θΈΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

1. www.askisopolis.gr
1
Θέματα Πανελλαδικών 2000 -2015 στις Παραγώγους
Εφαπτομένη
1. Έστω η συνάρτηση  f : 1,  με    f x 2000 ln x 1   . Έστω c > 2000 και έστω ότι η
ευθεία y = c και η Cf τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι
οι εφαπτόμενες της Cf στα Α και Β είναι κάθετες μεταξύ τους.
(2000)
2. Έστω η συνάρτηση  
 
2
1 x, x 1
f x
x 1 , x 1
 
 
 
.
α) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι:
i. συνεχής στο 0x 1 ii. παραγωγίσιμη στο 0x 1
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο  A 2,1
(Εσπερινά 2008)
3. Δίνεται η συνάρτηση  f : α,β  με α 0 β  , η οποία είναι συνεχής στο  α,β και
παραγωγίσιμη στο  α,β . Αν ισχύει  f α 5β και  f β 5α , να αποδείξετε ότι:
α) Η εξίσωση  f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  α,β .
β) Υπάρχει σημείο   M ξ,f ξ στο οποίο η εφαπτομένη της fC είναι κάθετη στην ευθεία
ε : x 5y 2010 0   .
γ) Η συνάρτηση f παίρνει την τιμή  
5
α β
2
 . (Εσπερινά 2010)
4. Δίνεται η συνάρτηση f :  , με  
 
3
2
x α, x 1
f x
x β , x 1
  
 
 
α,β . η οποία είναι συνεχής
στο 0x 1 .
α) Να αποδείξετε ότι 2
β 2β α  και ότι α 1  .
β) Αν 1 α 1   , να αποδείξετε η εξίσωση  f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
 1,1 .
γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να βρείτε τα α και β.
δ) Αν
5
α
4
 και
1
β
2
  να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
  1,f 1 (Ε 2012)
Θ.Rolle – Θ.Μ.T.– Συνέπειες Θ.Μ.Τ
5. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο  0,1 και ισχύει  f x 0  για κάθε  x 0,1 .Αν
 f 0 2 και  f 1 4 , να δείξετε ότι:
α) Η ευθεία y 3 τέμνει τη fC σ΄ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη  0x 0,1 .
β) υπάρχει  1x 0,1 , τέτοιο ώστε  1
1 2 3 4
f f f f
5 5 5 5
f x
4
       
         
       

2. www.askisopolis.gr
2
γ) υπάρχει  2x 0,1 , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο   2 2M x ,f x να
είναι παράλληλη στην ευθεία y 2x 2000  . (2000)
6. Έστω η συνάρτηση  f : α,β  η οποία είναι συνεχής στο  α,β , παραγωγίσιμη στο  α,β και
 f α 2β ,  f β 2α .
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο  α,β .
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν  1 2ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε :    1 2f ξ f ξ 4   . (2001)
7. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με  f x 0  για κάθε x .
α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία  A 1,2005 και  B 2,1 , να λύσετε την εξίσωση
  1 2
f 2004 f x 8 2
     .
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της fC , στο οποίο η εφαπτομένη
είναι κάθετη στην ευθεία ε:
1
y x 2005
668
   . (2005)
8. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  με  f 0 0 για την οποία ισχύει ότι:
   f x xf x ημx  για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση    g x xf x συνx  είναι σταθερή στο .
β) Να αποδείξετε ότι  
1 συνx
f x
x

 , x 0 .
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 συνx x ημx   έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο
π 3π
,
2 2
 
 
 
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα  ξ 0,π τέτοιο, ώστε
2
2
2
ξημξ συνξ 1 ξ
π
   . (2011)
Μονοτονία - Ακρότατα
9. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  τέτοια, ώστε:      2 x
2xf x x 1 f x e   για
κάθε x με  f 0 1 .
α) Να αποδείξετε ότι  
x
2
e
f x ,x
x 1
 

β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. (2000)
10.Tη χρονική στιγμή t0 χορηγείται σ΄ έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου
στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση   2
αt
f t ,t 0,α,β
t
1
β
  
 
  
 
και t ο χρόνος
σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 15 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες
μετά τη χορήγηση του φαρμάκου.
α) Να βρείτε τις τιμές των α, β.

3. www.askisopolis.gr
3
β) Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της
συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με 12 μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα
που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. (2000)
11. Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω  f t η συνάρτηση που περιγράφει τη
συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή
του, όπου t 0 . Αν ο ρυθμός μεταβολής της  f t είναι
8
2
t 1


α) Να βρείτε τη συνάρτηση  f t .
β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωση του στον
οργανισμό γίνεται μέγιστη;
γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t 8 υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου
στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t 10 η επίδρασή του στον οργανισμό
έχει μηδενιστεί. (Δίνεται ln11 2,4 ) (2000)
12. Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών , ισχύει
ότι:      3 2 3 2
f x βf x γf x x 2x 6x 1      για κάθε x ,
όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με 2
β 3γ .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.
β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης ( ) 0 στο ανοικτό διάστημα (0,1).
(2001)
13.α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση   3
f x x 2x 1 ημ2x ,x     , είναι γνησίως
αύξουσα.
β) Η εξίσωση 3
x 2x 1 ημ2x   έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα  0,1 . (2001)
14.Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το .Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog
είναι 1-1.
α) Να δείξετε ότι η g είναι 1-1.
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση:      3
g f x x x g f x 2x 1     έχει ακριβώς δύο θετικές και
μία αρνητική ρίζα. (2002)
15. Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι
σχέσεις:    f x f 2 x   και  f x 0  για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα.
γ) Έστω η συνάρτηση  
 
 
f x
g x
f x


.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα x΄x, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45ο
.
(2003)
16. Δίνεται η συνάρτηση  
2
kx x
f x
4

 , x , της οποίας η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης στο σημείο  O 0,0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 1 .
α) Να αποδείξετε ότι k 4 .
β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό μέγιστο, το οποίο και να βρείτε.
γ) Να αποδείξετε ότι στο διάστημα  2,4 υπάρχει μοναδικό σημείο ξ , στο οποίο η

4. www.askisopolis.gr
4
εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ, όπου   A 2,f 2 και   B 4,f 4 .
(Εσπερινά 2005)
17. Δίνεται η συνάρτηση      f x xln x 1 x 1 ln x    , x > 0.
α) i. Να αποδείξετε ότι:  
1
ln x 1 lnx
x
   , x > 0.
ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, .
β) Να υπολογίσετε το
x
1
lim xln 1
x
 
 
 
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός  α 0,  τέτοιος ώστε  
α α 1
α 1 α 
  .
(2006)
18. ∆ίνεται η συνάρτηση  
x 1
f x ln x
x 1

 

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο πεδίο ορισμού της.
γ) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης  g x ln x στο σημείο
 A α,lnα με α 0 και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
  x
h x e στο σημείο  β
B β,e με β ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α
είναι ρίζα της εξίσωσης  f x 0 .
δ) Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν
ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες. (2006)
19. Για κάθε k δίνεται η συνάρτηση   3 2
f x 2x kx 10 ,x   
α) Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της συνάρτησης f στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x ΄x.
β) Για k = 3
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα  ,0 .
iii. για κάθε  α 14,15 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = α – 5 έχει ακριβώς μία
λύση στο διάστημα  0,1 . (Εσπερινά 2006)
20. Δίνεται μια συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει:
   3 3 2
f x f x 8x 12x 8x 2     για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 0 έχει μία μόνο ρίζα στο  0,1 .
γ) Αν για τη συνάρτηση g:  ισχύει ότι     2
f g x 3x f x 2   , για κάθε x ,
να βρείτε το 0x στο οποίο η g παρουσιάζει ελάχιστο. (Εσπερινά 2007)
21. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει  xf x x 2ημx  για κάθε x 0 .
α) Να βρείτε το  f 0 .
β) Να αποδείξετε ότι  f x 3 για κάθε
π
x 0,
2
 
 
 
.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 2 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο
π
,π
2
 
 
 
.
(Εσπερινά 2007)

5. www.askisopolis.gr
5
22. Δίνεται η συνάρτηση  
1
f x ln x
4x
  , x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι 5
1
f 0
e
 
 
 
,
1
f 0
4
 
 
 
και  5
f e 0 .
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
  M 1,f 1 .
γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο  0, .
(Ομογενείς 2007)
23. Δίνεται η συνάρτηση   3 2
f x x λx 3x 1    , λ,x .
α) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x 1 , να βρείτε την τιμή του λ.
β) Για λ 0
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που είναι
παράλληλες στην ευθεία y 9x .
iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x x 0  , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο
διάστημα  0,1 . (Εσπερινά 2009)
24. Δίνεται η συνάρτηση   3
f x x 3x συνx 2    , x .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα  0,π .
γ) Να λύσετε την εξίσωση    2
f x 8 f 6x  .
δ) Να βρείτε το όριο
 
x 0
f x 1
lim
x

. (Εσπερινά 2010)
25. Δίνεται η συνάρτηση     2
f x x 3 9 x   .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β) Να βρείτε την παράγωγο της f:
i. στο διάστημα  3,3 . ii. στο 0x 3  .
γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f.
δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f. (Εσπερινά 2010)
26. Δίνεται η συνάρτηση   2
α 1
f x
x x β
 

, όπου α,β ακέραιοι αριθμοί. Η γραφική παράσταση
της f στο σημείο της
5
A 2,
12
 
 
 
δέχεται εφαπτομένη της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι
5
18
.
α) Να αποδείξετε ότι α 1 και β 4 .
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:  3 2
kx 1 4k x x 4 0     (1) είναι ισοδύναμη με την
 f x k , k και στη συνέχεια να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1) για
τις διάφορες τιμές του k . (Εσπερινά 2011)

6. www.askisopolis.gr
6
27.Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύουν:
 f x 2   ,
 
2x 0
f x ημx
lim 2
x x



και    f 1 f 0
α) Να αποδείξετε ότι  0 0 και  1 3 - .
β) Αν η      
2
α 1   , x και α ικανοποιεί τις υποθέσεις του
θεωρήματος Rolle στο διάστημα  0,1 , να βρείτε τον αριθμό α.
γ) Για α 1 να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο  ξ 0,1 τέτοιο ώστε
   ΄ ξ 2 ξ 1 -
δ) Για α 1 να αποδείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο ξ του προηγούμενου
ερωτήματος. (Εσπερινά 2012)
28. Θεωρούμε τη συνάρτηση f :  με τύπο    2
f x x x x 1   . Να αποδείξετε ότι:
α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη.
β)Η εξίσωση    3
f x x 1 f 2   έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα  1,3 .
γ) Να εξετάσετε αν για τη συνάρτηση f ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Μέσης
Τιμής στα διαστήματα      1,2 , 2,3 και 1,3 και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι υπάρχουν
   1 2ξ 1,2 , ξ 2,3  και  ξ 1,3 τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση:      1 22f ξ f ξ f ξ    .
(Εσπερινά 2013)
29. Έστω f :  μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:
 
 2
2
xf x
x 1f x 1 0
x 1
   

για κάθε χ  και  f 0 0 .
α) Να βρείτε την f.
β) Αν   2
x
f x
x 1


, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση    4 3 2
f x 1 f 3x 2x 3x    έχει μία τουλάχιστον ρίζα
στο  0,1 και μια τουλάχιστον ρίζα στο  1,4 .
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2
4x 9x 4x 3   έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο  0,4 .
(Επ. Εσπερινά 2013)
30. Δίνεται η συνάρτηση      
2
f x x 3 x 1 , x    .
α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα και τα διαστήματα στα οποία η
f είναι γνησίως φθίνουσα.
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία:
i. είναι παράλληλη προς την ευθεία y 4x 3  και
ii. η τετμημένη του σημείου επαφής της με τη γραφική παράσταση της f είναι ακέραιος
αριθμός.
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση      g x x 1 f x , x   έχει δύο θέσεις τοπικών
ελαχίστων και μια θέση τοπικού μεγίστου. (Εσπερινά 2014)
31. Δίνεται η συνάρτηση    3
f x αx x, x , α 0     .
α) Να υπολογίσετε την τιμή του α, ώστε η ευθεία ε: y 4x 2  να εφάπτεται στη γραφική
παράσταση της f στο σημείο   A 1,f 1 .
Στη συνέχεια, για α 1
β) i. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f.

7. www.askisopolis.gr
7
ii. Να λύσετε στο την ανίσωση  3
f x x 10  .
γ) Να υπολογίσετε το όριο
 
2x 0
f x 1
lim ημ
x 1 x
 
 
 
. (Επ. Εσπερινά 2014)
32. Δίνεται η συνάρτηση   2
1
f x , x
x 1
 

.
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
β) Να αποδείξετε ότι    2
f f x
2
 για κάθε x .
γ) Να υπολογίσετε το όριο
 
x 0
2
f 1 x
2lim
x
 
.
δ) Να βρείτε τις εξισώσεις όλων των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που
διέρχονται από το σημείο  3,0 .
(Εσπερινά 2015)
33. Δίνεται η συνάρτηση    2
2
1
f x x , x 0,
x
    .
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου    g x f x 2  .
γ) Να λύσετε την εξίσωση    
3
f f x 2, x 0,
2
 
    
 
.
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει
1
,1
2
 
 
 
τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης
της f στο σημείο   ,f  να διέρχεται από το σημείο
5
0,
2
 
 
 
.
(Επ. Εσπερινά 2015)
Κυρτότητα
34. Έστω η συνάρτηση   3 2 2 2
f x x 3x συν2α 2xσυν 2α ημ 2α ,x,α     . Να αποδείξετε ότι για
οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για
τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή. (2001)
35. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο
(α,β). Αν ισχύει    α β 0  και υπάρχουν αριθμοί    γ α,β , δ α,β  , έτσι ώστε
   f γ f δ 0 , να αποδείξετε ότι:
α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης  f x 0 στο διάστημα  α,β .
β)Υπάρχουν σημεία  1 2ξ ,ξ α,β τέτοια ώστε  1f ξ 0  και  2f ξ 0  .
γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (2003)
36. Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x lnx .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και να
βρείτε τα ακρότατα της.
β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (2004)

8. www.askisopolis.gr
8
37. Δίνεται η συνάρτηση  
xln x, x 0
f x
0, x 0

 

.
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.
β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης
α
x
x e για όλες
τις τιμές του πραγματικού αριθμού α.
δ)Να αποδείξετε ότι      f x 1 f x 1 f x     για κάθε x 0 . (2008)
38. Δίνεται η συνάρτηση    x
f x α ln x 1   , x 1  , α 0 με α 1 .
α) Αν  f x 1 για κάθε x 1  , να αποδείξετε ότι α e .
β) Για α e ,
i. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή.
ii. να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο  1,0 και γνησίως αύξουσα στο
 0, .
iii. αν    β,γ 1,0 0,    , να αποδείξετε ότι η εξίσωση
   f β 1 f γ 1
0
x 1 x 2
 
 
 
έχει
τουλάχιστον μια ρίζα στο  1,2 . (2009)
39. Δίνεται η συνάρτηση    x
f x x ln e 1   , x ℝ
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη.
γ) Να αποδείξετε ότι:    xf x f x ln2   , για κάθε  x 0,  . (Ομογενείς 2011)
40. Έστω η παραγωγίσιμη στο διάστημα  1,1 συνάρτηση f με  f 0 3  και η συνάρτηση
   2
1
g x f x
1 x


,  x 1,1  με g(x) βx 3, -  x 1,1  ,όπου β .Δίνεται επιπλέον ότι η
παράγωγος f  της f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα  1,1 .
α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g έχουν κοινό
σημείο με τετμημένη x0=0 και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό.
β) Να δείξετε ότι  g 0 β  και ότι η κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων
των συναρτήσεων f και g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x0=0 είναι η
y βx 3  .
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση  f x β  ,  x 1,1  , έχει μοναδική ρίζα το 0
δ) Να δείξετε ότι  f x βx 3  , για κάθε  x 1,1  . (Εσπερινά 2012)
41. Δίνεται η συνάρτηση  
2
x
f x ln x x, x 0
2
   .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα  0, και να μελετήσετε την f
ως προς τη κυρτότητα.
β) Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα  α,α 1 η εξίσωση
   4
f x 2x f 4  να έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
γ) Να λύσετε στο διάστημα  0, την ανίσωση 2
xln x 2 2x  . Ομογενείς 2013

9. www.askisopolis.gr
9
42. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν:
    x
f x 2xe f x
   για κάθε x και
   1
f 1 e
 .
α) Να αποδείξετε ότι  
2
x
x
f x , x
e
  .
β)Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το
διάστημα  0, .
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 x 2
x 2e 
 έχει ακριβώς τρείς ρίζες στο σύνολο των
πραγματικών αριθμών.
δ) Δεδομένου ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα  ,0 , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης
της γραφικής παράστασης της f στο σημείο   1,f 1  και να αποδείξετε ότι
 f x 2e 3ex 0   για κάθε x 0 .
Ομογενείς 2015
Ασύμπτωτες- De l Hospital
43. Έστω f,g:  συνεχείς συναρτήσεις με    f x g x x 4   για κάθε x . Έστω ότι η
ευθεία y 3x 7  είναι ασύμπτωτη της Cf στο  .
α) Να βρείτε τα όρια: i.
 
x
g x
lim
x
και ii.
 
2x
g x 3x ημ2x
lim
xf (x) 3x 1
 
 
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 2x 3  είναι ασύμπτωτη της Cg στο  . (2000)
44. Έστω η συνάρτηση    
2
αx βx
f x ,x - 2 ,α,β
x 2

  

.Αν η ευθεία ε: y 2x 1  είναι
ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο  , να βρείτε τα α,β. (2001)
45.Δίνεται η συνάρτηση  
     -x 1
x α ,x 1
f x ,α
1- e ln x 1 ,x 1,2
 
 
 
.
α) Να υπολογίσετε το όριο
x 1
x 1
1 e
lim
x 1
 



.
β) Να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x 1 .
γ) Για α 1  να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  ξ 1,2 τέτοια, ώστε η
εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο   A ξ,f ξ να είναι
παράλληλη στον άξονα x΄x. (2001)
46. Δίνεται η συνάρτηση  
2
x , x 0
f x αx β , 0 x 1
1 xln x, x 1
  

   
  
όπου α,β .
α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ισχύει: α 1 και β 0 , τότε:
i. Να υπολογίσετε το
 
2x
f x
lim
x

10. www.askisopolis.gr
10
ii. Να υπολογίσετε τα όρια:
   
x 1
f x f 1
lim
x 1



,
   
x 1
f x f 1
lim
x 1



(2004)
47. Δίνεται η συνάρτηση  
  2
2 α x kx 2
f x
x 3
  


, α,k και x 3 .
α) Αν η ευθεία y x είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC στο  , να αποδείξετε ότι α 1
και k 3 .
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα  ξ 1,2 , στο οποίο η εφαπτομένη της fC
είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο 0x 1 .
(Εσπερινά 2005)
48. Δίνεται η συνάρτηση   2
3
x λ ,x 1
4
f x
x 8x 4
,x 1
4x

  
 
  

με λ
α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 1 .
β) Για λ 0
i. να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο .
ii. να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο  .
(2006)
49. Δίνεται η συνάρτηση  
 
2
2
1 1
x ,x 2
8 2
f x
x 5x 6
,x 2
2 x 1

  

    
 
.
α) Να αποδείξετε ότι η αι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0x 2 .
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
  M 0,f 0 .
γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία
1
y x 2
2
  είναι ασύμπτωτη της fC στο  .
(Εσπερινά 2007)
50. Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x 2lnx  , x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι  f x 1 για κάθε x 0 .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
γ) Έστω η συνάρτηση    
ln x
, x 0
f xg x
k, x 0


 
 
.
i. Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής.
ii. Αν
1
k
2
  , να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα  0,e . (2008)
51. Δίνεται η συνάρτηση  
2
x 2x k
f x
x
 
 , k .
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο   M 1,f 1 είναι
παράλληλη στον άξονα x΄x, να βρείτε το k.

11. www.askisopolis.gr
11
γ) Για k 1 ,
i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα 1, .
(Εσπερινά 2008)
52. Δίνεται η συνάρτηση      2
f x ln λ 1 x x 1 ln x 2        , x 1  , λ 1  .
α) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε να υπάρχει το όριο  x
limf x

και να είναι
πραγματικός αριθμός.
β) Έστω ότι λ 1 
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
ii. να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
iii. να αποδείξετε ότι η εξίσωση   2
f x α 0  έχει μοναδική λύση για κάθε α 0 . (2009)
53.Δίνεται η συνάρτηση  
2
αx β, x 1
f x
2x 3, x 1
  
 
 
α,β .
α) Αν η f είναι συνεχής στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι α β 5  .
β) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 , να αποδείξετε ότι α 1 και β 4 .
γ) Για α 1 και β 4 , να προσδιορίσετε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης  
 f x
g x ,
x
 x 0 . (Εσπερινά 2009)
54. Δίνεται η συνάρτηση   x α
f x xe 
 , α .
α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της fC στο σημείο   A 0,f 0 να είναι παράλληλη
στην ευθεία y ex .
β) Για α 1  ,
i. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας x΄x είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο  .
55. Δίνεται η συνάρτηση  
2
x 3
f x 2x
x

  , x 0 . Να βρείτε:
α) Τα τοπικά ακρότατα της f.
β) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο   A 1,f 1 .
δ) Το σημείο   M ξ,f ξ , ξ 0 , της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η
εφαπτομένη είναι παράλληλη προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με   A 1,f 1 και   B 3,f 3 .
(Εσπερινά 2010)
56. Δίνεται η συνάρτηση   3
f x x – 3ln x , x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.
β) Να αποδείξετε ότι ο άξονας y΄y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης
της f .
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 2 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα  1,e .
(Ομογενείς 2010)
57.Δίνεται η συνάρτηση f :  , δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με    f 0 f 0 0   , η οποία
ικανοποιεί τη σχέση:         x
e f x f x 1 f x xf x       για κάθε x .

12. www.askisopolis.gr
12
α) Να αποδείξετε ότι:    x
f x ln e x  ,  .
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία καμπής.
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  x
ln e x συνx  έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα
π
0,
2
 
 
 
. (2011)
58. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :  ,για την οποία ισχύει:   x
xf x 1 e  , για κάθε x .
α) Να αποδείξετε ότι  
x
e 1
, x 0
f x x
1, x 0
 

 
 
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση –1
f και να βρείτε το πεδίο
ορισμού της.
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο
  A 0,f 0 . Στη συνέχεια, αν είναι γνωστό ότι η f είναι κυρτή, να αποδείξετε ότι η
εξίσωση  2f x x 2  , x έχει ακριβώς μία λύση.
δ) Να βρείτε το     x 0
lim x lnx ln f x

   .
(Επαναληπτικές 2012)
59. Δίνεται η συνάρτηση   22
f x αx β
x
   , x 0 με α,β .
α) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα  0, .
β) Αν είναι α<0, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία λύση στο  0, .
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f:
έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη για κάθε α,β, την οποία και να βρείτε.
έχει οριζόντια ασύμπτωτη μόνο για α=0 και β , την οποία και να βρείτε.
δ) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες η f παρουσιάζει στο σημείο 0x 1 τοπικό
ακρότατο, το  0f x 7 . Στη συνέχεια να καθορίσετε το είδος του ακροτάτου αυτού.
(Εσπερινά 2012)
60. Δίνεται η συνάρτηση  
4
f x αx, x 1, α
x 1
   

.
α) Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο
  A 2,f 2 να είναι κάθετη στην ευθεία (ε): x 3y 6 0   .
Αν α 1 , τότε:
β) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της.
γ) να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f.
δ) να βρείτε το όριο
   
2x 1
x 1 f x 6
lim
x 1
 

. (Εσπερινά 2013)
61. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν:
       2
2xf x x f x 3 f x     για κάθε x
  
1
f 1
2

α) Να αποδείξετε ότι  
3
2
x
f x , x
x 1
 

και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

13. www.askisopolis.gr
13
στο .
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του προηγούμενου
ερωτήματος.
γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
     3 22 2
f 5 x 1 8 f 8 x 1   
δ) Να βρείτε την τιμή του κ ώστε   x
lim f x κ 5

   . (Επ. Εσπερινά 2013)
62. Δίνεται η συνάρτηση  
2
αx x 2
h x , x 1, α
x 1
 
   

. Αν η ευθεία με εξίσωση y x 2 
είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο  , τότε
α) Να αποδείξετε ότι α 1 .
β) i. Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y x 2  είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης της h στο  .
ii. Να βρείτε τη κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h.
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  
 
4
x 3
h x 0
x

  έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
 1,0 . (Εσπερινά 2014)
63. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 0,  , για την οποία ισχύουν:
    f x xf x 2x  για κάθε  x 0, 
  f 1 10
α) Να αποδείξετε ότι  
2
x 9
f x , x 0
x

 
β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.
γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f .
δ) Να αποδείξετε ότι      f x 10 x 1 f x   για κάθε x 1 .
(Επ. Εσπερινά 2014)
64. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  για την οποία ισχύει ότι   2 1
xf x x 1 x
x
    
για κάθε x 0 .
α) Να αποδείξετε ότι  
1 x 1
x , x 0
f x x x
, x 0
 
  
 
 
.
β) Να υπολογίσετε την παράγωγο  f x της συνάρτησης f για κάθε x 0 .
γ) Να αποδείξετε ότι η f έχει στο  οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y 1  .
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  f x 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
1
,
 
 
 
.
(Εσπερινά 2015)
65. Δίνεται η συνάρτηση   4 3 2
f x 3x 4x x , x     , όπου α είναι πραγματικός αριθμός. Αν η f
παρουσιάζει στο 0x 1 τοπικό ακρότατο, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι 12   .
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε τις τιμές
του  , ώστε  f x   για κάθε x .
γ) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη στο  της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

14. www.askisopolis.gr
14
 
 
3
f x
g x , x 0
x 1
 

.
δ) Να υπολογίσετε το όριο
 
2x
f x 1
lim
x x
  
  
  
για τις διάφορες ακέραιες τιμές του ν.
(Επ. Εσπερινά 2015)
Στέλιος Μιχαήλογλου