diagwnisma_stis_paragwgous

1. 9Ο
ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f
παρουσιάζει στο x0 τοπικό ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό, να δείξετε ότι:
f΄(x0) = 0. Μονάδες 10
Α2.Να διατυπώσετε και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle. Μονάδες 5
α. Αν f(x)  f(0) για κάθε xε[0  ) και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 τότε f΄(0) = 0
Μονάδες 2
β. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α και ισχύει f(x)≤κ , κ για κάθε xA , τότε η f
παρουσιάζει μέγιστο. Μονάδες 2
γ. Τα κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης είναι πάντα οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων. Μονάδες 2
δ. Αν ρ1, ρ2 δύο διαδοχικές ρίζες της f, τότε είναι f(x)≠0, για κάθε x∈(ρ1, ρ2) Μονάδες 2
ε. Αν f’’
(xo)=0, τότε το xo είναι πιθανό σημείο καμπής. Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β
Έστω η συνάρτηση f:(0,+  )→R με f (x) x ln ln x    ,β > 0 και α>1.
Β1. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδες 6
Β2. Να βρείτε τα ορια
x
lim f(x)

και
x 0
lim f(x)

Μονάδες 6
Β3. Να βρείτε το πληθος των ριζων της εξισωσης f(x)=0 Μονάδες 7
Β4. Aν η εξισωση x 
  εχει μοναδικη ριζα Να δειχθεί ότι β =elnα Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ.
Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0) 1 για την όποια ισχύει
 
2016x
e f(x) e f( ) x
    για κάθε χ,ψ R
Γ1. Να δείξετε ότι x
f(x) e , x R  Μονάδες 7
Γ2. Να υπολογίσετε το όριο
4 2
x
f(x 2x 3 x)
lim
2 x 12
  
 
Μονάδες 6

2. 9Ο
ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
Γ3.Εστω g , h συναρτήσεις παραγωγισιμες στο διάστημα (0,+  ) με g(1) = h(1)
=0 και g (x) f(h(x))   και h (x) f(g(x))   . Να δείξετε ότι g(x)=h(x) για κάθε
χ>0 και να βρείτε τον τύπο της g στο (0,+  ) Μονάδες 6
Γ4. Έστω σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f με θετική τετμημένη . Αν
η τετμημενη του Μ απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων με ταχύτητα 2
m/sec , Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΜ όπου Α(2,0), την
χρονική στιγμή που η τετμημενη του σημείου Μ είναι χ=5. Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ.
Για την δυο φορες παραγωγίσιμη συναρτηση f : R R ισχυουν:
1.  
2
f (x) f (x) f (x)   >0 , για κάθε χ R
2. f(x)+f(-x) =f(x)f(-x) , για κάθε χ R
3. f (0) 1  , για κάθε χ R
A. Nα δείξετε ότι: η f είναι γνησιως αυξουσα και κυρτη στο R
B. α) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=ln(f(x)) , x R είναι κυρτή και ότι ισχυει
x
2
f(x) 2 e ,  για κάθε χ R
β) Αν 1 2, ,..., (0, )     και είναι 1 2 ... 1,     Nα δείξετε ότι
1 2f (ln ) f (ln ) ... f (ln ) 2 , 
       
Γ. Nα δείξετε ότι f(x) 1 και να βρειτε το σύνολο τιμών της f
Δ. Αν 1 2, (0, )    να δείξετε ότι 1 2
1 2f( ) f( ) f( )
2
  
   
Μονάδες (6+(4+3)+6+6)