Γ∆⋅ + ⋅ . 15. Να εξετάσετε πότε ισχύει: (i) | | | | | |α β α β+ = + (ii) | | | | | |α β α β− = + Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Τα διανύσματα α και β είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά. Να απο- δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ισχύει: λ α λµ α β µ β2 2 2 2 2 0+ ⋅ + ≥( ) . Πότε ισχύει το ''= ''; 2. Να αποδείξετε ότι: (i) | | | | | | | |u v u v u v+ + − = +2 2 2 2 2 2 (ii) u v u v u v⋅ = + − − 1 4 1 4 2 2 | | | | . 3. Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα α και β . Να αποδείξετε ότι: Ε lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
50 9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εξω- τερικώς αυτού κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΑΓΗΘ. Να εκφράσετε τα διανύσματα BΘ και ZΓ ως συνάρτηση των β β γ γ1 2 1 2, , , και να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο B ZΘ Γ⋅ . Τι συμπεραίνετε για τα τμήματα ΒΘ και ΓΖ; 10. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλό- γραμμο και τα ′ ′B , ∆ οι προβολές του Γ στις ΑΒ και ΑΔ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι AB AB A A A⋅ ′ + ⋅ ′ =∆ ∆ Γ 2 11. Δίνεται κύκλος ( , )O R και σημείο Μ του επιπέδου του. Αν μεταβλητή ευ- θεία που διέρχεται από το Μ τέμνει τον κύκλο στα Α και Β, να αποδείξετε ότι το γινόμενο MA MB⋅ είναι σταθερό. (Το γινόμενο αυτό λέγεται δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο Ο). ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ, λ, μ με | | | | | |κ λ µ+ + ≠ 0, τέτοιοι, ώστε κ λ µ+ + = 0 και, κ λ µOA OB O+ + =Γ 0 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά και αντιστρόφως. 2. Αν για το σημείο Μ του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις AM AB A= +λ µ Γ και BM A BA= +λ µΓ , να αποδείξετε ότι το Μ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ. 3. Έστω Ο και Α δύο σταθερά σημεία του επιπέδου με | |OA = 3. Ποια γραμμή γράφουν τα σημεία Μ του επιπέδου για τα οποία είναι OM OM OA⋅ − =( )2 7; Β Ε Μ Ο ΘΗ Γ Κ Ζ Λ Α Δ Β Ε Μ Ο ΘΗ Γ Κ Ζ Λ Α Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
68 Επειδή δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία να μηδενίζονται και ο συντελεστής του x και ο συντελεστής του y, η εξίσωση (2) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ ∈ R. Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο K(x0, y0) του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του λ. Το ζητούμενο σημείο θα είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις x y− +2 5 και 3 2 7x y+ + , δηλαδή η λύση του συστήματος x y− + =2 5 0 και 3 2 7 0x y+ + = . Από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε ότι x0 3= − και y0 1= . Επομένως, όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το σημείο K( , )−3 1 . (ii) Έστω ε ευθεία της οικογένειας (1) που είναι κάθετη στην ευθεία ζ. Τότε θα ισχύει λ λ λ λε ζ ε ε⋅ = − ⇔ ⋅ = − ⇔ = −1 2 1 1 2 (3) όμως, λόγω της (2), ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι ίσος με λ λ λ ε = + − 1 3 2 2 . Επομένως, από την (3) έχουμε 1 3 2 2 1 2 2 6 2 2 1 + − = − ⇔ + = − + ⇔ = − λ λ λ λ λ , οπότε η ευθεία ε θα έχει εξίσωση − − − =2 4 2 0x y που γράφεται x y+ + =2 1 0 . 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(2,3), Β(4,1) και Γ(5λ‒1,λ), όπου ∈ Rλ με λ ≠1. Να αποδείξετε ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου κινεί- ται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο R. ΛΥΣΗ Αν G x y( , ) το κέντρο βάρους του τριγώνου, τότε x = + + − = +2 4 5 1 3 5 5 3 λ λ και y = + + = +3 1 3 4 3 λ λ . Έχουμε λοιπόν το σύστημα x y x y = + = + ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ = + = + ⎧ ⎨ ⎩ 5 5 3 4 3 3 5 5 3 4 λ λ λ λ . Απαλείφουμε το λ από τις εξισώσεις και βρίσκουμε 3 15 15 0x y− + = ή ισοδύναμα x y− + =5 5 0 . Άρα, το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ κινείται στην ευθεία x y− + =5 5 0 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
70 6. Να βρείτε την τιμή του κ ∈R, ώστε η ευθεία 3 3 0x y+ + =κ να διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 3 4 6 0x y+ + = και 6 5 9 0x y+ − = . Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις: (i) x y y2 2 4 4 0− + − = (ii) x y x y2 2 4 2 3 0− − + + = . 2. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής ( ) ( ) ( )2 3 1 3 1 02 2 α α α α α+ + + − + + + =x y , α ∈R διέρχονται από το ίδιο σημείο. 3. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες x y+ =4 5, 3 2 1x y− = και 7 8 1 0x y− + = διέρ- χονται από το ίδιο σημείο. 4. Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι ευθείες y x= µ και ( ) ( )1 1+ = −µ µx y . 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο τομής των ευθειών x y α β + =1 και x y β α + =1, με α β, ≠ 0 και α β≠ ± . 6. Δίνεται η ευθεία 3 3x y+ = και το σημείο Α( , )1 2 . Να βρείτε τις συντεταγμέ- νες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή. 7. Δίνεται η ευθεία ε α β : x y + =1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι κάθετη στην ε στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα x′x. 2.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση Ax By+ + =Γ 0 και M x y0 0 0( , ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
72 Υπολογισμός Εμβαδού Έστω A x y( , )1 1 , B x y( , )2 2 και Γ ( , )x y3 3 τρία ση- μεία του καρτεσιανού επιπέδου. Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Αν ΓΔ είναι το ύψος του ΑΒΓ από την κορυφή Γ, τότε θα ισχύει ( ) ( ) ( )AB ABΓ Γ∆= ⋅ 1 2 . (1) Το (ΑΒ) είναι η απόσταση των σημείων A x y( , )1 1 και B x y( , )2 2 . Επομένως, ( ) ( ) ( )AB x x y y= − + −2 1 2 2 1 2 . (2) Το (ΓΔ) είναι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ. Για να την υπολογί- σουμε, θα βρούμε πρώτα την εξίσωση της ΑΒ. Η ΑΒ, αν δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα y′y, θα έχει συντελεστή διεύθυν- σης λ = − − y y x x 2 1 2 1 , οπότε θα έχει εξίσωση AB: y y y y x x x x− = − − −1 2 1 2 1 1( ) , η οποία γράφεται ισοδύναμα ΑΒ: ( )( ) ( )( )x x y y y y x x2 1 1 2 1 1 0− − − − − = . (3) Αν, όμως, η ΑΒ είναι παράλληλη προς τον άξονα y′y, τότε θα έχει εξίσωση x x= 1 , η οποία παίρνει και αυτή τη μορφή (3). Η εξίσωση (3), μετά την εκτέλεση των πράξεων, γράφεται ΑΒ: ( ) ( ) ( )y y x x x y x y x y1 2 2 1 1 2 2 1 0− + − + − = . (4) Επομένως, η απόσταση (ΓΔ) του Γ από την ευθεία ΑΒ είναι ίση με ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) Γ∆ = − + − + − − + − 4 1 2 3 2 1 3 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 y y x x x y x y x y y y x x = − − − − − − + − ( ) | ( )( ) ( )( ) | ( ) ( ) 3 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 1 2 x x y y y y x x x x y y . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
73 Άρα, ( ) | | ( ) ( ) Γ∆ = − − − − − + − x x y y x x y y x x y y 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 . (5) Έτσι, η ισότητα (1), λόγω του (2) και (5), γράφεται ( ) | |AB x x y y x x y y Γ = − − − − 1 2 2 1 2 1 3 1 3 1 . (6) Όμως, η 1η γραμμή της ορίζουσας είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB και η 2η γραμμή οι συντεταγμένες του διανύσματος AΓ . Επομένως, η ορίζουσα αυτή είναι ίση με την ορίζουσα det( , )AB AΓ των διανυσμάτων AB και AΓ . Έτσι, η σχέση (6) γράφεται ( ) | det( , ) |AB AB AΓ Γ= 1 2 Για παράδειγμα, αν A B( , ), ( , )0 1 1 0− και Γ ( , )3 8− είναι οι κορυφές ενός τρι- γώνου ΑΒΓ, τότε AB = − −( , )1 1 και AΓ = −( , )3 9 , οπότε το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ( ) | det( , ) | | |AB AB AΓ Γ= = − − − = ⋅ = 1 2 1 2 1 1 3 9 1 2 12 6. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ε λ β1 1: y x== ++ καιε λ β2 2: y x== ++ δίνεται από τον τύπο . ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η απόσταση των ε1 και ε2 είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ε1 από την ευθεία ε2 . Για x = 0 , από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι y = β1 . Άρα, το σημείο Α( , )0 1β lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
76 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο και απέχουν από το σημείο Α( , )−1 3 απόσταση ίση με 1. 5. Να βρείτε τα σημεία της ευθείας x y− + =2 0, τα οποία απέχουν από την ευθεία 12 5 60 0x y− + = απόσταση ίση με 1. 6. Να δείξετε ότι τα σημεία Α Β( , ), ( , )α β γ δ και Γ ( , )α γ β δ− − είναι συ- νευθειακά, αν και μόνο αν αδ βγ= . 7. Δίνονται τα σημεία Α( , )α 0 και Β( , )0 β , με α β, ≠ 0. Αν η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει τους άξονες στα σημεία P p( , )0 και Q q( , )0 , να δείξετε ότι: (i) α βq p pq+ = 2 (ii) α βp q+ = 0. Στη συνέχεια να εκφράσετε τα p και q συναρτήσει των α και β. 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 3 4 1 0x y− + = και 5 12 4 0x y+ + = . 9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο το- μής των ευθειών x y− + =1 0 και 2 3 5 0x y− + = και απέχει από το σημείο Α( , )3 2 απόσταση ίση με 7 5 . 10. Δίνονται τα σημεία Α( , )− −1 2 και Β( , )3 1 . Να βρείτε το σύνολο των σημεί- ων Μ για τα οποία ισχύει ( )ΜΑΒ = 8 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M ( , )1 0 και τέμνει τις ευθείες y x= + 2 και y x= στα σημεία Α και Β αντι- στοίχως, έτσι, ώστε ( )ΑΒ = 2 . 2. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λ λ λx y+ − =( )1 2 και ( )λ λ λ+ + = +1 2 1x y τέ- μνονται για όλες τις τιμές του λ ∈R. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους; lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
77 3. Αν οι τρεις ευθείες α βκ κx y+ =1, με κ =1 2 3, , , διέρχονται από το ίδιο ση- μείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία ( , )α βκ κ , κ =1 2 3, , , είναι συγγραμμικά. 4. Να βρείτε την ευθεία η οποία συνδέει το σημείο Α ( , )α β με το σημείο τομής των ευθειών x y α β + =1 και x y β α + =1, όπου α β, ≠ 0 και α β≠ ± . 5. Αν οι ευθείες x y α β + =1 και x y Α Β + =1 είναι παράλληλες με Α > α και β > 0 , να δείξετε ότι η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι β α α β ( )Α − +2 2 . 6. Να δείξετε ότι: (i) Η εξίσωση x xy y2 2 4 0− + = παριστάνει δύο ευθείες. (ii) Καθεμιά σχηματίζει με την x y− = 0 γωνία 30 . 7. Να βρείτε συνθήκη, ώστε: (i) Η ευθεία α β γx y+ + = 0 να ορίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο (ii) Ο άξονας x′x να διχοτομεί τη γωνία των ευθειών με εξισώσεις ε α β1 1 1 0: x y+ = και ε α β2 2 2 0: x y+ = . 8. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τε- τράγωνο ενώ τα ΕΑΒ και ΖΒΓ είναι ισό- πλευρα τρίγωνα πλευράς α = 2. (i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Ε και Ζ. (ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Σε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς να κυκλώσετε το Α, αν είναι αληθής, και το Ψ, αν είναι ψευδής: • Η ευθεία y x= − +3 5σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x′x Α Ψ • Οι ευθείες x = 5 και y = −2 είναι κάθετες Α Ψ • Η εξίσωση α α α+1 1 10 02 ( ) + −( ) + = ∈x y , R παριστάνει πάντοτε ευθεία Α Ψ • Η ευθεία 3 4 1 0x y+ − = δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων Α Ψ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
82 M x y( , ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: ( )OM = ρ (1) Όμως, ( )OM x y= +2 2 . Επομένως, η (1) γρά- φεται x y2 2 + = ρ ή, ισοδύναμα, x y2 2 2 + = ρ . (2) Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση (2). Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( , )0 0 και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x y2 2 2 + = ρ (3) Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =1 έχει εξί- σωση x y2 2 1+ = . Ο κύκλος αυτός λέγεται μοναδιαίος κύκλος. Παραμετρικές Εξισώσεις Κύκλου Έστω ο κύκλος 2 2 2 :C x y ρ+ = και ένα σημείο M x y( , ) του καρτεσιανού επιπέδου. Αν το M x y( , ) ανήκει στον κύκλο C και ϕ π∈[ , )0 2 είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα OM με τον άξονα x′x, τότε, όπως γνωρίζουμε από την Τρι- γωνομετρία, θα ισχύουν οι σχέσεις: x = ρσυνϕ και y = ρ ϕηµ . (1) Αντιστρόφως, αν για τις συντεταγμένες x, y του Μ ισχύουν οι σχέσεις (1), τότε το σημείο Μ θα ανήκει στον κύκλο C, αφού x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + =ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρσυν ηµ συν ηµ( ) . Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων M x y( , ) του κύκλου C και μόνον αυ- τές ικανοποιούν τις εξισώσεις x y= = ∈ρ ϕ ρ ϕ ϕ πσυν και ηµ , [ , )0 2 Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
90 Για να βρούμε ένα σημείο της παραβολής C, εργαζόμαστε ως εξής: Παίρνουμε ένα σημείο Π1 της ημιευθείας ΚΕ (Σχ. β) και από το σημείο αυτό φέρνουμε την κάθετη στην ΚΕ και έστω Μ1 ένα από τα σημεία τομής της κάθετης αυτής και του κύκλου με κέντρο το Ε και ακτίνα Π1 Α. Τότε, το σημείο Μ1 είναι σημείο της παραβολής C. Πράγματι, αν P1 είναι η ορθή προβολή του Μ1 στη διευθετούσα δ, τότε θα ισχύει ( ) ( ) ( )M P A M E1 1 1 1= =Π , δηλαδή d M d M E( , ) ( , )1 1δ = . Εξίσωση Παραβολής ● Έστω C μια παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα δ. Θα βρούμε την εξίσωση της παραβολής C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με αρχή Ο την κορυφή της παραβολής και άξονα x′x την κάθετη από το Ε στην δ. Αν στο σύστημα αυτό η τετμημένη της εστίας Ε είναι p 2 , τότε η εξίσωση της διευθετούσας θα είναι x p = − 2 . Σύμφωνα με τον ορισμό της παραβολής, ένα σημείο M x y( , ) θα ανήκει στη C, αν και μόνο αν ισχύει d M E d M( , ) ( , )= δ . (1) Είναι όμως d M E x p y( , ) = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 2 2 2 και d M x p x p ( , )δ = + + = + 2 1 0 22 2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
93 Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων M1 και M2 θα είναι y p y1 2 1 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ και y p y2 2 2 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ αντιστοίχως. Όμως, τα σημεία E p 2 0, ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , M y p y1 1 2 1 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , M y p y2 2 2 2 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ είναι συνευθειακά. Επομένως: EM EM1 2/ / , οπότε έχουμε διαδοχικά: det( , )EM EM1 2 0= y p p y y p p y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 − − = ( ) ( )y p y p y p y p 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 − − − = y y y y p y p y1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0− − + = y y y y p y y1 2 1 2 2 1 2( ) ( )− = − − y y p1 2 2 = − , αφού y y1 2≠ . Άρα | | | | | |y y y y p1 2 1 2 2 ⋅ = = . (σταθερό) Εφαπτομένη Παραβολής ● Έστω μια παραβολή C με εξίσωση y px2 2= (1) και ένα σταθερό της σημείο M x y1 1 1( , ). Έστω επιπλέον μια μη κατακόρυφη ευθεία ζ που διέρχεται από το M x y1 1 1( , ) και τέμνει την παραβολή και σε ένα άλλο σημείο M x y2 2 2( , ). Τότε η ζ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = − − y y x x 2 1 2 1 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
96 Επομένως, έχουμε: ( )EM x p y x p px1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2= − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += p x = + =x p EN1 1 2 ( ) . ■ Η χρήση της παραπάνω ιδιότητας γίνεται στα παραβολικά τηλεσκόπια, στα ρα- ντάρ, στα φανάρια των αυτοκινήτων, στους προβολείς των οδοντιάτρων κτλ. Συγκεκριμένα: — Όλες οι ακτίνες φωτός που προσπίπτουν στο παραβολικό κάτοπτρο παράλλη- λα προς τον άξονά του, ανακλώμενες, συγκεντρώνονται στην εστία. — Στα φανάρια των αυτοκινήτων που έχουν παραβολικά κάτοπτρα οι λαμπτή- ρες βρίσκονται στην εστία τους. Έτσι, οι φωτεινές ακτίνες, ανακλώμενες στο κάτοπτρο, εξέρχονται παράλληλα προς τον άξονά του. ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με την προηγούμενη απόδειξη, για να φέρουμε την εφαπτομένη μιας παραβολής σε ένα σημείο της M x y1 1 1( , ), αρκεί να ενώσουμε το σημείο N x1 1 0( , )− με το M x y1 1 1( , ). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ *1. Έστω η παραβολή C y px: 2 2= και ε1 , ε2 οι εφαπτόμενες της παραβολής από ένα σημείο M x y0 0 0( , ) με x0 0≠ . Αν Μ1 , Μ2 είναι τα σημεία επαφής των ε1 , ε2 με την παραβολή C, να αποδειχτεί ότι (i) Η ευθεία Μ1 Μ2 έχει εξίσωση yy p x x0 0= +( ) (ii) Η ευθεία Μ1 Μ2 διέρχεται από την εστία, αν και μόνο αν το Μ0 ανήκει στη διευθετούσα της παραβολής. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
99 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξό- νων και άξονα συμμετρίας τον άξονα x′x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν έχει εστία το σημείο Ε ( , )−1 0 (ii) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία x = 1 2 (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α( , )1 2 . 2. Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση: (i) y 82 = x (ii) y x2 8= − (iii) 2 4 1 y= x (iv) y x= − 1 4 2 (v) y x2 4= α (vi) y x= 1 4 2 α . 3. Δίνεται η παραβολή y px2 2= . Να αποδειχτεί ότι η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο στην εστία σημείο της. 4. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β της παραβολής y x= 1 4 2 , που έχουν την ίδια τεταγμένη και ισχύει ˆ 90ΑΟΒ = . 5. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y x= 1 4 2 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία 1+=y x (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y x= −2 (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο )1,0( −Α . 6. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής y x= 1 4 2 στα σημεία )4,4(Α και Β − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟1 1 4 , τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος ( )x y− + =3 82 2 εφάπτεται της παραβολής y x2 4= . (Δηλαδή, έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
102 Εξίσωση Έλλειψης ● Έστω μια έλλειψη C με εστίες ′E και Ε. Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξονα των x την ευθεία ′E E και άξονα των y τη μεσοκάθετο του ′E E. Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της έλλει- ψης C, τότε θα ισχύει ( ) ( )ME ME′ + = 2α. (1) Επειδή ( )′ =E E 2γ, οι εστίες ′E και Ε θα έχουν συντεταγμένες ( , )−γ 0 και ( , )γ 0 αντιστοίχως. Επομένως, ( ) ( )ME x y′ = + +γ 2 2 και ( ) ( )ME x y= − +γ 2 2 . Έτσι, η σχέση (1) γράφεται ( ) ( )x y x y+ + + − + =γ γ α2 2 2 2 2 , από την οποία έχουμε διαδοχικά: ( ( )x y x y+ + = − − +γ α)2 2 2 2 2 γ ( ) ( ) ( )x y x y x y+ + = + − + − − +γ α γ α γ2 2 2 2 2 2 2 4 4 x x y x x y x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4+ + + = + + − + − − +γ γ α γ γ α γ( ) (2) α γ γ α γ2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x x y x+ − + = − α α γ α γ α α γ α γ2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2x x y x x+ − + = + − ( ) ( )α γ α α α γ2 2 2 2 2 2 2 2 − + = −x y x y2 2 2 2 2 1 α α γ + − = . (3) Επειδή α γ> , είναι α γ2 2 0− > , οπότε αν θέσουμε β α γ= −2 2 , η εξίσωση (3) παίρνει τη μορφή x y2 2 2 2 1 α β + = . (4) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
106 Παραμετρικές Εξισώσεις Έλλειψης Έστω η έλλειψη C x y : 2 2 2 2 1 α β + = και ένα σημείο M x y( , ) του καρτεσιανού επι- πέδου. — Αν το M x y( , ) ανήκει στην έλλειψη C, τότε θα ισχύει x y2 2 2 2 1 α β + = , οπότε θα έχουμε x y α β ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 2 2 1. Επομένως, το σημείο N x y α β , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ θα ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο, οπότε θα υπάρ- χει γωνία ϕ π∈[ , )0 2 , τέτοια, ώστε x α ϕ= συν και y β ϕ= ηµ , δηλαδή x = α ϕσυν και y = β ηµϕ. (1) — Αντιστρόφως, αν ισχύουν οι (1) για κάποια γωνία ϕ π∈[ , )0 2 , τότε το σημείο M x y( , ) θα ανήκει στην έλλειψη C, αφού x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 α β α ϕ α β ϕ β ϕ ϕ+ = + = + = συν ηµ συν ηµ . Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων M x y( , ) της έλλειψης C και μόνο αυ- τές ικανοποιούν τις εξισώσεις x = αα ϕϕσσυυνν και y = ββ ϕϕηηµµ , ∈[0,2 )πϕ . Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παρα- μετρικές εξισώσεις της έλλειψης C. Σύμφωνα με τις παραμετρικές εξι- σώσεις το σημείο M ( , )α ϕ βσυν ηµϕ της έλλειψης προσδιορίζεται ως εξής: Γράφουμε τους κύκλους C1 και C2 με κέντρο Ο και ακτίνες β και α αντι- στοίχως και φέρνουμε μια ημιευθεία Οt, έτσι ώστε ( , )Ox Ot ∧ = ϕ. Αν η ημι- ευθεία Οt τέμνει τους C1 και C2 στα σημεία Μ1 και Μ2 αντιστοίχως και οι lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
108 Εφαπτομένη Έλλειψης ● Έστω μια έλλειψη C με εξίσωση x y2 2 2 2 1 α β + = και ένα σημείο της M x y1 1 1( , ). Η εφαπτο- μένη της έλλειψης C στο σημείο M x y1 1 1( , ) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της παραβολής και αποδεικνύεται ότι έχει εξί- σωση xx yy1 2 1 2 1 α β + = Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης x y2 2 16 4 1+ = στο σημείο της M1 2 3( , ) έχει εξίσωση x y⋅ + = 2 16 3 4 1, η οποία γράφεται ισοδύναμα y x= − + 3 6 4 3 3 . ● Αν μια έλλειψη έχει εξίσωση y x2 2 2 2 1 α β + = , τότε η εφαπτομένη της στο σημείο M x y1 1 1( , ) έχει εξίσωση yy xx1 2 1 2 1 αα ββ ++ == . ● Όπως η παραβολή έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα. Συγκεκριμένα: Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία ˆE ME′ , όπου ′E E, οι εστίες της έλλειψης. YEKTO 's %e"zgoE/palm =#= lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
109 Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή ένα ηχητικό κύμα ή μια φωτεινή ακτίνα που ξε- κινούν από τη μία εστία μιας έλλειψης, ανακλώμενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό ορισμένων τύπων οπτικών ορ- γάνων και στην κατασκευή των λεγόμενων “στοών με ειδική ακουστική”. Οι στοές αυτές είναι αίθουσες με ελλει- πτική οροφή, στις οποίες ένα πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μια εστία μπορεί να ακουστεί στην άλλη εστία. Ακόμη, η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης βρί- σκει σπουδαία εφαρμογή σε μια ιατρική μέθοδο που λέγεται λιθοθρυψία. Η μέ- θοδος αυτή εφαρμόζεται ως εξής: Στη μια εστία της έλλειψης τοποθετείται ένα ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο ασθενής τοποθετείται σε τέτοια θέση, ώστε το νεφρό του να είναι στην άλλη εστία. Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούνται από τους ανακλώμενους υπερήχους. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Δίνονται η έλλειψη C x y 1 2 2 2 2 1: αα ββ ++ == και ο κύκλος C x y2 2 2 2 : ++ == αα . Αν M x y1 1 1( , ) είναι ένα σημείο της C1 και M x y2 2 2( , ) το σημείο του C2 με x x2 1== ≠ 0, να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη ε1 της έλλειψης C1 στο σημείο Μ1 και η εφαπτομένη ε2 του κύκλου C2 στο σημείο Μ2 τέμνονται πάνω στον άξονα x′x. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
112 3. Να εγγράψετε στην έλλειψη 4 42 2 x y+ = τετράγωνο με πλευρές παράλλη- λες προς τους άξονες. 4. Αν ′E E, είναι οι εστίες και ′Β Β ο μικρός άξονας της έλλειψης x y2 2 2 4+ = , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒΒ Ε′ ′ είναι τετράγωνο. 5. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες μιας έλλειψης στα άκρα μιας διαμέτρου της είναι παράλληλες. (Διάμετρος μιας έλλειψης λέγεται το τμήμα που συν- δέει δύο σημεία της έλλειψης και διέρχεται από την αρχή των αξόνων). 6. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 3 42 2 x y+ = , οι οποίες: (i) είναι παράλληλες προς την ευθεία y x= − +3 1 (ii) είναι κάθετες στην ευθεία y x= 1 2 (iii) διέρχονται από το σημείο Μ ( , )0 4 . 7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της έλλειψης x y2 2 4 100+ = στα σημεία της M1 4 5 5( , ), M2 4 5 5( , )− , M3 4 5 5( , )− − και M4 4 5 5( , )− σχημα- τίζουν τετράγωνο με διαγώνιες τους άξονες x′x και y′y. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι το σημείο M t t t t α β( ) , 1 1 2 1 2 2 2 − + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ανήκει στην έλλειψη x y2 2 2 2 1 α β + = για όλες τις τιμές του t ∈R. 2. Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών α λβ αy x= +( ) και λα β αy x= −( ) , 0 < <β α. ανήκει στην έλλειψη x y2 2 2 2 1 α β + = για όλες τις τιμές του λ ∈R* . 3. Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της έλλειψης x y2 2 2 2 1 α β + = , να αποδείξετε ότι ( )ME x′ = +α ε και ( )ME x= −α ε . 4. Αν d d, ′ είναι οι αποστάσεις των σημείων Γ ( , )0 γ και ′ −Γ ( , )0 γ από την εφαπτομένη της έλλειψης x y2 2 2 2 1 α β + = σε ένα σημείο της M x y1 1 1( , ), να απο- δείξετε ότι d d2 2 2 2+ ′ = α . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
114 Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό: α) Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν | ( ) ( ) |ME ME′ − = 2α. β) Ισχύει | ( ) ( ) | ( )ME ME E E′ − < ′ δηλαδή 2 2α γ< , οπότε α γ< . Για να βρούμε σημεία της υπερβολής C, εργαζό- μαστε ως εξής: Παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ μήκους 2α και ένα οποιοδήποτε σημείο Σ της ημιευθείας ΚΛ εκτός του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ. Με κέντρα ′E και Ε και ακτίνες ′ =ρ ( )ΚΣ και ρ = ( )ΛΣ , αντιστοίχως, γράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Μ και ′M . Τα ση- μεία Μ και ′M είναι σημεία της υπερβολής, για- τί ισχύει ( ) ( )ME ME′ − = − = =( ) ( ) ( )ΚΣ ΛΣ ΚΛ 2α. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να κατασκευάσου- με οσαδήποτε σημεία της υπερβολής. Εξίσωση Υπερβολής ● Έστω C μια υπερβολή με εστίες ′E και Ε. Θα βρούμε την εξίσωση της C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξονα των x την ευθεία ′E E και άξονα των y τη μεσοκάθετη του ′E E. Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της υπερβολής C, τότε θα ισχύει | ( ) ( ) |ME ME′ − = 2α, (1) Επειδή ( )′ =E E 2γ , οι εστίες ′E και Ε θα έχουν συ- ντεταγμένες ( , )−γ 0 και ( , )γ 0 αντιστοίχως. Επομέ- νως, ( ) ( )ME x y′ = + +γ 2 2 και ( ) ( )ME x y= − +γ 2 2 Έτσι η σχέση (1) γράφεται ( ) ( )x y x y+ + − − + =γ γ α2 2 2 2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
117 ● Από την εξίσωση της υπερβολής για y = 0 βρίσκουμε x = ±α. Συνεπώς, η υπερ- βολή τέμνει τον άξονα x′x στα σημεία ′ −A ( , )α 0 , και A( , )α 0 . Τα σημεία αυτά λέ- γονται κορυφές της υπερβολής. Από την ίδια εξίσωση για x = 0 προκύπτει η εξίσωση y2 2 = −β , η οποία είναι αδύνατη στο R. Επομένως, η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα y′y. ● Τέλος, από την εξίσωση της υπερβολής, έχουμε x y2 2 2 2 1 1 α β = + ≥ , οπότε x2 2 0− ≥α και άρα x ≤ −α ή x ≥ α. Επομένως, τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευ- θειών x = −α και x = α, πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους. Ασύμπτωτες Υπερβολής ● Έστω μια υπερβολή C με εξίσωση x y2 2 2 2 1 α β − = (1) και μια ευθεία ε με εξίσωση y x= λ , δηλαδή μια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. Η ευθεία ε έχει με την υπερβολή C κοινά σημεία, αν και μόνο αν το σύστημα x y2 2 2 2 1 α β − = και y x= λ (1) έχει λύση. Η πρώτη εξίσωση του συστήματος (1), λόγω της δεύτερης, γράφεται διαδοχικά x x2 2 2 2 2 1 α λ β − = β λ α α β2 2 2 2 2 2 2 x x− = ( )β λ α α β2 2 2 2 2 2 − =x . (2) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
120 Επομένως, η εκκεντρότητα ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της ασυ- μπτώτου της, δηλαδή χαρακτηρίζει το ορθογώνιο βάσης, άρα τη μορφή της ίδιας της υπερβολής. Όσο η εκκεντρότητα μικραί- νει και τείνει να γίνει ίση με 1, ο λόγος β α , άρα και το β, μικραίνει και τείνει να γίνει ίσο με 0. Κατά συνέπεια, όσο πιο μικρή είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο επί- μηκες είναι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τόσο πιο κλειστή είναι η υπερβολή. Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής είναι α β= , οπότε ε = 2 . Εφαπτομένη Υπερβολής ● Έστω μια υπερβολή με εξίσωση x y2 2 2 2 1 α β − = (1) και ένα σημείο M x y1 1 1( , ) αυτής. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο M x y1 1 1( , ) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της έλλειψης και αποδεικνύεται ότι έχει εξίσωση xx yy1 2 1 2 1 α β − = Έτσι, για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής x y 2 2 4 1− = στο ση- μείο M1 4 3( , ) έχει εξίσωση x y 4 4 3 1− = , η οποία γράφεται ισοδύναμα y x= − 3 3 3 3 . ● Αν μια υπερβολή έχει εξίσωση y x2 2 2 2 1 α β − = , Fade "⇒s¥€g lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
123 (iv) Όταν έχει ασύμπτωτες τις ευθείες y x= 4 3 και y x= − 4 3 και διέρχεται από το σημείο M ( , )3 2 4 . 2. Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες της υπερβολής: (i) 9 16 1442 2 x y− = , (ii) x y2 2 4− = , (iii) 144 25 36002 2 x y− = . 3. Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = , της οποίας η ασύ- μπτωτη y x= β α σχηματίζει με τον άξονα x′x γωνία 30 . 4. Αν η εφαπτομένη της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = στην κορυφή Α( , )α 0 τέμνει την ασύμπτωτη y x= β α στο σημείο Γ, να αποδείξετε ότι ( ) ( )ΟΕ ΟΓ= . 5. Έστω η υπερβολή C x y : 2 2 2 2 1 α β − = , ε η εφαπτομένη της σε ένα σημείο Μ1 1 1( , )x y και ζ η κάθετη της ε στο Μ1 . Αν η ε διέρχεται από το σημείο M2 0( , )−β και η ζ διέρχεται από το σημείο M3 2 2 0( , )α , να αποδείξετε ότι η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι ίση με 2. 6. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που είναι παράλληλη προς μια από τις ασύ- μπτωτες της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = τέμνει την υπερβολή σε ένα μόνο ση- μείο. Ποιο είναι το σημείο τομής της ευθείας 2 1x y− = και της υπερβολής 4 12 2 x y− = ; 7. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής x y2 2 4 12− = οι οποίες: (i) είναι παράλληλες προς την ευθεία y x= +1 (ii) είναι κάθετες στην ευθεία y x= − 4 3 (iii) διέρχονται από το σημείο M ( , )3 0 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
124 Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν Ε1 είναι η προβολή της εστίας Ε της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = πάνω στην ασύμπτωτη y x= β α , να αποδείξετε ότι (i) ( )OE1 = α, (ii) ( )EE1 = β. 2. Έστω ε και ′ε οι εφαπτόμενες της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = στις κορυφές της Α και ′Α . Αν Γ και ′Γ είναι τα σημεία στα οποία μια τρίτη εφαπτομένη της υπερβολής τέμνει τις ε και ′ε , αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι (i) ( )( )ΑΓ Α Γ′ ′ = β 2 και (ii) ο κύκλος με διάμετρο το ΓΓ ′ διέρχεται από τις εστίες της υπερβολής. 3. Έστω Μ1 1 1( , )x y και Μ 2 2 2( , )x y δύο σημεία του δεξιού κλάδου της υπερ- βολής x y2 2 2 2 1 α β − = . Αν η ευθεία Μ1 Μ2 τέμνει τις ασύμπτωτες στα σημεία Μ 3 3 3( , )x y και Μ 4 4 4( , )x y , να αποδείξετε ότι ( ) ( )Μ Μ Μ Μ1 3 2 4= . 4. Από ένα σημείο Μ1 1 1( , )x y της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = φέρνουμε παράλλη- λες προς τις ασύμπτωτες. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμε- νου παραλληλόγραμμου είναι σταθερό. 5. Να αποδείξετε ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες των ασυμπτώτων της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = δίνεται από τον τύπο συνϕ = ε2 2 − ε 2 . 6. Έστω οι υπερβολές C x y 1 2 2 2 2 1: α β − = και C x y 2 2 2 2 2 2 1: , α β ρ ρ− = > . Αν ′Α Α1 1, και ′Α Α2 2, είναι οι κορυφές των C1 και C2 αντιστοίχως, να αποδεί- ξετε ότι από το Α2 δεν άγονται εφαπτόμενες στη C1 , ενώ από το Α1 άγονται εφαπτόμενες της C2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
125 3.5 Η ΕΞΙΣΩΣΗ 2 2 Ax + Βy + Γx + Δy + E = 0 Μεταφορά Αξόνων Η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ρ έχει την απλή μορφή x y2 2 2 + = ρ , αν η αρχή του συστήματος συντεταγμένων O(0,0) είναι το κέντρο του κύκλου. Αν όμως το κέντρο του κύκλου δεν είναι η αρχή των αξόνων αλλά το σημείο O'(x0 , y0 ), τότε η εξίσωσή του έχει την πιο σύνθετη μορφή ( ) ( )x x y y− + − =0 2 0 2 2 ρ . Αυτό δείχνει ότι η μορφή της εξίσωσης μιας καμπύλης εξαρτάται από τη σχετική θέση της καμπύλης και των αξόνων. Ας υποθέσουμε ότι σε ένα επίπεδο έχουμε μια καμπύλη και την εξίσωσή της ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της ίδιας καμπύλης ως προς ένα “νέο” σύστημα συντεταγμένων, του οποίου η αρχή θα είναι το σημείο ′O x y( , )0 0 και οι άξονες X'OX και Y'OY θα είναι παράλληλοι και ομόρροποι προς τους άξονες του “παλιού” συστήματος. Λέμε στην περίπτωση αυτή ότι το σύστημα ′O XY έχει προκύψει με παράλληλη μεταφορά των αξό- νων του συστήματος Οxy. Έστω λοιπόν x και y οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ ως προς το παλιό σύστημα, και X και Y οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου ως προς το νέο σύστημα. Έχουμε OM OO O M= ′+ ′ ( , ) ( , ) ( , )x y x y X Y= +0 0 ( , ) ( , ).x y x X y Y= + +0 0 Επομένως, x x X= +0 και y y Y= +0 ή, ισοδύναμα, X x x Y y y= − = −0 0, Έτσι για παράδειγμα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ ως προς ένα καρτεσι- ανό σύστημα είναι (4,‒3) και η αρχή O( , )0 0 μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξό- νων στο σημείο ′ −O ( , )1 2 , τότε οι νέες συντεταγμένες του Μ είναι X = − − =4 1 5( ) και Y = − − = −3 2 5. Έστω επίσης η εξίσωση ( ) ( )x y− + + =2 1 92 2 , που παριστάνει κύκλο με κέντρο K( , )2 1− και ακτίνα ρ = 3. Αν με μια παράλληλη μεταφορά των αξόνων η αρχή O(0,0) μετακινηθεί στο κέντρο του κύκλου, τότε οι καινούριες συντεταγμένες lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
128 Γενικά, με κατάλληλη μεταφορά αξόνων, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια εξίσωση της μορφής 2 2 0Ax By x y EΓ ∆+ + + + = παριστάνει κωνική τομή και να βρούμε το είδος και τα στοιχεία της. Σχετική Θέση Ευθείας και Κωνικής Ας θεωρήσουμε μία ευθεία y = λx β και μία κωνική τομή Ax By x y E2 2 0+ + + + =Γ ∆ . Η ευθεία ε και η κωνική C έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία, αφού το σύστημα y x Ax By x y E = + + + + + = ⎧ ⎨ ⎩ λ β ( ) ( ) 1 0 22 2 Γ ∆ έχει το πολύ δύο διακεκριμένες λύσεις. Για την επίλυση του συστήματος θέτουμε στη (2), όπου = +y λx β, οπότε προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. — Αν η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες άνισες ή μια απλή ρίζα (όταν είναι 1ου βαθμού), τότε η ευθεία και η κωνική τέμνονται. — Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή αν είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα ∆ = 0, τότε αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται της κωνικής. —Τέλος, αν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεία και η κωνική δεν έχουν κοινά σημεία. Για παράδειγμα, έστω η ευθεία y x= 2 και η παραβολή y x= +2 1. Αν στην εξίσωση της παραβολής θέσουμε όπου y x= 2 , βρίσκουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση x2 ‒2x 1 = 0, η οποία έχει τη διπλή ρίζα x = 1. Άρα, η ευθεία εφάπτεται της κωνικής και το σημείο επαφής είναι το M(1,2). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
129 Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει παρα- βολή, για την οποία να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής και της εστίας: (i) − + =2 8 8 0y x (ii) 041642 =+−+ (iii) 028842 =−++ (iv) 08682 =−+− .xx x y yy y x x 2. Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει έλλειψη, για την οποία να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου, των κορυφών και των εστιών. (i) 9 25 36 189 02 2 x y x+ − − = (ii) x x y2 2 4 16 0+ + = (iii) x y x y+ − − + =2 2 4 9 32 36 64 0 (iv) x y x y+ + − − =2 2 9 16 54 32 47 0. 3. Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει υπερβολή, για την οποία να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου, των κορυφών και των εστιών: (i) 21 4 84 32 64 02 2 x y x y− + − − = (ii) y x y x− − + − =2 2 2 3 8 6 1 0. 4. Να βρεθεί η τιμή του κ∈R, για την οποία η παραβολή y x xκ= − +2 2 εφά- πτεται της ευθείας y = x 2. 5. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες του κύκλου x y+ =2 2 1 2 και της παραβολής y2 = 4x. 1. Δίνεται η εξίσωση x y x2 2 2 1 0+ − − =λ (1), όπου λ∈R. (i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου ζητείται να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. (ii) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι Cλ που ορίζονται από την (1) για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. Ποια είναι η εξίσωση της κοινής χορδής όλων αυτών των κύκλων; ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος

More Related Content

PDF
Ektos ulis 2016 17
byChristos Loizos
 
PDF
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
byChristos Loizos
 
PDF
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
PDF
Synedrio parousiash v5
byChristos Loizos
 
PDF
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητες
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017
byChristos Loizos
 
PDF
4 Βασικές κατηγορίες ασκήσεων μαθηματικών προσανατολισμού - 1η έκδοση
byGeorge Apostolou
 
Ektos ulis 2016 17
byChristos Loizos
 
σχολικο βοήθημα άλγεβρας α λυκείου κουστέρης
byChristos Loizos
 
Μαθηματικά Γ.Π λύσεις εξετάσεων 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Typologio 2003
byChristos Loizos
 
Synedrio parousiash v5
byChristos Loizos
 
Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων με βασικές ιδιότητες
byΜάκης Χατζόπουλος
 
20 επαναληπτικά-θέματα-2016-2017
byChristos Loizos
 
4 Βασικές κατηγορίες ασκήσεων μαθηματικών προσανατολισμού - 1η έκδοση
byGeorge Apostolou
 

What's hot

PDF
11η ανάρτηση
byΠαύλος Τρύφων
 
PDF
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)
byChristos Loizos
 
PDF
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
byChristos Loizos
 
PDF
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
byAthanasios Kopadis
 
PDF
Theoria 2017 g lukeiou mixalis giannopoulos
byChristos Loizos
 
PDF
A alg themata_plus_lyseis
byChristos Loizos
 
PDF
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
1000+1 exercises
byChristos Loizos
 
PDF
20 epanaliptikes askhseis
byChristos Loizos
 
PDF
απειροστικός ιιι (μερκουράκης)
byChristos Loizos
 
PDF
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
byChristos Loizos
 
PDF
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
byChristos Loizos
 
PDF
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Teliko ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file
byChristos Loizos
 
PDF
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
PDF
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
11η ανάρτηση
byΠαύλος Τρύφων
 
Χρήσιμα αρχεία στην Ανάλυση της Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
μαθηματικα γ΄ λυκειου συναρτησεισ-ορια-συνεχεια (χατζημανωλησ)
byChristos Loizos
 
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
byChristos Loizos
 
Πεδίο ορισμού της παραγώγου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Λύσεις των Επαναληπτικών εξετάσεων 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Oι Eξισώσεις στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
byAthanasios Kopadis
 
Theoria 2017 g lukeiou mixalis giannopoulos
byChristos Loizos
 
A alg themata_plus_lyseis
byChristos Loizos
 
Ισχυρισμοί και αντιπαραδείγματα Ιούνιος 2019
byΜάκης Χατζόπουλος
 
1000+1 exercises
byChristos Loizos
 
20 epanaliptikes askhseis
byChristos Loizos
 
απειροστικός ιιι (μερκουράκης)
byChristos Loizos
 
2014 trapeza thematwn_update2018_(01-26)
byChristos Loizos
 
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
byChristos Loizos
 
Η άσκηση της ημέρας - Σεπτέμβριος 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Teliko ekf - g lukeioy kate diagonisma prosomoiosis lisari team 2016 one-file
byChristos Loizos
 
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
byΡεβέκα Θεοδωροπούλου
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
θέματα επαναληπτικά-θεωρία-ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 

Viewers also liked

PDF
2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Το θεώρημα του χατζόπουλου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Ναυμαχία και καρτεσιανό επίπεδο!
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
9 Διαγωνίσματα - εκφωνήσεις από το Study4exams 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Τεστ στα όρια και στη συνέχεια (18/11/16)
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Test στην τριγωνική ανισότητα - Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Tεστ στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Δήμητρας Σακελλαρίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Τεστ στις ταυτότητες - παραγοντοποίηση 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης Γ΄ Λυκείου- Γιάννης Αναστασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σημειώσεις στην Ευθεία από την ask4math
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Test μέχρι στις ταυτότητες στην Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Μια άσκηση την ημέρα - Απρίλιος 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Δημιουργικές εργασίες Α΄ και Β΄ Λυκείου 2016-17
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Πλήρεις σημειώσεις για Γ Λυκείου Προσανατολισμού 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Το θεώρημα του χατζόπουλου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Ναυμαχία και καρτεσιανό επίπεδο!
byΜάκης Χατζόπουλος
 
9 Διαγωνίσματα - εκφωνήσεις από το Study4exams 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
8 διαγωνίσματα με λύσεις από το Study4exams 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επανάληψη Γ Λυκείου για τις ενδοσχολικές εξετάσεις 2017
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στα όρια και στη συνέχεια (18/11/16)
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία από τη Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Προσαρμοσμένα θέματα εξετάσεων 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Test στην τριγωνική ανισότητα - Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Tεστ στα όρια 0/0 του Μάκη Χατζόπουλου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Tεστ στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Δήμητρας Σακελλαρίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σημειώσεις Γ Λυκείου 2016 - 17 του Κώστα Νικολετόπουλου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Τεστ στις ταυτότητες - παραγοντοποίηση 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης Γ΄ Λυκείου- Γιάννης Αναστασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σημειώσεις στην Ευθεία από την ask4math
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Test μέχρι στις ταυτότητες στην Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Μια άσκηση την ημέρα - Απρίλιος 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Δημιουργικές εργασίες Α΄ και Β΄ Λυκείου 2016-17
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Πλήρεις σημειώσεις για Γ Λυκείου Προσανατολισμού 2016
byΜάκης Χατζόπουλος
 

Similar to Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17

PDF
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
PDF
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
PDF
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
byChristos Loizos
 
PDF
τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου
byChristos Loizos
 
PDF
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPTX
Άλγεβρα Α Λυκείου
byfilipj2000
 
PPT
άλγεβρα 1ης λυκείου
byfilipj2000
 
PDF
Pithanotites
bynik_gkoutz
 
PDF
αλγεβρα της-α-λυκειο2
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Algebra epanalipsi a_lykeiou
byChristos Loizos
 
PPTX
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
byfilipj2000
 
DOCX
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
bypanagiotisca
 
PDF
το άπειρο. η διάλεξη του δ. χίλμπερτ
byΓιάννης Πλατάρος
 
PDF
άλγεβρα α λυκείου_ανδρεαδάκης
byjzkor
 
PDF
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
bymdaglis
 
PDF
lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
β΄ γυμνασίου χρωματιστό
byThemis Vakrinas
 
Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
byΜάκης Χατζόπουλος
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
byChristos Loizos
 
τσακαλάκος τάκης άλγεβρα α' λυκείου
byChristos Loizos
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Άλγεβρα Α Λυκείου
byfilipj2000
 
άλγεβρα 1ης λυκείου
byfilipj2000
 
Pithanotites
bynik_gkoutz
 
αλγεβρα της-α-λυκειο2
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Algebra epanalipsi a_lykeiou
byChristos Loizos
 
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
byfilipj2000
 
α΄λ πιθανοτητεσ 2014 15
bypanagiotisca
 
το άπειρο. η διάλεξη του δ. χίλμπερτ
byΓιάννης Πλατάρος
 
άλγεβρα α λυκείου_ανδρεαδάκης
byjzkor
 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
bymdaglis
 
lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
β΄ γυμνασίου χρωματιστό
byThemis Vakrinas
 

More from Μάκης Χατζόπουλος

PDF
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εσείς πώς τα διδάσκετε;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σχόλια, κριτική, εκτιμήσεις και προτάσεις για τις εκλογές της ΕΜΕ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2021 ΕΠΑΛ
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Τι ΔΕΝ πρέπει να δούμε στις Πανελλαδικές Εξετάσεις;
byΜάκης Χατζόπουλος
 
ΕΜΕ τεύχος 120: Α΄ Γυμνασίου ασκήσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Μια γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου με προεκτάσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Ξεφτέρης Μαστερίδης σενάριο 3ο
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Γ Λυκείου [21/5/2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
45+1 Θέματα Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικά σενάρια στη Γ΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
2 Κριτήρια Αξιολόγησης από τον Βασίλη Παπαδάκη και Φάνη Μαργαρώνη
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σωστό - Λάθος Γ Λυκείου 2021
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Επαναληπτικό διαγώνισμα Β Λυκείου Άλγεβρα - Πολυώνυμα
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Β Λυκείου επαναληπτικό
byΜάκης Χατζόπουλος
 
H εισήγηση στο Εκπαιδευτικό σεμινάριο που διεξάχθηκε από τα Φροντιστήρια "Εν ...
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία - Ορισμοί - Προτάσεις 2021 - Γ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διδακτικό σενάριο Α΄ Λυκείου [2021]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Διαγώνισμα Γ Λυκείου ( 2.6 έως 2.10) από το Καλαμαρί
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Κεφάλαιο 7ο - Α΄ Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Εργασία τμήματος Α1 - Αποδείξεις Ιδ και Κρ - Ορισμοί
byΜάκης Χατζόπουλος
 

Recently uploaded

PPTX
Φιλαναγνωσία.pptx Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
PDF
onaseia nea fek202656554434egkyklios.pdf
bykonstantinantountoum1
 
PPTX
Σημασία της στίξης στο νόημα μιας φράσης -φωνήματος.pptx
byΓιάννης Πλατάρος
 
PPTX
Α ΤΑΞΗ - ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2025 ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΣ.pptx
by41dimperisteriou
 
PPT
UnivSSE Coop Presentation 1-2026 GR2.ppt
byKostas Nikolaou
 
PDF
Επίκληση στη λογική.pdf Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
PDF
2.3 Κλασική εποχή (480 - 323 π.Χ.)
byKvarnalis75
 
PPTX
Η Ε τάξη του σχολείου μας φτιάχνει χειροποίητα ταρανδάκια!!!.pptx
bypopiapost
 
PDF
1. Οξέα-Βάσεις (2ο μέρος) Γ' Λυκείου Θετικής/Υγείας
byAnastasios Vafiadis
 
PDF
9. Η οριστική λύση του Κρητικού Ζητήματος
byKvarnalis75
 
PPTX
Κειμενικό είδος - Ομιλία.pptx Νεοελληνική γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
Φιλαναγνωσία.pptx Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
onaseia nea fek202656554434egkyklios.pdf
bykonstantinantountoum1
 
Σημασία της στίξης στο νόημα μιας φράσης -φωνήματος.pptx
byΓιάννης Πλατάρος
 
Α ΤΑΞΗ - ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ 2025 ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΣ.pptx
by41dimperisteriou
 
UnivSSE Coop Presentation 1-2026 GR2.ppt
byKostas Nikolaou
 
Επίκληση στη λογική.pdf Νεοελληνική Γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 
2.3 Κλασική εποχή (480 - 323 π.Χ.)
byKvarnalis75
 
Η Ε τάξη του σχολείου μας φτιάχνει χειροποίητα ταρανδάκια!!!.pptx
bypopiapost
 
1. Οξέα-Βάσεις (2ο μέρος) Γ' Λυκείου Θετικής/Υγείας
byAnastasios Vafiadis
 
9. Η οριστική λύση του Κρητικού Ζητήματος
byKvarnalis75
 
Κειμενικό είδος - Ομιλία.pptx Νεοελληνική γλώσσα Α' Λυκείου
byVassiliki Yiannou
 

Α και Β Λυκείου τα αρχεία με την εκτός ύλης 2016-17

  • 1.
    Τι είναι εκτόςύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 2.
    ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤοΛεξιλόγιο της Λογικής ............................................................................................9 Ε.2 Σύνολα .......................................................................................................................13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o: Πιθανότητες 1.1 Δειγματικός Χώρος - Ενδεχόμενα ................................................................................20 1.2 Έννοια της Πιθανότητας .............................................................................................29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o: Οι Πραγματικοί Αριθμοί 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους .................................................................................43 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών ..................................................................................54 2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού .........................................................................61 2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ......................................................................................69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o: Εξισώσεις 3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού ................................................................................................79 3.2 Η Εξίσωση xν = α .........................................................................................................86 3.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού ................................................................................................88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4o: Ανισώσεις 4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού ..............................................................................................101 4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού ..............................................................................................106 4.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο .................................................................115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5o: Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες ................................................................................................................121 5.2 Αριθμητική Πρόοδος..................................................................................................125 5.3 Γεωμετρική Πρόοδος .................................................................................................132 5.4 Ανατοκισμός - Ίσες Καταθέσεις.................................................................................141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6o: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων 6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης .........................................................................................145 6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης .............................................................................152 6.3 Η Συνάρτηση f (x) = αx + β.......................................................................................159 6.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης ....................................................168 6.5 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης .......................................................175 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7o: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων 7.1 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2 ..........................................................................188 7.2 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = α x ..........................................................................194 7.3 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx2 + βx + γ ............................................................199 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ .................................................................................... 207 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ........................................................ 213 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 3.
    Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στην παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποί- ες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέ- στερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων κτλ. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιήσουμε αναφέρονται σε έννοιες και ιδιότητες που είναι γνωστές από το Γυμνάσιο. Η συνεπαγωγή Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β. Είναι γνωστό ότι: Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι: Αν ο ισχυρισμός «α = β» είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α β2 2 = » θα είναι αληθής. Γι’ αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α β= » συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α β2 2 = » και γρά- φουμε: α = β ⇒ α2 = β2 . Γενικά: Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q⇒ . Ο ισχυρισμός «P Q⇒ » λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν P, τότε Q». Ο P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής(1) . (1) Στην καθημερινή πράξη, συνήθως, δεν χρησιμοποιούμε συνεπαγωγές με ψευδή υπόθεση. Αλλά και η μαθηματική επιστήμη δεν έχει ανάγκη τέτοιου είδους συνεπαγωγών. Όμως, για τεχνικούς λόγους που συνδέονται με την ευκολία της έκφρασης μαθηματικών ζητημάτων, θα υιοθετήσουμε τη σύμβαση ότι η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» να είναι αληθής και στην περίπτωση που η υπόθεση P είναι ψευδής. Έτσι, η συνεπαγωγή «P ⇒ Q» είναι ψευδής, μόνο όταν η υπόθεση P είναι αληθής και το συμπέρασμα Q είναι ψευδές και αληθής σε κάθε άλλη περίπτωση. Εκ πρώτης όψεως η σύμβαση αυτή φαίνεται περίεργη, αλλά στο πλαίσιο του παρόντος βιβλίου δεν μπορούν να εξηγηθούν οι λόγοι που οδήγησαν σε αυτή. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ κεΦαΛαιο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 4.
    Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούςη εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεω- ρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου αυτού των Μαθη- ματικών αποτέλεσε η γόνιμη αλληλογραφία που αναπτύχθηκε ανάμεσα στους Pascal και Fermat το 17ο αιώνα με αφορμή διάφορα προβλήματα που προέκυψαν από την ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια. Μολονότι όμως τα τυχερά παιχνίδια ήταν ευρέως διαδεδομένα και στους Αρχαίους Έλληνες και στους Ρωμαίους, η Θεωρία των Πιθανοτήτων δεν αναπτύχθηκε κατά την αρχαιότητα, όπως συνέβη με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, αλλά πολύ αργότερα, το 16ο και 17ο αιώνα μ.Χ. Γι' αυτό πολλοί απορρίπτουν την άποψη ότι η Θεωρία των Πιθανοτήτων οφείλει τη γένεσή της στην ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια και την αποδίδουν στις ανάγκες να λυθούν προβλήματα που παρουσιάστηκαν με την ανάπτυξη του εμπορίου, των ασφαλίσεων, της συλλογής εσόδων του κράτους κτλ. Η ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων οφείλεται επί- σης και στις ανάγκες των Φυσικών Επιστημών όπως η εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλ- μάτων σε αστρονομικές παρατηρήσεις. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε ακόμα περισσότερο το 18ο αιώνα με τις αξιοσημείωτες εργασίες των μαθηματικών Bernoulli, Moivre, Laplace και Gauss. Ιδιαίτερα ο Laplace με τις εργασίες του άνοιξε μια καινούργια εποχή για τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Γιατί ο Laplace δεν περιορίζεται μόνο στη μαθηματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών, αλλά εφαρμόζει τα συμπεράσματά του και σε ένα πλήθος από επιστημονικά και πρακτικά προβλήματα. Έτσι, με αφορμή τη μελέτη των σφαλμάτων πιθανοτήτεσ Κεφάλαιο 1ο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 5.
    2. OI ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙΑΡΙΘΜΟΙ56 ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ • Έστω α > β . Τότε, από τη (*), για α1 = α2 = ... = αν = α > 0 και β1 = β2 = ... = βν = β > 0, προκύπτει ότι: αν > βν . • Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν > βν και α ≤ β. Τότε: 9 αν ήταν α = β , από τον ορισμό της ισότητας θα είχαμε αν = βν (άτοπο), ενώ 9 αν ήταν α < β , θα είχαμε αν < βν (άτοπο). Άρα, α > β . Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας θα αποδείξουμε τώρα ότι: Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: α = β ⇔ αν = βν ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ • Έστω α = β. Τότε, από τον ορισμό της ισότητας προκύπτει, όπως είπαμε και προη- γουμένως, ότι αν = βν . • Για την απόδειξη του αντιστρόφου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι αν = βν και α ≠ β . Τότε: 9 αν ήταν α > β , λόγω της (4), θα είχαμε αν > βν (άτοπο), ενώ 9 αν ήταν α < β, λόγω της (4), θα είχαμε αν < βν (άτοπο). Άρα, α = β. ΣΧΟΛΙAΣΧΟΛΙA 1ο Σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς τις προσθέσου- με κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με την αφαίρεση. Για παράδειγμα, είναι 10 > 6 και 7 > 2, αλλά 10 ‒ 7 < 6 ‒ 2. 2ο Επίσης, σύμφωνα με την ιδιότητα 3, αν δυο ανισότητες της ίδιας φοράς με θε- τικούς, όμως, όρους τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με τη διαίρεση. Για παράδειγμα, είναι 24 > 10 και 6 > 2, αλλά 24 6 10 2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 6.
    2. ΡΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑΡΙΘΜ 71 Για παράδειγμα: 2 266 , ενώ ( ) .− = − =2 2 266 Ισχύουν όμως και οι ακόλουθες ιδιότητες, από τις οποίες οι δύο πρώτες είναι ανάλογες των ιδιοτήτων της τετραγωνικής ρίζας: Αν α, β ≥ 0, τότε: 1. α β α βν ν ν⋅ = ⋅ 2. α β α β ν ν ν= (εφόσον β ≠ 0) 3. α ανµ µ ν = ⋅ 4. α αµ ρν ρ µν⋅⋅ = ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ 1. Έχουμε: α β α β α β α βν ν ν ν ν ν ν ν ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅( ) ( ) ⇔ ⋅ = ⋅( ) ( )α β α βν ν ν ν ⇔ ⋅ = ⋅α β α β, που ισχύει. 2. Αποδεικνύεται όπως και η 1. 3. Έχουμε: α α α ανµ µ ν νµ µ ν µ ν µ ν = ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( ) ( ) ⇔ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =( )α ανµ µ ν ⇔ =( ) ,α αν ν που ισχύει. 4. Έχουμε: α α α αµ ρν ρ µ ρρν µ ρρν µν⋅⋅ ⋅ = = =( ) . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 7.
    4.3 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ& ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΗΛΙΚΟ Πρόσημο γινομένου Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = Α(x) . Β(x) . … . Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες Α(x), Β(x) , … , Φ(x) είναι της μορφής αx + β (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής αx2 + βx + γ (τριώνυμα). Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x), όπως φαίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x∈ℝ το πρόσημο του γινομένου P x x x x x x( ) ( )( )( ).= − + − + +1 6 2 12 2 ΛΥΣΗΛΥΣΗ Αρχικά βρίσκουμε το πρόσημο του κάθε παράγοντα χωριστά ως εξής: 9 Επειδή x x− ≥ ⇔ ≥1 0 1, το x ‒ 1 είναι θετικό για x > 1, μηδέν για x = 1 και αρνητικό για x < 1. 9 Επειδή x x x x x2 6 0 3 2 0 3+ − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≤ −( )( ) ή x 2, το x2 + x ‒ 6 είναι θετικό για x < ‒3 και για x > 2 , μηδέν για x = ‒3 και για x = 2 και αρνητικό για ‒3 < x < 2. 9 Επειδή το 2x2 + x +1 έχει διακρίνουσα Δ = 1 ‒ 8 = ‒7 < 0, το τριώνυμο αυτό είναι θετικό για κάθε x∈ℝ. Ο προσδιορισμός, τώρα, του προσήμου του γινομένου P(x) γίνεται με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα, εφαρμόζοντας τον κανόνα των προσήμων. x ‒ ‒3 1 2 + x‒1 ‒ ‒ 0 + + x2 +x‒6 + 0 ‒ ‒ 0 + 2x2 +x+1 + + + + P(x) ‒ 0 + 0 ‒ 0 + Ώστε το γινόμενο P(x) είναι θετικό για ‒3 < x < 1 και για x > 2, ενώ είναι αρνητικό για x < ‒3 και για 1 < x < 2. Τέλος είναι μηδέν για x = ‒3, για x = 1 και για x = 2. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 8.
    .2 ΑΡΙΘΜ ΤΙΚΠΡΟΟ Ο 127 Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου Ας θεωρήσουμε την αριθμητική πρόοδο 1, 2, 3, 4, ... και ας βρούμε το άθροισμα των 100 πρώτων όρων της S100 =1+2+3+...+98+99+100 Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Γράφουμε δυο φορές το παραπάνω άθροισμα, αλλά με αντίθετη τη σειρά των προσθετέ- ων και προσθέτουμε τις δυο ισότητες κατά μέλη: S100 1 2 3 98 99 100= + + + + + +... S100 100 99 98 3 2 1= + + + + + +... 2 1 100 2 99 3 98 98 3 99 2 100 1100S = + + + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ή 2 101 101 101 101 101 101100S = + + + + + +... ή 2 100 101100S = ⋅ , άρα S100 100 101 2 5050= ⋅ = Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδο, θα απο- δείξουμε ότι: Το άθροισμα των πρώτων ν όρων αριθμητικής προόδου (αν ) με διαφορά ω είναι Sν ν ν α α= + 2 1( ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ*ΑΠΟΔΕΙΞΗ* Έχουμε: Sν α α ω α ω α ν ω α ν ω= + + + + + + + − + + −1 1 1 1 12 2 1( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ] και Sν ν ν ν ν να α ω α ω α ν ω α ν ω= + − + − + + − − + − −( ) ( ) ... [ ( ) ] [ ( ) ]2 2 1 Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ισότητες έχουμε: 2 1 1 1 1 1Sν ν ν ν ν να α α α α α α α α α= + + + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ή 2 1Sν νν α α= +( ). Άρα Sν ν ν α α= + 2 1( ). Επειδή α α ν ων = + −1 1( ) , ο τύπος Sν ν ν α α= + 2 1( ) γράφεται: Sν ν α ν ω= + − 2 2 11[ ( ) ] lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 9.
    133. Γ ΜΤΡΙΚ ΠΡΟΟ Ο Έτσι π.χ. στη γεωμετρική πρόοδο 3, ‒6, 12, ‒24, ... η οποία έχει α1 = 3 και λ = − = − 6 3 2 ο νos = όρος της είναι αν ν = ⋅ − − 3 2 1 ( ) . Επομένως ο 5os = όρος της είναι α5 = 3 . (‒2)4 = 48, ο δέκατος όρος της είναι α10 = 3 . (‒2)9 = ‒1536 κτλ. Γεωμετρικός μέσος Αν πάρουμε τρεις διαδοχικούς όρους α, β, γ μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, τότε ισχύει β α λ= και γ β λ= , επομένως β α γ β = ή β αγ2 = Αλλά και αντιστρόφως, αν για τρεις αριθμούς α, β, γ ≠ 0 ισχύει β2 = αγ, τότε έχουμε β α γ β = , που σημαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός αγ λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β2 = αγ. Άθροισμα ν διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου Ας θεωρήσουμε τη γεωμετρική πρόοδο 1, 3, 9, 27, ... στην οποία είναι α1 =1 και λ = 3, και ας βρούμε το άθροισμα S7 των 7 πρώτων όρων της. Έχουμε S7 1 3 9 27 81 243 729= + + + + + + (1) Αντί να προσθέσουμε τους αριθμούς αυτούς με τον συνήθη τρόπο, μπορούμε να βρούμε συντομότερα το άθροισμά τους ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της (1) με το λόγο λ = 3 και έχουμε 3 3 9 27 81 243 729 21877S = + + + + + + (2) Αφαιρούμε από τα μέλη της (2) τα μέλη της (1) και έχουμε: 3 2187 17 7S S− = − 2 21867S S7 1093 Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο σε μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδο, θα απο- δείξουμε ότι: Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (αν ) με λόγο λ≠1 είναι Sν ν α λ λ = − − 1 1 1 . . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 10.
    5.4 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ -ΙΣΕΣ ΚΑΤΑΘΕΣΕΙΣ Με τη βοήθεια των γεωμετρικών προόδων μπορούμε να λύσουμε προβλήματα οικονομι- κής φύσεως, που συχνά παρουσιάζονται στις συναλλαγές με πιστωτικούς οργανισμούς. Ανατοκισμός ΠΡΟΒΛΗΜΑΠΡΟΒΛΗΜΑ Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προ- κύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του νoυ = χρόνου. (Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού.) ΛΥΣΗΛΥΣΗ Στο τέλος του 1oυ = χρόνου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο ε α 100 ⋅ και μαζί με τον τόκο θα γίνει .α α ε α α ε 1 100 1 100 = + = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Στο τέλος του 2oυ = χρόνου το κεφάλαιο α1 θα δώσει τόκο ε α 100 1⋅ και μαζί με τον τόκο θα γίνει α α ε α α ε 2 1 1 1 100 1 100 = + = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ . Στο τέλος του 3oυ = χρόνου το κεφάλαιο α2 μαζί με τους τόκους θα γίνει α α ε 3 2 1 100 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ κτλ. και γενικά στο τέλος του νoυ = χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει α α ε ν ν= + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟−1 1 100 . Παρατηρούμε ότι τα α1 , α2 , α3 , …, αν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με α α ε και λ ε 1 1 100 1 100 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + . Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του νoυ = όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του νoυ = χρόνου το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίνει α α ε ε ν ν = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 1 100 1 100 1 ή α α ε ν ν = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟1 100 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 11.
    . Α ΙΚΟΙ Τ ΑΡΤ154 Απόσταση σημείων Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Α(x1 ,y1 ) και B(x2 ,y2 ) δύο ση- μεία αυτού. Θα δείξουμε ότι η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο: ( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 1 2 2 1 2 ΑΠΟΔΕΙΞΗΑΠΟΔΕΙΞΗ Από το ορθογώνιο τρίγωνο K AB του διπλανού σχήματος έχουμε: ( ) ( ) ( )AB KA KB2 2 2 = + = − + −x x y y2 1 2 2 1 2 = − + −( ) ( )x x y y2 1 2 2 1 2 οπότε: ( ) ( ) ( ) .AB x x y y= − + −2 1 2 2 1 2 Ο παραπάνω τύπος ισχύει και στην περίπτωση που η ΑΒ είναι παράλληλη με τον άξονα x′x (Σχήμα γ′) ή παράλληλη με τον άξονα y′y (Σχήμα δ′). B(x ,y ) xx y y y 1 x2 2 2 2 Α(x ,y )1 1 Κ(x ,y )2 11 O xx y y = y 1 x2 Α(x ,y )1 1 B(x ,y )2 2 1 2 Σχήμα γ´ Σχήμα δ´ x y x x1 2 Α(x ,y )1 1 B(x ,y )2 22 y 1 y =OO Για παράδειγμα, αν Α(3,1), Β(3,5) και Γ(‒1,1) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου AΒΓ, τότε θα είναι: ( ) ( ) ( )AB = − + − = =3 3 5 1 4 42 2 2 ( ) ( ) ( )AΓ = − − + − = =1 3 1 1 4 42 2 2 ( ) ( ) ( ) .ΒΓ = − − + − = + =1 3 1 5 4 4 4 22 2 2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 12.
    . Α ΙΚΟΙ Τ ΑΡΤ160 Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = αx + β Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x) = 0,5x + 1. Όπως πρακτικά διαπιστώσαμε στο Γυμνάσιο, η γραφική παράσταση της ƒ είναι ευθεία γραμμή με εξίσωση y = 0,5x+1 (Σχήμα). x y ω A(–2,0) O(0,0) B(0,1) y = 0,5x + 1 Η ευθεία αυτή: 9 Τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(‒2,0), αφού για y = 0 βρίσκουμε x = ‒2, και τον άξονα y′y στο σημείο Β(0,1), αφού για x = 0 βρίσκουμε y = 1 και 9 Έχει κλίση: λ εϕω= = = = ( ) ( ) , ΟΒ ΟΑ 1 2 0 5. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι η κλίση λ της ευθείας y = 0,5x+1 είναι ίση με το συντελεστή του x. Γενικά, όπως θα αποδείξουμε στη Β′ Λυκείου, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = αx + β είναι μία ευθεία, με εξίσωση y = αx + β, η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο Β(0,β) και έχει κλίση λ = α . Είναι φανερό ότι: • αν α > 0, τότε 0° < ω < 90° • αν α < 0, τότε 90° < ω < 180° • αν α = 0, τότε ω = 0°. Στην περίπτωση που είναι α = 0, η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f (x) = β και λέγεται σταθερή συνάρτηση, διότι η τιμή της είναι η ίδια για κάθε x∈ℝ. Ας θεωρήσουμε τώρα δύο τυχαία σημεία A(x1 ,y1 ) και B(x2 ,y2 ) της ευθείας y = αx + β. x y ω ω ε A(x ,y )1 1 K(x ,y )2 1 B(x ,y )2 2 O lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 13.
    6.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ -ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης α) Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f ( ) .x x= +1 Επειδή f ( ) , , ,x x x x x = − + < + ≥ ⎧ ⎨ ⎩ 1 0 1 0 αν αν η γραφική παράσταση της συνάρτη- σης f ( ) ,x x= +1 θα αποτελείται από τις ημιευθείες 9 y x= − +1, με x ≤ 0 και 9 y x= +1, με x ≥ 0, που έχουν αρχή το σημείο 1 του άξο- να y′y και είναι παράλληλες με τις δι- χοτόμους των γωνιών x'Ôy και xÔy από τις οποίες, όπως είναι γνωστό, αποτελείται η γραφική παράσταση της ϕ( )x x= (Σχήμα). Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της ϕ( )x x= κατακόρυφα(1) και προς τα πάνω κατά 1 μονάδα, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f ( ) .x x= +1 Αυτό, άλλωστε, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f ( ) ( ) ,x x= +ϕ 1 για κάθε x∈ℝ, που σημαίνει ότι για κάθε x∈ℝ το ƒ(x) είναι κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο του φ(x). Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ, με: f ( ) ( )x x c= +ϕ , όπου c > 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω (Σχήμα α'). (1) Δηλαδή παράλληλα με τον άξονα y'y. y y = xx´ O 1 1 1 1 1 1 |x| + 1 y =|x| lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 14.
    6.5 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ -ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μονοτονία συνάρτησης Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης T = ƒ(t) που εκφρά- ζει τη θερμοκρασία Τ ενός τόπου συναρτήσει του χρόνου t κατά το χρονικό διάστημα από τα μεσάνυχτα μιας ημέρας (t = 0) μέχρι τα μεσάνυχτα της επόμενης μέρας (t = 24). α) Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [4,16] η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας ανέρχεται. O 4 16 24 3 5 11 t(h) T=f (t) T( C)o Ο 4 1 2 t1 2t 16 24 t(h) T=f (t) f (t ) f (t ) o T( C) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 15.
    7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f (x) =1 1 x x α x Η συνάρτηση (x) = 1 1 x x α x Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση g x x ( ) 1 . Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ* = (‒∞,0)∪(0, +∞) και είναι περιττή, διότι για κάθε x∈ℝ* ισχύει: g x x g x( ) ( )− = − = − 1 Επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γι’ αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα (0, +∞). Έχουμε λοιπόν: • Μονοτονία: Έστω τυχαία x x1 2 0, ( , )∈ +∞ με x x1 2. Τότε θα ισχύει 1 1 1 2x x , οπότε θα έχουμε g x g x( ) ( ).1 2 Άρα η συνάρτηση g x x ( ) 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞). • Πρόσημο των τιμών της : Για κάθε x∈(0,+∞) ισχύει g x x ( ) .= > 1 0 Επομένως, στο διάστημα (0, +∞) η γραφική παράσταση της g θα βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x. • Συμπεριφορά της για μικρές τιμές του x: Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για "πολύ μικρές" τιμές του x: Παρατηρούμε ότι, καθώς το x μειώνεται απεριόριστα και παίρνει τιμές οσοδήποτε κοντά στο 0 ή, όπως λέμε, τείνει στο 0 , το1 1 x x α x αυξάνεται απεριόριστα και τείνει στο + . Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x "πλησιάζει" το 0 από τα δεξιά, η γραφική παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα Oy. Γι’αυτό ο άξονας y′y λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα πάνω. x g(x) = 10 –10 10 –20 10 –50 10 –1000 10 1000 10 –100 10 10 10 20 10 50 10 100 ....... ....... →0 → ∞+ 1 x lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 16.
    Τι είναι εκτόςύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 Α ΛΥΚΕΙΟΥ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 17.
    ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγήστην Ευκλείδεια Γεωµετρία 9 1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας....................................................... 10 1.2 Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωµετρίας.......................... 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα 15 2.1 Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες ......................................................................... 16 2.2 Το επίπεδο.......................................................................................................... 16 2.3 Η ευθεία.............................................................................................................. 17 2.4 Η ηµιευθεία ........................................................................................................ 17 2.5 Το ευθύγραµµο τµήµα....................................................................................... 17 2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο.................................................................................. 18 2.7 Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων ................................................................... 18 2.8 Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων.......................................................... 19 2.9 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων............................... 20 2.10 Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο................................................................... 20 2.11 Ηµιεπίπεδα ......................................................................................................... 21 2.12 Η γωνία............................................................................................................... 22 2.13 Σύγκριση γωνιών ............................................................................................... 22 2.14 Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία ................................................................ 24 2.15 Πράξεις µεταξύ γωνιών...................................................................................... 25 2.16 Απλές σχέσεις γωνιών........................................................................................ 25 2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου......................................................................... 28 2.18 Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου ..................................... 30 2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας .................................................................................... 33 2.20 Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου................................. 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων ................................................................................ 40 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 41 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου ................................................................... 49 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων......................................................... 49 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος.................................................................. 55 3.8 Κεντρική συµµετρία............................................................................................ 56 3.9 Αξονική συµµετρία............................................................................................. 57 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας .............................................................. 59 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 18.
    3.11 Ανισοτικές σχέσειςπλευρών και γωνιών........................................................... 60 3.12 Τριγωνική ανισότητα.......................................................................................... 60 3.13 Κάθετες και πλάγιες............................................................................................ 64 3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου ................................................................... 66 3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα ......................................................................................... 68 3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων .............................................................................. 69 3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές ......................................................................... 73 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων........................................................................... 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79 4.1 Εισαγωγή............................................................................................................ 80 4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα ..................................................... 80 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας....................................................................... 83 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες......................................................................... 84 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου........................................................................ 85 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου.............................................................................. 88 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες................................................................................. 89 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου .................................................................. 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 101 5.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 102 5.2 Παραλληλόγραµµα.......................................................................................... 102 5.3 Ορθογώνιο....................................................................................................... 105 5.4 Ρόµβος.............................................................................................................. 106 5.5 Τετράγωνο........................................................................................................ 107 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα................................................................................... 109 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου...................................................................................... 112 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου................................................................................. 113 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου......................................................... 114 5.10 Τραπέζιο ........................................................................................................... 117 5.11 Ισοσκελές τραπέζιο........................................................................................... 118 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου................................................... 121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα 127 6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί....................................................................................... 128 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης........................................... 128 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης ....................................................................... 129 6.4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία ........................................................ 131 6.5 Το εγγεγραµένο τετράπλευρο.......................................................................... 135 6.6 Το εγγράψιµο τετράπλευρο ............................................................................. 136 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων........................................................... 140 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 19.
    ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες147 7.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 148 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη ............................................ 148 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων ...................................................................... 148 7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες................................................... 150 7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος....................................................................... 151 7.6 ∆ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο .......... 151 7.7 Θεώρηµα του Θαλή......................................................................................... 154 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου............................................................. 160 7.9 Απολλώνιος Κύκλος........................................................................................ 163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα 171 8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα...........................................................................172 8.2 Κριτήρια οµοιότητας.................................................................................................... 173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 183 9.1 Ορθές προβολές .............................................................................................. 184 9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρηµα................................................................................. 184 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές................................................................................... 188 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος....................................................... 190 9.5 Θεωρήµατα ∆ιαµέσων ..................................................................................... 196 9.6 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι ............................................................................... 197 9.7 Τέµνουσες κύκλου........................................................................................... 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά 209 10.1 Πολυγωνικά χωρία .......................................................................................... 210 10.2 Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα.......... 210 10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων................................................... 211 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου ............................................................ 217 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων........................................... 220 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του.......................................... 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 229 11.1 Ορισµός κανονικού πολυγώνου ..................................................................... 230 11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων ................................................ 230 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους ........ 235 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα ....................... 240 11.5 Μήκος τόξου .................................................................................................... 241 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα............................ 243 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος .......................................... 243 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου.................................................................................... 246 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 20.
    ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείεςκαι επίπεδα στο χώρο 255 12.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 256 12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του................................................. 257 12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων ............................................................. 259 12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή.................................. 263 12.5 Γωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες....................................................... 267 12.6 Απόσταση σηµείου από επίπεδο - Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων.............................................................. 272 12.7 ∆ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα ............... 275 12.8 Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο - Γωνία ευθείας και επιπέδου ............................................................................. 280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα 285 13.1 Περί πολυέδρων .............................................................................................. 286 13.2 Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος................................................................ 288 13.3 Παραλληλεπίπεδο - κύβος .............................................................................. 289 13.4 Μέτρηση πρίσµατος ......................................................................................... 290 13.5 Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας ..................................................................... 296 13.6 Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο..................................................................... 298 13.7 Μέτρηση πυραµίδας ........................................................................................ 298 13.8 Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας.................................................... 301 13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας................................................... 301 13.10 Στερεά εκ περιστροφής .................................................................................... 304 13.11 Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου ..................................................................... 304 13.12 Μέτρηση κυλίνδρου ........................................................................................ 305 13.13 Ορισµός και στοιχεία κώνου............................................................................ 307 13.14 Μέτρηση του κώνου ........................................................................................ 307 13.15 Κόλουρος κώνος.............................................................................................. 309 13.16 Ορισµός και στοιχεία σφαίρας ......................................................................... 311 13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα................................................. 312 13.18 Μέτρηση σφαίρας ............................................................................................ 313 13.19 Κανονικά πολύεδρα......................................................................................... 318 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A΄................................................................................................................... 323 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ ................................................................................................................... 329 ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ............................................................................................ 332 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ................................................................................................................ 349 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ.................................................................................................... 352 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ..................................................................................................................... 355 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 21.
    15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 TΑ ΒΑΣΙΚΑΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι η εμπέδωση και η συστηματική μελέτη των πρωταρχικών εννοιών: σημείο, ευθεία, επίπεδο καθώς και των βασικών γεωμετρικών σχημάτων: ευθύγραμ- μο τμήμα, γωνία, κύκλος, επίπεδο ευθύγραμμο σχήμα. Όπως είδαμε, οι πρωταρχικές έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο δίνονται χωρίς ορισμό και με βάση αυτές ορίζονται τα βασικά γεω- μετρικά σχήματα, τα οποία θα μελετήσουμε στη συνέχεια. Andrea Mantegna (Ιταλός, περίπου 1431 - 1506). Οροφή από την "Camera degli Sposi" (Δωμάτιο των Συζύγων), τοιχογραφία από το Δουκικό Παλάτι, στη Μάντοβα της Ιταλίας. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 22.
    41 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευ- ράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές Α, Β και Γ συμ- βολίζονται αντίστοιχα με υα, υβ και υγ. Στο σχ.10 το ΑΔ είναι το ύψος από την κορυφή Α. Το σημείο Δ λέγεται προβολή του Α πάνω στην ευθεία ΒΓ ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το Α στην ευθεία ΒΓ. Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγο- νται δευτερεύοντα στοιχεία του. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρί- γωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτί- ζονται. Συνεπώς: • Δύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. • Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρί- σκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες. Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε προτάσεις, που θα μας εξα- σφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους. Οι προτάσεις αυτές αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τρι- γώνων. 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο – ΠΓΠ) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΑΓ = ΑʹΓʹ και Â = Âʹ (σχ.11). Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ΑʹΒʹΓʹ, ώστε το σημείο Αʹ να ταυτιστεί με το Α και η ημιευθεία ΑʹΒʹ να ταυτιστεί με την ΑΒ. Επειδή Â = Âʹ και η ημιευθεία ΑʹΓʹ θα ταυτισθεί με την ΑΓ. Τότε, αφού ΑΒ = ΑʹΒʹ και ΑΓ = ΑʹΓʹ, το σημείο Βʹ ταυτίζεται με το Β και το Γʹ με το Γ. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν, άρα είναι ίσα. Σχήµα 8 A B Γ Μ μα Σχήµα 9 A B Γ Δ δα Σχήµα 10 (α) υα A B Γ Δ (β) A BΔ υα Γ ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΠΓΠ σημαί- νει πλευρά, γωνία, πλευρά. A B Γ Aʹ Bʹ Γʹ Σχήµα 11 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 23.
    44 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Με τη βοήθεια του 1ου κριτηρίου αποδεικνύουμε το 2ο και 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων. Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ (2ο Κριτήριο – ΓΠΓ) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.16) έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, B̂ = B̂ ʹ και Γ̂ = Γ̂ ʹ. Θα αποδείξουμε ότι έχουν και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε υπάρχει σημείο Δ στην ΑΒ, ώστε να είναι ΒΔ = ΒʹΑʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΒʹΑʹ και B̂ = B̂ ʹ, επομένως (ΠΓΠ) είναι ίσα, οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ ʹ. Αλλά Γ̂ ʹ = Γ̂ , οπότε ΒΓ̂ Δ = Γ̂ που είναι άτοπο, γιατί το Δ είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας ΑΓ̂ Β και επομένως ΒΓ̂ Δ < Γ̂ . Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ, άρα ΑΒ =ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα, λοι- πόν, ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΑΒ = ΑʹΒʹ και B̂ = B̂ ʹ, άρα (ΠΓΠ) είναι ίσα. * Σημείωση: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με τη μέθοδο της μετατόπισης, όπως το θεώρημα I (σελ. 41). 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων Η ισότητα δύο τριγώνων εξασφαλίζεται και από την ισότητα των τριών πλευρών τους, μία προς μία, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ (3o Κριτήριο – ΠΠΠ) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με ΑΒ = ΑʹΒʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΓΑ = ΓʹΑʹ (σχ.17). Αρκεί να αποδείξουμε ότι Â = Âʹ. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια. Θεωρούμε την ημιευθεία Βx, ώστε ΓB̂ x = B̂ ʹ (σχ.17) και σημείο της Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΔ = ΑʹΒʹ και ΓB̂ Δ = B̂ ʹ. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΑʹ και Δ̂ = Âʹ. ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΓΠΓ σημαίνει γωνία, πλευρά, γωνία. ΣΧΟΛΙΟ Η συντομογραφία ΠΠΠ σημαί- νει πλευρά, πλευρά, πλευρά. Σχήµα 16 A B Γ Aʹ Bʹ Γʹ Δ 1 1 2 2 A B Γ Δ Aʹ Bʹ Γʹ x Σχήµα 17 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 24.
    49 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου Στο 2o κεφάλαιο αναφερθήκαμε στην κάθετη που φέρεται από σημείο σε ευθεία. Στην παρούσα παράγραφο θα μελε- τήσουμε τη μοναδικότητα και την ύπαρξή της. Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ευθεία xʹx, σημείο Α εκτός αυτής και σημείο Μ της xʹx (σχ.23). Αν η ΑΜ είναι κάθετη στην xʹx, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η ΑΜ δεν είναι κάθετη στην xʹx. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η xʹx και δεν περιέχει το Α θεωρούμε την ημιευθεία Μy, ώστε να είναι xM̂ y = AM̂ x και πάνω σε αυτή σημείο Β, ώστε ΜΑ = ΜΒ. Επειδή τα σημεία Α, Β είναι εκατέρωθεν της xʹx, η xʹx τέμνει την ΑΒ σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. Αφού ΜΑ = ΜΒ και M̂ 1 = M̂ 2, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο ΜΑΒ, άρα είναι και ύψος και επομένως ΑΒ⊥xʹx. Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία ΑΛ κάθετη στην xʹx . Τότε τα τρίγωνα ΑΜΛ και ΒΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ κοινή, ΜΑ = ΜΒ και M̂ 1 = M̂ 2, οπότε θα είναι και Λ̂ 1 = Λ̂ 2. Όμως Λ̂ 1= 90°, άρα και Λ̂ 2 = 90°, οπότε Λ̂ 1 + Λ̂ 2 = 180° το οποίο σημαίνει ότι τα σημεία Α, Λ, Β είναι συνευθειακά, δηλαδή η ΑΛ ταυτίζεται με την ΑΚ, που είναι άτοπο. 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την ορθή, από το 1ο (ΠΓΠ) και 2ο (ΓΠΓ) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι: • Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευ- ρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.24) • Δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευ- ρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα. (σχ.25) Η ισότητα ορθογώνιων τριγώνων εξασφαλίζεται ακόμη και από τα επόμενα θεωρήματα. 1 1 2 2 xxʹ A B y Κ Γ ΛΜ Σχήµα 23 A Γ B Aʹ Γʹ Bʹ Σχήµα 24 A Γ B Aʹ Γʹ Bʹ Σχήµα 25 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 25.
    50 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω δύο τρίγωναΑΒΓ καιΑʹΒʹΓʹ με Â = Âʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και B̂ = B̂ ʹ (σχ.26). Θα αποδείξουμε ότι είναι και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Έστω ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ , π.χ. ΑΒ > ΑʹΒʹ. Τότε στην πλευρά ΒΑ υπάρχει σημείο Δ, ώστε ΒΔ = ΑʹΒʹ. Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΔΒ = ΑʹΒʹ και B̂ = B̂ ʹ, επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι Δ̂ = Âʹ = 90°, δη- λαδή ΓΔ⊥ΑΒ. Έτσι έχουμε ΓΑ⊥ΑΒ και ΓΔ⊥ΑΒ που είναι άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ΑΒ ≠ ΑʹΒʹ. Άρα ΑΒ = ΑʹΒʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, γιατί έχουν ΒΓ = ΒʹΓʹ, ΒΑ = ΒʹΑʹ και B̂ = B̂ ʹ (ΠΓΠ). Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.27) με Â = Âʹ = 90°, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΑΒ = ΑʹΒʹ. Θα αποδείξουμε ότι και B̂ = B̂ ʹ. Στις προεκτάσεις των ΒΑ και ΒʹΑʹ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία Δ και Δʹ, ώστε να είναι ΑΔ = ΑΒ και ΑʹΔʹ = ΑʹΒʹ. Τότε η ΓΑ είναι μεσοκάθετος του ΔΒ και η ΓʹΑʹ μεσοκά- θετος του ΔʹΒʹ. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ΓΔ = ΓΒ και ΓʹΔʹ = ΓʹΒʹ. Από τις τελευταίες ισότητες και την ΒΓ = ΒʹΓʹ προκύπτει ότι ΓΔ = ΓʹΔʹ. Έτσι τα τρίγωνα ΓΔΒ και ΓʹΔʹΒʹ έχουν ΓΔ = ΓʹΔʹ, ΒΓ = ΒʹΓʹ και ΔΒ = ΔʹΒʹ (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων ΑΒ και ΑʹΒʹ), επομένως είναι ίσα, οπότε B̂ = B̂ ʹ. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ). Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. ΠΟΡΙΣΜΑ Ι Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ Σχήµα 27 A BΔ Γ Γʹ BʹAʹΔʹ A Γ B Aʹ Γʹ BʹΔ Σχήµα 26 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 26.
    56 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Συµµετρικά σχήµατα 3.8 Κεντρική συµµετρία Στην §2.10 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε- τρικά ως προς κέντρο ένα σημείο Ο (σχ.37). Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο (σχ.38), αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέ- ντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία. Av στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο (σχ.39), κατά 180 ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό. A AʹΟ Σχήµα 37 180ο Ο A Σ Σʹ Aʹ Σχήµα 38 180ο Ο A Aʹ Σχήµα 39 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προ- τάσεις. i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι .......................................... ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι ....................................... Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κο- ρυφών Α των τριγώνων ΑΒΓ, που έχουν σταθερή την πλευρά ΒΓ = α και τη διάμε- σο ΑΜ με γνωστό μήκος. 2. Δίνεται κύκλος (Ο, R). Αν Ν τυχαίο ση- μείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέ- κταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν διαγράφει τον κύκλο. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ ΣΧΟΛΙΟ Από το προηγούμενο παράδειγμα γίνεται φανερό ότι η λύση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου ακολουθεί τα εξής στάδια: Θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο Μ του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου και με βάση τη χαρακτηριστική ιδιότητα που έχει, προσδιορίζουμε τη γραμμή Γ πάνω στην οποία βρίσκεται. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε με τον κανόνα και το διαβήτη τη γραμμή αυτή και εξετάζουμε αν το τυχαίο σημείο Ν της γραμμής αυτής ικανοποιεί τη χαρακτηριστική ιδιότητα του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Αν αυτό συμβαίνει, τότε η γραμμή Γ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 27.
    57 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα: • Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του (σχ.40α). • Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.40β). • Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.40γ). α β γ A BΟ AΟAʹ xx΄ A B Bʹ Aʹ Ο Σχήµα 40 ε A Aʹ Σχήµα 42 ε Σ Σʹ AʹA Σχήµα 43 Το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φο- ρέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό. Απόδειξη Έστω ένα τμήμα ΑΒ (σχ.41), σημείο Ο που δεν ανήκει στην ευθεία ΑΒ και Αʹ, Βʹ τα συμμετρικά των Α, Β ως προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή ΟΑʹ = ΟΑ, OBʹ = OB και ΑʹÔΒʹ =ΑÔΒ, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΑʹΟΒʹ είναι ίσα, οπό- τε ΑʹΒʹ = ΑΒ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα ΑΒ και ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του ΑΒ και Μʹ η τομή της ΜΟ με το ΑʹΒʹ. Από την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι Â = Âʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΟΜ και ΑʹΟΜʹ είναι ίσα γιατί έχουν ΟΑʹ = ΟΑ, Â = Âʹ και Ô1 = Ô2. Επομένως ΟΜʹ = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μʹ είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μʹ του ΑʹΒʹ είναι σημείο του ΑΒ. Άρα τα ΑΒ, ΑʹΒʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 2 A BΜ Bʹ Μʹ Aʹ Ο Σχήµα 41 3.9 Αξονική συµµετρία Στην §2.14 είδαμε πότε δύο σημεία Α, Αʹ λέγονται συμμε- τρικά ως προς (άξονα) την ευθεία ε (σχ.42). Γενικότερα δύο σχήματα Σ, Σʹ (σχ.43) λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σʹ είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντί- στροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήμα- τος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σʹ. Δηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο Α του σχήματος το συμμετρικό του Αʹ, ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. Αν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει το σχήμα (σχ.44) σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 28.
    59 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Ανισοτικές σχέσεις Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε την ανισοτική σχέση που ισχύει μεταξύ μιας εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου και των απέναντι γωνιών του και την ανισοτική σχέση πλευρών και γωνιών ενός τριγώνου. Επίσης, παρουσιάζουμε την τρι- γωνική ανισότητα. 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΒΔ (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το Δ, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε ΔΕ = ΒΔ. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνί- ας ΓÂx έχουμε ΓÂΕ < ΓÂx = Âεξ. Όμως τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΕΔΑ είναι ίσα γιατί έχουν: ΒΔ = ΔΕ, ΑΔ = ΔΓ και Δ̂ 1 = Δ̂ 2, οπότε Γ̂ = ΓÂΕ. Από την τελευταία ισότητα και την ΓÂΕ < Âεξ προκύπτει ότι Âεξ >Γ̂ . Όμοια αποδεικνύεται ότι και Âεξ > B̂ . i) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. ii) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρό- τερο των 180°. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων: Α, Β, Δ, Η, Θ, Τ, Χ, Ψ. 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ είναι τα συμμετρικά των Α, Β, Γ ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να απο- δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα. 3. Αν xʹÂʹyʹ είναι η συμμετρική της γωνίας xÂy, ως προς κέντρο συμμετρίας ένα ση- μείο Ο, εξωτερικό της xÂy, τότε να απο- δειχθεί ότι xʹÂʹyʹ = xÂy. 4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τρι- γώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΒΓ είναι τρίγωνο ίσο με το ΑΒΓ. 5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνί- ας είναι άξονας συμμετρίας της. 6. Έστω ε, εʹ δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. Αν Μʹ είναι το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μʹʹ το συμμετρικό του Μʹ ως προς εʹ, τότε να αποδείξετε ότι: i) ΟΜ = ΟΜʹʹ, ii) τα σημεία Μ, Ο, Μʹʹ είναι συνευθεια- κά. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ 1 2 x A Ε B Γ Δ Σχήµα 47 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 29.
    60 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδι- κό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ = ΑΒ. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ΒΔ και επομένως B̂ 1 = Δ̂ 1 = ω. Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας B̂ , είναι B̂ > B̂ 1, ενώ η Δ̂ 1, ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ είναι μεγαλύτερη από τη Γ̂ , δηλαδή Δ̂ 1 > Γ̂ . Έτσι έχουμε B̂ > ω και ω > Γ̂ , επομένως B̂ > Γ̂ . Αντίστροφα. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ > Γ̂ . Τότε θα είναι και β > γ, γιατί αν ήταν β = γ ή β < γ θα είχαμε B̂ = Γ̂ ή B̂ < Γ̂ αντίστοιχα, που είναι άτοπο. i) Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευ- ρά του τριγώνου. ii) Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισο- σκελές. iii) Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ 3.12 Τριγωνική ανισότητα Γνωρίζουμε ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημεί- ων είναι η ευθεία που τα συνδέει. Αυτό εκφράζεται από το επόμενο θεώρημα. Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ (σχ.49). Γι’ αυτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α, κατά τμήμα ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκε- λές και η ΓΑ εσωτερική ημιευθεία της ΒΓ̂ Δ, οπότε έχουμε αντίστοιχα Δ̂ = Γ̂ 1 και Γ̂ 1 < ΒΓ̂ Δ. Από τις σχέσεις αυτές προ- ω ω A B Γ Δ1 1 Σχήµα 48 1 β A β γ αB Γ Δ Σχήµα 49 ΣΧΟΛΙΟ Το διπλανό πόρισμα (ii) είναι το αντίστροφο του πορίσματος I της §3.2. Τα δύο αυτά πορίσμα- τα συνοψίζονται στο εξής: ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν έχει δύο γωνίες ίσες. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 30.
    65 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισα- πέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ I ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ΑΒ και ΑΓ δύο ίσα πλάγια τμήματα και ΑΚ το κά- θετο τμήμα (σχ.55). To τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και το ΑΚ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΒ = ΚΓ. Αντίστροφα. Έστω ότι ΚΒ = ΚΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ΑΚ είναι ύψος και διάμεσος, άρα (εφαρμογή §3.12) το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ. Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: (i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. (ii) Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι απο- στάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ II ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΒ (σχ.56), η γωνία K̂ είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά ΑΒ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, ΑΒ > ΑΚ. ii) Έστω ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο ΑΚ στην ε και δύο πλάγια τμήματα ΑΒ, ΑΓ, όπου Β, Γ σημεία της ε (σχ.57). Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη Β, Γ των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ. Ας υποθέσουμε ότι ΚΓ > ΚΒ (σχ.57). Θα αποδείξουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αφού το Β είναι μεταξύ των Κ, Γ, η ΑB̂ Γ εί- ναι εξωτερική του ορθογώνιου τριγώνου ΚΑΒ, επομένως ΑB̂ Γ > K̂ = 1⌊, δηλαδή η ΑB̂ Γ είναι αμβλεία. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η πλευράΑΓ βρίσκεται απέναντι από τηνΑB̂ Γ, συνεπώς είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου, δηλαδή ΑΓ > ΑΒ. Αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι ΑΓ > ΑΒ. Αν ήταν ΚΓ = ΚΒ, τότε θα είχαμε ΑΓ = ΑΒ, που είναι άτοπο. Αν ΚΓ < ΚΒ, τότε σύμφωνα με το προηγούμενο θα είχαμε ότι ΑΓ < ΑΒ, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως ΚΓ > ΚΒ. A B ΓΚ Σχήµα 55 A B Κ Σχήµα 56 A BΓ Κ ε Σχήµα 57 ΣΧΟΛΙΟ Την ιδιότητα (i) του Θεωρήμα- τος II, που έχει το κάθετο τμήμα συνήθως εκφράζουμε και ως: η απόσταση ενός σημείου Α από μία ευθεία ε είναι μικρότερη από την απόσταση του Α από τυχόν σημείο της ευθείας. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 31.
    67 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 3 . Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Α κλο και λέγεται εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Το σημείο Α λέγεται σημείο επαφής της ευθείας με τον κύκλο. Επίσης, στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία xʹx εφάπτεται του κύκλου (Ο, R) στο σημείο Α. Είναι φανερό ότι: Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μο- ναδική. • Έστω δ < R (σχ.58γ). Τότε το Α είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου. Πάνω στην ημιευθεία Αx θεωρούμε ένα ση- μείο Μ, ώστε ΑΜ = R. Τότε το Μ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αφού ΟΜ > ΑΜ = R. Έτσι η ημιευθεία Αx, αφού διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο, το Α, και ένα εξωτερικό, το Μ, είναι φανερό ότι έχει ένα μοναδικό κοι- νό σημείο με τον κύκλο, το Β. Όμοια και η ημιευθεία Αxʹ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο, το Βʹ. Επομένως, η xʹx έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Στην περίπτωση αυτή η ευθεία xʹx, λέγεται τέμνουσα του κύκλου και τα κοινά της σημεία με τον κύκλο λέγονται σημεία το- μής της με τον κύκλο. Επίσης λέμε ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο. Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε: • Αν δ > R, η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. • Αν δ = R, η ευθεία έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τον κύκλο. • Αν δ < R, η ευθεία έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο. Με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο αποδεικνύονται και τα αντίστροφα των παραπάνω συμπερασμάτων. Με την ίδια επίσης μέθοδο αποδεικνύεται και το επόμενο θεώρημα. Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. ΘΕΩΡΗΜΑ I ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο, ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, ταΑ, Β, Γ (σχ. 59). Επειδή ΟΑ= ΟΒ (= ρ) και ΟΒ = ΟΓ (= ρ), οι μεσοκάθετοι ξ, ζ των ΑΒ, ΒΓ αντί- στοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε, τις ξ, ζ, που είναι άτοπο. ε ζ ξ B Γ Ο A Σχήµα 59 ΣΧΟΛΙΟ Από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι τρία οποιαδήπο- τε σημεία ενός κύκλου δεν είναι συνευθειακά. Στην §4.5 θα δού- με ότι από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος, που είναι και μοναδικός. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 32.
    81 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. (§3.10) Άρα ε1//ε2. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δύο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι πα- ράλληλες. ΠΟΡΙΣΜΑ Ι Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Πράγματι οι γωνίες ω και φ (σχ.4α) είναι ορθές, οπότε ω = φ. Άρα ε1//ε2. Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορού- με να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες. Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο Α εκτός αυτής (σχ.4β). Φέρουμε την ΑΒ⊥ε και ονομάζουμε εʹ την ευθεία που είναι κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α. Τότε εʹ//ε (αφού και οι δύο είναι κάθετες στην ΑΒ). Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία εʹ που διέρχεται από ένα ση- μείο Α που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε. Δεχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι μοναδική, δηλαδή: Αίτηµα παραλληλίας Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλλη- λη προς αυτή. Γ A ε B ω φ ε1 ε2 Σχήµα 3 ε1 ε2 ε ε ω φ A B A B (α) (β) Σχήµα 4 ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των “Στοιχεί- ων” του Ευκλείδη (Ευκλείδειο αίτημα). Το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμό του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της Γεωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. (βλ. Ιστορικό σημείωμα, σελ. 96) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 33.
    82 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ιδιότητες παράλληλων ευθειών Άμεσες συνέπειες του αιτήματος παραλληλίας είναι οι πα- ρακάτω προτάσεις. ΠΡΟΤΑΣΗ Ι Αν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχημα- τίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι ε1//ε2 και ε μια τέμνουσα (σχ.5). Θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. Αν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε οι γωνίες xÂB και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε Αx//ε2 γιατί τεμνόμενες από την ΑΒ σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το Α προς την ε2, που είναι άτοπο. Άρα ω = φ. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχημα- τίζουν i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωμα- τικές. ΠΟΡΙΣΜΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙ Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους πα- ράλληλες, δηλαδή αν ε1//ε και ε2//ε, τότε ε1//ε2. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν οι ε1 και ε2 τέμνονταν σε σημείο Α, θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε1//ε2. ΠΡΟΤΑΣΗ ΙΙΙ Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε1 στο Α. Αν η ε δεν έτεμνε την ε2, θα ήταν ε//ε2 και έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλ- ληλες προς την ε2, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε2. ε1 ε φ ω ε2 A B x Σχήµα 5 A ε1 ε2 ε Σχήµα 6 ε A ε1 ε2 Σχήµα 7 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 34.
    83 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. ΠΟΡΙΣΜΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΙV Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότε- ρο από 2 ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι η ε τέμνει τις ε1, ε2 στα Α και Β (σχ.8) αντίστοιχα και ότι φ + ω ≠ 2⌊. Τότε οι ε1 και ε2 δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω ≠ 2⌊ (Πόρισμα σελ. 82). Έστω ότι οι ε1 και ε2 τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική γωνία ω του τριγώνου ΑΚΒ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία Â1, δηλαδή ω > Â1 = 2⌊ – φ ή ω + φ > 2⌊, που είναι άτοπο. Άρα οι ε1, ε2 τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ. Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δύο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δύο γωνιών είναι μικρότερο των δύο ορθών. (βλέπε §3.18 - Πρόβλημα 2) ΠΟΡΙΣΜΑ 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας Είδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία εʹ, η οποία διέρχεται από ένα σημείο Α και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία ε. Για την κατασκευή της εʹ φέρουμε από το Α ένα πλάγιο τμήμα ΑΒ προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που σχηματίζει το ΑΒ με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ (§2.6) ώστε να έχει κορυφή το Α, η μια πλευρά της να είναι η ΑΒ και η άλλη πλευρά της ΑΓ να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. Επειδή ΓÂΒ = φ έχουμε ΑΓ//ε, αφού τεμνόμενες από την ΑΒ, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία ΑΓ είναι η ζητούμενη ευθεία εʹ. A ε ε1 ε2 ω φ B 1 Κ Σχήµα 8 Γ A ε ε φ φ B Σχήµα 9 ΣΧΟΛΙΟ Η πρόταση IV αποτελεί βασικό κριτήριο με το οποίο εξετάζου- με αν δύο ευθείες τέμνονται. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 35.
    86 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ των γωνιών του B̂ και Γ̂ αντίστοιχα. Οι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται σε σημείο I αφού ΕB̂ Γ + ΖΓ̂ Β = B̂ 2 + Γ̂ 2 < B̂ + Γ̂ < 2⌊. (§4.2 - Πρόταση IV) Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της B̂ θα ισαπέχει από τις πλευ- ρές της ΒΑκαι ΒΓ, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ.Ανάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της Γ̂ , δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. Επομένως το Ι ισαπέχει από τις ΑΒ και ΑΓ και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας Â. Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή από- σταση του Ι από τις πλευρές του ΑΒΓ, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Οι παρεγγεγραµµένοι κύκλοι τριγώνου Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται παρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ια, Ιβ, Ιγ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι (σχ.17α,β). Οι διχοτόμοι δύο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτο- μεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτά- σεις των δύο άλλων. Απόδειξη ΕΦΑΡΜΟΓΗ A B Γ α β Ιγ Ιβ Ια Ια x y B Γ A Σχήµα 17 A B ΓΔ Ε Ζ Θ Λ Ν Ι Σχήµα 16 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 36.
    89 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 4 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ε Σ Ε Υ Θ Ε Ι Ε Σ i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ii) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. iv) Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60ο . ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Έχουμε Â + B̂ + Γ̂ = 2⌊ και Γ̂ εξ + Γ̂ = 2⌊, οπότε Â + B̂ + Γ̂ = Γ̂ εξ + Γ̂ ή Γ̂ εξ = Â + B̂ . ii) – iv) Προφανή. 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες Δυο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω οι γωνίες xÔy = ω και xʹÔʹyʹ= φ με Οx⊥Oʹxʹ και Oy⊥Oʹyʹ. Τα τρίγωνα ΟΑΓ και ΟʹΒΓ έχουν Â = B̂ = 1⌊ και Γ̂ 1 = Γ̂ 2 (κατακορυφήν). Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ. i) Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κά- θετες είναι ίσες. ii) Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπλη- ρωματικές. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, θʹ + φ = 2⌊, οπότε θ = θʹ, αφού ω = φ. ii) Πράγματι, (σχ.20) είναι θ + ω = 2⌊, οπότε θ + φ = 2⌊, αφού ω = φ. Γεξ ΓB A x Σχήµα 19 y z θ ω xy θ φ z Ο Ο A Γ1 2 xB Σχήµα 20 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 37.
    90 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου Ας θεωρήσουμε κυρτό πεντάγωνοΑΒΓΔΕ και Ο τυχαίο εσωτε- ρικό σημείο του.Αν ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του πεντα- γώνου, σχηματίζονται πέντε τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Έτσι το άθροισμα των γωνιών και των πέντε τριγώνων είναι (2∙5) ορθές. Αν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô1 + Ô2 + Ô3 + Ô4 + Ô5 = 4 ορθές, θα μείνει το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου, δηλαδή: Â + B̂ + Γ̂ + Δ̂ + Ê = (2∙5 – 4) ορθές. Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροι- σμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι 2ν ορθές. Αν αφαι- ρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô1+Ô2+Ô3+ ... +Ôν = 4 ορθές έχουμε: Â1 + Â2 + Â3 +...+ Âν = (2ν – 4) ορθές. Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι πρέπει: Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι 2ν – 4 ορθές. Άλλη απόδειξη. Ας θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο Α1Α2... Αν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. την Α1, όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι το πολύγωνο διαιρείται σε ν – 2 τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά από τις πλευρές του, εκτός των Α1Α2 και Α1Αν που διέρχο- νται από την κορυφή Α1, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. Επειδή το άθροισμα των γωνιών των ν – 2 τριγώνων είναι 2(ν – 2) = (2ν – 4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου, προκύπτει ότι: Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 2ν – 4 ορθές. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές. ΠΟΡΙΣΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ Έχουμε Â1εξ + Â1 = 2⌊ Â2εξ + Â2 = 2⌊ ... + ... = ... προσθέτουμε κατά μέλη οπότε: Âνεξ + Âν = 2⌊ (Â1εξ + Â2εξ + ... + Âνεξ) + (Â1 + Â2 + ... + Âν) = 2ν⌊ ή (Â1εξ + Â2εξ + ... + Âνεξ) + (2ν – 4)⌊ = 2v⌊ ή Â1εξ + Â2εξ+ ... + Âνεξ = 4⌊. A B Γ Δ Ε Ο 1 2 34 5 Σχήµα 21 Α1 Α2 Α3 Α4 Α5 Αν-1Αν 1 2 3 4 ν-1 ν Ο Σχήµα 22 Α1 Α2 Α3 Α4 Α5 Αν-1 Αν Σχήµα 23 Α1 Α2 Α3 Α4 Αν Σχήµα 24 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 38.
    110 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Προεκτείνουμε τη ΔΕ κατά τμήμα EZ = ΔΕ. Το τετράπλευ- ρο ΑΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ = // ΓΖ, οπότε ΔΒ = // ΓΖ, αφού ΑΔ = ΔΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλό- γραμμο, οπότε: (i) ΔΖ // ΒΓ άρα ΔΕ // ΒΓ και (ii) ΔΖ = ΒΓ ή 2ΔΕ = ΒΓ ή ΔΕ = ΒΓ 2 . Αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευ- θεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ας φέρουμε από το μέσο Δ της ΑΒ την παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε (σχ.21). Θα αποδείξουμε ότι το Ε είναι το μέσο της ΑΓ. Έστω ότι το Ε δεν είναι μέσο της ΑΓ. Αν Z είναι το μέσο της ΑΓ, το τμήμα ΔΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα ΔΖ // ΒΓ. Έτσι, όμως, έχουμε από το Δ δύο παράλληλες προς τη ΒΓ, που είναι άτοπο. Άρα το Ε είναι μέσο της ΑΓ. Αν τρεις (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τις παράλληλες ευθείες ε1, ε2, ε3 οι οποίες τέ- μνουν την δ1 στα σημεία Α, Β, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ (σχ.22). Αν μια άλλη ευθεία δ2 τέμνει τις ε1, ε2, ε3 στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα, θα αποδείξουμε ότι ΔΕ = ΕΖ. Φέρουμε ΑΚ // ΔΖ. Τότε τα τετράπλευρα ΑΔΕΗ και ΕΖΚΗ είναι παραλληλόγραμμα, οπότε ΑΗ = ΔΕ (1) και ΗΚ = ΕΖ (2). Στο τρίγωνο ΑΚΓ το Β είναι το μέσο της ΑΓ και ΒΗ // ΓΚ. Άρα το Η είναι μέσο της ΑΚ, δηλαδή ΑΗ = ΗΚ (3). Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι ΔΕ = ΕΖ. ► Η µεσοπαράλληλος δύο παραλλήλων Θεωρούμε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 και ένα τμήμα ΑΒ = υ κάθετο προς αυτές, το οποίο έχει τα άκρα του στις Σχήµα 20 A ΕΔ B Γ Ζ Σχήµα 21 A B Γ Δ Ε Ζ Σχήµα 22 δ1 δ2 ε1 ε2 ε3 A B Γ Δ ΕΗ Κ Ζ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 39.
    112 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τις δύο διαμέσους ΒΕ και ΓΖ. Επειδή B̂ 1 + Γ̂ 1 < B̂ + Γ̂ < 2⌊, οι δύο διάμεσοι τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο Θ του τριγώνου. Αν η ΑΘ τέμνει τη ΒΓ στο Δ, θα αποδείξουμε ότι i) η ΑΔ είναι η τρίτη διάμεσος του τριγώνου, δηλαδή ΒΔ = ΔΓ και ii) ΑΘ = 2 3 ΑΔ. i) Στην ημιευθεία ΘΔ παίρνουμε τμήμα ΘΚ = ΑΘ. Παρα- τηρούμε ότι τα σημεία Ε και Θ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΑΚΓ, οπότε ΕΘ = // ΓΚ 2 (1). Όμοια από το τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε ΖΘ = // ΒΚ 2 (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΒΕ // ΓΚ και ΓΖ // ΒΚ, δηλαδή το ΒΘΓΚ είναι παραλληλόγραμμο (3). Άρα οι δια- γώνιοί του διχοτομούνται, οπότε ΒΔ = ΔΓ. Το σημείο Θ, στο οποίο τέμνονται οι διάμεσοι του ΑΒΓ, λέγεται βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. ii) Από το παραλληλόγραμμο ΒΘΓΚ έχουμε ακόμη ΘΔ = ΔΚ = ΘΚ 2 , άρα ΘΔ = ΑΘ 2 ή ΑΘ = 2ΘΔ. Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι ΕΘ = ΓΚ 2 = ΒΘ 2 ή ΒΘ = 2ΘΕ. Όμοια από τις (2) και (3) έχουμε ΓΘ = 2ΘΖ. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. Επίσης έχουμε ότι ΑΔ = ΑΘ + ΘΔ = 2ΘΔ + ΘΔ = 3ΘΔ. Άρα ΘΔ = 1 3 ΑΔ, οπότε ΑΘ = 2 3 ΑΔ. Όμοια προκύπτει ότι ΒΘ = 2 3 ΒΕ και ΓΘ = 2 3 ΓΖ. Αποδείξαμε λοιπόν ότι: Η απόσταση του βαρυκέντρου Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ από κάθε κορυφή του ισούται με τα 2 3 του μήκους της αντί- στοιχης διαμέσου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην παραπάνω πρόταση θεω- ρήσαμε το σημείο τομής Θ των δύο διαμέσων ΒΕ και ΓΖ και αποδείξαμε ότι η ΑΘ αν προε- κταθεί είναι η τρίτη διάμεσος ΑΔ. Αυτός ο τρόπος αποτελεί μια βασική μέθοδο για να απο- δεικνύουμε ότι τρεις ευθείες συ- ντρέχουν σε κάποιο σημείο. Σχήµα 26 A B Γ Δ ΕΖ Θ Κ 1 1 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 40.
    113 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου Λήµµα Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηματίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως μέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Από τις κορυφές Α, Β, Γ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλλη- λες προς τις απέναντι πλευρές του, οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ (σχ.27). Λόγω των σχηματιζόμενων παραλληλογράμμων ΚΑΓΒ, ΛΑΒΓ και ΜΒΑΓ έχουμε: ΚΑ = ΒΓ = ΑΛ, ΛΓ = ΑΒ = ΓΜ και ΚΒ = ΑΓ = ΒΜ. Επομένως τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ. Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Από τις κορυφές του Α, Β, Γ φέρουμε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές (σχ.28). Σύμφωνα με το Λήμμα, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σημεία Α, Β, Γ είναι τα μέσα των πλευρών του. Επίσης, παρατηρούμε ότι οι ευθείεςΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις ΒΓ,ΑΓ και ΑΒ) και μάλιστα είναι κάθετες στα μέσα τους. Δηλαδή οι ευθείεςΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σημείο Η. Το σημείο Η λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Οι κορυφές Α, Β, Γ, τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρό του Η αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σημεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σημεία. ΠΟΡΙΣΜΑ Πράγματι οι κορυφές π.χ. Β, Γ και το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ ορίζουν το τρίγωνο ΒΗΓ. Τα ύψη ΗΔ, ΒΖ και ΓΕ του τριγώνου ΒΗΓ τέμνονται στο Α, οπότε το Α είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΒΗΓ. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν το τρίγωνο είναι ορθο- γώνιο, το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας, ενώ σε αμβλυγώνιο τρίγωνο το ορ- θόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Σχήµα 27 A B Γ Κ Λ Μ Σχήµα 28 A B Γ Δ Ε Ζ Μ Κ Λ Η Σχήµα 29 A B Γ Ζ Ε Η Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 41.
    121 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 5 . Π Α Ρ Α Λ Λ Η Λ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α - Τ Ρ Α Π Ε Ζ Ι Α 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου Είδαμε προηγούμενα (§4.5 και §5.7 - §5.8) ότι σε ένα τρί- γωνο οι μεσοκάθετοι των πλευρών του, οι διχοτόμοι των γωνιών του, οι διάμεσοι και τα ύψη του αποτελούν τριάδες συντρεχουσών ευθειών. Ανακεφαλαιώνοντας, σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ αποδείξαμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο: • Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του. Το κοινό σημείο Ο λέγεται περίκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος (Ο, ΟΑ) λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. • Οι διχοτόμοι των τριών γωνιών του. Το κοινό σημείο I λέγεται έγκεντρο του ΑΒΓ και ο κύκλος με κέντρο το I και ακτίνα την κοινή απόσταση του I από τις τρεις πλευ- ρές του, λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. • Οι τρεις διάμεσοί του. Το κοινό σημείο τους Θ λέγεται βαρύκεντρο του ΑΒΓ. • Τα τρία ύψη του. Το κοινό σημείο τους Η λέγεται ορθό- κεντρο του ΑΒΓ. ΣΧΟΛΙΟ Για να αποδείξουμε ότι υπάρ- χουν κάποια από τα αξιοσημεί- ωτα σημεία τριγώνου (βαρύκε- ντρο, ορθόκεντρο κτλ.) καθώς και τις βασικές τους ιδιότητες χρησιμοποιήσαμε τη θεωρία των παραλληλογράμμων που στηρί- ζεται στο αίτημα παραλληλίας (§4.2). ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β ≠ γ) με Â = 60°, τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ και τα μέσα Μ, Ν των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΝΔ. 2. Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ε1, ε2 και σημείο Α της ε1. Φέρουμε ΑΚ⊥ε2. Αν Β ση- μείο της ε2 και μια ευθεία, που διέρχεται από το Β, τέμνει τις ΑΚ και ε1 στα Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = 2ΑΒ, να αποδεί- ξετε ότι ΑB̂ Κ = 3ΕB̂ Κ. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ, Δ το μέσο της ΑΒ και σημείο Ε της ημιευθείας ΔΒ, ώστε ΔΕ = ΑΓ 2 . Από τα Β και Ε φέ- ρουμε κάθετες στη διχοτόμο της γωνίας Â, οι οποίες τέμνουν την ΑΓ στα Βʹ και Εʹ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: i) ΒʹΕʹ = ΑΓ – ΑΒ 2 . ii) Η ευθεία ΕΕʹ διέρχεται από το μέσο της ΒΓ. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ, B̂ > 60° και το ύψος του ΑΕ προς τη ΒΓ (ΑΕ⊥ΒΓ). Αν Ζ, Η είναι τα μέσα των ΓΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να απο- δείξετε ότι: i) το ΗΒΓΖ είναι ρόμβος, ii) η ΖΕ είναι διχοτόμος της ΗÊΓ, iii) το ΗΕΓΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο, iv) ΔẐΕ = 3ΖÊΓ. 5. Ευθεία ε αφήνει τις κορυφές τριγώνου ΑΒΓ προς το ίδιο μέρος της. Αν Αʹ, Βʹ, Γʹ, Κʹ οι προβολές των Α, Β, Γ και του βαρυ- κέντρου Κ αντίστοιχα στην ε, να αποδεί- ξετε ότι ΑΑʹ + ΒΒʹ + ΓΓʹ = 3ΚΚʹ. 6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Δ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ΔΕ⊥ΑΓ. Αν Ζ το μέσο του ΕΓ, να αποδείξετε ότι: i) ΔΖ//ΒΕ, ii) AH⊥BE, όπου Η το μέσο του ΔΕ. 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τρι- γώνου τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 42.
    128 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Εγγεγραµµένη γωνία 6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί Δίνεται μία κυρτή γωνία xÂy και ένας κύκλος (Ο, R). Οι σχετικές θέσεις τους καθορίζονται από τη θέση της κορυφής της και των πλευρών της: i) Αν η κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου (σχ.1), τότε η γωνία λέγεται επίκεντρη, όπως είδαμε στη §2.18. ii) Αν η κορυφή (σχ.2) είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουσες του κύκλου, τότε η γωνία λέγε- ται εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου. Το τόξο B͡ Γ που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της ή διαφορετικά λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία Â βαίνει στο τόξο B͡ Γ. iii) Αν η κορυφή είναι σημείο του κύκλου, η μία της πλευρά είναι τέμνουσα και η άλλη εφαπτομένη του κύκλου (σχ.3), τότε η γωνία λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης. 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης Η σχέση μίας εγγεγραμμένης και μίας επίκεντρης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο δίνεται από το ακόλουθο θεώ- ρημα: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκε- ντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω κύκλος (O, R) και ένα τόξο του A͡ B. Ας θεωρήσου- με την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ΑÔΒ και σημείο Γ του κύκλου που δεν ανήκει στο τόξο A͡ B. Τότε θα αποδείξουμε ότι ΑÔΒ = 2ΑΓ̂ Β. i) Ας μελετήσουμε πρώτα την περίπτωση όπου το κέντρο Ο του κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμ- μένης γωνίας ΑΓ̂ Β (σχ.4α). Έστω Γʹ το αντιδιαμετρικό σημείο του Γ. Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισοσκελές, επομέ- νως ΟÂΓ = ΟΓ̂ Α. Η ΓʹÔΑ είναι εξωτερική του τριγώ- νου ΑΟΓ, επομένως ΓʹÔΑ = 2ΟΓ̂ Α και όμοια έχουμε ότι ΓʹÔΒ = 2ΟΓ̂ Β. Σχήµα 1 A x y Σχήµα 2 A x yB Γ Σχήµα 3 x y A Σχήµα 4 A Γ B ΓΟ (α) (β) A Γ B Ο (γ) Γ A Ο Γ B lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 43.
    129 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 6 . Ε Γ Γ Ε Γ Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω ισότητες έχου- με ότι AÔΒ = 2ΑΓ̂ Β. ii) Ας εξετάσουμε κατόπιν την περίπτωση όπου το O ανήκει σε μία πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας ΑΓ̂ Β (σχ.4β). Η επίκεντρη γωνία ΑÔΒ είναι εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου ΓΟΒ, οπότε ΑÔΒ = 2ΑΓ̂ Β. iii) Όμοια με τις προηγούμενες περιπτώσεις (σχ.4γ). i) Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. ii) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. iii) Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντί- στροφα. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης Η σχέση μίας γωνίας χορδής και εφαπτομένης με την εγγε- γραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγε- γραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής. ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι η γωνία χορδής και εφαπτομένης xÂy εί- ναι οξεία (σχ.6) και ΑΓ̂ Β μια τυχαία εγγεγραμμένη γω- νία που βαίνει στο τόξο της χορδής ΑΒ. Γνωρίζουμε ότι ΑΓ̂ Β = ΑÔΒ 2 . Φέρουμε το απόστημα ΟΜ, οπότε ΑÔΜ = ΜÔΒ = ΑÔΒ 2 = ΑΓ̂ Β. Αλλά xÂy = ΑÔΜ ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές. Επομένως xÂy = ΑΓ̂ Β. Αν η γωνία χορδής και εφαπτομένης είναι αμβλεία, η από- δειξη είναι ανάλογη.Σχήµα 6 x x A Γ Ο Μ B y ΣΧΟΛΙΟ Από το πόρισμα (iii) συμπεραί- νουμε εύκολα ότι τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παράλλη- λων χορδών είναι ίσα (σχ.5) και αντίστροφα. Σχήµα 5 A B Γ Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 44.
    137 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 6 . Ε Γ Γ Ε Γ Ρ Α Μ Μ Ε Ν Α Σ Χ Η Μ Α Τ Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Έστω Â + Γ̂ = 2⌊. Φέρουμε τον κύκλο που ορίζουν τα σημεία Α, Β, Δ και τη χορδή του ΒΔ. Τα σημεία Α, Γ βρίσκονται εκατέρωθεν της ΒΔ, οπότε κάθε εγγε- γραμμένη γωνία στο τόξο BΑ∆ ισούται με τη Γ̂ , ενώ κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο Β ∆E (σχ.19) ισούται με την παραπληρωματική της, δηλαδή την Â. Επομένως το Γ είναι σημείο του Β ∆E και ομοκυκλικό με τα Α, Β, Δ. ii) Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε ΔÂΓ = ΔB̂ Γ = φ. Τότε τα Α, Β ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο των ση- μείων του επιπέδου από τα οποία το τμήμα ΓΔ φαίνεται υπό ορισμένη γωνία φ. Ο γεωμετρικός αυτός τόπος εί- ναι (βλ. §6.4) δύο συμμετρικά τόξα ως προς το ΓΔ. Τα Α, Β όμως βρίσκονται στο ίδιο μέρος της ΓΔ, συνεπώς ανήκουν στο ίδιο τόξο, επομένως τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι ομοκυκλικά. iii) Έστω ότι xΓ̂ Β = Â (σχ. 21), τότε Â + Γ̂ = 2⌊, επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο γιατί έχει δύο απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές, λόγω του κριτηρίου i). Σχήµα 19 A B Γ Δ Ε Σχήµα 20 B A Γ Δ Σχήµα 21 B A Γ Δ x ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η ΠΕΡΙΓΕΓΡΑΜΜΕΝΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΨΙΜΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ ΣΕ ΚΥΚΛΟ Ένα τετράπλευρο, του οποίου οι πλευρές εφάπτονται στον ίδιο κύκλο, λέγεται περιγεγραμμένο στον κύκλο αυτό, ενώ ο κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος στο τε- τράπλευρο αυτό. (Α) Να αποδειχθούν οι ιδιότητες ενός περιγεγραμμένου τετραπλεύρου ΑΒΓΔ: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. (Β) Να αποδείξετε ότι για να είναι ένα τετράπλευρο περιγράψιμο σε κύκλο αρκεί να ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις: i) Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. ii) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα. Απόδειξη (Α) Απλή (βλ. σχ.22). A B ΓΔ Η Ε μ μν ν κ κ λ λ Ζ ΟΘ Σχήµα 22 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 45.
    140 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Να εξετασθεί η ύπαρξη κύκλου που διέρχεται από: i) δύο δοσμένα σημεία, ii) τρία δοσμένα σημεία, iii) τέσσερα δοσμένα σημεία, και η μοναδικότητά του σε καθεμία από τις παραπάνω περι- πτώσεις. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων Σε προηγούμενα κεφάλαια συναντήσαμε ορισμένους βασι- κούς γεωμετρικούς τόπους, όπως ο κύκλος, η μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος, η διχοτόμος μίας γωνίας, η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών και τέλος το τόξο γνωστής χορδής ΑΒ, τα σημεία του οποίου βλέπουν το τμήμα ΑΒ υπό δοσμένη γωνία φ. Οι γεωμετρικοί αυτοί τόποι μας είναι χρήσιμοι στη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών. Ας δούμε ένα πα- ράδειγμα. A Δ Ε A1 B Η Ζ Ο Ο Γ A A 1 τ τ΄ υυ υ ε ε Σχήµα 27 ΠΡΟΒΛΗΜΑ1 Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία Â = ω, όπου α, υ γνωστά τμήματα και ω γνωστή γωνία. Λύση Ανάλυση. Έστω ΑΒΓ το ζητούμενο τρίγωνο (σχ.27) που έχει ΒΓ = α, ύψος ΑΔ = υ και γωνία Â = ω. Επειδή Â = ω η κορυφή Α βλέπει γνωστό τμήμα ΒΓ υπό γνω- στή γωνία, άρα είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ1 που αποτελείται από τα τόξα τ͡ και τ͡ ʹ, που γράφονται με χορδή τη ΒΓ εκατέρωθεν αυτής και δέχονται το καθένα γωνία ω. Επίσης, αφού το Α απέχει από τη ΒΓ γνωστή απόσταση υ, είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου Τ2 που αποτελείται από δύο ευθείες παράλληλες προς τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής σε απόσταση υ. Άρα η κορυ- φή Α είναι η τομή των γεωμετρικών τόπων Τ1 και Τ2. Σύνθεση. Με χορδή τμήμα ΒΓ = α γράφουμε τα τόξα τ͡ και τ͡ ʹ, που δέχονται γωνία ω. Στη συνέχεια σε απόσταση ΖΗ = υ από τη ΒΓ και εκατέρωθεν αυτής φέρουμε ευθείες ε, εʹ//ΒΓ που τέμνουν τα τόξα τ͡ και τ͡ ʹ. Αν Α είναι ένα από τα σημεία τομής των Τ1, Τ2, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 46.
    Τι είναι εκτόςύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 47.
    ΠΕΡΙΕΧοΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙο 1ο : Συστήματα 1.1Γραμμικά Συστήματα.........................................................................9 1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα................................................................24 ΚΕΦΑΛΑΙο 2ο : Ιδιότητες Συναρτήσεων 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης..............................30 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης.............................40 ΚΕΦΑΛΑΙο 3ο : Τριγωνομετρία 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας....................................................49 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ............................................60 3.3 Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο........................................................65 3.4 Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις....................................................73 3.5 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις ..............................................83 3.6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών.............................89 3.7 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας 2α.........................................97 3.8 Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων ....................103 3.9 Η Συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx....................................................108 3.10 Επίλυση Τριγώνου .........................................................................114 ΚΕΦΑΛΑΙο 4ο : Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Εξισώσεις 4.1 Πολυώνυμα....................................................................................128 4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων ..................................................................132 4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις.......................................140 4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές .........150 ΚΕΦΑΛΑΙο 5ο : Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση 5.1 Εκθετική Συνάρτηση .....................................................................160 5.2 Λογάριθμοι.....................................................................................173 5.3 Λογαριθμική Συνάρτηση ...............................................................181 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ................................................................193 ΥΠοΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ............................195 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 48.
    Κεφάλαιο 1ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση αx + βy = γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με τη βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx + βy = γ, με α ¹ 0 ή β ¹ 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει ευθεία γραμμή. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το συμπέρασμα αυτό ως εξής: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν β ¹ 0, τότε η εξίσωση γράφεται: α β γ β α γ α β γ β x y y x y x + = ⇔ = − + ⇔ = − + , Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυν- σης λ α β = − και τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο γ β . Σχήμα α΄ Σχήμα β΄ Ειδικότερα: 9 Αν α ¹ 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ. α΄), ενώ αx+βy=γ, α=0 O x y γ β αx+βy=γ, β≠0 x γ γ α β y O lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 49.
    28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο :ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2. Να λύσετε το σύστημα: 3. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι 120cm 2 . Αν η μία διάσταση του ορθο- γωνίου αυξηθεί κατά 3cm , ενώ η άλλη ελαττωθεί κατά 2cm , τότε το εμ- βαδόν του δεν μεταβάλλεται. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου. 4. Δίνεται η παραβολή y x= − 2 και η ευθεία y x= + . Να βρείτε για ποιες τιμές του k η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. 5. Να λύσετε τo σύστημα 2 2 y x y x = = + ⎧ ⎨ ⎩ µ και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: , , , με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή. Α) Έχει μοναδική λύση, Β) Είναι αδύνατο, Γ) Έχει άπειρο πλήθος λύσεων. II. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν ένα γραμμικό σύστημα έχει δύο διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. A Ψ 2. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα είναι D = 0 , τότε το σύστημα είναι κατ’ ανάγκη αδύνατο. Α Ψ 3. Το σύστημα xy x y = + = ⎧ ⎨ ⎩ 1 0 είναι αδύνατο. Α Ψ 4. Ο κύκλος x y2 2 1+ = και η παραβολή y x= +2 1 δεν έχουν κοινά σημεία. A Ψ ( ):Σ1 2 1 2 4 0 x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ ( ):Σ2 1 2 4 x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ ( ):Σ3 2 4 2 2 1 x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ ( ):Σ4 2 1 1 x y x y − = + = ⎧ ⎨ ⎩ α (Σ1 ) (Σ2 ) (Σ3 ) (Σ4 ) 2 5 0 4 3 2 2 xy y y y x x − − = = − + ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 50.
    3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 61 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων (1) και (2), θα αποδείξουμε δύο επιπλέον χρή- σιμες ταυτότητες. 3. εφω . σφω = 1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι: εϕω ηµω συνω = και σϕω συνω ηµω = (εφόσον συνω ¹ 0 και ημω ¹ 0) Επομένως: εϕω σϕω ηµω συνω συνω ηµω ⋅ = ⋅ =1 . 4. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας ηµ ω συν ω2 2 1+ = με συν ω2 0≠ και έχουμε: ηµ ω συν ω συν ω συν ω συν ω εϕ ω συν ω συν ω εϕ ω 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + = ⇔ + = ⇔ = + . Άρα συν ω εϕ ω 2 2 1 1 = + . ii) Αν στην ταυτότητα ηµ ω συν ω2 2 1+ = θέσουμε συν ω εϕ ω 2 2 1 1 = + , έχουμε: ηµ ω εϕ ω ηµ ω εϕ ω ηµ ω εϕ ω εϕ ω 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 + + = ⇔ = − + ⇔ = + . Άρα ηµ ω εϕ ω εϕ ω 2 2 2 1 = + . συν ω εϕ ω 2 2 1 1 = + ηµ ω εϕ ω εϕ ω 2 2 2 1 = + .και lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 51.
    3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 71 Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 2. Να αποδείξετε ότι: ηµ π ω συν π ω ηµ π ω συν π ω σϕ π ω ηµ ( ) ( ) ( ) 5 7 5 2 7 2 5 + ⋅ − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⋅ (( ) . 7 5 2 7 2 12 π ω συν π ω σϕ π ω ηµ ω − ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − 3. Αν εϕ π εϕ π 3 6 5− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =x x , να υπολογίσετε την τιμή της παράστα- σης: εϕ π εϕ π2 2 3 6 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟x x . 4. Να αποδείξετε ότι: 0 1< + + + < εϕ π εϕ σϕ π ( ) ( ) . x x x I) Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής και το γράμμα Ψ, αν ο ισχυρισμός είναι ψευδής. 1. Αν ημω = 1, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω = 0 . Α Ψ 2. Αν συνω = 0 , τότε υποχρεωτικά θα είναι ημω = 1. Α Ψ 3. Υπάρχει γωνία ω με ημω + συνω = 2 . Α Ψ 4. Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω συν ω= −1 2 Α Ψ 5. ηµ ηµ2 2 20 70 1+ = Α Ψ 6. Για κάθε x∈ ισχύει ηµ π ηµ( )x x− = − Α Ψ 7. Για κάθε x∈ ισχύει ηµ ηµ2 2 x x= Α Ψ 8. Αν συν π ηµx x− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + = 2 0, τότε ηµx = 0 Α Ψ 9. Για κάθε x∈ ισχύει συν π ηµ π x x− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 6 3 0 Α Ψ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ηµ συν συν συν εϕ εϕ 495 120 495 120 120 495 ⋅ + ⋅ − − + ( ) ( ) . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 52.
    88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = 0 ii) ηµx = 2 2 iii) συνx = 0 iv) συνx = 2 2 2. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = − 1 2 ii) ηµx = −1 iii) συνx = − 2 2 iv) συνx = −1 3. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕx = 0 ii) εϕx = 3 3 iii) σϕx =1 iv) σϕx = 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕx = − 3 3 ii) σϕx = − 3 3 5. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( )( )1 2 3 0− − =ηµ ηµx x ii) ( )( )2 2 1 0ηµ συνx x+ − = 6. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ( )( )3 1 0+ − =εϕ εϕx x ii) ( )( )2 1 3 02 συν εϕ σϕx x x+ − = 7. Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς πίνακες ή επιστημονικό κομπιουτε- ράκι να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµx = 0 951, ii) συνx = −0 809, iii) εϕx = 28 636, 8. Να λύσετε τις εξισώσεις i) . ii) συν x 5 1 0+ = iii) 3 2 7 3 0εϕ x − = 9. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ π x + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − 3 1 ii) 2 3 4 1συν π x − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = iii) εϕ π 4 5 3− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =x 10. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 2 1 02 ηµ ω ηµω+ − = ii) 2 3 2 02 συν συνx x+ − = iii) 3 3 2 32 εϕ εϕt t= + 11. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ συν2 2 5 4x x+ = ii) εϕ σϕx x⋅ =2 1 12. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: i) . 0 2≤ <x π, ii) . 0 2≤ <x π . ΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 53.
    3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 89 13. Οι μηνιαίες πωλήσεις ενός εποχιακού προϊόντος (σε χιλιάδες κομμάτια) δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο S t = + ⋅75 50 6 ηµ π , όπου t o χρόνος σε μήνες και με t = 1 να αντιστοιχεί στον Ιανουάριο. i) Να βρείτε ποιους μήνες οι πωλήσεις φτάνουν τις 100000 κομμάτια. ii) Να βρείτε ποιο μήνα έχουμε το μεγαλύτερο αριθμό πωλήσεων και πόσες είναι αυτές. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις i) ηµ συν π x x+ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 4 0 ii) εϕ σϕ π 2 3 3 0x x− + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 2. Να λύσετε τις εξισώσεις i) εϕ ηµ ηµ εϕx x x x⋅ + = +1 ii) . 3. Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης εϕx =1 στο διάστημα (3π,4π). * 4. Να λύσετε την εξίσωση 1+συνx=ημx στο διάστημα [0,2π). 5. Να λύσετε την εξίσωση: εϕ σϕ π x x= + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 στο διάστημα [0, 2π). 3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΑθΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δύο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M M1 2, αντιστοίχως (Σχ. 1). Έστω επιπλέον και η γωνία α β− , που η τελική της πλευρά τέμνει τον τρι- γωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. 2). O O y y x xαβ α−β M (συνα, ημα)1 M (συνβ, ημβ) M(συν(α–β), ημ(α–β))2 Α(1,0) Σχ. (1) Σχ. (2) Α(1,0) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 54.
    3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α 97 5. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ Α∆= ⋅3 , να αποδείξετε ότι: i) όπου Β ΑΒΓ= ˆ ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β = 60 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµ ηµ συν εϕ Α Β Γ Β Γ Β + − − = ( ) ( ) , να αποδείξετε ότι Α = π 2 και αντιστρόφως. *7. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) σϕ σϕ σϕ σϕ σϕ σϕΑ Β Β Γ Γ Α+ + =1, ii) 8. Να λυθεί στο διάστημα [0,π] η εξίσωση: *9. Αν 0 2 < <x y z, , π με εϕx = 1 2 , εϕy = 1 5 και εϕz = 1 8 , να αποδείξετε ότι: εϕω εϕ εϕ = + 2 3 2 Β Β , συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ συν ηµ ηµ Α Β Γ Β Γ Α Γ Α Β + + = 2 εϕ π εϕ π ( ) ( )4 4 2 3+ − − =x x x y z+ + = π 4 Οι τύποι που εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 2α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές περιπτώ- σεις των τύπων της προηγούμενης παραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύ- πους του ηµ α β( ),+ του συν α β( )+ και της εϕ α β( )+ αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε: 3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ 2α Γ Δ Α Β ω • ηµ α2 = + = + =ηµ α α ηµασυνα συναηµα( ) • συν α2 = + = −συν α α συνασυνα ηµαηµα( ) = − −συν α συν α2 2 1( ) 2 12 συν α= − = − −( )1 2 2 ηµ α ηµ α 1 2 2 ηµ α−= Επομένως: (1) Επίσης συν α συν α ηµ α2 2 2 = − 2ημασυνα ημ2α = 2ημασυνα −= συν α ηµ α2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 55.
    98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Επομένως: (2) Επομένως: (3) Επομένως: (4) (5) (6) συν α συν α ηµ α συν α ηµ α 2 2 1 1 2 2 2 2 2 = − = − = − • εϕ α2 = + − = εϕα εϕα εϕαεϕα1 2 1 2 εϕα εϕ α− εϕ α εϕα εϕ α 2 2 1 2 = − Από τους τύπους (2) μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συν2α. Πράγματι, έχουμε: • = − ⇔ + =συν α συν α συν α συν α2 2 1 1 2 22 2 =⇔ + συν α συν α2 1 2 2 • = − ⇔ = −συν α ηµ α ηµ α συν α2 1 2 2 1 22 2 − ηµ α συν α2 1 2 2 ⇔ = εϕ α2 = = − + = ηµ α συν α συν α συν α 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 − + συν α συν α ηµ α συν α2 1 2 2 = − συν α συν α2 1 2 2 = + εϕ α συν α συν α 2 1 2 1 2 = − + lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 56.
    3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 103 8. Να αποδείξετε ότι: i) συν π συν π4 4 8 3 8 3 4 + = ii) ηµ π ηµ π4 4 8 3 8 3 4 + = iii) 8 1 42 2 ⋅ = −ηµ ασυν α συν α 9. Αν συν α β γ x = + ,συν β γ α y = + και συν γ α β z = + , να αποδείξετε ότι: 3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνο- μετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροι- σμα σε γινόμενο. Στην παράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύπους με τους οποίους γίνονται οι παραπάνω μετασχηματισμοί. Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα Από τις γνωστές μας ισότητες: ηµ α β ηµασυνβ συναηµβ( )+ = + ηµ α β ηµασυνβ συναηµβ( )− = − με πρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: ηµ α β ηµ α β ηµασυνβ( ) ( )+ + − = 2 δηλαδή: (1) ενώ από τις: συν α β συνασυνβ ηµαηµβ( )− = + συν α β συνασυνβ ηµαηµβ( )+ = − με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: (2) (3) 2ημασυνβ = ημ(α + β) + ημ(α – β ) 2συνασυνβ = συν(α – β) + συν(α + β) 2ημαημβ = συν(α – β) – συν(α + β) εϕ εϕ εϕ2 2 2 2 2 2 1 x y z + + = . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 57.
    108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ iii) 6. Να αποδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: 2 2 2 2 1 2 2 ⋅ − = ⋅ − συν συν συν Β Γ Β Γ 7. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ηµ συν συνΑ Β Γ= + , να αποδείξετε ότι Β = 90 ή Γ = 90 και αντιστρόφως. Στην προηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f(x)=ρημx, ρ > 0 είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με −ρ. Η γραφική της παράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Μια τέτοια συνάρτηση είναι, π.χ., και η f(x)=2.ημx, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: 3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση f x x( ) .= ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟2 4 ηµ π Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή προκύπτει από την g x x( ) = ⋅2 ηµ αν, όπου x, θέσουμε x + π 4 , δηλαδή ισχύει f x g x( ) = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ π 4 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά π 4 μονάδες, προς τα αριστε- ρά. Όμως η συνάρτηση g x x( ) = ⋅2 ηµ έχει περίοδο 2π, μέγιστο ίσο με 2 και ελάχιστο ίσο με −2. συν συν συν ηµ ηµ ηµΑ Β Γ Α Β Γ + + = + ⋅1 4 2 2 2 y = ημx y = 2ημx 2 1 O π−π 2π 3π –1 –2 y x lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 58.
    114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο :ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) f x x x( ) ,= + +5 12 3ηµ συν ii) f x x x x( ) ( )= +4συν ηµ συν 4. Να λύσετε την εξίσωση: 5. Με συρματόπλεγμα μήκους 40m περιφράσσουμε τμή- μα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υποτεί- νουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία θrad (Σχήμα). i) Να αποδείξετε ότι: h = + + 40 1ηµθ συνθ ii) Για ποια τιμή του θ το h παίρνει τη μικρότερη τιμή και ποια είναι αυτή; 6. Στο διπλανό σχήμα: i) Να δείξετε ότι η περίμετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται με Ρ = + +1 2 2ηµ θ συν θ. ii) Για ποια τιμή του θ το Ρ παίρνει τη μεγαλύτε- ρη τιμή και ποια είναι αυτή; 3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το κλασικό πρόβλημα της Τριγωνομετρίας, από το οποίο πήρε και το όνομά της, είναι η επίλυση τριγώνου, δηλαδή ο υπολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται επαρκή στοιχεία του. Η επίλυση τριγώνου μπορεί να γίνει με τη βοήθεια των παρακάτω δυο βα- σικών θεωρημάτων, που είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημιτόνων και το άλλο ως νόμος των συνημιτόνων. ΘΕΩΡΗΜΑΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: όπου R, η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Νόμος των ημιτόνων α ηµ β ηµ γ ηµΑ Β Γ = = = 2R h θ 2 3 2 1⋅ ⋅ − = −ηµ συν ηµx x x( ) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 59.
    1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο :ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το xν ν α− είναι παράγοντας του xµ µ α− , (μ, ν θετικοί ακέραιοι). 2. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το αx+β, α ≠ 0 είναι υ β α = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟P . ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο α βx3 + διαιρεί- ται με το αx+β. 3. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώ- νυμο P x x x x x( ) = − + − +2 6 5 3 24 3 2 διαιρείται με το (x-1)(x-2) και να βρείτε το πηλίκο. 4. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P x x x x( ) ( ) ,= + − −2 2ν ν έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του 2 33 2 x x x+ + . 5. Να υπολογίσετε τους α β, ∈ , για τους οποίους το P x x x( ) = + ++ α βν ν1 1 έχει παράγοντα το ( ) .x −1 2 Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων α β α β γx x x+ = + + =0 02 , και α β γx x4 2 0+ + = , με α ≠ 0 Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα: Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής α α α αν ν ν ν x x x+ + + + =− − 1 1 1 0 0...... , αν ≠ 0 Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2 5 2 03 2 x x x− + − = και − + + =3 5 1 06 2 x x εί- ναι πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου P x x x x( ) ......= + + + +− − α α α αν ν ν ν 1 1 1 0, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0. Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, έτσι και για τις πο- λυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυ- τού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 60.
    5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 177 Οιφυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογι- στή τσέπης, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν: Αλλαγή βάσης Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 10 και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΙΡΑ ΠΛΗΚΤΡΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ln325 325 ln0,37 0.37 Αν α,β>0 με α β, ≠1 , τότε για κάθε θ>0 ισχύει: Έστω ότι είναι log .β θ = x Τότε θ β= x , οπότε: log log log log logα α α β αθ β β θ β= = = ⋅x x (επειδή x = logβ θ ) Άρα έχουμε: log log log ,β α αθ β θ⋅ = οπότε log log log β α α θ θ β = ΣΧΟΛΙΟΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε: log log log β θ θ β = και log ln ln β θ θ β = Επομένως ο υπολογισμός του logβ θ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ. Για παράδειγμα είναι: Επειδή το σύμβολο logαθ ορίσθηκε μόνο όταν α > 0 με α ≠1 και θ > 0, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > 0 με α ≠1 και θ > 0 χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα. log log log ,2 17 17 2 4 087462841= = ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ*ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ* log log log β α α θ θ β = ΠΡΟΣΟΧΗ ! In = 5.783825172 0.994252273=In lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 61.
    5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ181 5. Να αποδείξετε ότι: * 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε x> 0 ισχύει: *7. Να αποδείξετε ότι: i) log logα ββ α⋅ =1 ii) log logα ββ α2 3 6⋅ = iii) log log logα β γβ γ α⋅ ⋅ =1 *8. Να αποδείξετε ότι: i) log logα α θ θ+ =1 0 ii) log ( ) log ( ) log ( ) log ( )α β α βαβ αβ αβ αβ+ = ⋅ log logα α x x= 2 2 5.3 ΛΟΓΑΡΙθΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η λογαριθμική συνάρτηση Έστω α ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας. Όπως είδαμε στην παράγραφο 4.2, για κάθε x>0 ορίζεται ο log .α x Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε x∈ +∞( , )0 στο log ,α x ορίζουμε τη συνάρτηση f :( , )0 +∞ → με f x x( ) log= α Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α. Ας θεωρήσουμε, τώρα, τη λογαριθμική συνάρτηση f x x( ) log .= α Επειδή log ,α αx y xy = ⇔ = αντοΜ(ξ,η)είναισημείοτηςγραφικήςπαράστασηςτηςσυνάρτησης y x= log ,α τότε το Ν(η,ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = αx και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, Μ(ξ,η) και Ν(η,ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xÔy και x Ô y.' ' Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και y = α x είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xÔy και x Ô y.' ' y x= logα lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 62.
    Τι είναι εκτόςύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 Β ΛΥΚΕΙΟΥ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 63.
    ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγήστην Ευκλείδεια Γεωµετρία 9 1.1 Το αντικείµενο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας....................................................... 10 1.2 Ιστορική αναδροµή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωµετρίας.......................... 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωµετρικά σχήµατα 15 2.1 Σηµεία, γραµµές και επιφάνειες ......................................................................... 16 2.2 Το επίπεδο.......................................................................................................... 16 2.3 Η ευθεία.............................................................................................................. 17 2.4 Η ηµιευθεία ........................................................................................................ 17 2.5 Το ευθύγραµµο τµήµα....................................................................................... 17 2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο.................................................................................. 18 2.7 Σύγκριση ευθύγραµµων τµηµάτων ................................................................... 18 2.8 Πράξεις µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων.......................................................... 19 2.9 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος - Απόσταση δύο σηµείων............................... 20 2.10 Σηµεία συµµετρικά ως προς κέντρο................................................................... 20 2.11 Ηµιεπίπεδα ......................................................................................................... 21 2.12 Η γωνία............................................................................................................... 22 2.13 Σύγκριση γωνιών ............................................................................................... 22 2.14 Ευθεία κάθετη από σηµείο σε ευθεία ................................................................ 24 2.15 Πράξεις µεταξύ γωνιών...................................................................................... 25 2.16 Απλές σχέσεις γωνιών........................................................................................ 25 2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου......................................................................... 28 2.18 Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου ..................................... 30 2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας .................................................................................... 33 2.20 Τεθλασµένη γραµµή - Πολύγωνο - Στοιχεία πολυγώνου................................. 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων ................................................................................ 40 3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 41 3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων......................................................................... 44 3.5 Ύπαρξη και µοναδικότητα καθέτου ................................................................... 49 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων......................................................... 49 3.7 Κύκλος - Μεσοκάθετος - ∆ιχοτόµος.................................................................. 55 3.8 Κεντρική συµµετρία............................................................................................ 56 3.9 Αξονική συµµετρία............................................................................................. 57 3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας .............................................................. 59 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 64.
    3.11 Ανισοτικές σχέσειςπλευρών και γωνιών........................................................... 60 3.12 Τριγωνική ανισότητα.......................................................................................... 60 3.13 Κάθετες και πλάγιες............................................................................................ 64 3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου ................................................................... 66 3.15 Εφαπτόµενα τµήµατα ......................................................................................... 68 3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων .............................................................................. 69 3.17 Απλές γεωµετρικές κατασκευές ......................................................................... 73 3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων........................................................................... 75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79 4.1 Εισαγωγή............................................................................................................ 80 4.2 Τέµνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτηµα ..................................................... 80 4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας....................................................................... 83 4.4 Γωνίες µε πλευρές παράλληλες......................................................................... 84 4.5 Αξιοσηµείωτοι κύκλοι τριγώνου........................................................................ 85 4.6 Άθροισµα γωνιών τριγώνου.............................................................................. 88 4.7 Γωνίες µε πλευρές κάθετες................................................................................. 89 4.8 Άθροισµα γωνιών κυρτού ν-γώνου .................................................................. 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 101 5.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 102 5.2 Παραλληλόγραµµα.......................................................................................... 102 5.3 Ορθογώνιο....................................................................................................... 105 5.4 Ρόµβος.............................................................................................................. 106 5.5 Τετράγωνο........................................................................................................ 107 5.6 Εφαρµογές στα τρίγωνα................................................................................... 109 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου...................................................................................... 112 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου................................................................................. 113 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου......................................................... 114 5.10 Τραπέζιο ........................................................................................................... 117 5.11 Ισοσκελές τραπέζιο........................................................................................... 118 5.12 Αξιοσηµείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου................................................... 121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραµµένα σχήµατα 127 6.1 Εισαγωγικά - Ορισµοί....................................................................................... 128 6.2 Σχέση εγγεγραµµένης και αντίστοιχης επίκεντρης........................................... 128 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτοµένης ....................................................................... 129 6.4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι στον κύκλο Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία ........................................................ 131 6.5 Το εγγεγραµένο τετράπλευρο.......................................................................... 135 6.6 Το εγγράψιµο τετράπλευρο ............................................................................. 136 6.7 Γεωµετρικοί τόποι και γεωµετρικές κατασκευές µε τη βοήθεια των γεωµετρικών τόπων........................................................... 140 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 65.
    ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες147 7.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 148 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη ............................................ 148 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων ...................................................................... 148 7.4 Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα - Αναλογίες................................................... 150 7.5 Μήκος ευθύγραµµου τµήµατος....................................................................... 151 7.6 ∆ιαίρεση τµηµάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσµένο λόγο .......... 151 7.7 Θεώρηµα του Θαλή......................................................................................... 154 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου............................................................. 160 7.9 Απολλώνιος Κύκλος........................................................................................ 163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Οµοιότητα 171 8.1 Όµοια ευθύγραµµα σχήµατα...........................................................................172 8.2 Κριτήρια οµοιότητας.................................................................................................... 173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 183 9.1 Ορθές προβολές .............................................................................................. 184 9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρηµα................................................................................. 184 9.3 Γεωµετρικές κατασκευές................................................................................... 188 9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήµατος....................................................... 190 9.5 Θεωρήµατα ∆ιαµέσων ..................................................................................... 196 9.6 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι ............................................................................... 197 9.7 Τέµνουσες κύκλου........................................................................................... 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εµβαδά 209 10.1 Πολυγωνικά χωρία .......................................................................................... 210 10.2 Εµβαδόν ευθύγραµµου σχήµατος - Ισοδύναµα ευθύγραµµα σχήµατα.......... 210 10.3 Εµβαδόν βασικών ευθύγραµµων σχηµάτων................................................... 211 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου ............................................................ 217 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων........................................... 220 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του.......................................... 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 229 11.1 Ορισµός κανονικού πολυγώνου ..................................................................... 230 11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων ................................................ 230 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους ........ 235 11.4 Προσέγγιση του µήκους του κύκλου µε κανονικά πολύγωνα ....................... 240 11.5 Μήκος τόξου .................................................................................................... 241 11.6 Προσέγγιση του εµβαδού κύκλου µε κανονικά πολύγωνα............................ 243 11.7 Εµβαδόν κυκλικού τοµέα και κυκλικού τµήµατος .......................................... 243 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου.................................................................................... 246 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 66.
    ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείεςκαι επίπεδα στο χώρο 255 12.1 Εισαγωγή.......................................................................................................... 256 12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισµός του................................................. 257 12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων ............................................................. 259 12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα - Θεώρηµα του Θαλή.................................. 263 12.5 Γωνία δύο ευθειών - Ορθογώνιες ευθείες....................................................... 267 12.6 Απόσταση σηµείου από επίπεδο - Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων.............................................................. 272 12.7 ∆ίεδρη γωνία - Αντίστοιχη επίπεδη µιας δίεδρης - Κάθετα επίπεδα ............... 275 12.8 Προβολή σηµείου και ευθείας σε επίπεδο - Γωνία ευθείας και επιπέδου ............................................................................. 280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήµατα 285 13.1 Περί πολυέδρων .............................................................................................. 286 13.2 Ορισµός και στοιχεία του πρίσµατος................................................................ 288 13.3 Παραλληλεπίπεδο - κύβος .............................................................................. 289 13.4 Μέτρηση πρίσµατος ......................................................................................... 290 13.5 Ορισµός και στοιχεία πυραµίδας ..................................................................... 296 13.6 Κανονική πυραµίδα - Τετράεδρο..................................................................... 298 13.7 Μέτρηση πυραµίδας ........................................................................................ 298 13.8 Ορισµός και στοιχεία κόλουρης πυραµίδας.................................................... 301 13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραµίδας................................................... 301 13.10 Στερεά εκ περιστροφής .................................................................................... 304 13.11 Ορισµός και στοιχεία κυλίνδρου ..................................................................... 304 13.12 Μέτρηση κυλίνδρου ........................................................................................ 305 13.13 Ορισµός και στοιχεία κώνου............................................................................ 307 13.14 Μέτρηση του κώνου ........................................................................................ 307 13.15 Κόλουρος κώνος.............................................................................................. 309 13.16 Ορισµός και στοιχεία σφαίρας ......................................................................... 311 13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα................................................. 312 13.18 Μέτρηση σφαίρας ............................................................................................ 313 13.19 Κανονικά πολύεδρα......................................................................................... 318 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A΄................................................................................................................... 323 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β΄ ................................................................................................................... 329 ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ............................................................................................ 332 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ................................................................................................................ 349 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ.................................................................................................... 352 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ..................................................................................................................... 355 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 67.
    148 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 7.1 Εισαγωγή Μέγεθος γενικά λέγεται οτιδήποτε επιδέχεται αύξηση ή ελάττωση. Γεωμετρικά μεγέθη λέγονται τα μεγέθη που εξετάζονται από τη Γεωμετρία. Τέτοια είναι τα ευθύγραμμα τμήματα, οι γωνίες, τα τόξα, οι επιφάνειες επίπεδων σχημά- των, οι όγκοι των στερεών κτλ. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τα απλούστερα γε- ωμετρικά μεγέθη, τα ευθύγραμμα τμήματα. Αρχικά θα διαιρέσουμε δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα μέρη. 7.2 ∆ιαίρεση ευθύγραµµου τµήµατος σε ν ίσα µέρη Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, το οποίο θέλουμε να διαι- ρέσουμε σε ν ίσα μέρη (ν ≥ 2). Φέρουμε τυχαία ημιευθεία Αx, διαφορετική από την ΑΒ και παίρνουμε με το διαβήτη πάνω σε αυτή ν διαδοχικά ίσα τμή- ματα ΑΜ1 = M1M2 = ... = Μν-1Μν. Έπειτα φέρουμε το τμήμα ΜνΒ και από τα σημεία Μ1, Μ2, ..., Μν-1 φέρουμε παράλληλες προς τη ΜνΒ που τέμνουν το ΑΒ στα σημεία Ρ1,Ρ2, ..., Ρν-1 αντίστοιχα. Οι παράλληλες αυ- τές, σύμφωνα με το θεώρημα III, §5.6, ορίζουν ν ίσα τμήμα- τα πάνω στην ΑΒ. Επομένως τα ν ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΡ1, Ρ1Ρ2, ..., Ρν-1Β είναι τα ζητούμενα. Στη συνέχεια θα ορίσουμε, γενικά, το γινόμενο ευθύγραμ- μου τμήματος με οποιονδήποτε ρητό αριθμό και το λόγο δύο ευθύγραμμων τμημάτων. 7.3 Γινόµενο ευθύγραµµου τµήµατος µε αριθµό - Λόγος ευθύγραµµων τµηµάτων • Όπως είδαμε στην §2.8, αν ΑΒ = α ευθύγραμμο τμήμα και ν φυσικός αριθμός, ονομάζουμε γινόμενο του τμήματος ΑΒ επί το φυσικό αριθμό ν το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ, το οποίο είναι το άθροισμα ν ευθύγραμμων τμημάτων ίσων προς το ΑΒ = α. Γράφουμε ΓΔ = ν ∙ ΑΒ. • Αν χωρίσουμε, όπως παραπάνω, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = α σε ν ίσα μέρη καθένα από τα ν ίσα τμήματα τα παριστάνουμε με ΑΒ ν ή 1 ν ∙ ΑΒ. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ λέγεται υποδιαίρεση (ή υποπολλαπλάσιο) του ΑΒ αν Σχήµα 1 A Ρ1 Ρ2 Ρν-1 Μ1 Μ2 Μν-1 Μν B x Σχήµα 2 α α α α ν φορές Γ Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 68.
    152 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Πράγματι, αν Μʹ εσωτερικό σημείο του ΑΒ ώστε ΜʹΑ ΜʹΒ = λ, τότε έχουμε: ΜΑ ΜΒ Μ Α Μ Β ΜΑ ΜΑ ΜΒ Μ Α Μ Α Μ Β = ′ ′ ⇔ + = ′ ′ + ′ ⇔ ⇔ = ′ ⇔ = ′ ΜΑ ΑΒ Μ Α ΑΒ ΜΑ Μ Α, οπότε το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Μʹ. Αν ΜΑ ΜΒ = λ, τότε ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΑ ΜΒ = ⇔ + = + ⇔ λ λ λ1 1 ΜΜΑΑ ΑΑΒΒ== ++ λλ λλ 1 και ΜΒ ΑΒ ΜΑ ΑΒ ΑΒ= − = − + ⇔ λ λ 1 ΜΜΒΒ ΑΑΒΒ== ++ 1 1λλ . 2) Αν Μ σημείο στην προέκταση του ευθύγραμμου τμή- ματος ΑΒ, τότε πάλι ο λόγος των αποστάσεών του από τα Α και Β ισούται με ΜΑ ΜΒ . Λέμε ότι το Μ διαιρεί εξωτε- ρικά το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο αν ΜΑ ΜΒ = λ. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και σε αυτή την περίπτωση, το σημείο Μ είναι μοναδικό. ∆ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ i) Αν λ = 1, τότε προφανώς δεν υπάρχει σημείο Μ που να διαιρεί εξωτερικά το ΑΒ σε λόγο λ = 1, αφού ΜΑ ≠ ΜΒ. Στην περίπτωση αυτή το Μ είναι το μέσο του ευθύ- γραμμου τμήματος. ii) Αν λ > 1, τότε ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ> ⇔ >1 , οπότε το Μ βρί- σκεται στην προέκταση του ΑΒ, προς το μέρος του Β (σχ.5). Στην περίπτωση αυτή έχουμε: ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΑΒ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔λ λ λ λ λ λ1 1 1 ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΑΒ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔λ λ λ λ λ λ1 1 1 ΜΜΑΑ ΑΑΒΒ== −− λλ λλ 1 και ΜΒ ΜΑ ΑΒ ΑΒ ΑΒ= − = − − ⇔ λ λ 1 ΜΜΒΒ ΑΑΒΒ== −− 1 1λλ . iii) Αν λ < 1 τότε ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ< ⇔ <1 , οπότε το Μ βρί- Σχήµα 5 x yA B Μ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 69.
    154 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 7.7 Θεώρηµα του Θαλή Είδαμε στην §5.6 ότι αν παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες και ορίζουν ίσα τμήματα πάνω στη μία, θα ορίζουν ίσα τμήματα και πάνω στην άλλη. Τα παραπάνω γενικεύονται για οποιονδήποτε λόγο στο επόμενο θεώρημα που είναι γνωστό ως θεώρημα του Θαλή. Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δυο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. ΘΕΩΡΗΜΑ Δηλαδή: Αν ε1//ε2//ε3, τότε ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ = ΑΓ ΕΗ (σχ.8α). Αν δ1//δ2//δ3, τότε ΚΛ ΕΖ = ΛΜ ΖΗ = ΚΜ ΕΗ (σχ.8β). ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Αν τα τμήματα ΑΒ και ΒΓ (σχ.9) είναι σύμμετρα, υπάρχει ευθύγραμμο τμήμα μ τέτοιο, ώστε ΑΒ = κμ και ΒΓ = λμ (1), όπου κ, λ φυσικοί αριθμοί. Διαιρούμε το τμήμα ΑΒ σε κ τμήματα ίσα με το μ και το ΒΓ σε λ τμήματα ίσα με το μ. Από τα σημεία που ορίζονται με τον παραπάνω τρό- πο φέρουμε ευθείες παράλληλες προς την ε1, οι οποίες τέμνουν τη δ2. Επειδή τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ1 είναι ίσα μεταξύ τους, τότε και τα τμήματα που ορίζονται πάνω στη δ2 θα είναι ίσα τμήματα, που το μήκος του καθενός ας είναι ν. Τότε θα έχουμε ΕΖ = κν και ΖΗ = λν (2). 2. Ο λόγος μιας γωνίας ω προς την παρα- πληρωματική της είναι 1 3 . Να βρεθεί η γωνία ω. 3. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 6, 3, 4. Αν η περί- μετρος του τριγώνου είναι 65cm, να βρε- θούν τα μήκη των πλευρών του. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες των αριθμών 2, 3 και 4. Να υπο- λογισθούν οι εσωτερικές του γωνίες. 2. Σε ευθεία ε παίρνουμε διαδοχικά τα ση- μεία Α, Β, Γ και Δ, ώστε ΑΒ = 6cm, ΒΓ = 12cm, ΓΔ = 2cm. Να βρεθεί σημείο Μ του ΒΓ, το οποίο διαιρεί εσωτερικά τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ στον ίδιο λόγο. 3. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ανα- λογιών, να διαιρέσετε δοσμένο τμήμα AB = α σε δύο τμήματα, τα οποία έχουν λόγο 3 4 . Σχήµα 8 ε1 ε2 ε3 ε ε α β δ1 δ2 A Ε B Ζ Γ Η Κ Ε Ζ Λ Η Μ δ1 δ2 δ3 Σχήµα 9 ε1 ε2 ε3 δ1 δ2 A Ε B Ζ Γ Η lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 70.
    155 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι: ΑΒ ΒΓ = κμ λμ = κ λ και ΕΖ ΖΗ = κν λν = κ λ , οπότε ΑΒ ΒΓ = ΕΖ ΖΗ ή ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ (3). Από την αναλογία (3) παίρνουμε: ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ = ΑΒ + ΒΓ ΕΖ + ΖΗ ή ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΖΗ = ΑΓ ΕΖ . ii) Αν τα τμήματα ΑΒ και ΒΓ είναι ασύμμετρα, ο λόγος ΑΒ ΒΓ είναι ασύμμετρος αριθμός. Αποδεικνύεται ότι και σε αυτή την περίπτωση ισχύει η προηγούμενη αναλογία. Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή. Θεωρούμε δύο ευθείες δ1 και δ2 που τέμνουν δύο παράλλη- λες ευθείες ε1 και ε2 στα σημεία Α, Β και Ε, Ζ αντίστοιχα. Αν Γ και Η είναι σημεία των ευθειών δ1 και δ2 αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΑΒ ΒΓ = ΕΖ ΖΗ , τότε η ευθεία ΓΗ είναι παράλ- ληλη προς τις ε1 και ε2 (σχ.9). ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη με μία από τις πλευ- ρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο άλλες πλευρές σε μέρη ανάλογα και αντίστροφα. ΠΟΡΙΣΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΕ//ΒΓ (σχ.10). Φέρουμε από την κορυφή Α ευθεία ε//ΒΓ//ΔΕ, οπότε από το θεώρημα του Θαλή προκύπτει ότι ΑΔ ΑΕ = ΔΒ ΕΓ . Μια σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή είναι το επόμενο θεώρημα. Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τρι- γώνου. ΘΕΩΡΗΜΑ Σχήµα 10 A Δ Ε B Γ ε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το παραπάνω πόρισμα ισχύει και στην περίπτωση που η ΔΕ τέμνει τις προεκτάσεις των πλευ- ρών του τριγώνου ΑΒΓ. Σχήµα 11 Ε Δ B Γ A lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 71.
    157 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ Δύο σημεία Γ και Δ, που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά το τμήμα ΑΒ στον ίδιο λόγο, λέγονται συζυγή αρμονικά των Α και Β (σχ.16). Δηλαδή τα Γ και Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α και Β, αν τα τέσσερα σημεία είναι συνευθειακά και ΓΑ ΓΒ = ΔΑ ΔΒ . Από τη σχέση αυτή παίρνουμε την αναλογία ΓΑ ΔΑ = ΓΒ ΔΒ ή ΑΓ ΑΔ = ΒΓ ΒΔ , από την οποία προκύπτει ότι και τα Α και Β είναι συζυγή αρμονικά των Γ και Δ. Τα τέσσερα σημεία (Α, Β) και (Γ, Δ) λέμε ότι αποτελούν αρμονική τετράδα. A B Γ Δ Σχήµα 16 ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ∆ΟΣΜΕΝΟ ΛΟΓΟ Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, εσωτερικά και εξωτερικά, σε δοσμένο λόγο μ ν , όπου μ, ν γνωστά τμήματα. Λύση Από το Α φέρουμε μια ημιευθεία Αx, πάνω στην οποία παίρνουμε τμήμα ΑΕ = μ. Από το Β φέρουμε ευθεία πα- ράλληλη της Αx και παίρνουμε πάνω σε αυτή εκατέρωθεν του Β τμήματα ΒΖ = ΒΗ = ν. Τα σημεία Γ και Δ στα οποία οι ευθείες ΕΗ και ΕΖ τέμνουν την ευθεία ΑΒ είναι τα ζητούμενα. Πράγματι, τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΓΗΒ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε: ΓΑ ΓΒ = ΑΕ ΒΗ = μ ν . Όμοια τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΔΒΖ έχουν ανάλογες πλευρές, οπότε: ΔΑ ΔΒ = ΑΕ ΒΖ = μ ν . • Αν μ = ν, το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι παραλληλόγραμ- μο, οπότε η ΕΖ δε δίνει σημείο Δ πάνω στην ΑΒ, ενώ το Γ είναι το μέσο του ΑΒ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ2 A B ΔΓ Η Ε μ ν ν x Ζ Ε A BΓ Ζ μ ν ν Η Σχήµα 14 Σχήµα 15 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Το Δ λέγεται αρμονικό συζυ- γές του Γ ως προς τα Α και Β. Όπως είδαμε παραπάνω, αν το Γ είναι το μέσο του ΑΒ, το Δ δεν υπάρχει. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 72.
    159 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ Οι παράλληλες από τα Δ και Ε προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα τέμνουν την ΑΒ στο Ζ και την ΑΓ στο Η. Να αποδείξετε ότι ΖΗ//ΒΓ. 7. Από τυχαίο σημείο Κ της διαμέσου ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΒ και ΑΓ, που τέμνουν τη ΒΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΔ = ΜΕ. 8. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και Ε το μέσο της μικρής βάσης ΑΒ. Αν η ΔΕ τέ- μνει την ΑΓ στο Ζ και την προέκταση της ΓΒ στο Η, να αποδείξετε ότι τα Ζ, Η είναι συζυγή αρμονικά των Δ, Ε. 9. Δεξαμενή ύψους υ = 12m περιέχει νερό που φτάνει σε ύψος h. Ράβδος μήκους 15m τοποθετείται στη δεξαμενή, όπως στο παρακάτω σχήμα. Βγάζουμε τη ράβδο και παρατηρούμε ότι το τμήμα που βρέχτηκε έχει μήκος 10m. Μπορούμε να υπολογί- σουμε το ύψος h του νερού; { {12m h Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Αν τα Γ, Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β και Ο είναι το μέσο του ΑΒ, να αποδείξε- τε ότι τα Γ και Δ βρίσκονται προς το ίδιο μέρος του Ο. 2. Να διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα AB = a σε τμήματα x, y, ω τέτοια, ώστε 4x=6y= 3ω. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ- κλο (Ο, R) και έστω Δ η τομή της διαμέ- τρου ΑΕ με τη ΒΓ. Αν Ζ και Η είναι οι προβολές του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοι- χα, να αποδείξετε ότι ΖΗ//ΒΓ. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ση- μείο Ε της ΔΒ τέτοιο, ώστε ΔΕ = 1 5 ΔΒ. Αν η ΓΕ τέμνει την ΑΔ στο Ζ, να αποδεί- ξετε ότι ΑΖ = 3ΔΖ. 5. Από την κορυφή Β παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρουμε ευθεία ε, που τέμνει την πλευρά ΑΔ στο Ε και την προέκταση της ΓΔ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΔΑ ΔΕ – ΔΓ ΔΖ = 1. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε της ΒΓ ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ. Η παράλλη- λη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει τη διάμεσο ΑΜ στο Κ. Να αποδείξετε ότι: i) Το Κ είναι το βαρύκεντρο του τριγώ- νου ΑΒΓ. ii) ΚΕ//ΑΓ. 7. Τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) οι διαγώνιες ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο Ο. Από το Ο φέ- ρουμε παράλληλες προς τις ΑΔ, ΒΓ που τέμνουν τη ΔΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΓΖ. Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ώστε ΔΑ ΔΒ = ΕΓ ΕΑ . Να αποδείξετε ότι τα μέσα Κ, Λ, Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντίστοιχα, είναι συνευ- θειακά σημεία. 2. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τυχαία ευθεία, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΖΑ ∙ ΗΓ = ΗΑ ∙ ΖΒ. 3. Δίνεται ευθεία ε, τέσσερα διαδοχικά ση- μεία της Α, Γ, Β, Δ και σημείο Ο εκτός αυ- τής. Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΟΑ, η οποία τέμνει τις ΟΓ, ΟΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα Γ, Δ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Β, αν και μόνο αν ΒΕ = ΒΖ. 4. Αν ένα σημείο Δ χωρίζει εσωτερικά την πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ σε λόγο λ και ένα σημείο Ε χωρίζει εσωτερικά το ΑΔ σε λόγο κ, να υπολογισθεί ο λόγος στον οποίο χωρί- ζει η ευθεία ΒΕ την πλευρά ΑΓ. 5. Η εφαπτομένη ενός κύκλου σε σημείο του Μ τέμνει τις εφαπτόμενες στα άκρα Α, Β μιας διαμέτρου του ΑΒ, στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Αν Κ είναι το σημείο τομής των ΒΓ, ΑΔ, να αποδείξετε ότι ΜΚ⊥ΑΒ. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 73.
    160 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 7.8 Θεωρήµατα των διχοτόµων τριγώνου Θα μελετήσουμε εδώ, ως εφαρμογές του θεωρήματος του Θαλή, βασικές ιδιότητες της εσωτερικής και εξωτερικής δι- χοτόμου γωνίας τριγώνου. Η διχοτόμος μιας γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά εσωτερικά σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκεί- μενων πλευρών. ΘΕΩΡΗΜΑ (εσωτερικής διχοτόµου τριγώνου) Δηλαδή, αν ΑΔ διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ . ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ (σχ.18). Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΔ, που τέμνει την προέ- κταση της ΑΓ στο Ε. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρίγω- νο ΓΕΒ έχουμε ΔΒ ΔΓ = ΑΕ ΑΓ (1). Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΕ = ΑΒ. Πράγματι: Â1 = B̂ 1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ), Â2 = Ê (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΔ και ΒΕ), Â1 = Â2 (ΑΔ διχοτόμος), οπότε B̂ 1 = Ê άρα ΑΕ = ΑΒ (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ . Επειδή το σημείο Δ που διαιρεί την πλευρά ΒΓ σε λόγο ΑΒ ΑΓ είναι μοναδικό, το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: Αν τοΔείναι σημείο της πλευράς ΒΓ και ισχύει ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ τότε η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Â. Σχήµα 17 1 2 A B ΓΔ Σχήµα 18 1 1 2 A B ΓΔ Ε lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 74.
    161 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ ► Υπολογισµός των ευθύγραµµων τµηµάτων, στα οποία διαιρεί η διχοτόµος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α, β, γ. Στο σχ.18 θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Δ από τα Β και Γ. Η προηγούμενη αναλογία γράφεται: ΔΒ ΔΓ = γ β ή ΔΒ ΔΒ + ΔΓ = γ β + γ ή ΔΒ α = γ β + γ οπότε ΔΒ = αγ β + γ . Όμοια βρίσκουμε ΔΓ = αβ β + γ . Η διχοτόμος μιας εξωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την προέκταση της απέναντι πλευράς σε ένα σημείο, το οποίο διαιρεί εξωτερικά την πλευρά αυτή σε λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. ΘΕΩΡΗΜΑ (εξωτερικής διχοτόµου τριγώνου) Δηλαδή, αν η ΑΕ είναι εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει ότι: ΕΒ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ . ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και η εξωτερική διχοτόμος του ΑΕ (σχ.20). Από το Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΕ, που τέμνει την ΑΓ στο Ζ. Από το θεώρημα του Θαλή στο τρί- γωνο ΓΑΕ έχουμε ΕΒ ΕΓ = ΑΖ ΑΓ (1). Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να αποδείξουμε ότι ΑΖ = ΑΒ. Πράγματι: Â1 = B̂ 1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ), Â2 = Ẑ1 (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΕ και ΒΖ), Â1 = Â2 (ΑΕ εξωτερική διχοτόμος), οπότε B̂ 1 = Ẑ1 άρα ΑΕ = ΑΒ (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι ΕΒ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ . Σχήµα 19 1 2 A B ΓΕ Σχήµα 20 1 1 1 2 2 A B Γ Ε Ζ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 75.
    162 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν Δ και Ε είναι τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Â, τριγώνου ΑΒΓ, στην απέναντι πλευρά, θα είναι ΔΒ ΔΓ = ΑΒ ΑΓ και ΕΒ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ , οπότε ΔΒ ΔΓ = ΕΒ ΕΓ . Δηλαδή τα ίχνη Δ και Ε των δύο διχοτόμων είναι σημεία συζυγή αρμονικά ως προς τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ. Σχήµα 21 1 23 4 A B ΓΔΕ Το θεώρημα ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή: Αν το Ε είναι σημείο της προέκτασης της πλευράς ΒΓ και ισχύει ΒΕ ΕΓ = ΑΒ ΑΓ , τότε η ΑΕ είναι η εξωτερική διχοτό- μος της γωνίας Â. ► Υπολογισµός των ευθύγραµµων τµηµάτων στα οποία διαιρεί η εξωτερική διχοτόµος την απέναντι πλευρά ως συνάρτηση των α, β, γ. Στο σχ.20 θέλουμε να υπολογίσουμε τις αποστάσεις του Ε από τα Β και Γ. Η προηγούμενη αναλογία γράφεται: ΕΒ ΕΓ = γ β ή ΕΒ ΕΓ – ΕΒ = γ β – γ ή ΕΒ α = γ β – γ , οπότε ΕΒ = αγ β – γ . Όμοια βρίσκουμε ότι ΕΓ = αβ β – γ . ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το σημείο Ε βρίσκεται προς το μέρος της μικρότερης πλευράς. Πράγ- ματι αν β > γ τότε B̂ > Γ̂ οπότε Γ̂ = φ > 0. Αρκεί να αποδείξουμε ότι Â1 + B̂ 2 < 180° . Έχουμε Â1 = Âεξ 2 = B̂ + Γ̂ 2 και B̂ 2 = 180° – B̂ , οπότε Â1 + B̂ 2 = 180° – B̂ + B̂ 2 + Γ̂ 2 = 180° – ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ B̂ – Γ̂ 2 = 180° – φ 2 < 180°. Αν ΑΒ = ΑΓ, τότε το Ε δεν υπάρχει. (Εφαρμογή 1 - §4.8) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 76.
    163 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ 7.9 Απολλώνιος Κύκλος Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που οι αποστάσεις τους από δύο ορισμένα σημεία Α και Β του επιπέδου έχουν γνωστό λόγο μ ν ≠ 1. Λύση Έστω δύο δεδομένα σημεία Α, Β και Μ τυχαίο ση- μείο του τόπου με την ιδιότητα ΜΑ ΜΒ = μ ν (1). Φέρουμε την εσωτερική διχοτόμο ΜΓ και την εξωτε- ρική διχοτόμο ΜΔ του τριγώνου ΜΑΒ. Τότε ΓΑ ΓΒ = ΜΑ ΜΒ = μ ν (2) και ΔΑ ΔΒ = ΜΑ ΜΒ = μ ν (3). Δηλαδή, τα σημεία Γ και Δ είναι ορισμένα, αφού χωρίζουν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο μ ν . Ακόμα είναι ΓM̂ Δ = 90°, επειδή οι ΜΓ και ΜΔ είναι διχοτόμοι των δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών ΑM̂ Β και ΒM̂ Η. Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο με διάμετρο το τμήμα ΓΔ. Αντίστροφα: Έστω Ν ένα σημείο του κύκλου με διάμετρο το τμήμα ΓΔ. Τότε ΓN̂ Δ = 90°. Θα αποδείξουμε ότι ΝΑ ΝΒ = μ ν . Από το Β φέρουμε ΒΕ//ΓΝ, οπότε στο τρίγωνο ΑΒΕ είναι ΝΑ ΝΕ = ΓΑ ΓΒ ή λόγω της (2) ΝΑ ΝΕ = μ ν (4). Επίσης φέρουμε ΒΖ//ΔΝ, οπότε στο τρίγωνο ΑΔΝ είναι ΝΑ ΝΖ = ΔΑ ΔΒ ή λόγω της (3) ΝΑ ΝΖ = μ ν (5). Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει ότι ΝΑ ΝΕ = ΝΑ ΝΖ , οπότε ΝΕ = ΝΖ, δηλαδή το Ν είναι μέσο του ΕΖ. Επειδή ΓN̂ Δ = 90° και ΒΕ//ΓΝ, ΒΖ//ΔΝ, θα είναι και EB̂ Z = 90°, δηλαδή το τρίγωνο ΕΒΖ είναι ορθογώνιο στο B̂ με διάμεσο ΒΝ, οπότε ΝΒ = ΝΕ = ΝΖ (6). Από τις σχέσεις (4) και (6) έχουμε ΝΑ ΝΒ = μ ν . Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με διάμετρο ΓΔ. Κατασκευή: Αν δοθούν τα σημεία Α και Β και ο λόγος μ ν , διαιρούμε το τμήμα ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο μ ν , όπως στο πρόβλημα 2, §7.7 και βρίσκουμε τα Γ και Δ. Στη συνέχεια γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο ΓΔ. Διερεύνηση: Αν είναι μ ν = 1, τότε ΜΑ ΜΒ = 1 ή ΜΑ = ΜΒ. Άρα το Μ ισαπέχει από τα Α και Β, οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ A B Γ Δ Ε Ζ Ν Η Μ Σχήµα 22 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 77.
    165 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 7 . Α Ν Α Λ Ο Γ Ι Ε Σ 1. Δίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους ΔΕ και την ΑΒ κάθετη στη ΔΕ. Να αποδείξετε ότι AB R R = + 2 ρ ρ . 2. Μια μεταβλητή ευθεία ε διέρχεται από το βαρύκεντρο Θ ενός τριγώνου ΑΒΓ και τέ- μνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα Δ, Ε αντίστοι- χα. Να αποδείξετε ότι ∆Β ∆Α ΕΓ ΕΑ + = 1. 3. i) Θεώρημα Μενελάου. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε που τέμνει τις ευθείες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ στα Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ∆Α ∆Β ΕΒ ΕΓ ΖΓ ΖΑ ⋅ ⋅ = 1. ii) Θεώρημα Ceva. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ των ευθειών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, αντίστοιχα. Αν οι ευθείες ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ συντρέχουν, τότε ισχύει: ∆Β ∆Γ ΕΓ ΕΑ ΖΑ ΖΒ ⋅ ⋅ = 1. Να εξετασθεί και για τα δύο θεωρήματα, αν ισχύει το αντίστροφο. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Δίνονται οι διαδοχικές γωνίες xÔy = yÔz = zÔt = 45° και τα σημεία Α, Δ των Οx, Ot αντίστοιχα, τέτοια ώστε OA = ΟΔ. Αν Β, Γ είναι τα σημεία τομής της ΑΔ με τις Oy, Οz αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΑΒ 2 = ΒΓ ∙ΑΔ. 2. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ ενός τρι- γώνου ΑΒΓ φέρουμε την παράλληλη στη διχοτόμο του ΑΔ, που τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΑΔ και το έγκεντρό του I. i) Να υπολογισθεί ο λόγος ΑΙ ΙΔ , ως συ- νάρτηση των πλευρών α, β, γ του τρι- γώνου. ii) Αν β + γ = 2α και Κ το βαρύκεντρο του τριγώνου, τότε: α) ΙΚ//ΒΓ β) ΖΕ = +β γ 3 , όπου Ζ, Ε τα σημεία τομής των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα με την ευθεία ΙΚ. 4. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών B̂ και Γ̂ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τέμνουν τη διάμεσό του ΑΜ στα Δ και Ε αντίστοιχα, να αποδείξε- τε ότι Α∆ ∆Μ ΑΕ ΕΜ + > 2. 5. Οι μη παράλληλες πλευρές τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) τέμνονται στο Ο. Αν η δι- χοτόμος της γωνίας ΑÔΒ τέμνει τις ΑΒ, ΓΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) ΖΔ∙ΒΓ = ΖΓ∙ΑΔ , ii) ΕΑ∙ΒΓ = ΕΒ∙ΑΔ . Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ- κλο (Ο, R). Αν η κάθετη διάμετρος ΚΛ στη ΒΓ τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Ε, Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρ- μονικά των Κ, Λ. 2. Αν οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών τε- τραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται πάνω στη δια- γώνιο που ενώνει τις δύο άλλες κορυφές του, τότε είναι ΑΒ ∙ ΓΔ = ΑΔ ∙ ΒΓ. Να εξε- τασθεί αν ισχύει η αντίστροφη πρόταση. 3. Δίνεται τόξο A͡ B κύκλου (Ο, R). Να ορί- σετε σημείο Μ του τόξου A͡ B, τέτοιο ώστε ΜΑ ΜΒ = μ ν , όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ αντίστοιχα, ώστε ΔΕ = ΒΖ. Αν Η είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΔΖ, να αποδεί- ξετε ότι η ΓΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΓ̂ Δ. 5. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ = α, ύψος ΑΗ = υ και ΑΒ ΑΓ = μ ν , όπου μ, ν δοσμένα τμήματα. ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 78.
    173 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ (ανάλογα αποδεικνύεται για ευθύγραμμα σχήματα με περισσότερες κορυφές). Λόγω της ομοιότητας θα έχουμε ότι ΑʹΒʹ ΑΒ = ΒʹΓʹ ΒΓ = ΓʹΔʹ ΓΔ = ΔʹΕʹ ΔΕ = ΕʹΑʹ ΕΑ = λ, και από τις ιδιότητες των αναλογιών, το άθροισμα των αριθ- μητών προς το άθροισμα των παρονομαστών ισούται με λ, δηλαδή: ΑʹΒʹ+ ΒʹΓʹ+ ΓʹΔʹ+ ΔʹΕʹ+ ΕʹΑʹ ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΑ = λ. 8.2 Κριτήρια οµοιότητας Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με την ομοιότητα των τριγώνων, καθώς αποδεικνύεται (εφαρμογή 3) ότι δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι (1ο Κριτήριο Οµοιότητας) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με Â = Âʹ, B̂ = B̂ ʹ, οπότε και Γ̂ = Γ̂ ʹ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, επομένως υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ τέτοιο, ώστε ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από τη Βʹʹ φέρουμε παράλ- ληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ. Τότε τα τρίγω- να ΑΒʹʹΓʹʹκαι ΑΒΓ είναι όμοια, αφού ισχύει ότι ΒʹʹΓʹʹ//ΒΓ, οπότε ΑΒʹʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ = ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ και η Â είναι κοινή, ενώ B̂ ʹʹ = B̂ οπότε και Γ̂ ʹʹ = Γ̂ . Όμως τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, καθώς έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες. Συνεπώς τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι όμοια. i) Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν μία οξεία γωνία τους ίση. ii) Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους. iii) Δύο ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν μία αντίστοι- χη γωνία ίση, είναι όμοια. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ A B Γ Δ Ε A B Γ Δ Ε Σχήµα 3 A B Γ A B Γ Β Γ Σχήµα 4 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 79.
    174 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ (2ο Κριτήριο Οµοιότητας) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.4) έτσι, ώστε Â = Âʹ και ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεω- ρούμε ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, επομένως θα υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ, με ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από το Βʹʹ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ. Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑΒΓ είναι όμοια. Επειδή ΑΒΓ ≈ ΑΒʹʹΓʹʹ είναι ΑΒʹʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ ή ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ . Όμως, από την υπόθεση ισχύει ότι ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ . Επομένως καταλήγουμε ότι ΑΓʹʹ ΑΓ = ΑʹΓʹ ΑΓ ή ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ. Τελικά τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα, καθώς έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙΙ (3ο Κριτήριο Οµοιότητας) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.4), ώστε ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ = ΒʹΓʹ ΒΓ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ΑʹΒʹ < ΑΒ , επομέ- νως θα υπάρχει σημείο Βʹʹ στην ΑΒ, με ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ. Από το Βʹʹ φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Γʹʹ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑΒΓ είναι όμοια. Επειδή ΑΒΓ ≈ ΑΒʹʹΓʹʹ είναι ΑΒʹʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ = ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ ή ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑΓʹʹ ΑΓ = ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ . ΣΧΟΛΙΟ Το θεώρημα που εκφράζει ότι δύο όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτε- λούν τους βασικούς συνδετικούς κρίκους της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα. Η σύνδεση της Γεωμε- τρίας με την Άλγεβρα είναι ιδι- αίτερα εποικοδομητική, καθώς μας επιτρέπει να χρησιμοποιού- με την εποπτεία της Γεωμετρίας σε αλγεβρικά προβλήματα και την ευχέρεια των πράξεων της Άλγεβρας σε γεωμετρικά προ- βλήματα. Τα όμοια τρίγωνα και το Πυθαγόρειο θεώρημα απο- τέλεσαν τα θεμέλια της Τριγω- νομετρίας. Χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα μπορούμε να υπολογίσουμε τις διαστάσεις ενός αντικειμένου μετρώντας τις διαστάσεις ενός μικρότερου μοντέλου του. Το μοντέλο αυτό θα έχει τις ίδιες γωνίες με το αρχικό, επομένως οι διαστάσεις του αρχικού προκύπτουν αν πολ- λαπλασιάσουμε τις αντίστοιχες διαστάσεις του μοντέλου με το λόγο ομοιότητας των δύο σχη- μάτων. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 80.
    175 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α Ας θεωρήσουμε δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ, ΑʹΒʹΓʹ με λόγο ομοιότητας λ και ση- μεία Μ της ΒΓ, Μʹ της ΒʹΓʹ τέτοια, ώστε ΒΜ ΜΓ = ΒʹΜʹ ΜʹΓʹ . Τότε ισχύει ότι ΑΜ ΑʹΜʹ = ΒΜ ΒʹΜʹ = ΓΜ ΓʹΜʹ = λ. Απόδειξη Έστω ότι ΑʹΒʹ < ΑΒ, οπότε θα υπάρχει σημείο Βʹʹ της ΑΒ τέτοιο, ώστε ΑΒʹʹ = ΑʹΒʹ και σημείο Γʹʹ της ΑΓ τέτοιο, ώστε ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ, με ΒʹʹΓʹʹ//ΒΓ. Έστω σημείο Μʹʹ της ΒʹʹΓʹʹ τέτοιο, ώστε ΒʹʹΜʹʹ = ΒʹΜʹ. Προεκτείνουμε την ΑΜʹʹ ώστε να τμήσει τη ΒΓ σε σημείο Ε. Τότε τα τρίγωνα ΑΒʹʹΜʹʹ και ΑΒΕ είναι όμοια, οπότε ΑΒʹʹ ΑΒ = ΒʹʹΜʹʹ ΒΕ = ΑΜʹʹ ΑΕ ή λ = ΒʹΜʹ ΒΕ = ΑʹΜʹ ΑΕ . A B Γ A B Γ Μ Μ Ε Β Μ Γ Σχήµα 5 Όμοια έχουμε ότι λ = ΜʹΓʹ ΕΓ = ΑʹΜʹ ΑΕ . Οπότε ΒʹΜʹ ΜʹΓʹ = ΒΕ ΕΓ = ΒΜ ΜΓ , συνεπώς τα Ε και Μ ταυτίζονται. ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η Όμως από την υπόθεση έχουμε ότι ΑʹΒʹ ΑΒ = ΑʹΓʹ ΑΓ = ΒʹΓʹ ΒΓ . Επομένως προκύπτει ότι ΑΓʹʹ ΑΓ = ΑʹΓʹ ΑΓ και ΒʹʹΓʹʹ ΒΓ = ΒʹΓʹ ΒΓ , οπότε ΑΓʹʹ = ΑʹΓʹ και ΒʹʹΓʹʹ = ΒʹΓʹ. Άρα τα τρίγωνα ΑΒʹʹΓʹʹ και ΑʹΒʹΓʹ είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 81.
    176 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α i) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων υψών τους. ii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διχοτόμων τους. iii) Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο δύο ομόλογων διαμέσων τους. ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Πόσο ύψος έχει το σχολείο σας; Λύση 12m 6cm A B A B Γ Δ z y x Γ Σχήµα 6 Ένας μαθητής βλέπει την κορυφή Γ του σχολείου από δύο σημεία Α και Β στο έδαφος (σχ.6). Χρησιμοποιώντας έναν εξάντα (βλ. επόμενη παράγραφο) μετράει τις γωνίες Â, B̂ με τις οποίες φαίνεται το σχολείο, π.χ. Â = 19° και B̂ = 43°. Κατόπιν μετράει την απόσταση από το σημείο Α ως το Β, π.χ. ΑΒ = 12 μέτρα. Η μέτρηση των γωνιών έγινε από κάποια απόσταση από το έδαφος ίση με το ύψος του μαθητή, ας υποθέσουμε ότι έχει ύψος 1,8 μέτρα. Για να υπολογίσουμε το ύψος του σχολείου κατασκευάζουμε σε μία κόλλα χαρτί το αντίστοιχο μοντέλο. Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα AʹBʹ = 6 cm. Προεκτείνουμε την ΑʹΒʹ προς το μέρος του Βʹ και σχηματίζουμε στο ίδιο ημιεπίπεδο δύο γωνίες xÂʹy = 19° και xB̂ ʹz = 43°. Οι ημιευθείες Aʹy και Bʹz τέμνονται στο σημείο Γʹ. Από το σημείο Γʹ φέρουμε την κάθετη ΓʹΔʹ στην ΑʹΒʹ και έχουμε κατασκευάσει το μοντέλο μας. Μετράμε ότι το ΓʹΔʹ ισούται με 3,3 cm. Ο λόγος ομοιότητας είναι λ = ΑΒ ΑʹΒʹ = 200. Επομένως το πραγματικό μήκος του ΓΔ είναι ΓΔ = λΓʹΔʹ = 6,6 μέτρα. Προσθέτοντας και το ύψος του μαθητή, έχουμε ότι το πραγματικό ύψος του σχολείου είναι 8,4 μέτρα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ2η ΣΧΟΛΙΟ Με τη χρήση της ομοιότητας μπορούμε να μετρήσουμε μήκη ευθύ- γραμμων τμημάτων που είναι απρόσιτα. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 82.
    177 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α Ο ΕΞΑΝΤΑΣ Το διπλανό σχήμα εκφράζει τη λειτουργία του εξάντα, δηλαδή μας παρουσιάζει έναν απλό μηχανισμό για να μετράμε τις γωνίες υπό τις οποίες φαίνεται ένα σχήμα. Για να κατασκευασθεί χρειάζεται ένα ίσιο ξύλο, ένα μοιρογνωμόνιο, μία χορδή (κιθάρας) ή πετο- νιά, ένα βαράκι (νήμα της στάθμης) και δύο ανθρώπους, έναν για να βλέπει το αντικεί- μενο και έναν για να διαβάζει τη μέτρηση. ΣΧΟΛΙΟ Παλιά οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι για να επιλύουν τέτοιου είδους προβλήματα ήταν αρκετό να έχουν έναν πίνακα με τρίγω- να και τις διαστάσεις τους, οπότε θα αρκούσε να μελετούν τον πίνακα παρά να κατασκευά- ζουν μοντέλα των τριγώνων που προέκυπταν από φυσικά προβλήματα. Παρατήρησαν ότι αρκεί ο πίνακας αυτός να έχει μόνο ορθογώνια τρίγωνα αφού κάθε τρίγωνο διαμερίζεται σε δύο ορθογώνια (σχ.8). Ένας τέτοιος πίνακας είναι οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων: τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 1. Πρακτικά τα αποτελέσματα από την τριγωνομετρία είναι ακριβέστερα από αυτά που προκύπτουν από μέτρηση και κατασκευή μοντέλου, όπως προηγουμένως. Ωστόσο οι τριγωνομετρικοί πίνακες δεν είναι τίποτε άλλο, παρά πίνακες όμοιων τριγώνων. Ζητούμενη γωνία Οριζόντια γραμμή Εξάντας Βαράκι θ Σχήµα 7 Σχήµα 8 Να αποδείξετε ότι δύο όμοια ευθύγραμ- μα σχήματα χωρίζονται σε ισάριθμα όμοια τρίγωνα. Απόδειξη Θα αποδείξουμε την εφαρμογή για δύο πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ, κα- θώς η απόδειξη είναι ανάλογη για κάθε πολύγωνο. Ας υποθέσουμε ότι τα δύο πεντάγωνα εί- ναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ. Από τις κορυφές Α, Αʹ των πενταγώνων φέρουμε τις διαγωνίους ΑΓ, ΑΔ και ΑʹΓʹ, ΑʹΔʹ αντίστοιχα, οπότε κάθε πεντάγωνο χωρίσθηκε σε τρία τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΕ και ΑʹΒʹΓʹ, ΑʹΓʹΔʹ, ΑʹΔʹΕʹ αντίστοιχα. Τότε έχουμε ότι ΑΒΓ ≈ ΑʹΒʹΓʹ και ΑΔΕ ≈ ΑʹΔʹΕʹ. Επομένως, θα είναι και Γ̂ 1 = Γ̂ ʹ1 και ΑΓ ΑʹΓʹ = λ. Τότε όμως θα έχουμε ότι Γ̂ 2 = Γ̂ ʹ2 (αφού Γ̂ = Γ̂ ʹ) και ΓΔ ΓʹΔʹ = λ. Επομένως και τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑʹΓʹΔʹ θα είναι όμοια. ΕΦΑΡΜΟΓΗ3η 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 3 3 A B Γ Δ Ε A B Γ Δ Ε Σχήµα 9 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 83.
    179 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 8 . Ο Μ Ο Ι Ο Τ Η Τ Α 7. Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες; Αιτιολογήστε την απά- ντησή σας. A 6 12 7 2 4 3 B Γ Δ Ε Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊). Από τυχαίο σημείο Δ της ΑΓ φέρουμε ΔΕ⊥ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΓ είναι όμοια, ii) ΑΓ∙ΕΔ = ΑΒ∙ ΕΓ. 2. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ θε- ωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ = 1 3 ΑΒ και ΓΕ = 2 3 ΑΓ. Να αποδεί- ξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια, ii) ΒΓ = 3ΔΕ. 3. Μία μεταλλική πλάκα έχει σχήμα ορθογώ- νιου τριγώνου με πλευρές α, β, γ. Η πλάκα θερμαίνεται και από τη διαστολή αυξάνε- ται κάθε πλευρά της κατά το 1 15 της. Θα παραμείνει ορθογώνιο τρίγωνο το σχήμα της πλάκας; 4. Ένα δέντρο ρίχνει κάποια στιγμή σε ορι- ζόντιο έδαφος σκιά μήκους 24m. Στο ίδιο σημείο, την ίδια στιγμή, μια κατακόρυφη ράβδος μήκους 2m ρίχνει σκιά μήκους 3m. Να βρεθεί το ύψος του δέντρου. 5. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: i) ΑΔ2 = ΔΒ ∙ ΔΓ, ii) ΑΒ2 = ΒΔ ∙ ΒΓ, iii) ΑΒ ∙ ΑΓ = ΑΔ ∙ ΒΓ. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ- κλο (O, R) και οι ευθείες Αx και Αy που σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις ΑΒ και ΑΓ και τέμνουν τη ΒΓ και τον κύκλο αντίστοι- χα στα Δ και Ε. Να αποδείξετε ότι ΑΔ ∙ ΑΕ = ΑΒ ∙ ΑΓ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. O παρατηρητής ΑΒ βλέπει το φως του λα- μπτήρα Γ μέσα από τον καθρέπτη Κ. Να υπολογίσετε το ύψος του φανοστάτη ΔΓ, όταν είναι ΔΚ=3m, ΑΚ=2m και το ύψος του παρατηρητή 1,70m. (Είναι γνωστό από τη Φυσική ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης). Γ Δ Κ Β Α x 3m 2m 1.70m 2. Να αποδείξετε ότι: i) δύο παραλληλόγραμμα είναι όμοια, αν δύο διαδοχικές πλευρές του ενός είναι ανάλογες προς δύο διαδοχικές πλευρές του άλλου και οι γωνίες των πλευρών αυτών είναι ίσες, ii) δύο ορθογώνια με ίση τη γωνία των διαγωνίων τους είναι όμοια. 3. Θεωρούμε τους κύκλους (O1, R1) και (O2, R2) που τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν οι εφαπτόμενες στο Α τέμνουν τους κύκλους στα Α1 και Α2 αντίστοιχα, να απο- δείξετε ότι ΑΒ 2 = ΒΑ1 ∙ ΒΑ2. 4. Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι τα ύψη και Η το ορθόκεντρο τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι ΗΔ ∙ ΗΑ = ΗΒ ∙ ΗΕ = ΗΓ ∙ ΗΖ. 5. Από το μέσο Μ του τόξου A͡ B φέρουμε τις χορδές ΜΔ και ΜΖ, που τέμνουν τη χορδή ΑΒ στα Δʹ και Ζʹ αντίστοιχα. Να αποδει- χθεί ότι ΜΔ ∙ ΜΔʹ = ΜΖ ∙ ΜΖʹ. 6. Σε ορθογώνιο τραπέζιο (Â = Δ̂ = 1⌊) οι διαγώνιοι είναι κάθετες. Να αποδείξετε ότι το ύψος του είναι μέσο ανάλογο των βάσεων. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 84.
    180 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σύνθετα Θέµατα 1. Να αποδείξετε ότι δύο τραπέζια με ανά- λογες βάσεις και τις προσκείμενες σε δύο ομόλογες βάσεις τους γωνίες ίσες μία προς μία, είναι όμοια. 2. Έστω δοσμένη γωνία xÔy και σημείο Μ. O τυχαίος κύκλος που διέρχεται από τα O και Μ τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΜΒ ΜΓ = d dʹ , όπου d, dʹ είναι οι αποστά- σεις του Μ από τις Ox, Οy, αντίστοιχα. 3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Η διχοτόμος της γω- νίας Γ̂ τέμνει το ΑΔ στο Ζ και η διχοτόμος της ΔÂΒ τέμνει τη ΒΓ στο Ε. Να αποδεί- ξετε ότι ΖΕ//ΑΒ. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B̂ – Γ̂ = 1⌊ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ 2 = ΔΒ ∙ ΔΓ. 5. Η διχοτόμος ΑΔ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέ- μνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε. Να αποδείξετε ότι: i) AB ∙ ΑΓ = ΑΔ ∙ ΑΕ, ii) ΕΒ 2 = ΕΑ ∙ ΕΔ. 1. Έστω δοσμένος κύκλος (Ο, R) και ση- μείο Α στο εξωτερικό του κύκλου. Από το Α φέρουμε την εφαπτομένη ΑΤ και την τέμνουσα ΑΒΓ. Να αποδειχθεί ότι AΒ AΓ = TB2 TΓ 2 . 2. Από σημείο Α φέρουμε τις εφαπτόμενες ΑΒ και ΑΓ κύκλου (Ο, R) και τυχαία τέ- μνουσα ΑΔΕ. Να αποδειχθεί ότι ΒΔ ∙ ΓΕ = ΒΕ ∙ ΓΔ. 3. Αν Ε, Ζ είναι οι προβολές των κορυφών Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ (με β ≠ γ) στη δι- χοτόμο του ΑΔ να αποδείξετε ότι τα Ε, Ζ είναι συζυγή αρμονικά των Α, Δ. 4. Σε κάθε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ να απο- δειχθεί ότι οι αποστάσεις τυχαίου σημείου της διαγωνίου ΑΓ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ είναι αντιστρόφως ανάλογες προς τις πλευρές αυτές. 5. Αν Μ τυχαίο σημείο κύκλου (Ο, R), να αποδείξετε ότι: i) η απόσταση d του Μ από χορδή ΑΒ του κύκλου είναι d = MA∙MB 2R , ii) η απόσταση dʹ του Μ από την εφα- πτομένη σε τυχαίο σημείο Α του κύ- κλου είναι dʹ = MA 2 2R , iii) αν d,d1,d2 οι αποστάσεις του Μ από μία χορδή ΓΔ του κύκλου και από τις εφαπτόμενες στα Γ, Δ αντίστοιχα, τότε d2 = d1∙d2 . 6. Θεώρημα Πτολεμαίου: Σε κάθε εγγρά- ψιμο τετράπλευρο το άθροισμα των γινο- μένων των απέναντι πλευρών είναι ίσο με το γινόμενο των διαγωνίων του. ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κατασκευασθούν δύο τετράπλευρα των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες μία προς μία, αλλά δεν είναι όμοια. 2. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Να κατασκευασθεί τετράπλευρο ΑʹΒʹΓʹΔʹ το οποίο να αποτελείται από τρίγωνα ίσα με τα τρίγωνα στα οποία χωρίζει η διαγώνιος ΑΓ το ορθογώνιο έτσι, ώστε το ΑʹΒʹΓʹΔʹ να μην είναι όμοιο με το ΑΒΓΔ. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Κατασκευάστε έναν εξάντα και υπολογίστε το ύψος μίας πολυκατοικίας στη γειτονιά σας ακολουθώ- ντας τη διαδικασία της εφαρμογής 2. Εργασία lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 85.
    187 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ 2. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) είναι B̂ = 2Γ̂ τότε ο λόγος β γ είναι ίσος με: α. 1 2 β. 1 γ. 3 δ. 2 ε. 3 Κυκλώστε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντησή σας. 3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) φέ- ρουμε το ύψος ΑΔ. Αν είναι ΑΒ = 5 και ΒΔ = 25 13 , να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα: ΑΓ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο, που έχει πλευρές α = κ 2 +λ 2 , β = 2κλ και γ = κ 2 – λ 2 , όπου κ, λ θετικοί ακέραιοι με κ > λ, είναι ορθογώνιο. 2. Αν ΑΕ, ΑΖ είναι αντίστοιχα οι προβολές δύο χορδών ΑΓ και ΑΔ ενός κύκλου σε μία διάμετρό του ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΑΖ ∙ ΑΓ 2 = ΑΕ ∙ ΑΔ2 . 3. Αν Δ είναι μέσο της κάθετης πλευράς ΑΓ ενός ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ (Â = 1⌊) και Ε η προβολή του στη ΒΓ, τότε να απο- δείξετε ότι ΕΓ 2 + ΑΒ2 = ΕΒ2 . Στη συνέ- χεια διατάξτε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα ΔΒ, ΕΒ, ΕΓ. 4. Δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (Â = Âʹ = 1⌊) έχουν μβ = μβʹ και μγ = μγʹ. Να αποδείξετε ότι: i) α = αʹ ii) β = βʹ. Τι συμπεραίνετε για τα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ; 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέ- ρουμε το ύψος του ΒΕ. Να αποδείξετε ότι α 2 +β 2 +γ 2 = 3ΒΕ 2 +2ΑΕ 2 +ΓΕ 2 . Σύνθετα Θέµατα 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Αν Ε, Ζ εί- ναι οι προβολές του Δ πάνω στις ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) ΑΒ3 ΑΓ3 = ΒΕ ΓΖ ii) ΑΔ 3 = ΒΓ ∙ ΔΕ ∙ ΔΖ. 2. Δίνονται δύο κύκλοι (K, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Αν ΒΓ εί- ναι το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους και (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτεται στους (K, R), (Λ, ρ) και στη ΒΓ, να απο- δείξετε ότι: i) ΒΓ = 2 Rρ ii) 1 1 1 R + = ρ σ . 3. Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ με Â = B̂ = 1⌊. Αν Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων ΒΔ, ΑΓ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής της ΑΜ με τη ΒΓ να αποδείξετε ότι: i) το ΑΒΚΔ είναι ορθογώνιο, ii) ΔΓ 2 – ΑΒ 2 = 4ΜΝ 2 . 4. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90°) να αποδείξετε ότι 2μ 2 α ≥ βγ. 5. Θεωρούμε κύκλο (Ο, R), διάμετρό του ΑΒ και μία χορδή του ΓΔ που τέμνει την ΑΒ στο Ε και σχηματίζει με αυτή γωνία 45°. Να αποδείξετε ότι ΕΓ 2 + ΕΔ 2 = 2R 2 . 6. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) και το ύψος του ΑΔ. Αν x, y και ω είναι αντίστοιχα τα μήκη οποιωνδήποτε ομόλογων γραμμικών στοιχείων των τρι- γώνων (π.χ. διαμέσων, υψών, ακτίνων εγ- γεγραμμένων κύκλων κτλ.) ΔΑΒ, ΔΑΓ και ΑΒΓ, τότε x 2 + y 2 = ω 2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 86.
    193 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ ΕΦΑΡΜΟΓΗ2η Το ύψος υα ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο υυ αα ττ ττ αα ττ ββ ττ γγαα == −− −− −− 2 ( )( )( ), όπου τ = 1 2 (α + β + γ) η ημιπερίμετρος του τριγώνου. Ανάλογες εκφράσεις ισχύ- ουν και για τα άλλα ύψη υβ και υγ. Απόδειξη Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του υα. Από το ορθο- γώνιο τρίγωνο ΔΑΒ έχουμε υ2 α = γ2 – ΒΔ2 (1). Πρέπει επομένως να υπολογί- σουμε την προβολή ΒΔ της γ πάνω στην α. • Αν B̂ ≤ 1⌊, από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε β2 = α2 + γ2 – 2α∙ΒΔ ή ΒΔ = 1 2α (α2 + γ 2 – β 2 ) (2). • Αν B̂ ≥ 1⌊, από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε β2 = α 2 + γ 2 + 2α∙ΒΔ ή ΒΔ = – 1 2α (α2 + γ 2 – β 2 ) (3). A B ΓΔ βγ α υα A Δ B Γ υα γ β α Σχήµα 13 Αν μεταξύ των πλευρών α, β, γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει γγ αα ββ ααββ== ++ ++2 2 3 , τότε: i) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, ii) να υπολογίσετε τη γωνία Γ̂ . Λύση i) Από τη δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι η γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά και επι- πλέον ότι γ2 > α2 + β2 , οπότε η γωνία Γ̂ είναι αμβλεία. ii) Επειδή η γωνία Γ̂ είναι αμβλεία, σύμφωνα με το θεώρημα αμβλείας γωνίας έχουμε: γ2 = α2 + β2 + 2α ∙ ΓΔ (1). Από την υπόθεση όμως έχουμε γ α β αβ2 2 2 3= + + (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Γ∆ = 3 2 β. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε Α∆ Γ∆2 2 2 2 4 = − =β β , οπότε ΑΔ = β 2 = ΑΓ 2 που σημαίνει ότι Γ̂ εξ = 30° και επομένως Γ̂ = 150°. ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η A Δ Γ B εξ Σχήµα 12 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 87.
    195 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Στο παρακάτω σχήμα να συμπληρώστε τα κενά: Α Β Ε Δ Γ i) ΒΓ 2 = ... + ... + 2ΑΒ ... ii) ΒΓ 2 = ... + ... + 2ΑΓ ... 2. Να βρεθεί το είδος των γωνιών τριγώνου ΑΒΓ όταν: i) β 2 = 3α 2 + γ 2 , ii) γ 2 = α 2 – β 2 , iii) α 2 – β 2 = 2γ 2 . 3. Αν β η ...................... πλευρά αμβλυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ τότε ... > α 2 + ... (Να συ- μπληρώσετε τα κενά). 4. Αν στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και Â = 120°, να δικαιολογήσετε γιατί α 2 = 3β 2 . Α 120 o Β Γ Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ, με α = 6μ, β = 5μ, γ = 4μ, όπου μ θετική παράμετρος. Να εξετασθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. 2. Υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών α = 6, β = 5, γ = 4; Αν ναι, να υπολογισθούν τα ύψη του τριγώνου. 3. ΔίνεταιτρίγωνοΑΒΓμεα= 2,β=1+ 3, γ = 2. Να υπολογισθεί η γωνία Â. 4. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 4cm, ΑΓ = 5cm και ΑB̂ Δ = 30°, όπου ΒΔ το ύψος του. Να υπολογισθεί η πλευρά του ΒΓ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ έχουν μήκη ΑΒ = 9cm, ΒΓ = 7cm και ΑΓ = 12cm. Να υπολογισθεί το μήκος της προβολής της ΒΓ πάνω στην ΑΒ. 2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ, ΓΔ ισχύει ότι ΑΓ 2 + ΒΔ2 = ΑΔ2 + ΒΓ2 + 2ΑΒ ∙ ΓΔ. 3. Αν ΒΒʹ, ΓΓʹ είναι ύψη ενός οξυγώνι- ου τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι α2 = β∙ΓΒʹ + γ∙ΒΓʹ. 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊). Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά ΓΔ = ΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ2 = 2ΒΓ∙ΑΔ. 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέ- ρουμε παράλληλο της ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΒΕ 2 = ΕΓ2 + ΒΓ∙ΔΕ. 6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) με πλευρές α, β, γ. Υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 5α, 4β, 3γ; Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Â = 30°. Να αποδείξετε ότι α β= −2 3 . 2. Δίνεται κύκλος διαμέτρου ΑΒ και μία χορδή του ΓΔ//ΑΒ. Αν Μ είναι τυ- χαίο σημείο της ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΜΓ 2 + ΜΔ 2 = ΜΑ 2 + ΜΒ 2 . 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α3 = β 3 + γ 3 . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 88.
    205 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 9 . Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Χ Ε Σ Ε Ι Σ 5. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â =1⌊), εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R) και το ύψος του ΑΔ. Αν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το Γ τέμνει το ύψος στο Μ και τον κύκλο στο Η, να αποδείξετε ότι ΓΜ ∙ ΓΗ = ΓΑ 2 . Σύνθετα Θέµατα 1. Αν η διχοτόμος ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε και εί- ναι ΑΔ 2 = ΔΒ ∙ ΔΓ, να αποδείξετε ότι ΑΕ 2 =2ΕΓ 2 . 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με β2 + γ 2 = 2α 2 . Αν η διάμεσος ΑΜ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Δ να αποδείξετε ότι Μ∆ = α 3 6 . 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι µ βγ = 3 2 . Αν Μ το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, να απο- δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΜ εφάπτεται της ΒΓ στο Β. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διχοτόμος του ΑΔ, η διάμεσός του ΑΜ και ο περιγεγραμμένος κύκλος (Κ) του τριγώνου ΑΔΜ. Αν Ε, Ζ είναι τα σημεία τομής των ΑΒ και ΑΓ με τον κύκλο (Κ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΓΖ. 1. Έστω ΑΒ, ΓΔ δύο ευθύγραμμα τμήμα- τα. Ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε ΑΒ⊥ΓΔ είναι να ισχύει ότι ΑΓ 2 – ΑΔ2 = ΒΓ 2 – ΒΔ 2 . 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ είναι η δι- χοτόμος της γωνίας Â, να αποδείξετε ότι ΑΒ ∙ ΑΓ = ΑΔ 2 + ΒΔ ∙ ΔΓ. 3. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ οξυγώ- νιου τριγώνου ΑΒΓ και ΒΔ το ύψος του, να αποδείξετε ότι ΑΜ 2 = ΒΜ 2 + ΑΔ ∙ ΑΓ. 4. Θεώρημα Stewart i) Έστω Δ σημείο της πλευράς ΒΓ, τριγώ- νου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ∙ΑΓ 2 + ΔΓ∙ΑΒ2 = ΒΓ(ΑΔ2 + ΒΔ∙ΔΓ). ii) Να διατυπώσετε το θεώρημα Stewart όταν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΑΓ). 5. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μβ⊥μγ. Να αποδείξετε ότι: i) β2 + γ 2 = 5α 2 , ii) αν ΑΔ ύψος και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε ΑΗ ∙ ΑΔ = 2α2 . 6. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ. Αν Δ η προβολή του Μ πάνω στην ΑΒ να αποδείξετε ότι ΒΓ 2 = 3ΑΒ 2 + ΑΓ 2 – 4ΑΒ ∙ ΑΔ. 7. Δίνεται κύκλος (Ο, R) μια ακτίνα ΟΑ και χορδή ΒΓ παράλληλη προς την ΟΑ. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα ΑΒ2 + ΑΓ2 εί- ναι σταθερό. 8. Δίνεται κύκλος (Ο, R), μία διάμετρος ΑΒ και Γ, Δ τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ αντίστοιχα. Αν μία χορδή ΕΗ που διέρχεται από το Γ είναι ΕΗ = 13 2 R,να αποδείξετε ότι ΕΔ̂ Η =1⌊. ΓΕΝΙΚΕΣΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 89.
    217 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 1 0 . Ε Μ Β Α ∆ Α 10.4 Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Με τη βοήθεια του βασικού τύπου για το εμβαδόν ενός τρι- γώνου ΑΒΓ, με μήκη πλευρών α, β, γ, προκύπτουν και οι επόμενοι τύποι: i) Ε =ΕΕ == −− −− −−ττ ττ αα ττ ββ ττ γγ( )( )( ) (τύπος του Ήρωνα), όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου. ii) Ε = τρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. iii) E = αβγ 4R , όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 1, ΑΓ = 2 και Â = 120°. Με πλευρές τις ΑΒ και ΑΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου ΑΒΓ τα τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΘ αντί- στοιχα. Τότε: i) να υπολογίσετε το τμήμα ΕΘ, ii) να αποδείξετε ότι τα Δ, Ε, Θ είναι συ- νευθειακά και iii) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της πο- λυγωνικής επιφάνειας ΒΓΖΘΕΔ είναι 5 + . 7. Αν ω είναι η γωνία των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να απο- δείξετε ότι (ΑΒΓΔ) = 1 2 ΑΓ ∙ ΒΔ∙ ημω. 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, του οποίου το μήκος είναι κατά 18 m μεγαλύτερο του πλάτους, θέ- λει να σχηματίσει γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού μια δενδροστοιχία πλάτους 2,5 m. Έτσι αναγκάζεται να αγο- ράσει από τους γείτονές του 695 m 2 . Να βρεθούν οι διαστάσεις του οικοπέδου. Σύνθετα Θέµατα 1. Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Στις προεκτάσεις των ημιευθειών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ζ, Η, Θ και I, ώστε ΒΖ = ΑΒ, ΓΗ = ΒΓ, ΔΘ = ΓΔ και ΑΙ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι i) (ΙΘΑ) = (ΑΘΔ) = (ΑΓΔ), ii) (ΙΘΔ) + (ΖΗΒ) = 2(ΑΒΓΔ) και iii) (ΙΖΗΘ) = 5(ΑΒΓΔ). 2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε το μέσο Μ της διαμέσου ΑΔ, το μέσο Ν του ΓΜ και το μέσο Ρ του ΒΝ. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 1 8 (ΑΒΓ). 3. Στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς α παίρνουμε τα σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε ΖΓ = ΗΔ = α 4 . i) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΖ και ΒΗ τέμνονται κάθετα σε σημείο Κ. ii) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμη- μάτων: ΑΚ, ΑΗ και ΚΗ. iii) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τε- τραπλεύρου ΑΚΗΔ. 4. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι i) (ΟΑΒ) + (ΟΓΔ) = (ΑΒΓ) και ii) (ΟΑΓ) + (ΟΒΓ) = (ΟΓΔ). 5. Αν ΑΒΓΔ και ΚΛΜΝ είναι ρόμβος πλευ- ράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοι- χα, να αποδείξετε ότι (ΑΒΓΔ) ≤ (ΚΛΜΝ). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 90.
    218 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ i) Στην §9.4 (Εφαρμογή 2) αποδείξαμε ότι υ α τ τ α τ β τ γα = − − − 2 ( )( )( ), οπότε έχουμε: Ε = = − − − = 1 2 1 2 2 αυ α α τ τ α τ β τ γα ( )( )( ) = − − −τ τ α τ β τ γ( )( )( ). ii) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ (σχ.16) και ο εγγεγραμμένος κύ- κλος του (Ι, ρ). Φέρουμε τα τμήματα ΙΑ, ΙΒ και ΙΓ και έτσι το τρίγωνο χωρίζεται στα τρίγωνα ΙΒΓ, ΙΓΑ και ΙΑΒ που έχουν το ίδιο ύψος ρ και δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, οπότε έχουμε: Ε = (ΑΒΓ) = (ΙΒΓ) + (ΙΓΑ) + (ΙΑΒ) = = 1 2 αρ + 1 2 βρ + 1 2 γρ = 1 2 (α +β + γ)ρ = 1 2 2τρ = τρ. iii) Είναι γνωστό ότι βγ = 2Rυα (Εφαρμογή 5 §8.2), οπότε έχουμε ότι υα = βγ 2R και με αντικατάσταση στον τύπο E = 1 2 αυα προκύπτει το ζητούμενο. Τέλος, το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται και από τον (τριγωνομετρικό) τύπο: Ε = 1 2 βγημΑ = 1 2 γαημΒ = 1 2 αβημΓ. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν Â < 1⌊, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ (σχ.17α) προ- κύπτει ότι υβ = γ∙ημΑ. Αν Â > 1⌊, πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΑ (σχ.17β) προκύπτει ότι: υβ = γ ∙ ημΑεξ = γ ∙ ημ(180 ο – Α)= γ ∙ ημΑ. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε υβ = γ ∙ ημΑ οπότε Ε = 1 2 βυβ = 1 2 βγ · ημΑ. Όταν Â = 1⌊, τότε υβ = γ, επομένως πάλι ο τύπος ισχύει. Όμοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιποι τύποι. ρ ρ ρΙ Α Β ΓΔ Ζ Ε Σχήµα 16 α β β γ Α Δ Β Γ βγ υβ Δ Α Β Γ υβ 1 Σχήµα 17 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όμοια αποδεικνύεται ότι ο τύ- πος (2) ισχύει για οποιοδήποτε περιγεγραμμένο σε κύκλο πολύ- γωνο με ημιπερίμετρο τ. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 91.
    220 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Εµβαδόν και οµοιότητα 10.5 Λόγος εµβαδών όµοιων τριγώνων - πολυγώνων Ας θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ με εμβαδά Ε και Εʹ αντίστοιχα. Τότε είναι E = 1 2 αυα και Eʹ = 1 2 αʹυαʹ , οπότε Ε Εʹ = αυα αʹυαʹ .Από την ισότητα αυτή προκύπτει άμεσα ότι: • Αν α = α΄, τότε Ε Εʹ = υα υαʹ (σχ.19α). • Αν υα = υα΄, τότε Ε Εʹ = α αʹ (σχ.19β). Δηλαδή: αν δύο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών, ενώ αν έχουν ίσα ύψη, τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων. Στην περίπτωση που τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι όμοια, ισχύει το επόμενο θεώρημα. 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 1⌊) με ΑΒ = 6 και ΑΓ = 8. Να βρείτε: i) το εμβαδόν, ii) το ύψος υα , iii) την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύ- κλου. Ασκήσεις Αποδεικτικές 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει βγ = αυα να αποδείξετε ότι Â = 1⌊. 2. Αν Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ, να αποδείξετε ότι: i) Ε < τ(τ – α) ⇔ Α < 1⌊, ii) Ε = τ(τ – α) ⇔ Α = 1⌊, iii) Ε > τ(τ – α) ⇔ Α > 1⌊. 3. Αν δυο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ είναι εγγε- γραμμένα στον ίδιο κύκλο να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ) (ΑʹΒʹΓʹ) = αβγ αʹβʹγʹ . 4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Â ≠ 1⌊ φέρουμε τα ύψη ΒΖ και ΓΗ. Να αποδείξετε ότι (ΑΖΗ) = (ΑΒΓ)συν 2 Α. 5. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: 1 υα + 1 υβ + 1 υγ = 1 ρ . Σύνθετα Θέµατα 1. i) Δίνεται γωνία xÔy και σταθερό σημείο Κ στο εσωτερικό αυτής. Από το Κ φέρου- με μεταβλητή ευθεία ε που τέμνει τις πλευ- ρές Ox, Oy στα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 1 (ΟΚΜ) + 1 (ΟΚΝ) είναι σταθερό. ii) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ, σημείο Κ στο εσωτερικό του και τα τμήματα ΑΑʹ, ΒΒʹ και ΓΓʹ που διέρχονται από το Κ. Αν E1,E2,...,E6 είναι αντίστοιχα τα εμβαδά των τριγώνων ΑΚΓʹ, ΒΚΓʹ, ΒΑʹΚ, ΓΚΑʹ, ΓΚΒʹ και ΑΚΒʹ, να αποδείξετε ότι: 1 Ε1 + 1 Ε3 + 1 Ε5 = 1 Ε2 + 1 Ε4 + 1 Ε6 . 2. Αν ρα , ρβ , ργ είναι οι ακτίνες των παρεγ- γεγραμμένων κύκλων τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι (ΑΒΓ) = (τ – α)ρα = (τ – β)ρβ = (τ – γ)ργ . 3. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγράψιμο σε κύκλο. Αν θέσουμε ΑΒ = α, ΒΓ = β, ΓΔ = γ και ΔΑ = δ να αποδείξετε ότι ΑΓ ΒΔ = αδ + βγ αβ + γδ (2° Θεώρημα Πτολεμαίου). Σχήµα 19 α β α αʹ υα υαʹ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 92.
    221 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 1 0 . Ε Μ Β Α ∆ Α Αν δυο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω δύο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑʹΒʹΓʹ (σχ.20) με Â= Âʹ και B̂ = B̂ ʹ. Τότε α αʹ = υα υαʹ = λ (1), όπου λ ο λόγος ομοιότητας. Αλλά, όπως και παραπάνω, είναι Ε Εʹ = α αʹ ∙ υα υαʹ (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι Ε Εʹ = λ2 . Το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει γενικότερα και για όμοια πολύγωνα, όπως μας βεβαιώνει το επόμενο θεώρημα. Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δυο όμοια πολύγωνα π.χ. τα πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ (σχ.21) με λόγο ομοιότητας: ΑΒ ΑʹΒʹ = ΒΓ ΒʹΓʹ = ΓΔ ΓʹΔʹ = ΔΕ ΔʹΕʹ = λ (1). Φέρουμε τις διαγωνίους των πολυγώνων από τις κορυφές Α και Αʹ, οπότε αυτά χωρίζονται σε ισάριθμα τρίγωνα όμοια μεταξύ τους. Αν Ε1, Ε2, Ε3 και Εʹ1, Εʹ2, Εʹ3 είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων τριγώνων, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα και τη σχέση (1), θα έχουμε: Ε1 Εʹ1 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ΑΒ ΑʹΒʹ 2 = λ 2 , Ε2 Εʹ2 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ΓΔ ΓʹΔʹ 2 = λ 2 και Ε3 Εʹ3 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ΔΕ ΔʹΕʹ 2 = λ2 , οπότε λ2 = Ε1 Εʹ1 = Ε2 Εʹ2 = Ε3 Εʹ3 = Ε1 + Ε2 + Ε3 Εʹ1 + Εʹ2 + Εʹ3 = (ΑΒΓΔΕ) (ΑʹΒʹΓʹΔʹΕʹ) , δηλαδή το ζητούμενο. Για το λόγο των εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές ισχύει το επόμενο θεώρημα. Σχήµα 20 A B ΓΔ α υα Aʹ Bʹ ΓʹΔʹ αʹ υαʹ Σχήµα 21 A B Γ Δ Ε Εʹ1 Εʹ2 Εʹ3 Ε1 Ε2 Ε3 Εʹ Aʹ Bʹ Γʹ Δʹ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 93.
    224 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Το πρόβληµα του τετραγωνισµού κυρτού πολυγώνου 10.6 Μετασχηµατισµός πολυγώνου σε ισοδύναµό του Σε πολλές περιπτώσεις, για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ευθύγραμμου σχήματος επιδιώκουμε τον μετασχηματι- σμό σε ένα ισοδύναμο τετράγωνο. Η κατασκευή ενός τετρα- γώνου ισοδύναμου με ένα πολύγωνο λέγεται τετραγωνισμός αυτού. Η λύση των επόμενων δύο προβλημάτων αποτελεί τη μέθοδο κατασκευής του ισοδύναμου τετραγώνου. 2. Από εσωτερικό σημείο Σ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του. Αν E1, Ε2, Ε3 είναι τα εμβαδά των τρι- ών τριγώνων που σχηματίζονται να απο- δείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εμβαδών E1, Ε2, Ε3 είναι όμοιο με το ΑΒΓ, ii) Ε Ε Ε Ε1 2 3+ + = , όπου Ε = (ΑΒΓ). 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τις διχοτόμους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ. Να αποδείξετε ότι i) (ΔΕΖ) = 2αβγ (α+β)(β+γ)(γ+α) (ΑΒΓ), ii) (ΔΕΖ) ≤ 1 4 (ΑΒΓ). 4. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Κ, Λ των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Από τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρί- ζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναμα μέρη. Να μετασχηματισθεί πολύγωνο σε άλλο ισοδύναμό του με μια πλευρά λιγότερη. Λύση Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, π.χ. ένα πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ (σχ. 25). Από την κορυφή Α φέρουμε τη διαγώνιο ΑΓ, που αφήνει προς το ένα μέρος της μόνο μια κορυφή, τη Β. Από το Β φέ- ρουμε την παράλληλο προς την ΑΓ, η οποία τέμνει την ευθεία ΔΓ στο Ζ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΖΓ έχουν κοινή βάση ΑΓ και τα αντίστοιχα προς αυτή ύψη ίσα, αφού ΒΖ // ΑΓ. Επομένως (ΑΒΓ) = (ΑΖΓ), οπότε (ΑΒΓΔΕ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΓ) + (ΑΓΔΕ) = (ΑΖΔΕ) δηλαδή το πεντάγωνοΑΒΓΔΕ είναι ισοδύναμο με το τετράπλευροΑΖΔΕ και επομένως το αρχικό μας πολύγωνο είναι ισοδύναμο με πολύγωνο που έχει μια πλευρά λιγότερη. Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία στο τετράπλευρο ΑΖΔΕ, θα μετασχη- ματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. Έτσι, το αρχικό μας πολύγωνο μπορεί να μετασχη- ματισθεί σε ισοδύναμο τρίγωνο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ1 A B Γ Δ Ε Ζ Σχήµα 25 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 94.
    231 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλον. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ΑΒΓΔ ...Τ ένα κανονικό πολύγωνο (σχ.3). Θεωρούμε τον κύκλο (Ο, R) που διέρχεται από τις κορυφές Α, Β, Γ του πολυγώνου. Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος αυτός διέρ- χεται και από την κορυφή Δ, δηλαδή ότι OΔ = R. Επειδή OB = OΓ = R, το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισοσκελές και επομέ- νως B̂ 1 = Γ̂ 1 = σ, οπότε τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα, γιατί έχουν: ΟΒ = ΟΓ, ΑΒ = ΓΔ (αφού ΑΒΓΔ...T κανονικό) και B̂ 2 = B̂ – σ = Γ̂ – σ = Γ̂ 2. Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι ΟΔ = OA = R. Όμοια αποδεικνύεται ότι ο κύκλος (O, R) διέρχεται και από τις υπόλοιπες κορυφές Ε, Ζ, ... Τ και επομένως το πολύγωνο εί- ναι εγγράψιμο. Οι πλευρές του πολυγώνου είναι ίσες χορδές του κύκλου (O, R), επομένως και τα αποστήματά τους θα είναι ίσα, έστω με α. Επομένως, ο κύκλος (O, α) εφάπτεται στις πλευρές του ΑΒΓΔ...Τ, άρα το πολύγωνο είναι περι- γράψιμο σε κύκλο. Είναι φανερό, από τα παραπάνω, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (O, R) και ο εγγεγραμμένος (O, α) του πολυγώνου είναι ομόκεντροι. ► Στοιχεία κανονικού πολυγώνου Αποδείξαμε παραπάνω ότι κάθε κανονικό πολύγωνο έχει έναν περιγεγραμμένο και έναν εγγεγραμμένο κύκλο που έχουν κοινό κέντρο. Το κοινό κέντρο των δύο αυτών κύκλων λέγεται κέντρο του πολυγώνου. Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου λέ- γεται ακτίνα του πολυγώνου, ενώ η απόσταση του κέντρου από μια πλευρά του, δηλαδή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου λέγεται απόστημα του πολυγώνου. Επειδή τα τόξα A͡ B, B͡ Γ, ..., T͡ A (σχ.3) είναι ίσα, οι επίκεντρες γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ, ..., ΤÔΑ είναι ίσες. Καθεμία από τις γω- νίες αυτές, δηλαδή η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου από το κέντρο του, λέγεται κεντρική γωνία του πολυγώνου. Στα επόμενα, σε ένα κανονικό ν-γωνο θα συμβολίζουμε με Σχήµα 3 A B Γ Δ Τ α Ο R 1 1 2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 95.
    232 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α R την ακτίνα του, με λν την πλευρά του, με αν το απόστημά του, με ων την κεντρική του γωνία, με Ρν την περίμετρό του και Εν το εμβαδόν του. Για τα στοιχεία των κανονικών πολυγώνων ισχύει το εξής θεώρημα. Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύουν οι εξής σχέ- σεις: i) α2 ν + λ 2 ν 4 = R 2 ii) Ρν = νλν iii) ων = 360° ν iv) Εν = 1 2 Ρναν ΘΕΩΡΗΜΑ Ι ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ΑΒΓΔ...Τ ένα κανονικό ν-γωνο, R η ακτίνα του, ΑΒ = λν η πλευρά του και OH = αν το απόστημά του (σχ.4). i) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΟΑ, με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει OH2 +HA2 =OA2 , δηλαδή α2 ν + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ λν 2 2 = R 2 . ii) Επειδή ΑΒ = ΒΓ = ... = ΤΑ = λν, θα είναι Ρν = νλν. iii) Επειδή A͡ B = B͡ Γ = ... = T͡ A θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ = ...= ΤÔΑ = ων και αφού οι γωνίες ΑÔΒ, ΒÔΓ, ... και ΤÔΑ έχουν άθροισμα 360°, έχουμε νων = 360°, δηλαδή ων = 360° ν . iv) Τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ, ... , ΟΤΑ είναι ίσα (ΠΠΠ), άρα και ισεμβαδικά και επομένως έχουμε: Εν = ν(ΟΑΒ) = ν 1 2 ΑΒ ∙ ΟΗ = 1 2 νλναν = 1 2 Ρναν αφού Ρν = νλν. Σε δύο κανονικά ν-γωνα ο λόγος των πλευρών τους ισού- ται με το λόγο των ακτίνων τους και το λόγο των απο- στημάτων τους. ΠΟΡΙΣΜΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρούμε δύο κανονικά πολύγωνα ΑΒΓ...Τ και ΑʹΒʹΓʹ...Τʹ Σχήµα 4 A B Γ Δ Τ Ο R Η lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 96.
    235 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ 11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους Από την παρατήρηση της προηγούμενης παραγράφου προ- κύπτει ότι για να κατασκευάσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν (ν ≥ 3) πλευρές, αρκεί να χωρίσουμε έναν κύκλο σε ν ίσα τόξα. Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη δεν είναι δυνατή για κάθε ν. (σχόλιο §11.2). Στη συνέχεια, θα ασχο- ληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πο- λυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε τα στοιχεία τους. ► Τετράγωνο Έστω ένας κύκλος (Ο, R) (σχ.7). Αν φέρουμε δύο κάθε- τες διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ, θα είναι ΑÔΒ = ΒÔΓ = ΓÔΔ = ΔÔΑ= 90°, οπότεA͡ B = B͡ Γ = Γ͡ Δ=Δ͡ Ακαι επομένως τοΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ με εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος έχουμε λ4 2 = ΑΒ2 = ΟΑ2 + ΟΒ2 = R2 + R2 = 2R2 , από την οποία προκύπτει ότι: λλ4 2== R .. Από τη βασική σχέση α 2 ν + λ 2 ν 4 = R2 με ν = 4 προκύπτει ότι α4 2 2 2 2 2 4 2 = − =R R( ) , R δηλαδή αα4 2 2 == R .. 6. Αν Eα, Εβ, Εγ είναι τα εμβαδά κανονικών ν-γώνων που έχουν πλευρές ίσες αντίστοι- χα με τις πλευρές α, β, γ ορθογώνιου τρι- γώνου ΑΒΓ (Â = 1⌊), να αποδείξετε ότι Εβ + Εγ = Εα . Σύνθετα Θέµατα 1. Οι Πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι υπάρ- χουν τρία μόνο κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες μπορούν να καλύψουν το επίπεδο γύρω από ένα σημείο. Τα κα- νονικά αυτά πολύγωνα είναι τα ισόπλευρα τρίγωνα, τα τετράγωνα και τα κανονικά εξάγωνα. Να αποδείξετε την αλήθεια του ισχυρισμού αυτού των Πυθαγορείων. 2. Έστω κανονικό ν-γωνο και σημείο Σ στο εσωτερικό του. Αν d1,d2,...,dv εί- ναι οι αποστάσεις του Σ από τις πλευ- ρές του ν-γώνου, να αποδείξετε ότι d1 + d2 + ... + dv = ναν , όπου αν το από- στημα του ν-γώνου. 3. Σε κανονικό δεκάγωνο ΑΒΓΔ...Κ η πλευρά ΑΒ προεκτεινόμενη τέμνει την προέκταση της ακτίνας ΟΓ στο σημείο Μ. Να αποδεί- ξετε ότι ΑΜ = ΑΔ. A B Γ Δ Η Ο Σχήµα 7 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 97.
    237 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφεί κανονικό δεκάγωνο. Λύση Έστω ΑΒ = λ10 (σχ.10) η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου που θέλουμε να εγγράψουμε στον κύκλο (Ο, R). Η κεντρική γωνία AÔB είναι 360° 10 = 36° και καθεμία από τις γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ΟΑΒ είναι Â = B̂ = 72°. Έτσι, αν φέρουμε τη διχοτόμο ΑΔ της γωνίας ΟÂΒ τα τρίγωνα ΔΟΑ και ΑΒΔ είναι ισοσκελή, αφού είναι ΔÂΟ = 36° = AÔB και ΑΔ̂ Β = Â1 + Ô = 36° + 36° = 72° = B̂ . Επομένως, ΟΔ = ΑΔ = ΑΒ = λ10 και ΒΔ = R – λ10. Με εφαρμογή του θεωρήματος της διχοτόμου στο τρίγωνο ΟΑΒ προκύπτει ότι: AB ΑΟ = ΔΒ ΔΟ ⇔ λ10 R = R – λ10 λ10 ⇔ λ 2 10 = R (R – λ10) και επειδή λ10 =ΑΒ >ΔΒ = R – λ10 (αφούΑΔ̂ Β > ΒÂΔ), η τελευταία ισότητα εκφράζει ότι το λ10 είναι το μεγαλύτερο από τα τμήματα που προκύπτουν αν διαιρέσουμε την ακτίνα R σε μέσο και άκρο λόγο. Για την κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου του εγγεγραμμένου σε κύκλο, διαιρούμε την ακτίνα του κύκλου σε μέσο και άκρο λόγο και στη συνέχεια ορίζουμε τα διαδοχικά τόξαA͡ B, B͡ Γ, ..., που έχουν το καθένα χορδή ίση με το μεγαλύτερο τμήμα στα οποία χωρίζεται η ακτίνα με τη διαίρεσή της σε μέσο και άκρο λόγο. ΕΦΑΡΜΟΓΗ1η Ο A B Δ 1 Σχήµα 10 Σε δοσμένο κύκλο, να εγγραφεί κανονικό οκτάγωνο και να υπολογισθούν η πλευρά του και το απόστημά του. Λύση Εγγράφουμε στον κύκλο (σχ.11) το τετράγωνο ΑΒΓΔ και στη συνέχεια παίρνουμε τα μέσα Ε, Ζ, Η, Θ των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ. Τότε το ΑΕΒ...Θ είναι το ζητούμενο οκτάγωνο. Αν θεωρήσουμε τη διάμετρο ΕΗ που αντιστοιχεί στο Ε, επειδή το τρίγωνο ΑΗΕ είναι ορθογώνιο και η ΑΒ κάθετη στην ΕΗ, έχουμε ΑΕ2 = ΕΗ ∙ ΕΙ = 2R (R – OI) και τελικά, αφού ΑΕ = λ8 και ΟΙ = α4, έχουμε: λ α8 2 4 2 2 2 2 2 2 2= − = − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = −R R R R R R( ) ( ) και επομένως λλ8 2 2== −−R .. Τέλος, από τη σχέση α 2 8 + λ2 8 4 = R 2 προκύπτει ότι αα8 2 2 2== ++ R .. ΕΦΑΡΜΟΓΗ2η A B ΓΔ Ε Ζ Η Θ Ι Ο Σχήµα 11 Να αποδειχθεί ότι λλ10 2 5 1== −− R ( ) και να υπολογισθεί το α10. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 98.
    238 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗ∆Η Ένα κανονικό ν-γωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, R). Να εγγραφεί στον ίδιο κύκλο κανονικό 2ν-γωνο και να απο- δειχθεί ότι λ2 2ν = 2R (R – αν). Λύση Αν πάρουμε τα μέσα των τόξων που αντιστοιχούν στις πλευ- ρές του κανονικού ν-γώνου, ο κύκλος διαιρείται σε 2ν ίσα τόξα. Έτσι προκύπτει το εγγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο με 2ν πλευρές. Έστω ΑΒ = λν (σχ.12) και Μ το μέσο του τόξου A͡ B. Τότε ΑΜ = λ2ν και ΟΜ⊥ΑΒ. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΗΜ έχουμε ΑΜ2 = ΑΗ 2 + ΗΜ 2 ή λ λ α λ α αν ν ν ν ν ν2 2 2 2 2 2 2 2 4 2= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + − = + + −( )R R R ή λ αν ν2 2 2 2 2= −R R (αφού λ αν ν 2 2 2 4 + = R ) ή λλ αανν νν2 2 2== −−R R( ).. ΕΦΑΡΜΟΓΗ3η A Μ B Ο Η Σχήµα 12 ΣΧΟΛΙΟ Από τη σχέση α λ ν ν 2 2 2 2 2 4 + = R προκύπτει ότι α λ α α ν ν ν ν 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 4 = − = − − = +R R R R R R( ) ή αα αανν νν2 2 2 == ++ R R( ). ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Χαρακτηρίστε ως σωστές (Σ) ή λανθασμέ- νες (Λ) τις παρακάτω ισότητες, δικαιολο- γώντας τις απαντήσεις σας. i) λ2 6 + λ2 3 = λ2 4 Σ Λ ii) λ λ λ3 4 6 3 1 2 3+ + = + +R( ) Σ Λ iii) a a a R 3 4 6 2 1 2 3+ + = + +( ) Σ Λ 2. Αν A, B, Γ, Δ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε ΑΒ = R 2, ΒΓ = λ12 και ΓΔ = R, να εξηγήσετε γιατί η ΑΔ είναι διάμετρος του κύκλου. 3. Αν A, B, Γ διαδοχικά σημεία κύκλου (Ο, R), ώστε A͡ B = 120° και B͡ Γ = 60°, η περί- μετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι: α. (3 + 3)R, β. 4R, γ. ( 2+ 3)R, δ. (3 + 2)R. Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 4. Στο παρακάτω σχήμα η γωνία Μ είναι: α. 30° β. 45° γ. 50° δ. 60° ε. 75° Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Α Β Μ O Η R/2 Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμ- βαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου, ενός τε- τραγώνου και ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο (Ο, R). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 99.
    239 Κ Ε ΦΑ Λ Α Ι Ο 1 1 . Μ Ε Τ Ρ Η Σ Η Κ Υ Κ Λ Ο Υ 2. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 10cm και απόστημα αν = 5 3 cm. Να βρεθεί η πλευρά του λν και το εμβαδόν του Εν. 3. Κανονικό πολύγωνο έχει ακτίνα R = 8cm και πλευρά λν = 8 2 cm. Να βρεθεί το απόστημά του αν και το εμβαδόν του. 4. Σε κύκλο (Ο, R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα A͡ B = 60°, B͡ Γ = 90° και Γ͡ Δ = 120°. Να υπολογισθούν ως συνάρτηση του R οι πλευρές και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 8 ορθές και το εμβαδόν του 6 3 cm2 . Να βρεθεί η ακτίνα του. 2. Σε κύκλο (O, R) και εκατέρωθεν του κέ- ντρου του, θεωρούμε δύο παράλληλες χορδές του ΑΒ και ΓΔ, ώστε ΑΒ = R και ΓΔ = R 3 . Να υπολογισθούν οι μη πα- ράλληλες πλευρές ΑΓ και ΒΔ του τραπεζί- ου ΑΒΔΓ, το ύψος του και το εμβαδόν του, ως συνάρτηση του R. 3. Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του R η πλευρά λ12 και το απόστημα α12 ενός κα- νονικού 12-γώνου εγγεγραμμένου σε κύ- κλο (O, R). 4. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου, χωρίς να υπολογίσετε προηγουμένως την πλευρά και το απόστημά του. Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται κύκλος (O, R) και χορδή του ΓΔ = λ6. Πάνω σε τυχαία ευθεία ε που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρω- θεν του Ο παίρνουμε σημεία Α, Β, ώστε ΟΑ = ΟΒ = α3. Αν Μ το μέσο της ΓΔ, να αποδείξετε ότι ΜΑ 2 + ΜΒ2 = λ2 4. 2. Από το σημείο Α εκτός κύκλου (Ο, R) φέ- ρουμε τέμνουσα ΑΒΓ, ώστε ΑΒ = ΒΓ. Αν ΟΑ = R 7 να αποδείξετε ότι ΒΓ = λ3 και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΓ. 3. Σε κύκλο (Ο, R) θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, ώστε ΑΒ = λ6 και ΒΓ = λ3. Αν Μ το μέσο της ΒΓ και Δ το σημείο που τέμνει η προέκταση της ΑΜ τον κύκλο, να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R, το τμή- μα ΜΔ. 1. Ερμηνεύοντας σε “γεωμετρική γλώσσα” την αριθμητική ισότητα 1 6 − 1 10 = 1 15 , δώστε έναν τρό- πο κατασκευής της πλευράς κανονικού 15-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο. 2. Κάνοντας το ίδιο για την αριθμητική ισότητα 1 3 − 1 4 = 1 12 , να δώσετε ένα δεύτερο τρόπο κατα- σκευής της πλευράς κανονικού 12-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο. ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 100.
    242 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Αντιστοιχίστε κάθε μέγεθος της στήλης Α με την τιμή του στη στήλη Β. Α Β Μήκος κύκλου ακτίνας R Μήκος τόξου μο (σε κύκλο ακτίνας R) Μήκος τόξου αrad (σε κύκλο ακτίνας R) αR 2πR πRμ 360 2αR πRμ 180 2. Το μήκος L τόξου, κύκλου ακτίνας R με χορδή λ6 είναι: α. 6R β. πR γ. 1 3 πR δ. 2πR ε. 1 3 R Κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντη- σης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Πάνω σε ευθεία ε θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ. Αν L1, L2, L3, και L είναι τα μήκη των κύκλων με διαμέτρους ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα να αποδεί- ξετε ότι L1 + L2 + L3 = L. 2. Να βρείτε το μήκος του εγγεγραμμένου κύκλου σε κανονικό εξάγωνο πλευράς 10cm. 3. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που αντι- στοιχεί στην πλευρά κανονικού 10-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 5cm. 4. Όταν ένα ποδήλατο διανύει μια απόστα- ση, ο ένας τροχός του που έχει ακτίνα R κάνει ν στροφές, ενώ ο άλλος, που έχει ακτίνα ρ κάνει 2ν στροφές. Να αποδείξε- τε ότι R = 2ρ. 5. Δίνεται κύκλος (O, R) και τα διαδοχι- κά του σημεία Α, Β, Γ, ώστε να είναι AB = R 2 και ΒΓ = R 3 . Να βρεθούν τα μήκη των τόξων A͡ B, B͡ Γ και Γ͡ Α, ως συνάρτηση του R. Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Με διάμετρο την ακτίνα ΟΑ ενός κύκλου (O, R) γράφουμε κύκλο (Κ) και από το Ο φέρουμε ημιευθεία που τέμνει τον κύκλο (Ο) στο Γ και τον κύκλο (Κ) στο Δ. Να αποδείξετε ότι τα τόξα A͡ Γ και A͡ Δ έχουν ίσα μήκη. 2. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου, που εφάπτεται σε δύο ομόκεντρους κύ- κλους, ισούται με το ημιάθροισμα ή την ημιδιαφορά των μηκών αυτών, όταν αντί- στοιχα ο κύκλος αυτός περιέχει στο εσω- τερικό του ή όχι το μικρότερο κύκλο. 3. Δίνεται τρίγωνοΑΒΓ με α = 13cm, β = 14cm και γ = 15cm. Να βρείτε το μήκος i) του εγγεγραμμένου κύκλου του τρι- γώνου, ii) του περιγεγραμμένου κύκλου του τρι- γώνου. Σύνθετα Θέµατα 1. Δίνεται ημικύκλιο (Ο, R) διαμέτρου ΑΒ. Με διαμέτρους τις ΑΟ και ΟΒ γράφουμε στο εσωτερικό του πρώτου ημικύκλια. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου, ο οποί- ος εφάπτεται των τριών αυτών ημικυκλί- ων, ως συνάρτηση του R. 2. Δίνεται τεταρτοκύκλιο Ο A͡ B. Με διάμετρο την ΟΑ γράφουμε στο εσωτερικό του τε- ταρτοκυκλίου, ημικύκλιο και στη συνέχεια γράφουμε κύκλο (Κ) που εφάπτεται στο ημι- κύκλιο, στην πλευρά ΟΒ και στο τόξο A͡ B. Να αποδείξετε ότι το μήκος του κύκλου (Κ) ισούται με το μήκος του τόξου A͡ B. 3. Να βρείτε το μήκος της γραμμής ΑΒΓΔΕΖ του παρακάτω σχήματος. A Β Γ Δ Ε Κ Λ Μ Ζ Ι Θ4 3 6 7 7 8 9 2 2 2 2 5 { ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 101.
    246 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α 11.8 Τετραγωνισµός κύκλου Τετραγωνισμός κύκλου λέγεται η κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου ισοδύναμου με το δοσμένο κύκλο. Έστω R η ακτίνα ενός κύκλου και Ε το εμβαδόν του. Επειδή Ε = 1 2 L ∙ R, όπου L το μήκος του κύκλου, προκύ- πτει ότι ο κύκλος είναι ισοδύναμος με τρίγωνο, που έχει βάση L και ύψος R. Κάθε τρίγωνο όμως είναι ισοδύναμο με τετράγωνο. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ανά- γεται στην κατασκευή του L, αφού το R είναι ένα δοσμένο τμήμα. Επειδή όμως L = 2πR, η κατασκευή του ανάγεται στην κατασκευή τμήματος μήκους π (αφού για R = 1 2 εί- ναι L = π). Για να είναι η κατασκευή αυτή δυνατή, όπως έχει αποδειχθεί, θα έπρεπε ο π να είναι ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, δηλαδή αλγεβρικός αριθμός, βαθμού 2ν , όπου ν φυσικός. Όμως, ο Γερμανός Μα- θηματικός Lindemann, το 1882, (ιστορικό σημείωμα, σελ. 252) απέδειξε ότι ο π δεν είναι αλγεβρικός αριθμός αλλά υπερβατικός και επομένως δεν κατασκευάζεται γεωμετρικά. Αποδείχθηκε έτσι το αδύνατο της γεωμετρικής λύσης του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου. Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισο- σκελές, το Β∆Γ ημικύκλιο διαμέτρου ΒΓ και το ΓΕΒ τόξο του κύκλου (Α, ΑΒ). Να αποδείξετε ότι ο σχηματιζόμενος μηνίσκος τετραγωνίζεται. (Απάντηση: (μ) = (ΑΒΓ)) ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Α Γ Δ μ Ε Β lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 102.
    262 Ε Υ ΚΛ Ε Ι ∆ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Ερωτήσεις Κατανόησης 1. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδα- σκαλίας: i) δύο ευθείες παράλληλες και το επίπεδο που αυτές ορίζουν, ii) δύο ευ- θείες τεμνόμενες, το επίπεδο που αυτές ορίζουν και να βρείτε άλλες ευθείες πάνω σε αυτό, iii) δύο ευθείες ασύμβατες και να διαπιστώσετε ότι δεν υπάρχει επίπεδο που να περιέχει και τις δύο και iv) τρεις ευθεί- ες ανά δύο ασύμβατες. 2. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδασκα- λίας δύο επίπεδα: i) τεμνόμενα, ii) παράλ- ληλα. 3. Να αναγνωρίσετε στην αίθουσα διδασκα- λίας διάφορα επίπεδα και ευθείες: i) που ανήκουν σε αυτά, ii) που είναι παράλληλες προς αυτά ή iii) που τα τέμνουν. Ασκήσεις Εµπέδωσης 1. Να κατασκευάσετε ευθεία που διέρχε- ται από σταθερό σημείο Ο και τέμνει δύο σταθερές ασύμβατες ευθείες. 2. Δίνονται τρεις ευθείες ασύμβατες ανά δύο. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέμνει και τις τρεις. 3. Να κατασκευάσετε ευθεία ε που διέρχεται από σημείο Α και τέμνει ευθεία εʹ και κύ- κλο (Κ) του χώρου. 4. Δίνονται οι τεμνόμενες ευθείες ΧΟΧʹ και ΨΟΨʹ και ευθεία ε ασύμβατη σε αυτές. Αν Μ τυχαίο σημείο της ε, να βρείτε την τομή των επιπέδων (Μ, Χ, Χʹ) και (Μ, Ψ, Ψʹ). Αποδεικτικές Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι επίπεδο και κύκλος, που δεν ανήκει σε αυτό, έχουν δύο το πολύ κοινά σημεία. 2. Να αποδείξετε ότι τρεις ευθείες: i) αν τέ- μνονται ανά δύο χωρίς να διέρχονται από το ίδιο σημείο, τότε είναι συνεπίπεδες, ii) αν τέμνονται ανά δύο χωρίς να είναι συ- νεπίπεδες, τότε διέρχονται από το ίδιο ση- μείο. 3. Δίνονται δύο ασύμβατες ευθείες ε1 και ε2, δύο σημεία Α και Β στην ε1 και δύο ση- μεία Γ και Δ στην ε2. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΓ και ΒΔ είναι ασύμβατες. 4. Δίνονται τέσσερις ευθείες ε1, ε2, ε3 και ε4, από τις οποίες οι ε1 και ε2 είναι παράλλη- λες. Να κατασκευάσετε ευθεία που να τέ- μνει και τις τέσσερις. 5. Να αποδείξετε ότι αν τρία επίπεδα τέμνο- νται ανά δύο, τότε οι τομές τους διέρχο- νται από το ίδιο σημείο ή είναι παράλλη- λες. ΑΣΚΗΣΕΙΣΓΙΑΛΥΣΗ Δύο επίπεδα μπορεί να έχουν: 1. τρία κοινά σημεία, οπότε ταυτίζονται, 2. δύο μόνο κοινά σημεία, οπότε τέμνονται κατά την ευθεία που ορίζουν τα δύο αυτά σημεία, 3. κανένα κοινό σημείο, οπότε είναι παράλληλα. Εάν δύο επίπεδα έχουν ένα κοινό σημείο, τότε τέμνονται σε μια ευθεία που περνάει από αυτό. Δύο ευθείες του χώρου μπορεί να: 1. Ταυτίζονται αν έχουν δύο κοινά σημεία. 2. Τέμνονται αν έχουν ένα κοινό σημείο. Τότε ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο ανήκουν. 3. Είναι παράλληλες. Τότε ορίζουν ένα επίπεδο στο οποίο ανήκουν. 4. Είναι ασύμβατες. Δεν έχουν κοινό σημείο και δεν είναι παράλληλες. Τότε δεν υπάρχει επίπεδο που να τις περιέχει. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 103.
    285 Πυραμίδα, είσοδος στο μουσείοτου Λούβρου, Παρίσι (1989). Αρχιτέκτων ο Γιέο Μιγκ Πέι. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΣΤΕΡΕΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε δύο οικογένειες στερεών σχημάτων, τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής. Τα πολύεδρα αποτελούνται από τμήματα επιπέδων, κατάλληλα τοπο- θετημένα, ώστε να σχηματίζουν ένα κλειστό στερεό σύνολο. Υπάρχουν πολλά είδη πολυέδρων, εδώ όμως θα μελετήσουμε τα απλούστερα από αυτά, όπως είναι τα πρίσματα και οι πυραμί- δες. Τα στερεά εκ περιστροφής με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η σφαίρα. Τα στερεά αυτά λέγονται έτσι γιατί σχηματίζονται κατά την περιστροφή επίπεδων σχημάτων, όπως είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο τρίγωνο και ο κύκλος. Τα πολύεδρα αποτελούν μία κατηγορία σχημάτων του χώρου, τα οποία παρουσιάζουν θεω- ρητικό ενδιαφέρον, είναι όμως χρήσιμα και από πλευράς εφαρμογής σε διάφορους τομείς της τεχνολογίας και της τέχνης. Στις διάφορες εφαρμογές χρησιμοποιούνται για να προσομοιά- ζουν σχήματα του φυσικού χώρου που συναντάμε γύρω μας και είναι σημαντικές όχι μόνο οι μετρικές αλλά και οι καθαρά γεωμετρικές ιδιότητές τους. Ektojsyns € lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 104.
    Τι είναι εκτόςύλης. Σχολικό έτος 2016 - 2017 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 105.
    ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο :Διανύσματα 1.1 Η Έννοια του Διανύσματος 11 1.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων 16 1.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 21 1.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 29 1.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Η Ευθεία στο Επίπεδο 2.1 Εξίσωση Ευθείας 57 2.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 65 2.3 Εμβαδόν Τριγώνου 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Κωνικές Τομές 3.1 Ο Κύκλος 81 3.2 Η Παραβολή 89 3.3 Η Έλλειψη 100 3.4 Η Υπερβολή 113 3.5 Η Εξίσωση Αx2 + By2 + Γx + Δy + E = 0 125 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρία Αριθμών 4.1 Η Μαθηματική Επαγωγή 135 4.2 Ευκλείδεια Διαίρεση 140 4.3 Διαιρετότητα 145 4.4 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης - Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 150 4.5 Πρώτοι Αριθμοί 161 4.6 Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 170 4.7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 175 ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 185 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 106.
    25 Διανυσματική Ακτίνα ΜέσουΤμήματος Ας πάρουμε ένα διάνυσμα AB και ένα σημείο αναφοράς Ο. Επειδή AM MB= , έχουμε OM OA OB OM− = − , οπότε 2OM OA OB= + και άρα OM OA OB = + 2 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1* Να αποδειχτεί ότι: (i) Ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ, αν και μόνο αν ισχύει GA+ GΒ + GΓ = 0 και (ii) Αν G είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ, τότε για οποιοδή- ποτε σημείο Ο ισχύει ( ). ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Γνωρίζουμε από την Ευκλείδεια Γεωμετρία ότι αν G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ, τότε Α ∆G G= 2 , όπου ΑΔ η διάμεσος του τριγώνου. Επομέ- νως, ισχύει AG G= 2 ∆ , οπότε έχουμε GA GB G GA G GA AG GG+ + = + = + = =Γ ∆2 0. Αντιστρόφως, αν για ένα σημείο G ισχύει GA GB G+ + =Γ 0 , τότε θα έχουμε GA G+ =2 0∆ , όπου Δ το μέσον της ΒΓ, οπότε θα ισχύει AG G= 2 ∆ . Έτσι, το ση- μείο G ανήκει στη διάμεσο ΑΔ και ισχύει Α ∆G G= 2 . Άρα, το G είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. (ii) Από τη σχέση GA GB G+ + =Γ 0 έχουμε: OA OG OB OG O OG− + − + − =Γ 0 . Άρα lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 107.
    26 2. Να αποδειχτείότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζουν τα μέσα των απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από το σημείο αυτό. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω α β γ δ, , , τα διανύσματα θέσεως των κορυφών Α, Β, Γ, Δ, αντιστοίχως, ενός τετρά- πλευρου ΑΒΓΔ ως προς ένα σημείο αναφο- ράς Ο. Τα διανύσματα θέσεως των μέσων Η της ΒΓ και Θ της ΑΔ είναι 1 2 ( )β γ+ και 1 2 ( )α δ+ αντιστοίχως και το διάνυσμα θέσεως του μέ- σου G του ΗΘ είναι το 1 2 1 2 1 2 1 4 ( ) ( ) ( )β γ α δ α β γ δ+ + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = + + + . Ομοίως βρίσκουμε ότι το διάνυσμα θέσεως των μέσων των τμημάτων ΕΖ και ΙΚ είναι το 1 4 ( )α β γ δ+ + + . Άρα τα τμήματα ΗΘ, ΕΖ και ΙΚ διέρχονται από το ίδιο σημείο και διχοτομούνται από αυτό. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν α είναι ένα διάνυσμα, τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο και την κατεύ- θυνση του διανύσματος α α α0 1 = ⋅ | | ; 2. Να βρείτε το διάνυσμα x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: (i) 1 2 1 3 ( ) ( )x x+ = +α β (ii) x x+ + = − −3 4 3( ) ( )α β α β . 3. Αν στο διπλανό σχήμα είναι ( ) ( )ΒΜ ΜΓ= 2 , να αποδείξετε ότι x = + 1 3 2( )β γ . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 108.
    31 Συντεταγμένες Διανύσματος Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA = α. Αν A1 και A2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες x′x και y′y αντιστοίχως, έχουμε: OA OA OA= +1 2 (1) Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A, τότε ισχύει OA x1 = ι και OA yj2 = . Επομένως η ισό- τητα (1) γράφεται αα = +xi yj Αποδείξαμε δηλαδή ότι το α είναι γραμμικός συνδυασμός των i και j. Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί x και y είναι μοναδικοί. Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του α ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μο- ναδική. Πράγματι, έστω ότι ισχύει και α = ′ + ′x i y j . Τότε θα έχουμε xi yj x i y j+ = ′ + ′ ( ) ( )x x i y y j− ′ = ′− Αν υποθέσουμε ότι x x≠ ′, δηλαδή ότι x x− ′ ≠ 0, τότε θα ισχύει i y y x x j= ′ − − ′ Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i j/ / , που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά. Επομένως x x= ′, που συνεπάγεται ότι και y y= ′. Ώστε: “Κάθε διάνυσμα αα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή αα == ++xi yj”. Τα διανύσματα xi και yj λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α κατά τη διεύθυνση των i και j αντιστοίχως, ενώ οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του α στο σύστημα Οxy. Πιο συγκεκριμένα, ο x λέγεται τετμημένη του α και ο lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 109.
    35 Επομένως: Η απόσταση των σημείων Α( ,)x y1 1 και Β( , )x y2 2 είναι ίση με ( ) ( ) ( )ΑΒ = − + −x x y y2 1 2 2 1 2 Για παράδειγμα, η απόσταση των σημείων Α( , )2 7− και Β( , )5 3− είναι ίση με ( ) ( ) ( )ΑΒ = − + − + = + =5 2 3 7 3 4 52 2 2 2 . ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Αν ΑΑ( , )−−2 1 καιΒΒ( , )1 4 είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ και ΚΚ ( , )2 3−− το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ. ΛΥΣΗ Αν Γ ( , )x y1 1 και 2 2x y( , )∆ είναι οι δύο άλλες κο- ρυφές του παραλληλόγραμμου, επειδή το Κ είναι το μέσον των ΑΓ και ΒΔ, έχουμε: x y 1 1 2 2 2 1 2 3 + − = + = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ( ) και x y 2 2 1 2 2 4 2 3 + = + = − ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ . Επομένως, x y 1 1 6 7 = = − ⎧ ⎨ ⎩ και x y 2 2 3 10 = = − ⎧ ⎨ ⎩ . Άρα, οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ είναι ( , )6 7− και ( , )3 10− αντιστοίχως. 2.* Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ΑΒΓ, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του. ΛΥΣΗ Αν ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 , ( , )x y3 3 είναι οι συντεταγμέ- νες των κορυφών Α, Β, Γ αντιστοίχως και ( , )x y είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 110.
    36 ΑΒΓ, επειδή OG OA OB O = ++ Γ 3 (Εφαρμ. 1 § 1.3), θα έχουμε: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x y = + +1 1 2 2 3 3 3 = + + + + = + + + +⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ( , ) , x x x y y y x x x y y y1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 Άρα x x x x y y y y = + + = + +1 2 3 1 2 3 3 3 , . Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω α = ( , )x y1 1 και β = ( , )x y2 2 δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου. — Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα και υποθέσουμε ότι β ≠ 0 , τότε θα υπάρ- χει λ ∈R, τέτοιος, ώστε α λβ= . Επομένως, θα έχουμε ( , ) ( , )x y x y1 1 2 2= λ ή ισο- δύναμα: x x1 2= λ και y y1 2= λ , οπότε θα ισχύει x y y x x y y x1 2 1 2 2 2 2 2 0− = − =λ λ ή ισοδύναμα x y x y 1 1 2 2 0= . — Αν β = 0, τότε θα ισχύει x y x y x y1 1 2 2 1 1 0 0 0= = . Δείξαμε δηλαδή ότι αν τα διανύσματα α και β είναι παράλληλα, τότε x y x y 1 1 2 2 0= . ● Αντιστρόφως, αν x y x y 1 1 2 2 0= , τότε τα διανύσματα α και β θα είναι παράλληλα. Πράγματι, επειδή x y x y 1 1 2 2 0= , έχουμε x y x y1 2 2 1= . Επομένως, — Αν 2 0x ≠ , τότε y x x y1 1 2 2= , οπότε, αν θέσουμε x x 1 2 = λ, θα έχουμε x x1 2= λ και y y1 2= λ . Άρα, α λβ= και συνεπώς α β/ / . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 111.
    42 Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν: i j = j i =⋅ ⋅ 0 και i = j =2 2 1 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Θα δούμε τώρα πώς μπορούμε να εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α = ( , )x y1 1 και β = ( , )x y2 2 συναρτήσει των συντεταγμένων τους. Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA = α και OB = β. Από το νόμο των συνημιτό- νων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητα 2 2 2 ˆ( ) ( ) ( ) 2( )( )ΑΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ= + − συν , η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά. Όμως είναι ( ) ( ) ( )ΑΒ 2 2 1 2 2 1 2 = − + −x x y y , ( )ΟΑ 2 1 2 1 2 = +x y και ( )ΟΒ 2 2 2 2 2 = +x y . Επομένως, έχουμε διαδοχικά: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 ˆ( ) ( ) 2( )( )συνx x y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ− + − = + + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ˆ2 2 2( )( )συνx x x x y y y y x y x y ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ+ − + + − = + + + − και επειδή ˆ( )( )ΟΑ ΟΒ ΑΟΒ α βσυν = ⋅ , έχουμε τελικά: α β⋅ = +x x y y1 2 1 2 Δηλαδή: “Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γι- νομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους”. Για παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο των α = −( , )3 4 και β = −( , )2 1 είναι: α β⋅ = − ⋅ + − = −( ) ( )3 2 4 1 10. Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου θα αποδεί- ξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 112.
    45 3. Να αποδειχτείότι σσυυνν σσυυνν σσυυνν ηηµµ ηηµµ( )αα ββ αα ββ αα ββ− = + , όπου 0 ≤ < ≤ββ αα ππ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν στον τριγωνομετρικό κύκλο τα διανύσματα OA και OB σχηματίζουν με τον άξονα x′x γωνίες α και β αντιστοίχως, τότε θα είναι OA = ( , )συν ηµα α και OB = ( , )συν ηµβ β . Επομένως, θα έχουμε: OA OB OA OB⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − =| | | | ( ) ( ) (συν συν συνα β α β1 1 αα β− ) και OA OB⋅ = = ⋅ + ⋅( , )( , )συν ηµ συν ηµ συν συν ηµ ηµα α β β α β α β . Άρα, συν συν συν ηµ ηµ( )α β α β α β− = ⋅ + ⋅ Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Έστω α, v δύο διανύσματα του επιπέδου με α ≠ 0. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρ- νουμε τα διανύσματα OA = α και OM =ν . Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύ- θυνση του OA και έστω Μ1 το ίχνος της καθέτου. Το διάνυσμα OM1 λέγεται προβολή του νν στο αα και συμβολίζεται με ππρροοββ νναα . Δηλαδή, OM1 = προβ να . Αποδεικνύεται ότι η προβολή του ν πάνω στο α είναι ανεξάρτητη από την επι- λογή του σημείου Ο. Για το εσωτερικό γινόμενο των α και ν έχουμε: α α α α⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =v OM M M OM M M( )1 1 1 1 αα α ν⋅ = ⋅OM1 προβα Επομένως: α ν α ν⋅ = ⋅προβα lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 113.
    47 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν α= −( , )1 3 και β = ( , )2 5 , τότε (i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α β⋅ , ( ) ( )2 3α β⋅ − και ( ) ( )α β α β− ⋅ +3 (ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ λ, ∈R, ώστε το εσωτερικό γι- νόμενο των διανυσμάτων u = ( , )κ λ και β να είναι ίσο με μηδέν. Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή; 2. Αν u v= =( , ), ( , )1 2 4 2 και w = ( , )6 0 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: u v w⋅ +( )7 , | | ( )u v w⋅ , | ( ) |u v w⋅ και (| | )u v w⋅ . 3. Αν α = ( , )1 0 και β = ( , )1 1 , να βρείτε τον λ ∈R , ώστε: (i) Τα διανύσματα α και α λβ+ να είναι κάθετα (ii) Τα διανύσματα β και α λβ+ να είναι κάθετα. 4. Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο u = −( , )3 2 και έχουν μέτρο ίσο με 1. 5. Αν | |α = 2, | |β = 3 και ( , )α β π∧ = 3 , να υπολογίσετε τον κ ∈R, ώστε τα δια- νύσματα u = −3α β και v = +κα β2 να είναι κάθετα. 6. Αν α κ= ( , )1 και β = ( , )4 3 , να βρείτε τον κ ∈R ώστε να ισχύει: (i) α β⋅ = 0 (ii) ( , )α β π∧ = 4 (iii) α β/ / . 7. Αν | | | |α β= =1 και ( , )α β π∧ = 2 3 , να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων u = +2 4α β και v = −α β. 8. Αν τα διανύσματα α. και β είναι μη μηδενικά, να αποδείξετε ότι: α α β α β α β ⊥ − ⇔ ( , ) = | | | | ( ) συν . 9. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα u = +| | | |α β β α και v = −| | | |α β β α είναι κάθετα. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 114.
    48 10. Να αποδείξετε ότι για δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β, το διάνυσμα v = − ⋅β α α β β2 ( ) είναι κάθετο στο β . 11. Δίνονται τα σημεία Α Β Γ( , ), ( , ), ( , )3 2 6 4 1 5− − και Δ(‒1,2). Να υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο ΑΒ Γ∆⋅ (ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα ΑΒ και Γ∆ ; 12. Δίνονται τα διανύσματα α = −( , )2 4 και β = −( , )8 5 . Να αναλύσετε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α. 13. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κα- τασκευάζεται με τα διανύσματα 5 2α β+ και α β−3 , αν | |α = 2 2 , | |β = 3 και ( , )α β ∧ = 45 . 14. Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε την πα- ράσταση ΑΒ ΑΓ ΑΒ Γ∆⋅ + ⋅ . 15. Να εξετάσετε πότε ισχύει: (i) | | | | | |α β α β+ = + (ii) | | | | | |α β α β− = + Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Τα διανύσματα α και β είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά. Να απο- δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ισχύει: λ α λµ α β µ β2 2 2 2 2 0+ ⋅ + ≥( ) . Πότε ισχύει το ''= ''; 2. Να αποδείξετε ότι: (i) | | | | | | | |u v u v u v+ + − = +2 2 2 2 2 2 (ii) u v u v u v⋅ = + − − 1 4 1 4 2 2 | | | | . 3. Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα α και β . Να αποδείξετε ότι: Ε lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 115.
    50 9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εξω- τερικώς αυτού κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΑΓΗΘ. Να εκφράσετε τα διανύσματα BΘ και ZΓ ως συνάρτηση των β β γ γ1 2 1 2, , , και να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο B ZΘ Γ⋅ . Τι συμπεραίνετε για τα τμήματα ΒΘ και ΓΖ; 10. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλό- γραμμο και τα ′ ′B , ∆ οι προβολές του Γ στις ΑΒ και ΑΔ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι AB AB A A A⋅ ′ + ⋅ ′ =∆ ∆ Γ 2 11. Δίνεται κύκλος ( , )O R και σημείο Μ του επιπέδου του. Αν μεταβλητή ευ- θεία που διέρχεται από το Μ τέμνει τον κύκλο στα Α και Β, να αποδείξετε ότι το γινόμενο MA MB⋅ είναι σταθερό. (Το γινόμενο αυτό λέγεται δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο Ο). ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ, λ, μ με | | | | | |κ λ µ+ + ≠ 0, τέτοιοι, ώστε κ λ µ+ + = 0 και, κ λ µOA OB O+ + =Γ 0 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά και αντιστρόφως. 2. Αν για το σημείο Μ του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις AM AB A= +λ µ Γ και BM A BA= +λ µΓ , να αποδείξετε ότι το Μ είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ. 3. Έστω Ο και Α δύο σταθερά σημεία του επιπέδου με | |OA = 3. Ποια γραμμή γράφουν τα σημεία Μ του επιπέδου για τα οποία είναι OM OM OA⋅ − =( )2 7; Β Ε Μ Ο ΘΗ Γ Κ Ζ Λ Α Δ Β Ε Μ Ο ΘΗ Γ Κ Ζ Λ Α Δ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 116.
    68 Επειδή δεν υπάρχει τιμή του λ για την οποία να μηδενίζονται και ο συντελεστής του x και ο συντελεστής του y, η εξίσωση (2) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ ∈ R. Για να δείξουμε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να βρούμε ένα σημείο K(x0, y0) του οποίου οι συντεταγμένες να επαληθεύουν την (1) για όλες τις τιμές του λ. Το ζητούμενο σημείο θα είναι εκείνο του οποίου οι συντεταγμένες μηδενίζουν τις παραστάσεις x y− +2 5 και 3 2 7x y+ + , δηλαδή η λύση του συστήματος x y− + =2 5 0 και 3 2 7 0x y+ + = . Από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε ότι x0 3= − και y0 1= . Επομένως, όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από το σημείο K( , )−3 1 . (ii) Έστω ε ευθεία της οικογένειας (1) που είναι κάθετη στην ευθεία ζ. Τότε θα ισχύει λ λ λ λε ζ ε ε⋅ = − ⇔ ⋅ = − ⇔ = −1 2 1 1 2 (3) όμως, λόγω της (2), ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι ίσος με λ λ λ ε = + − 1 3 2 2 . Επομένως, από την (3) έχουμε 1 3 2 2 1 2 2 6 2 2 1 + − = − ⇔ + = − + ⇔ = − λ λ λ λ λ , οπότε η ευθεία ε θα έχει εξίσωση − − − =2 4 2 0x y που γράφεται x y+ + =2 1 0 . 2. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(2,3), Β(4,1) και Γ(5λ‒1,λ), όπου ∈ Rλ με λ ≠1. Να αποδείξετε ότι το κέντρο βάρους του τριγώνου κινεί- ται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο R. ΛΥΣΗ Αν G x y( , ) το κέντρο βάρους του τριγώνου, τότε x = + + − = +2 4 5 1 3 5 5 3 λ λ και y = + + = +3 1 3 4 3 λ λ . Έχουμε λοιπόν το σύστημα x y x y = + = + ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ = + = + ⎧ ⎨ ⎩ 5 5 3 4 3 3 5 5 3 4 λ λ λ λ . Απαλείφουμε το λ από τις εξισώσεις και βρίσκουμε 3 15 15 0x y− + = ή ισοδύναμα x y− + =5 5 0 . Άρα, το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ κινείται στην ευθεία x y− + =5 5 0 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 117.
    70 6. Να βρείτε την τιμή του κ ∈R, ώστε η ευθεία 3 3 0x y+ + =κ να διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών 3 4 6 0x y+ + = και 6 5 9 0x y+ − = . Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις: (i) x y y2 2 4 4 0− + − = (ii) x y x y2 2 4 2 3 0− − + + = . 2. Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής ( ) ( ) ( )2 3 1 3 1 02 2 α α α α α+ + + − + + + =x y , α ∈R διέρχονται από το ίδιο σημείο. 3. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες x y+ =4 5, 3 2 1x y− = και 7 8 1 0x y− + = διέρ- χονται από το ίδιο σημείο. 4. Να βρείτε την οξεία γωνία την οποία σχηματίζουν οι ευθείες y x= µ και ( ) ( )1 1+ = −µ µx y . 5. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο τομής των ευθειών x y α β + =1 και x y β α + =1, με α β, ≠ 0 και α β≠ ± . 6. Δίνεται η ευθεία 3 3x y+ = και το σημείο Α( , )1 2 . Να βρείτε τις συντεταγμέ- νες της προβολής του Α στην ευθεία αυτή. 7. Δίνεται η ευθεία ε α β : x y + =1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία είναι κάθετη στην ε στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα x′x. 2.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση Ax By+ + =Γ 0 και M x y0 0 0( , ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 118.
    72 Υπολογισμός Εμβαδού Έστω A xy( , )1 1 , B x y( , )2 2 και Γ ( , )x y3 3 τρία ση- μεία του καρτεσιανού επιπέδου. Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Αν ΓΔ είναι το ύψος του ΑΒΓ από την κορυφή Γ, τότε θα ισχύει ( ) ( ) ( )AB ABΓ Γ∆= ⋅ 1 2 . (1) Το (ΑΒ) είναι η απόσταση των σημείων A x y( , )1 1 και B x y( , )2 2 . Επομένως, ( ) ( ) ( )AB x x y y= − + −2 1 2 2 1 2 . (2) Το (ΓΔ) είναι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ. Για να την υπολογί- σουμε, θα βρούμε πρώτα την εξίσωση της ΑΒ. Η ΑΒ, αν δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα y′y, θα έχει συντελεστή διεύθυν- σης λ = − − y y x x 2 1 2 1 , οπότε θα έχει εξίσωση AB: y y y y x x x x− = − − −1 2 1 2 1 1( ) , η οποία γράφεται ισοδύναμα ΑΒ: ( )( ) ( )( )x x y y y y x x2 1 1 2 1 1 0− − − − − = . (3) Αν, όμως, η ΑΒ είναι παράλληλη προς τον άξονα y′y, τότε θα έχει εξίσωση x x= 1 , η οποία παίρνει και αυτή τη μορφή (3). Η εξίσωση (3), μετά την εκτέλεση των πράξεων, γράφεται ΑΒ: ( ) ( ) ( )y y x x x y x y x y1 2 2 1 1 2 2 1 0− + − + − = . (4) Επομένως, η απόσταση (ΓΔ) του Γ από την ευθεία ΑΒ είναι ίση με ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) Γ∆ = − + − + − − + − 4 1 2 3 2 1 3 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 y y x x x y x y x y y y x x = − − − − − − + − ( ) | ( )( ) ( )( ) | ( ) ( ) 3 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 2 1 2 x x y y y y x x x x y y . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 119.
    73 Άρα, ( ) | | () ( ) Γ∆ = − − − − − + − x x y y x x y y x x y y 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 . (5) Έτσι, η ισότητα (1), λόγω του (2) και (5), γράφεται ( ) | |AB x x y y x x y y Γ = − − − − 1 2 2 1 2 1 3 1 3 1 . (6) Όμως, η 1η γραμμή της ορίζουσας είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB και η 2η γραμμή οι συντεταγμένες του διανύσματος AΓ . Επομένως, η ορίζουσα αυτή είναι ίση με την ορίζουσα det( , )AB AΓ των διανυσμάτων AB και AΓ . Έτσι, η σχέση (6) γράφεται ( ) | det( , ) |AB AB AΓ Γ= 1 2 Για παράδειγμα, αν A B( , ), ( , )0 1 1 0− και Γ ( , )3 8− είναι οι κορυφές ενός τρι- γώνου ΑΒΓ, τότε AB = − −( , )1 1 και AΓ = −( , )3 9 , οπότε το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι ( ) | det( , ) | | |AB AB AΓ Γ= = − − − = ⋅ = 1 2 1 2 1 1 3 9 1 2 12 6. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ε λ β1 1: y x== ++ καιε λ β2 2: y x== ++ δίνεται από τον τύπο . ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η απόσταση των ε1 και ε2 είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ε1 από την ευθεία ε2 . Για x = 0 , από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι y = β1 . Άρα, το σημείο Α( , )0 1β lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 120.
    76 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων Ο και απέχουν από το σημείο Α( ,)−1 3 απόσταση ίση με 1. 5. Να βρείτε τα σημεία της ευθείας x y− + =2 0, τα οποία απέχουν από την ευθεία 12 5 60 0x y− + = απόσταση ίση με 1. 6. Να δείξετε ότι τα σημεία Α Β( , ), ( , )α β γ δ και Γ ( , )α γ β δ− − είναι συ- νευθειακά, αν και μόνο αν αδ βγ= . 7. Δίνονται τα σημεία Α( , )α 0 και Β( , )0 β , με α β, ≠ 0. Αν η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει τους άξονες στα σημεία P p( , )0 και Q q( , )0 , να δείξετε ότι: (i) α βq p pq+ = 2 (ii) α βp q+ = 0. Στη συνέχεια να εκφράσετε τα p και q συναρτήσει των α και β. 8. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 3 4 1 0x y− + = και 5 12 4 0x y+ + = . 9. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο το- μής των ευθειών x y− + =1 0 και 2 3 5 0x y− + = και απέχει από το σημείο Α( , )3 2 απόσταση ίση με 7 5 . 10. Δίνονται τα σημεία Α( , )− −1 2 και Β( , )3 1 . Να βρείτε το σύνολο των σημεί- ων Μ για τα οποία ισχύει ( )ΜΑΒ = 8 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M ( , )1 0 και τέμνει τις ευθείες y x= + 2 και y x= στα σημεία Α και Β αντι- στοίχως, έτσι, ώστε ( )ΑΒ = 2 . 2. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λ λ λx y+ − =( )1 2 και ( )λ λ λ+ + = +1 2 1x y τέ- μνονται για όλες τις τιμές του λ ∈R. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους; lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 121.
    77 3. Αν οι τρεις ευθείες α βκκx y+ =1, με κ =1 2 3, , , διέρχονται από το ίδιο ση- μείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία ( , )α βκ κ , κ =1 2 3, , , είναι συγγραμμικά. 4. Να βρείτε την ευθεία η οποία συνδέει το σημείο Α ( , )α β με το σημείο τομής των ευθειών x y α β + =1 και x y β α + =1, όπου α β, ≠ 0 και α β≠ ± . 5. Αν οι ευθείες x y α β + =1 και x y Α Β + =1 είναι παράλληλες με Α > α και β > 0 , να δείξετε ότι η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι β α α β ( )Α − +2 2 . 6. Να δείξετε ότι: (i) Η εξίσωση x xy y2 2 4 0− + = παριστάνει δύο ευθείες. (ii) Καθεμιά σχηματίζει με την x y− = 0 γωνία 30 . 7. Να βρείτε συνθήκη, ώστε: (i) Η ευθεία α β γx y+ + = 0 να ορίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο (ii) Ο άξονας x′x να διχοτομεί τη γωνία των ευθειών με εξισώσεις ε α β1 1 1 0: x y+ = και ε α β2 2 2 0: x y+ = . 8. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τε- τράγωνο ενώ τα ΕΑΒ και ΖΒΓ είναι ισό- πλευρα τρίγωνα πλευράς α = 2. (i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Ε και Ζ. (ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Σε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς να κυκλώσετε το Α, αν είναι αληθής, και το Ψ, αν είναι ψευδής: • Η ευθεία y x= − +3 5σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x′x Α Ψ • Οι ευθείες x = 5 και y = −2 είναι κάθετες Α Ψ • Η εξίσωση α α α+1 1 10 02 ( ) + −( ) + = ∈x y , R παριστάνει πάντοτε ευθεία Α Ψ • Η ευθεία 3 4 1 0x y+ − = δε διέρχεται από την αρχή των αξόνων Α Ψ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 122.
    82 M x y(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν απέχει από το κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: ( )OM = ρ (1) Όμως, ( )OM x y= +2 2 . Επομένως, η (1) γρά- φεται x y2 2 + = ρ ή, ισοδύναμα, x y2 2 2 + = ρ . (2) Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση (2). Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( , )0 0 και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x y2 2 2 + = ρ (3) Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =1 έχει εξί- σωση x y2 2 1+ = . Ο κύκλος αυτός λέγεται μοναδιαίος κύκλος. Παραμετρικές Εξισώσεις Κύκλου Έστω ο κύκλος 2 2 2 :C x y ρ+ = και ένα σημείο M x y( , ) του καρτεσιανού επιπέδου. Αν το M x y( , ) ανήκει στον κύκλο C και ϕ π∈[ , )0 2 είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα OM με τον άξονα x′x, τότε, όπως γνωρίζουμε από την Τρι- γωνομετρία, θα ισχύουν οι σχέσεις: x = ρσυνϕ και y = ρ ϕηµ . (1) Αντιστρόφως, αν για τις συντεταγμένες x, y του Μ ισχύουν οι σχέσεις (1), τότε το σημείο Μ θα ανήκει στον κύκλο C, αφού x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + =ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕ ρσυν ηµ συν ηµ( ) . Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων M x y( , ) του κύκλου C και μόνον αυ- τές ικανοποιούν τις εξισώσεις x y= = ∈ρ ϕ ρ ϕ ϕ πσυν και ηµ , [ , )0 2 Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 123.
    90 Για να βρούμε ένα σημείο της παραβολής C, εργαζόμαστε ως εξής: Παίρνουμε ένα σημείο Π1 της ημιευθείας ΚΕ (Σχ. β) και από το σημείο αυτό φέρνουμε την κάθετη στην ΚΕ και έστω Μ1 ένα από τα σημεία τομής της κάθετης αυτής και του κύκλου με κέντρο το Ε και ακτίνα Π1 Α. Τότε, το σημείο Μ1 είναι σημείο της παραβολής C. Πράγματι, αν P1 είναι η ορθή προβολή του Μ1 στη διευθετούσα δ, τότε θα ισχύει () ( ) ( )M P A M E1 1 1 1= =Π , δηλαδή d M d M E( , ) ( , )1 1δ = . Εξίσωση Παραβολής ● Έστω C μια παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα δ. Θα βρούμε την εξίσωση της παραβολής C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με αρχή Ο την κορυφή της παραβολής και άξονα x′x την κάθετη από το Ε στην δ. Αν στο σύστημα αυτό η τετμημένη της εστίας Ε είναι p 2 , τότε η εξίσωση της διευθετούσας θα είναι x p = − 2 . Σύμφωνα με τον ορισμό της παραβολής, ένα σημείο M x y( , ) θα ανήκει στη C, αν και μόνο αν ισχύει d M E d M( , ) ( , )= δ . (1) Είναι όμως d M E x p y( , ) = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 2 2 2 και d M x p x p ( , )δ = + + = + 2 1 0 22 2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 124.
    93 Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων M1 και M2 θα είναι y p y1 2 1 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ και y p y2 2 2 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ αντιστοίχως. Όμως, τα σημεία E p 2 0, ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , M y p y1 1 2 1 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , M y p y2 2 2 2 2 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ είναι συνευθειακά. Επομένως: EM EM1 2/ / , οπότε έχουμε διαδοχικά: det( , )EM EM1 2 0= y p p y y p p y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 − − = ( ) ( )y p y p y p y p 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 − − − = y y y y p y p y1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0− − + = y y y y p y y1 2 1 2 2 1 2( ) ( )− = − − y y p1 2 2 = − , αφού y y1 2≠ . Άρα | | | | | |y y y y p1 2 1 2 2 ⋅ = = . (σταθερό) Εφαπτομένη Παραβολής ● Έστω μια παραβολή C με εξίσωση y px2 2= (1) και ένα σταθερό της σημείο M x y1 1 1( , ). Έστω επιπλέον μια μη κατακόρυφη ευθεία ζ που διέρχεται από το M x y1 1 1( , ) και τέμνει την παραβολή και σε ένα άλλο σημείο M x y2 2 2( , ). Τότε η ζ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = − − y y x x 2 1 2 1 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 125.
    96 Επομένως, έχουμε: ( )EM x p yx p px1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2= − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += p x = + =x p EN1 1 2 ( ) . ■ Η χρήση της παραπάνω ιδιότητας γίνεται στα παραβολικά τηλεσκόπια, στα ρα- ντάρ, στα φανάρια των αυτοκινήτων, στους προβολείς των οδοντιάτρων κτλ. Συγκεκριμένα: — Όλες οι ακτίνες φωτός που προσπίπτουν στο παραβολικό κάτοπτρο παράλλη- λα προς τον άξονά του, ανακλώμενες, συγκεντρώνονται στην εστία. — Στα φανάρια των αυτοκινήτων που έχουν παραβολικά κάτοπτρα οι λαμπτή- ρες βρίσκονται στην εστία τους. Έτσι, οι φωτεινές ακτίνες, ανακλώμενες στο κάτοπτρο, εξέρχονται παράλληλα προς τον άξονά του. ΣΧΟΛΙΟ Σύμφωνα με την προηγούμενη απόδειξη, για να φέρουμε την εφαπτομένη μιας παραβολής σε ένα σημείο της M x y1 1 1( , ), αρκεί να ενώσουμε το σημείο N x1 1 0( , )− με το M x y1 1 1( , ). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ *1. Έστω η παραβολή C y px: 2 2= και ε1 , ε2 οι εφαπτόμενες της παραβολής από ένα σημείο M x y0 0 0( , ) με x0 0≠ . Αν Μ1 , Μ2 είναι τα σημεία επαφής των ε1 , ε2 με την παραβολή C, να αποδειχτεί ότι (i) Η ευθεία Μ1 Μ2 έχει εξίσωση yy p x x0 0= +( ) (ii) Η ευθεία Μ1 Μ2 διέρχεται από την εστία, αν και μόνο αν το Μ0 ανήκει στη διευθετούσα της παραβολής. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 126.
    99 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξό- νων και άξονα συμμετρίας τον άξονα x′x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν έχει εστία το σημείο Ε ( , )−1 0 (ii) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία x = 1 2 (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο Α( , )1 2 . 2. Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση: (i) y 82 = x (ii) y x2 8= − (iii) 2 4 1 y= x (iv) y x= − 1 4 2 (v) y x2 4= α (vi) y x= 1 4 2 α . 3. Δίνεται η παραβολή y px2 2= . Να αποδειχτεί ότι η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο στην εστία σημείο της. 4. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β της παραβολής y x= 1 4 2 , που έχουν την ίδια τεταγμένη και ισχύει ˆ 90ΑΟΒ = . 5. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y x= 1 4 2 σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία 1+=y x (ii) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y x= −2 (iii) Όταν διέρχεται από το σημείο )1,0( −Α . 6. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής y x= 1 4 2 στα σημεία )4,4(Α και Β − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟1 1 4 , τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος ( )x y− + =3 82 2 εφάπτεται της παραβολής y x2 4= . (Δηλαδή, έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 127.
    102 Εξίσωση Έλλειψης ● Έστω μια έλλειψη C με εστίες ′E και Ε. Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξονα των x την ευθεία ′E E και άξονα των y τη μεσοκάθετο του ′E E. Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της έλλει- ψης C, τότε θα ισχύει ( ) ( )ME ME′ + = 2α. (1) Επειδή ( )′ =E E 2γ, οι εστίες ′E και Ε θα έχουν συντεταγμένες ( , )−γ 0 και ( , )γ 0 αντιστοίχως. Επομένως, ( ) ( )ME x y′ = + +γ 2 2 και ( ) ( )ME x y= − +γ 2 2 . Έτσι, η σχέση (1) γράφεται ( ) ( )x y x y+ + + − + =γ γ α2 2 2 2 2 , από την οποία έχουμε διαδοχικά: ( ( )x y x y+ + = − − +γ α)2 2 2 2 2 γ ( ) ( ) ( )x y x y x y+ + = + − + − − +γ α γ α γ2 2 2 2 2 2 2 4 4 x x y x x y x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4+ + + = + + − + − − +γ γ α γ γ α γ( ) (2) α γ γ α γ2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x x y x+ − + = − α α γ α γ α α γ α γ2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2x x y x x+ − + = + − ( ) ( )α γ α α α γ2 2 2 2 2 2 2 2 − + = −x y x y2 2 2 2 2 1 α α γ + − = . (3) Επειδή α γ> , είναι α γ2 2 0− > , οπότε αν θέσουμε β α γ= −2 2 , η εξίσωση (3) παίρνει τη μορφή x y2 2 2 2 1 α β + = . (4) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 128.
    106 Παραμετρικές Εξισώσεις Έλλειψης Έστω η έλλειψη C x y : 2 2 2 2 1 α β + = και ένα σημείο M x y( , ) του καρτεσιανού επι- πέδου. — Αν το M x y( , ) ανήκει στην έλλειψη C, τότε θα ισχύει x y2 2 2 2 1 α β + = , οπότε θα έχουμε x y α β ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 2 2 1. Επομένως, το σημείο N x y α β , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ θα ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο, οπότε θα υπάρ- χει γωνία ϕ π∈[ , )0 2 , τέτοια, ώστε x α ϕ= συν και y β ϕ= ηµ , δηλαδή x = α ϕσυν και y = β ηµϕ. (1) — Αντιστρόφως, αν ισχύουν οι (1) για κάποια γωνία ϕ π∈[ , )0 2 , τότε το σημείο M x y( , ) θα ανήκει στην έλλειψη C, αφού x y2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 α β α ϕ α β ϕ β ϕ ϕ+ = + = + = συν ηµ συν ηµ . Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων M x y( , ) της έλλειψης C και μόνο αυ- τές ικανοποιούν τις εξισώσεις x = αα ϕϕσσυυνν και y = ββ ϕϕηηµµ , ∈[0,2 )πϕ . Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παρα- μετρικές εξισώσεις της έλλειψης C. Σύμφωνα με τις παραμετρικές εξι- σώσεις το σημείο M ( , )α ϕ βσυν ηµϕ της έλλειψης προσδιορίζεται ως εξής: Γράφουμε τους κύκλους C1 και C2 με κέντρο Ο και ακτίνες β και α αντι- στοίχως και φέρνουμε μια ημιευθεία Οt, έτσι ώστε ( , )Ox Ot ∧ = ϕ. Αν η ημι- ευθεία Οt τέμνει τους C1 και C2 στα σημεία Μ1 και Μ2 αντιστοίχως και οι lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 129.
    108 Εφαπτομένη Έλλειψης ● Έστω μια έλλειψη C με εξίσωση xy2 2 2 2 1 α β + = και ένα σημείο της M x y1 1 1( , ). Η εφαπτο- μένη της έλλειψης C στο σημείο M x y1 1 1( , ) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της παραβολής και αποδεικνύεται ότι έχει εξί- σωση xx yy1 2 1 2 1 α β + = Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης x y2 2 16 4 1+ = στο σημείο της M1 2 3( , ) έχει εξίσωση x y⋅ + = 2 16 3 4 1, η οποία γράφεται ισοδύναμα y x= − + 3 6 4 3 3 . ● Αν μια έλλειψη έχει εξίσωση y x2 2 2 2 1 α β + = , τότε η εφαπτομένη της στο σημείο M x y1 1 1( , ) έχει εξίσωση yy xx1 2 1 2 1 αα ββ ++ == . ● Όπως η παραβολή έτσι και η έλλειψη έχει ανάλογη ανακλαστική ιδιότητα. Συγκεκριμένα: Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία ˆE ME′ , όπου ′E E, οι εστίες της έλλειψης. YEKTO 's %e"zgoE/palm =#= lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 130.
    109 Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή ένα ηχητικό κύμα ή μια φωτεινή ακτίνα που ξε- κινούν από τη μία εστία μιας έλλειψης, ανακλώμενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό ορισμένων τύπων οπτικών ορ- γάνων και στην κατασκευή των λεγόμενων “στοών με ειδική ακουστική”. Οι στοές αυτές είναι αίθουσες με ελλει- πτική οροφή, στις οποίες ένα πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μια εστία μπορεί να ακουστεί στην άλλη εστία. Ακόμη, η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης βρί- σκει σπουδαία εφαρμογή σε μια ιατρική μέθοδο που λέγεται λιθοθρυψία. Η μέ- θοδος αυτή εφαρμόζεται ως εξής: Στη μια εστία της έλλειψης τοποθετείται ένα ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο ασθενής τοποθετείται σε τέτοια θέση, ώστε το νεφρό του να είναι στην άλλη εστία. Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούνται από τους ανακλώμενους υπερήχους. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Δίνονται η έλλειψη C x y 1 2 2 2 2 1: αα ββ ++ == και ο κύκλος C x y2 2 2 2 : ++ == αα . Αν M x y1 1 1( , ) είναι ένα σημείο της C1 και M x y2 2 2( , ) το σημείο του C2 με x x2 1== ≠ 0, να αποδειχτεί ότι η εφαπτομένη ε1 της έλλειψης C1 στο σημείο Μ1 και η εφαπτομένη ε2 του κύκλου C2 στο σημείο Μ2 τέμνονται πάνω στον άξονα x′x. lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 131.
    112 3. Να εγγράψετε στην έλλειψη 442 2 x y+ = τετράγωνο με πλευρές παράλλη- λες προς τους άξονες. 4. Αν ′E E, είναι οι εστίες και ′Β Β ο μικρός άξονας της έλλειψης x y2 2 2 4+ = , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒΒ Ε′ ′ είναι τετράγωνο. 5. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες μιας έλλειψης στα άκρα μιας διαμέτρου της είναι παράλληλες. (Διάμετρος μιας έλλειψης λέγεται το τμήμα που συν- δέει δύο σημεία της έλλειψης και διέρχεται από την αρχή των αξόνων). 6. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 3 42 2 x y+ = , οι οποίες: (i) είναι παράλληλες προς την ευθεία y x= − +3 1 (ii) είναι κάθετες στην ευθεία y x= 1 2 (iii) διέρχονται από το σημείο Μ ( , )0 4 . 7. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της έλλειψης x y2 2 4 100+ = στα σημεία της M1 4 5 5( , ), M2 4 5 5( , )− , M3 4 5 5( , )− − και M4 4 5 5( , )− σχημα- τίζουν τετράγωνο με διαγώνιες τους άξονες x′x και y′y. Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι το σημείο M t t t t α β( ) , 1 1 2 1 2 2 2 − + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ανήκει στην έλλειψη x y2 2 2 2 1 α β + = για όλες τις τιμές του t ∈R. 2. Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών α λβ αy x= +( ) και λα β αy x= −( ) , 0 < <β α. ανήκει στην έλλειψη x y2 2 2 2 1 α β + = για όλες τις τιμές του λ ∈R* . 3. Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της έλλειψης x y2 2 2 2 1 α β + = , να αποδείξετε ότι ( )ME x′ = +α ε και ( )ME x= −α ε . 4. Αν d d, ′ είναι οι αποστάσεις των σημείων Γ ( , )0 γ και ′ −Γ ( , )0 γ από την εφαπτομένη της έλλειψης x y2 2 2 2 1 α β + = σε ένα σημείο της M x y1 1 1( , ), να απο- δείξετε ότι d d2 2 2 2+ ′ = α . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 132.
    114 Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό: α) Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν |( ) ( ) |ME ME′ − = 2α. β) Ισχύει | ( ) ( ) | ( )ME ME E E′ − < ′ δηλαδή 2 2α γ< , οπότε α γ< . Για να βρούμε σημεία της υπερβολής C, εργαζό- μαστε ως εξής: Παίρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ μήκους 2α και ένα οποιοδήποτε σημείο Σ της ημιευθείας ΚΛ εκτός του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ. Με κέντρα ′E και Ε και ακτίνες ′ =ρ ( )ΚΣ και ρ = ( )ΛΣ , αντιστοίχως, γράφουμε κύκλους οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Μ και ′M . Τα ση- μεία Μ και ′M είναι σημεία της υπερβολής, για- τί ισχύει ( ) ( )ME ME′ − = − = =( ) ( ) ( )ΚΣ ΛΣ ΚΛ 2α. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να κατασκευάσου- με οσαδήποτε σημεία της υπερβολής. Εξίσωση Υπερβολής ● Έστω C μια υπερβολή με εστίες ′E και Ε. Θα βρούμε την εξίσωση της C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξονα των x την ευθεία ′E E και άξονα των y τη μεσοκάθετη του ′E E. Αν M x y( , ) είναι ένα σημείο της υπερβολής C, τότε θα ισχύει | ( ) ( ) |ME ME′ − = 2α, (1) Επειδή ( )′ =E E 2γ , οι εστίες ′E και Ε θα έχουν συ- ντεταγμένες ( , )−γ 0 και ( , )γ 0 αντιστοίχως. Επομέ- νως, ( ) ( )ME x y′ = + +γ 2 2 και ( ) ( )ME x y= − +γ 2 2 Έτσι η σχέση (1) γράφεται ( ) ( )x y x y+ + − − + =γ γ α2 2 2 2 2 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 133.
    117 ● Από την εξίσωση της υπερβολής για y = 0 βρίσκουμε x= ±α. Συνεπώς, η υπερ- βολή τέμνει τον άξονα x′x στα σημεία ′ −A ( , )α 0 , και A( , )α 0 . Τα σημεία αυτά λέ- γονται κορυφές της υπερβολής. Από την ίδια εξίσωση για x = 0 προκύπτει η εξίσωση y2 2 = −β , η οποία είναι αδύνατη στο R. Επομένως, η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα y′y. ● Τέλος, από την εξίσωση της υπερβολής, έχουμε x y2 2 2 2 1 1 α β = + ≥ , οπότε x2 2 0− ≥α και άρα x ≤ −α ή x ≥ α. Επομένως, τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευ- θειών x = −α και x = α, πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους. Ασύμπτωτες Υπερβολής ● Έστω μια υπερβολή C με εξίσωση x y2 2 2 2 1 α β − = (1) και μια ευθεία ε με εξίσωση y x= λ , δηλαδή μια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. Η ευθεία ε έχει με την υπερβολή C κοινά σημεία, αν και μόνο αν το σύστημα x y2 2 2 2 1 α β − = και y x= λ (1) έχει λύση. Η πρώτη εξίσωση του συστήματος (1), λόγω της δεύτερης, γράφεται διαδοχικά x x2 2 2 2 2 1 α λ β − = β λ α α β2 2 2 2 2 2 2 x x− = ( )β λ α α β2 2 2 2 2 2 − =x . (2) lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 134.
    120 Επομένως, η εκκεντρότητα ε προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της ασυ- μπτώτου της, δηλαδή χαρακτηρίζει το ορθογώνιο βάσης, άρα τη μορφή της ίδιας της υπερβολής. Όσο η εκκεντρότητα μικραί- νει και τείνει να γίνει ίση με 1, ο λόγος β α , άρα και το β, μικραίνει και τείνει να γίνει ίσο με 0. Κατά συνέπεια, όσο πιο μικρή είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο επί- μηκες είναι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τόσο πιο κλειστή είναι η υπερβολή. Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής είναι α β= , οπότε ε = 2 . Εφαπτομένη Υπερβολής ● Έστω μια υπερβολή με εξίσωση x y2 2 2 2 1 α β − = (1) και ένα σημείο M x y1 1 1( , ) αυτής. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο M x y1 1 1( , ) ορίζεται με τρόπο ανάλογο προς εκείνο με τον οποίο ορίστηκε η εφαπτομένη της έλλειψης και αποδεικνύεται ότι έχει εξίσωση xx yy1 2 1 2 1 α β − = Έτσι, για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής x y 2 2 4 1− = στο ση- μείο M1 4 3( , ) έχει εξίσωση x y 4 4 3 1− = , η οποία γράφεται ισοδύναμα y x= − 3 3 3 3 . ● Αν μια υπερβολή έχει εξίσωση y x2 2 2 2 1 α β − = , Fade "⇒s¥€g lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 135.
    123 (iv) Όταν έχει ασύμπτωτες τις ευθείες yx= 4 3 και y x= − 4 3 και διέρχεται από το σημείο M ( , )3 2 4 . 2. Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες της υπερβολής: (i) 9 16 1442 2 x y− = , (ii) x y2 2 4− = , (iii) 144 25 36002 2 x y− = . 3. Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = , της οποίας η ασύ- μπτωτη y x= β α σχηματίζει με τον άξονα x′x γωνία 30 . 4. Αν η εφαπτομένη της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = στην κορυφή Α( , )α 0 τέμνει την ασύμπτωτη y x= β α στο σημείο Γ, να αποδείξετε ότι ( ) ( )ΟΕ ΟΓ= . 5. Έστω η υπερβολή C x y : 2 2 2 2 1 α β − = , ε η εφαπτομένη της σε ένα σημείο Μ1 1 1( , )x y και ζ η κάθετη της ε στο Μ1 . Αν η ε διέρχεται από το σημείο M2 0( , )−β και η ζ διέρχεται από το σημείο M3 2 2 0( , )α , να αποδείξετε ότι η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι ίση με 2. 6. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που είναι παράλληλη προς μια από τις ασύ- μπτωτες της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = τέμνει την υπερβολή σε ένα μόνο ση- μείο. Ποιο είναι το σημείο τομής της ευθείας 2 1x y− = και της υπερβολής 4 12 2 x y− = ; 7. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής x y2 2 4 12− = οι οποίες: (i) είναι παράλληλες προς την ευθεία y x= +1 (ii) είναι κάθετες στην ευθεία y x= − 4 3 (iii) διέρχονται από το σημείο M ( , )3 0 lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 136.
    124 Β΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν Ε1 είναι η προβολή της εστίας Ε της υπερβολής xy2 2 2 2 1 α β − = πάνω στην ασύμπτωτη y x= β α , να αποδείξετε ότι (i) ( )OE1 = α, (ii) ( )EE1 = β. 2. Έστω ε και ′ε οι εφαπτόμενες της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = στις κορυφές της Α και ′Α . Αν Γ και ′Γ είναι τα σημεία στα οποία μια τρίτη εφαπτομένη της υπερβολής τέμνει τις ε και ′ε , αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι (i) ( )( )ΑΓ Α Γ′ ′ = β 2 και (ii) ο κύκλος με διάμετρο το ΓΓ ′ διέρχεται από τις εστίες της υπερβολής. 3. Έστω Μ1 1 1( , )x y και Μ 2 2 2( , )x y δύο σημεία του δεξιού κλάδου της υπερ- βολής x y2 2 2 2 1 α β − = . Αν η ευθεία Μ1 Μ2 τέμνει τις ασύμπτωτες στα σημεία Μ 3 3 3( , )x y και Μ 4 4 4( , )x y , να αποδείξετε ότι ( ) ( )Μ Μ Μ Μ1 3 2 4= . 4. Από ένα σημείο Μ1 1 1( , )x y της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = φέρνουμε παράλλη- λες προς τις ασύμπτωτες. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμε- νου παραλληλόγραμμου είναι σταθερό. 5. Να αποδείξετε ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες των ασυμπτώτων της υπερβολής x y2 2 2 2 1 α β − = δίνεται από τον τύπο συνϕ = ε2 2 − ε 2 . 6. Έστω οι υπερβολές C x y 1 2 2 2 2 1: α β − = και C x y 2 2 2 2 2 2 1: , α β ρ ρ− = > . Αν ′Α Α1 1, και ′Α Α2 2, είναι οι κορυφές των C1 και C2 αντιστοίχως, να αποδεί- ξετε ότι από το Α2 δεν άγονται εφαπτόμενες στη C1 , ενώ από το Α1 άγονται εφαπτόμενες της C2 . lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 137.
    125 3.5 Η ΕΞΙΣΩΣΗ2 2 Ax + Βy + Γx + Δy + E = 0 Μεταφορά Αξόνων Η εξίσωση ενός κύκλου με ακτίνα ρ έχει την απλή μορφή x y2 2 2 + = ρ , αν η αρχή του συστήματος συντεταγμένων O(0,0) είναι το κέντρο του κύκλου. Αν όμως το κέντρο του κύκλου δεν είναι η αρχή των αξόνων αλλά το σημείο O'(x0 , y0 ), τότε η εξίσωσή του έχει την πιο σύνθετη μορφή ( ) ( )x x y y− + − =0 2 0 2 2 ρ . Αυτό δείχνει ότι η μορφή της εξίσωσης μιας καμπύλης εξαρτάται από τη σχετική θέση της καμπύλης και των αξόνων. Ας υποθέσουμε ότι σε ένα επίπεδο έχουμε μια καμπύλη και την εξίσωσή της ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της ίδιας καμπύλης ως προς ένα “νέο” σύστημα συντεταγμένων, του οποίου η αρχή θα είναι το σημείο ′O x y( , )0 0 και οι άξονες X'OX και Y'OY θα είναι παράλληλοι και ομόρροποι προς τους άξονες του “παλιού” συστήματος. Λέμε στην περίπτωση αυτή ότι το σύστημα ′O XY έχει προκύψει με παράλληλη μεταφορά των αξό- νων του συστήματος Οxy. Έστω λοιπόν x και y οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ ως προς το παλιό σύστημα, και X και Y οι συντεταγμένες του ίδιου σημείου ως προς το νέο σύστημα. Έχουμε OM OO O M= ′+ ′ ( , ) ( , ) ( , )x y x y X Y= +0 0 ( , ) ( , ).x y x X y Y= + +0 0 Επομένως, x x X= +0 και y y Y= +0 ή, ισοδύναμα, X x x Y y y= − = −0 0, Έτσι για παράδειγμα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ ως προς ένα καρτεσι- ανό σύστημα είναι (4,‒3) και η αρχή O( , )0 0 μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξό- νων στο σημείο ′ −O ( , )1 2 , τότε οι νέες συντεταγμένες του Μ είναι X = − − =4 1 5( ) και Y = − − = −3 2 5. Έστω επίσης η εξίσωση ( ) ( )x y− + + =2 1 92 2 , που παριστάνει κύκλο με κέντρο K( , )2 1− και ακτίνα ρ = 3. Αν με μια παράλληλη μεταφορά των αξόνων η αρχή O(0,0) μετακινηθεί στο κέντρο του κύκλου, τότε οι καινούριες συντεταγμένες lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 138.
    128 Γενικά, με κατάλληλη μεταφορά αξόνων, μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια εξίσωση της μορφής 2 2 0AxBy x y EΓ ∆+ + + + = παριστάνει κωνική τομή και να βρούμε το είδος και τα στοιχεία της. Σχετική Θέση Ευθείας και Κωνικής Ας θεωρήσουμε μία ευθεία y = λx β και μία κωνική τομή Ax By x y E2 2 0+ + + + =Γ ∆ . Η ευθεία ε και η κωνική C έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία, αφού το σύστημα y x Ax By x y E = + + + + + = ⎧ ⎨ ⎩ λ β ( ) ( ) 1 0 22 2 Γ ∆ έχει το πολύ δύο διακεκριμένες λύσεις. Για την επίλυση του συστήματος θέτουμε στη (2), όπου = +y λx β, οπότε προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. — Αν η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες άνισες ή μια απλή ρίζα (όταν είναι 1ου βαθμού), τότε η ευθεία και η κωνική τέμνονται. — Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή αν είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα ∆ = 0, τότε αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται της κωνικής. —Τέλος, αν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεία και η κωνική δεν έχουν κοινά σημεία. Για παράδειγμα, έστω η ευθεία y x= 2 και η παραβολή y x= +2 1. Αν στην εξίσωση της παραβολής θέσουμε όπου y x= 2 , βρίσκουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση x2 ‒2x 1 = 0, η οποία έχει τη διπλή ρίζα x = 1. Άρα, η ευθεία εφάπτεται της κωνικής και το σημείο επαφής είναι το M(1,2). lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος
  • 139.
    129 Α΄ ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει παρα- βολή, για την οποία να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής και της εστίας: (i)− + =2 8 8 0y x (ii) 041642 =+−+ (iii) 028842 =−++ (iv) 08682 =−+− .xx x y yy y x x 2. Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει έλλειψη, για την οποία να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου, των κορυφών και των εστιών. (i) 9 25 36 189 02 2 x y x+ − − = (ii) x x y2 2 4 16 0+ + = (iii) x y x y+ − − + =2 2 4 9 32 36 64 0 (iv) x y x y+ + − − =2 2 9 16 54 32 47 0. 3. Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει υπερβολή, για την οποία να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου, των κορυφών και των εστιών: (i) 21 4 84 32 64 02 2 x y x y− + − − = (ii) y x y x− − + − =2 2 2 3 8 6 1 0. 4. Να βρεθεί η τιμή του κ∈R, για την οποία η παραβολή y x xκ= − +2 2 εφά- πτεται της ευθείας y = x 2. 5. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες του κύκλου x y+ =2 2 1 2 και της παραβολής y2 = 4x. 1. Δίνεται η εξίσωση x y x2 2 2 1 0+ − − =λ (1), όπου λ∈R. (i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου ζητείται να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. (ii) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι Cλ που ορίζονται από την (1) για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. Ποια είναι η εξίσωση της κοινής χορδής όλων αυτών των κύκλων; ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Δημήτρης Μοσχόπουλος