Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΝΙΚΟΣ ΣΟΥΡΜΠΗΣ 21/1/2020
Θέμα Α
Α1) Να αποδείξετε ότι   2
1
x x
 
   για
2
x


  .
A2) Θεωρήστε τον ισχυρισμό: «Αν οι συναρτήσεις f , g είναι 1-1 στο  τότε και
η συνάρτηση f+g είναι 1-1 στο  .» Να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος και να
αιτιολογήσετε.
Α3) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος).
α) Αν οι f , g είναι 1-1 στο  τότε και η f g
 είναι 1-1 στο  .
β) Για το όριο ισχύει:
1
lim 1
x
x
x


 

 
 
γ) Αν η συνάρτηση f έχει μέγιστο  
1
f στο πεδίο ορισμού της, τότε  
1 0
f   .
δ) Αν για κάθε x :  
'' 0
f x  τότε η f  είναι σταθερή στο  .
ε) Αν για *
x ισχύει    
f x g x
 
 , τότε ισχύει f g c
  .
Θέμα Β
Έστω , ,
    και η συνάρτηση   4
f x x x
  
   , η οποία παρουσιάζει
τοπικό ακρότατο στο 0 1
x  και η γραφική της παράσταση στο σημείο της
 
0,8
 έχει εφαπτομένη ευθεία παράλληλη στην ευθεία :8 0
x y
   .
Β1) Να δειχθεί ότι   4
2 8 8
f x x x
   .
Β2) Να δειχθεί ότι   2
f x  για κάθε x.
Β3) Να δείξετε ότι η εξίσωση 4
2 8 2029
x x
  έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο  .
Β4) Έστω ο πραγματικός αριθμός κ , να δειχθεί ότι η εξίσωση
   
3
8 8 1
x f f
 
    έχει λύση στο διάστημα  
, 1
  
22.01.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 2

2. Θέμα Γ
Έστω f συνεχής στο  για την οποία ισχύει ότι  
 
2
αν 1
αν 1
f x x
f x
x x

 

 



Γ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση     x
g x f x e
 είναι σταθερή στο διάστημα
 
1,
   και στη συνέχεια να δείξετε ότι  
1
2
x>1
x 1
x
e
f x
x



 



Γ2) Να βρείτε τα ακρότατα της f καθώς και τα κρίσιμα σημεία της.
Γ3) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της f στο 0 0
x  είναι ασύμπτωτη της f.
Γ4) Έστω Ε το εμβαδόν ορθογωνίου ΑΒΓΔ με δύο κορυφές στο '
x x και δύο στην
γραφική παράσταση της f f
C  
,0

 και  
,0

 με 0 1
 
   .
i) Αν το α αυξάνεται με ρυθμό 1 cm/sec να
βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε
τη στιγμή 0
t όπου  
ln 4e
  .
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική θέση
του Α όπου μεγιστοποιείται το
εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.
iii) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική θέση
του Α όπου το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο.
Θέμα Δ
Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο    για την οποία ισχύει ότι :
   
 
2
2 f x
f x e f x x
 
Δ1) Να δείξετε ότι  
0 0
f  και να βρείτε την εφαπτομένη της f στο 0 0
x 
Δ2) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο   
Δ3) i) Να λυθεί η εξίσωση    
   
2 2
f x xf f x f x

 
ii) Να λυθεί η ανίσωση    
ln 2
f x f x

Δ4) Με δεδομένο ότι  
f A   να δείξετε ότι η αντίστροφη της f είναι η
συνάρτηση  
1 2
2 x
f x xe x

  , x και στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία
των συναρτήσεων f και 1
f 
.
Α Β
Γ
Δ
1
22.01.2021 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 2