28 2103diag prosomoivshs_1o_lyk_aigaleo( 22-1-17)

1. www.askisopolis.gr
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΤΑΞΗ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α
(α1) Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα  και παρουσιάζει τοπικό
ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο 0x του  και f παραγωγίσιμη στο 0x , τότε
να αποδείξετε ότι 0f 0x  
(Μονάδες 09)
(α2) Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (Μονάδες 06)
(α3) Να αντιγράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό τις πρότασης και δίπλα
το γράμμα Σ , αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λ , αν η πρόταση είναι λάθος.
(1) Η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο . Τότε μια τουλάχιστον από τις
συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμη στο . (Μονάδες 02)
(2) Όταν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο , τότε είναι και παραγωγίσιμη
στο . (Μονάδες 02)
(3) Όταν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο , τότε δεν είναι
συνεχής στο . (Μονάδες 02)
(4) Όταν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη , τότε η συνάρτηση
παράγωγος δεν είναι συνεχής. (Μονάδες 02)
(5) Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f , ισχύει ότι f f
   (Μονάδες 02)
ΘΕΜΑ Β
Έστω οι συναρτήσεις f,g , με τύπους
3
, 1
, 1
4 1
f
2 4
x x x
x
x x
 


 
  

και
3
, 1
, 1
1
g
5 2
x x
x
x x x




  
 
(β1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F , με F f gx x x       είναι παραγωγίσιμη
στο (Μονάδες 03)
(β2) Να μελετήσετε τη συνάρτηση F,ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα (Μονάδες 06)
(β3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας , η οποία εφάπτεται στη γραφική
παράσταση FC της συνάρτησης F, στο σημείο καμπής της  και στη συνέχεια να
αποδείξετε ότι η ευθεία  και η γραφική παράσταση FC της συνάρτησης F
έχουν μόνο ένα κοινό σημείο (Μονάδες 06)
(β4) Να αποδείξετε ότι 6 6 6
2F F Fx x x        
(Μονάδες 05)
(β5) Να υπολογίσετε το εμβαδόν  του χωρίου  , που περικλείεται από τις
γραφικές παραστάσεις FC και
f
C των συναρτήσεων Fκαι f και τις ευθείες
2x  και 1x   (Μονάδες 05)

2. www.askisopolis.gr
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:    ,για τις
οποίες ισχύουν
● g x    ,για κάθε x ● f 1 
● g f fx x      
,για κάθε x
● 2
g f gx x      
,για κάθε x
(γ1) Να αποδείξετε ότι f   (Μονάδες 04)
Αν f g    
(γ2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα
στο  (Μονάδες 04)
(γ3) Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα τη συνάρτηση g στο  (Μονάδες 05)
(γ4) Αν επιπλέον ισχύει ότι f g 1x   
,για κάθε x ,τότε
(γ4α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f (Μονάδες 06)
(γ4β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
2ln3 f
ln2
e
J
g
d
x
x
x
 

  (Μονάδες 06)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:    ,για τις οποίες ισχύουν
● 2f 2 f 2     ● f 1 g    
● f g 0x x    
,για κάθε x ● f
συνεχής 
● g 2f gx x x       
,για κάθε x
● 2
f g fx x x
          ,για κάθε x
(δ1) Να μελετήσετε τις συναρτήσεις f,g , ως προς τη μονοτονία. (Μονάδες 04)
(δ2) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 2 3x   , εφάπτεται στη γραφική
παράσταση gC της συνάρτησης g και η ευθεία y 2x   
εφάπτεται στη γραφική παράσταση fC της συνάρτησης f (Μονάδες 04)
(δ3) Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα τη συνάρτηση g και στη συνέχεια
να αποδείξετε ότι g 2 3 0x x    ,για κάθε x (Μονάδες 05)
(δ4) Να αποδείξετε ότι f 2x x     ,για κάθε x (Μονάδες 06)
(δ5) Αν g fx x     
, τότε να αποδείξετε ότι 2
1
g x
x
    και στη συνέχεια
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
2
f3
1
I f e dx
x x 
   (Μονάδες 06)