Επιμέλεια: Μιχάλης Γιαννόπουλος για το lisari

1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
1
Α01 Δίνεται η συνάρτηση    3
10f x x x
α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη
γραφική παράσταση της f στο 0 2x 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία και να βρείτε τα σημεία καμπής
της fC
γ) Να λύσετε την ανίσωση 2
10
1
x
x


δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη fC , τον άξονα x x και την
ευθεία 3x 
Α02 Δίνεται η συνάρτηση   3 2
3 3f x x x x  
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως
αύξουσα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση   2017 1f f x  
έχει μοναδική λύση.
δ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται
και στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία
των fC και 1
f
C 
Α03 Δίνεται η συνάρτηση  
1
x
f x
x


, 1x  
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως
αύξουσα και κοίλη.
β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε
την 1
f 
γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC που διέρχε-
ται από το σημείο  Α 1,0
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη fC , τον άξονα x x και την
ευθεία 1x 
Α04 Θεωρούμε τη συνάρτηση  
α
x
f x xe , 0x  ,
για την οποία ισχύει   α
f x e για κάθε 0x 
α) Να δείξετε ότι 1α 
β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f και
το σύνολο τιμών της.
γ) Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της fC στο

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης  
 
3
f x
g x
x
 , 0x  , τον άξονα
x x και τις ευθείες 1x  και 2x 
ε) Να δείξετε ότι
1
2
1
ln2x
e dx e
Α05 Δίνεται η συνάρτηση  
1
x
x
e
f x
e


α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται
και να βρείτε την 1
f 
β) Να λύσετε την ανίσωση  2
2 1 1f x  
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
fC στο σημείο καμπής της fC και στη συνέ-
χεια να δείξετε ότι  4 2f x x  για κάθε
0x 
δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη γραφική παράσταση της f,
τους άξονες x x , y y και την ευθεία 1x 
Α06 Δίνεται η συνάρτηση  
2
1 ln x
f x
x


α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνη-
σίως φθίνουσα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και τις ασύμ-
πτωτες της fC
γ) Να βρείτε τα σημεία καμπής της γραφικής
παράστασης της f
δ) Αν 1x , 2x οι θέσεις των σημείων καμπής, να
υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη fC , τον άξονα x x και τις
ευθείες 1x x και 2x x
Α07 Δίνονται οι συναρτήσεις

2. 2
   ln 1 3f x x   και   2x
g x e x 
α) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε
τη συνάρτηση 1
f 
β) Να δείξετε ότι οι fC και 1
f
C  έχουν, ακριβώς,
δύο κοινά σημεία.
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
ευθείας ε στη fC που διέρχεται από το σημείο
 Α 0,1
δ) Να δείξετε ότι η ευθεία ε του ερωτήματος γ.
εφάπτεται της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης g και να βρείτε το σημείο επαφής
της gC με την ευθεία ε
Α08 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση
 
1
, 0
1 ln , 0
1
x α
xe e x
f x x
α x
x

  

 
  
 
α) Να δείξετε ότι 1α 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία.
γ) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο
0 0x  και να βρείτε την εφαπτομένη της fC
στο 0x
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη fC , τον άξονα x x και τις
ευθείες 1x   και 1x 
Α09 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
    βx γ
f x x α e 
 
διέρχεται από την αρχή των αξόνων και η
εφαπτομένης της στο σημείο   Α 2, 2f είναι η
ευθεία 4y x  
α) Να βρείτε τις τιμές των α, β και γ.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα
και τα σημεία καμπής.
δ) Έστω  Ε λ το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη fC , τον άξονα x x και την
ευθεία x λ με 0λ  . Να βρείτε το  lim Ε
λ
λ

Α10 Δίνεται η συνάρτηση  
x x
x x
e e
f x
e e





α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα
και τα σημεία καμπής.
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f
έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  και στο

δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
ε) Αν  Ε λ είναι το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη fC , τον άξονα y y , την
ευθεία 1y  και την ευθεία x λ με 0λ  , να
βρείτε το  lim Ε
λ
λ

Α11 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :f 
Η εφαπτομένη της fC στο σημείο που τέμνει τον
άξονα y y έχει εξίσωση 8 4y x 
α) Να βρείτε το όριο
 
0
4
lim
4x
f x
ημ x

β) Αν επιπλέον υπάρχει λ , ώστε να ισχύει:
   f x λf x  για κάθε x , τότε:
i) να βρείτε τον αριθμό λ
ii) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση  
 
2x
f x
g x
e

είναι σταθερή
iii) να βρείτε τον τύπο της f
iv) να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη fC , τους άξονες x x
και y y και την ευθεία 1x 
Α12 Δίνονται οι συναρτήσεις
  ln x
g x x e e   , 0x 

3. 3
   ln 1x
f x e x x e    , 0x 
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g έχει μοναδική
ρίζα τη 1x 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να υπολογίσετε την τιμή του ορίου
    0
lim
x
f x g x


Α13 Δίνεται η συνάρτηση f με   lnf x x x 
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία και τα ακρότατα.
β) Αν 0 1α β   , να δείξετε ότι β α
αe βe
γ) Να λύσετε την ανίσωση
   2 2 2 2
ln 2 2 ln 1 1x x
x x x e x e        
δ) Να βρείτε τα ,κ λ ώστε η εφαπτομένη της
fC στο σημείο  Μ ,κ λ να περνά από την
αρχή των αξόνων.
Α14 Δίνεται η συνάρτηση
  2 2lnf x x x   , 0x 
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία και να βρείτε τα διαστήματα στα
οποία είναι κυρτή ή κοίλη.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των
ριζών της συνάρτησης f.
γ) Αν  
ln
2
x x
g x
x



, να δείξετε ότι υπάρχει
0 0x  ώστε    0g x g x για κάθε 0x 
δ) Να δείξετε ότι για κάθε 2x  ισχύει:
     2 4 2 1f x f x f x    
Α15 Δίνεται η συνάρτηση  
2
, 2
3
, 2
αx
x
xf x
β
x
x

  
 

α) Να προσδιορίσετε τα ,α β ώστε η συνάρ-
τηση f να είναι συνεχής και η fC να έχει πλά-
για ασύμπτωτη την ευθεία 3y x  στο 
β) Για 1α  και 8β  να μελετήσετε τη συνάρ-
τηση f ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα.
γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη fC , τις ευθείες 1x  , 3x 
και τον άξονα x x
Α16 Έστω η συνάρτηση f με τύπο
  2
2x x
f x e e x
    , x
α) Να αποδείξετε ότι γραφική παράσταση της f
στρέφει τα κοίλα προς τα άνω σε όλο το .
β) Να βρείτε το όριο
 
40
lim
x
f x
x
γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα  
ln3
0
f x dx
δ) Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα
στο με  1
0 2g
 , να λύσετε την ανίσωση
   
 2
g x g x
e e g x

 
Α17 Έστω η συνάρτηση f με τύπο
  ln x
f x x x e   , 1x 
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση
   ln 2017x
f x e f x  
έχει μοναδική ρίζα στο  1,
δ) Να υπολογίσετε το    1
1
Ι
e β
α
f x dx f x dx
  
όπου 1α e  και 1 e
β e e  
Α18 Έστω η συνάρτηση :f  για την οποία
ισχύουν
 0 0f  και
   2
1 2 1x x f x x    για κάθε x
α) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης
της fC στο   Α 0, 0f
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

4. 4
γ) Αν 1 2,x x με 1 2x x , είναι οι τετμημένες δύο
σημείων της fC με 1 2 1x x   , να δείξετε ότι
υπάρχει  0 1 2,x x x ώστε η εφαπτομένη της
fC στο σημείο   0 0,x f x να είναι παράλληλη
στον άξονα x x
Α19 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :f  για
την οποία ισχύουν
     3f f x f x  και  1 4f 
α) Να υπολογίσετε το όριο
 
 
2017
2016 2
4 1
lim
1 1x
f x x
f x x
 
 
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση :g  με τύπο
     30g x x f x συν πx  
Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της
g τέμνει τον άξονα x x σε ένα τουλάχιστον
σημείο με τετμημένη στο διάστημα  4,7
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει  0 1,7x  τέτοιο ώστε
       010 2 2 3 3 5 5f x f f f  
Α20 Έστω οι συναρτήσεις , :f g  με
  x
f x e και   2
g x x x  
α) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο
σημείο  Α 0,1 εφάπτεται και στη gC
β) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα
 1,0α  τέτοιο ώστε 2 1 0α
e α  
γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση :h  με
     h x f x g x 
Να δείξετε ότι:
i)   2
1h x α α   για κάθε x
ii) η εξίσωση   2017h x  έχει ακριβώς δύο
λύσεις.
Α21 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση
 : 1,f   τέτοια ώστε  1 2f 
α) Να βρείτε τη συνάρτηση f αν ισχύει
   2 0x f x f x   για κάθε 1x 
β) Αν ισχύει    2 0x f x f x   για κάθε 1x  ,
να δείξετε ότι:
i)   2
2f x x για κάθε 1x 
ii) Για κάθε α, β με 1 α β  ισχύει ότι:
       2 2
β
α
f x dx β f β β α f α α     
Α22 Δίνεται η συνάρτηση :f  με τύπο
  ln
1
x
x
e
f x
e


Να δείξετε ότι:
α) αν :g  είναι μια παραγωγίσιμη συνάρ-
τηση με
 
1
1x
g x
e
 

και  0 ln2g  
τότε f g
β) η fC στρέφει τα κοίλα κάτω στο
γ) για κάθε x ισχύει
   1
1 1
1
1 1x x
f x f x
e e
   
 
δ)     lim 1 1
x
f x f x

   και
    lim 1 0
x
f x f x

  
Α23 Δίνεται η συνάρτηση :f  με
  2
2 1x f x x   για κάθε x
α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 1x 
β) Να εξετάσετε αν η f παραγωγίζεται στο 0 1x 
γ) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο
i) Να δείξετε ότι η εξίσωση   2017f x x έχει
τουλάχιστον μία ρίζα στο  1,1
ii) Να δείξετε ότι  
1
0
4
1
3
f x dx 
Α24 Έστω συνάρτηση f με τύπο

5. 5
 
1
ln ln2
4
x
f x x
x
    , 0x 
α) Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β) Να λύσετε την εξίσωση   0f x 
γ) Έστω     ln2
4
x
g x f x  
i) Να δείξετε ότι   1g x  για κάθε 0x 
ii) Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από
τις fC , gC και τις ευθείες 1x  , 2x 
Α25 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
   1 ln 1 1f x x   
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f
β) Να δείξετε ότι η f είναι ¨1 – 1¨
γ) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f
δ) Να λύσετε την εξίσωση  1
1 3f x
 
Β01 α) Δίνεται η συνάρτηση
 
ln 1x
g x
x

 με  0,x 
i) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία.
ii) Να βρείτε το  1
Ι
e
g x dx 
β) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση
 : 0,f   , για την οποία ισχύει:  1 0f 
και     lnxf x f x x   για κάθε 0x 
i) Να βρείτε τον τύπο της f.
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   2016f x 
έχει ακριβώς δύο ρίζες στο  0,
iii) Αν  Ε λ είναι το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη fC , τον άξονα x x , την
ευθεία x λ με 0 1λ  , να βρείτε το
 0
limΕ
λ
λ

iv) Να λύσετε την εξίσωση:
   2 1f x συν πx 
Β02 Δίνεται η συνάρτηση
   
2
ln 1
1
x
f x x
x
  

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
β) Να υπολογίσετε τα όρια
 lim
x
f x

και  1
lim
x
f x

γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και
τα ακρότατα.
δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
fC στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y y
ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   0f x  έχει μο-
ναδική λύση α στο  1,
στ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου
που περικλείεται από τη fC και τον άξονα x x
είναι ίσο με
2
3
1
α α
α


Β03 Δίνεται η συνάρτηση   2
4
1
x
f x
x


α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
β) Να αποδείξετε ότι η fC έχει τρία σημεία κα-
μπής, τα οποία είναι συνευθειακά.
γ) Έστω  Ε λ το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη fC , τον άξονα x x και τις
ευθείες x λ και 2x λ με 0λ  .
Να βρείτε το  lim Ε
λ
λ

δ) Έστω :g  τυχαία συνάρτηση.
Να βρείτε το
 
 2
lim
x
g x
xg x x 
ε) Έστω ε η εφαπτομένη της fC στο σημείο της
  0 0Μ ,x f x και Α το σημείο τομής της ε με
τον άξονα y y . Να βρείτε για ποιο 0x η
τεταγμένη του σημείου Α γίνεται μέγιστη.
Β04 Δίνεται η συνάρτηση
  2
2 2 1x
f x x x    , x
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή
στο .

6. 6
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση   0f x  έχει
ακριβώς δύο ρίζες, τις 1 0x  και 2 1x 
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός
 0 0,1x  τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο
σημείο   0 0Α ,x f x να είναι παράλληλη στον
άξονα x x .
δ) Να αποδείξετε ότι   0f x  για κάθε  0,1x
ε) Αν F είναι μία αρχική της f, να λύσετε στο
διάστημα  0,1 την εξίσωση
   1 1F x F x  
Β05 Δίνεται κυρτή συνάρτηση  : 0,f  
για την οποία ισχύει
  1
1
3
lim 1
ln
x
x
f x e
x



 
Επίσης, υπάρχει  0,1α τέτοιο, ώστε
 0
0
α
f x dx 
α) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο
της   Μ 1, 1f
β) Να βρείτε το ολοκλήρωμα  
1
0
f αt dt
γ) Να αποδείξετε ότι
     1 2f x f αx α x   για κάθε  0,1x
δ) Να αποδείξετε ότι  
1
0
1f x dx α 
B06 Δίνεται συνάρτηση  : 0,4f  , παραγω-
γίσιμη, για την οποία ισχύει
 2 1f  και
   2
2x f x f x   για κάθε  0,4x
α) Να βρείτε τον τύπο της f
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα
και τα σημεία καμπής.
δ) Να εξετάσετε αν η fC έχει ασύμπτωτες.
ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
 
 
2
0
1
Ι f x dx
f x
 
   
 

Β07 Δίνεται συνάρηση  : 0,f π  , παραγω-
γίσιμη, με
5
0
6 6
π π
f f
   
    
   
για την οποία
ισχύει
 
 ln
f x
f x
συνx

  για κάθε  0,
2
π
x π
 
   
 
α) Να βρείτε το τύπο της f
β) Να βρείτε τα ακρότατα της f
γ) Να αποδείξετε ότι    2
0 0
2
π
π
f x dx f x dx 
Β08 Δίνεται συνάρτηση  : 1,3f  , με συνεχή
πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν
   1 3 4f f  και  
3
1
4xf x dx 
Να αποδείξετε ότι:
α)   
3
1
0f x x dx 
β) η εξίσωση  f x x έχει τουλάχιστον δύο λύ-
σεις στο διάστημα  1,3
γ) υπάρχει ένα τουλάχιστον  1,3ξ  τέτοιο,
ώστε  
2016
2017
f ξ 
Β09 Δίνεται συνάρτηση :f  , με συνεχή
πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει
  0f x  για κάθε x και    3 2 1f f 
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
 0 1,3x  τέτοιο, ώστε      03 2 1 3f x f f 
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν  1 2, 1,3ξ ξ  , με
1 2ξ ξ , ώστε
   1 2
1 2
3
f ξ f ξ
 
 

7. 7
δ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης
   
3 3
1
Ι
π
π
x
f x συν πx dx f ημxdx
π
 
   
 
 
Β10 Δίνεται συνάρτηση :f  συνεχής,
¨1 – 1¨ και παραγωγίσιμη στα 1 1x  και 2 2x 
Η εφαπτομένη της fC στο σημείο της
  Μ 1, 1f έχει εξίσωση 2y x και ισχύει:
   
2
2
lim 4
2 2x
f x f
x


 
α) Να βρείτε τις τιμές των  1f  και  1f
β) Να αποδείξετε ότι  2 1f  
γ) Να αποδείξετε ότι η f f είναι παραγωγίσιμη
στο 1 και να βρείτε την    1f f 
δ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της f f στο 0 1x  διέρχεται από το σημείο
 Α 2,3 , τότε:
i) να αποδείξετε ότι  2 1f 
ii) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
 1,2ξ  τέτοιο, ώστε  
 f ξ
f ξ
ξ
  
iii) αν F αρχική της f με  2 0F  ,
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
   
2
2
0
Ι
2
x
f x F x dx
 
  
 

Β11 Έστω η συνεχής συνάρτηση
 : 1,f    για την οποία ισχύει
 0 0f  και
 
 
 
2
1
1 1
f x
f x
x x
 
 
για 1x  
α) Να αποδείξετε ότι  
 ln 1
1
x
f x
x



για 1x  
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε
ότι   1
1
e x
x e 
  για κάθε 1x  
γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περι-
κλείεται από τη fC , τον άξονα x x και την
ευθεία 1x e 
δ) Να λύσετε την εξίσωση
 
2 1
1 2x
x 
  με 1x  
Β12 Δίνονται συναρτήσεις , :f g  για τις
οποίες ισχύει
    2
2 x
f g x e x x g x    για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η g είναι ¨1 – 1¨
β) Να αποδείξετε ότι η fC τέμνει σε ένα τουλά-
χιστον σημείο την ευθεία :ε y x
γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες,
τότε:
i) να αποδείξετε ότι η gC δεν έχει οριζόντια
εφαπτομένη
ii) να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις
των συναρτήσεων f g και g, τον άξονα
y y και την ευθεία 1x  
B13 Δίνεται συνάρτηση :f  , παραγω-
γίσιμη, για την οποία ισχύει
   2 8 4 2f f  και
   8 4 2 2 1f x f x   για κάθε x
α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της
fC στο σημείο της   Μ 0, 0f
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν  1 2, 0,4ξ ξ  ,
διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε
   1 2
1
2
2
f ξ f ξ  
γ) Αν F είναι μια αρχική της f στο , να από-
δείξετε ότι η συνάρτηση
      2
4 2g x F x F x x   με x
είναι σταθερή.
δ) Να υπολογίσετε το   4 4
0 1
Ι xf t dt dx  

8. 8
Β14 Δίνεται συνάρτηση  : 0,f 
  , συνε-
χής στο 0, για την οποία ισχύει ότι
    f f x xf x για κάθε 0x 
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι ¨1 – 1¨
β) Να βρείτε την τιμή  1f
γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x x
δ) Αν επιπλέον η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε:
i) να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής
ii) να βρείτε το   3 2
lim 2017 5 3
x
f x x x

 
iii) να αποδείξετε ότι η εξίσωση   1f x x 
έχει μοναδική λύση
iv) να αποδείξετε ότι  1
1
1
ee
f x dx e
e

  
Β15 Δίνεται συνάρτηση  : 1,2f  , με συνεχή
δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι
  0f x  για κάθε  1,2x ,  1 0f  και
η ευθεία y x εφάπτεται στη fC στο σημείο της
  Μ 2, 2f
α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f
γ) Να αποδείξετε ότι
   2 1f x x  για κάθε  1,2x
δ) Αν F είναι μία αρχική της f στο  1,2 , να από-
δείξετε ότι η εξίσωση
   2 1
3 4 1
2
x
F x x F

   
έχει μια τουλάχιστον λύση στο  1,2
ε) Να αποδείξετε ότι η ευθεία : 2 4ζ y x  
τέμνει τη fC σε μοναδικό σημείο.
στ) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν  1 2, 1,2ξ ξ  ,
διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε
   1 2 4f ξ f ξ  
Β16 Δίνεται συνάρτηση :f  , παραγωγί-
σιμη με  3 2f  , για την οποία ισχύει ότι
 
 2
2
3
xf x
f x
x
 

για κάθε x
α) Να βρείτε τον τύπο της f
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία
και τα ακρότατα.
γ) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα
και τα σημεία καμπής.
δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC
ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f
στ) Έστω F αρχική της f στο με
 1 0F  και    3g x F εφx  με ,
2 2
π π
x
 
  
 
i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση
της g είναι τμήμα ευθείας.
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται από τη fC και τις ευθείες 1y 
και 3y 
iii) Έστω ε η εφαπτομένη της fC στο σημείο
της   Μ 3, 3f και ω η γωνία που
σχηματίζει η ευθεία πάνω στην οποία
βρίσκεται η gC με τον άξονα x x . Να
βρείτε, συναρτήσει του ω, το εμβαδόν του
χωρίου που περικλείεται από τη fC , την ε,
τον άξονα x x και την ευθεία 12x 
Β17 Δίνεται συνάρτηση  : 0,f   , παρα-
γωγίσιμη, για την οποία ισχύει ότι
 
 
1
0 ln
0
f
f
 και
 
 
  1
f x
f x
f x
 

για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
β) Να αποδείξετε ότι    f β f α β α   για
οποιαδήποτε ,α β

9. 9
γ) Να αποδείξετε ότι    lnf x f x x  για κάθε
x
δ) Να βρείτε την τιμή  1f
ε) Να αποδείξετε ότι
 
 
 
2
1
0
0 3
0
2 2
f
f x dx f   
στ) Να αποδείξετε ότι  lim 0
x
f x


ζ) Να αποδείξετε ότι  2 1x f x  για κάθε
x
η) Να βρείτε το
 lim
x
f x
x
θ) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και
να ορίσετε την 1
f 
Β18 Έστω  : 0,f   μια συνάρτηση για
την οποία ισχύει
   
2
1f x xf x
x
    για κάθε 0x  και
η ευθεία y x  εφάπτεται της fC στο 0 1x 
α) Να δείξετε ότι   2
lnf x x x 
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και στη
συνέχεια, να δείξετε ότι η εξίσωση
 ln
1 0x x
f e x
  
έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα  0,1
γ) Να λύσετε την ανίσωση    3 4 5x x x
f f 
δ) Να λύσετε την εξίσωση    2
2x
f x f στο
 0,
Β19 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ
 ΒΓ ΑΔ με ΒΓ 2 3 , ΑΒ x ,  0,2 3x και
ΓΔ 3ΑΒ
α) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ΑΒΓΔ ως
συνάρτηση του x είναι
  2
2 12f x x x  ,  0,2 3x
β) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το
εμβαδόν  f x γίνεται μέγιστο.
γ) Να υπολογίσετε το
 
0
3 6 3
lim
x
f x
x
 
δ) Ένα υλικό σημείο Μ ξεκινά τη χρονική 0t 
από ένα σημείο   0 0Α ,x f x με 00 1x  και
κινείται κατά μήκος της καμπύλης  y f x ,
0x x με  x x t ,  y y t , 0t 
Δίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της τετμη-
μένης του υλικού σημείου για κάθε χρονική
στιγμή t, 0t  είναι   min2mx t  και τη χρο-
νική στιγμή 1t  το σημείο Μ διέρχεται από
το σημείο  Β 2,8 2 .
Να βρείτε τη χρονική στιγμή 0t , κατά την
οποία η απόσταση  ΟΜd  , (Ο η αρχή των
αξόνων), γίνεται μέγιστη.
Β20 Έστω :f  μία συνάρτηση, η οποία
είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν
  0f x  για κάθε x
   ln 1 1x
f x x e
    για κάθε 1x  
 
 
0
x
f x
f x
   για κάθε x
α) Να δείξετε ότι   2
1f x x 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη
μονοτονία και την κυρτότητα.
γ) Να δείξετε ότι  2 2
2 2
x x
f x f xf
   
    
   
για
κάθε 0x 
δ) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από τη fC , τον άξονα x x και τις ευθείες 0x 
και 2x  , να δείξετε ότι Ε 2 2
Β21 Έστω :f  μια παραγωγίσιμη συνάρ-
τηση με  f  , για την οποία ισχύει

10. 10
 
  1
f x
e f x x   για κάθε x
α) Να δείξετε ότι  0 0f  και στη συνέχεια ότι η
f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f 
β) Να δείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγί-
σιμη, κοίλη και στη συνέχεια ότι
   
2
x
f x xf x  για κάθε 0x 
γ) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που
ορίζεται από τη fC , τις ευθείες 0x  , 1x 
και τον άξονα x x , να δείξετε ότι 4Ε 1
δ) Να βρείτε το όριο
 
 
lim
x
f x x
f x x


Β22 Έστω  : 0,f   μία συνάρτηση, η
οποία είναι συνεχής και ισχύει
     2 f x
x x f x e x

   για κάθε 0x 
Θεωρούμε, επιπλέον, μία συνάρτηση F με
 1 0F  , η οποία είναι μία παράγουσα της f στο
 0,
α) Να δείξετε ότι  
ln
ln , 0 1
1
0 , 1
x
x
f x x
x

 
 
 
β) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο 0 1x 
γ) Να δείξετε ότι   0F x  για κάθε 0x  και στη
συνέχεια ότι η F είναι κοίλη στο  1,
δ) Να λύσετε την εξίσωση
       2 2
2 3 1 2x x
F e F x F e F x      
Β23 Έστω :f  μία συνάρτηση με  0 1f 
και F μία παράγουσα της f στο με  0 0F  , η
οποία ικανοποιεί τη σχέση
     
 20
2 2
lim 2
h
F x h F x F x h
xf x
h
   
 , x
α) Να δείξετε ότι  
2
x
f x e , x
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση
   
1 1
0 0
4 3 7 3 2
0
2 1
f x dx f x dx
x x
 
 
 
 
έχει, ακριβώς, μία ρίζα στο  1,2
γ) Να δείξετε ότι
   2 2x x
x e F x F e
 για κάθε x
δ) Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από τη FC , τον άξονα x x και την ευθεία 1x 
και ισχύει
1
Ε
2
 , να δείξετε ότι  1
2
e
F 
Β24 Έστω :f  μία συνάρτηση, η οποία
είναι συνεχής και F μία παράγουσά της στο
για την οποία ισχύει    x F x
F x e

 , x
α) Να δείξετε ότι  1 1F 
β) Να δείξετε ότι  
1
2
x
F x

 για κάθε x και
στη συνέχεια ότι  
1
0
4 1xf x dx 
γ) Να δείξετε ότι
 
1
lim 0
x F x
 και στη συνέχεια,
να βρείτε το  lim
x
f x

δ) Να δείξετε ότι υπάρχει  0,1α τέτοιο, ώστε
 
 1
α F α
e αf α

 
Β25 Έστω  : 0,f   μία συνάρτηση με
 0 0f  , η οποία είναι κυρτή.
α) Να δείξετε ότι
     1f x f x f x   για κάθε x
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση
       1 1 2g x x f x xf x x      , 0x 
είναι γνησίως φθίνουσα.
γ) Να δείξετε ότι  
2 3
3 2
x
f x f
 
  
 
για κάθε 0x 
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  0,2α ,
ώστε
   
2
1 2
1
f α f α α
α α α α
 
 
 