Επιμέλεια: Ηλίας Ζωβοΐλης αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΔΙΣΜΟΥ Γ, ΤΑΞΗΣ
ΕΞΕΤΑΖοΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΠΑΡΑΓΡΑΦοΙ 1.1-1.3
ΘΕΜΑ Α
Αl. Τι ονομÜζεται σýνολο τιμτßιν μιαò συνÜρτησηò f:A -+ Β; (5 μον)
Α2. ΘεωρÞστε τον παρακÜτω ισχυρισμü:
«Αν οι συναρτησεò f:A -+ IR και g:A -+ IR Ýχουν ελÜχιστεò τιlÝò
τουò αριθμοýò α και β αwßστοιχα,τüτε οπωσδÞποτε η συνÜρτηση f+g
θα Ýχει ελÜχιστο το α+β.»
α)Να χαρακττlρßσετε τον παραπÜνω ισχυρισμü ωò αληθÞ Þ ψευδÞ. (1 μον.)
β)Να αιτιολογÞσετε την απÜντησÞ σαò,στο ερþτημα α). (3μον.)
Α3.Να αποδεßξετε üτι οι γραφικÝò παραστÜσειξ των συναρτÞσεων f και f-l
εßναι συμμετρικÝò ωò προò την ευθεßα ψ=χ, (6μον.)
Α4.Να χαρακττlρßσετε αò προτÜσειò που ακολουθοýν,γρÜφονταò δßπλα σε κÜθε πρüταση,
τη λÝξη Σωστü, αν η πρüταση εßναι σωστÞ, Þ ΛÜθοò, αν η πρüταση εßναι λανθασμÝνη.
α)Αν μια συνÜρτηση f:IR-+1R εßναι Ι-Ι,τüτε κÜθε οριφντια ευθεßα τÝμνειτÞν Cr
σε Ýγα το πολý σημεßο.
β) Αν για τιò συναρτÞσειò f:IR -+ ]R και g:IR -+ IR ισχυει f (χ),ò(χ)= θ,
για κÜθε χεΙR,τüτε οπωσδÞποτε θα ισχýει f(x)=0 για κÜθε xeIR Þ
e(*)=0 για κÜθε xeIR"
γ)Αν για τò συναρτησεò f:A-+IR και g:A-+iR ισχυει f * 9,τ6τε οπωσδÞποτε
θα ισχýει και f(x)+g(x) για κÜθε xeA.
δ)Αν για τò συναρττlσειò ξg,h ορßζ,εται η (f "c)
οh,τüτε οπωσδÞποτε
θα ορßζ,εται και η f .(g.h) και θα ισχυει (f .8).h=f .(g.h).
ε) Η γραφικÞ παρÜσταση τηò συνÜρτησηò |f| αποτελεßται απü τμÞματα
των γραφικþν παραστÜσεωντων συναρτÞσεων f και -f. (ΙOμον.)
15.10.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 3
Επιμέλεια: Ηλίας Ζωβοΐλης (Δάσος Χαϊδαρίου)

2. ΘΕΜΑ Β
Θεωροýμε τη συναρτÞσεò f και h με τυπουò f(x) =/ρχ,*»ρ
και h(x) =(f.g)(x) =χ+/ηχ,χ>O,üπου g συνÜρτηση με πεδßο ορισμοý το (0,+ω) .
Β1. Να αποδεßξετε üτι g(x) = x ,e*,x ) 0.
(6 μον.)
Β2.Να αποδεßξετε üτι η συνÜρτηση h εßναι 1-1.
(6 μον.)
Β3. Να λýσετε την ανßσωση: χ2 + (ηχ> χ, χ > 0.
(7 μον)
Β4. Αν γνωρßζετε üτι οι γραφικÝò παραστÜσεò των συναρτÞσεων h και h-l
Ýχουν μüνο Ýγα κοινü σημεßο,να Μσετε την εξßσωση:h-'(χ) =Ιι(χ), χ)0.
(6 μον)
ΘΕΜΑΓ
Θεωροýψ συνÜρτηση f με τυπο Τ(*)=ξ4, χ*2,για την οποßα γνωρßζουμε üτιι ' χ-2'
Ýχει σýνολο τιμþν το R - {2}.
Γl.Να αποδεßξετε üτι }τ-2.
(7 μον.)
Γ2.Να αποδεßξετε üτι η συνÜρτηση fαντιστρÝφεται και στη συνιÝχεια üτι f-l-f.
(5 μον.)
Γ3.Να ?νýσετε την εξßσωση:(*-Ζ) .e'(*) +χ+3-0, χ#2.
(7 μον.)
Γ4. Να αποδεßξετε üτι για κÜθε α,β eR - {Ζ} ισχυει:(f(α) - f(β)).(α- 2) * 5,
(6 μον.)
15.10.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 2 of 3

3. ΘΕΜΑ Δ
Θεωροýμε σιινÜρτιlση f με τýπο r(*) - Π - χ, χ ε IR ,
για την οποßα γνωρßζουμε üτι f (R) = (0,+*).
Δ1. Να αποδεßξετε üτι για κÜθε χ e IR ισμßει f' (") + 2χ, r(*) - 3 .
Δ2. Να αποδεßξετε üτι η σιινÜρττlση f εßναι Ι - Ι και στη σιινÝχεια να
την αντßστροφη σιινÜρτηση f-'.
Δ3.¸στω σιινÜρπ,lση g:]R + [ι,Ζ] με τýπο g(*) =
(ψ + αχ,üπου
πραγματικüò αριθμüò. Να αποδεßξετε üτι:
α) α=0
(3 μον.)
ορßσετε
(7 μον.)
α σταθερüò
(5 μον.)
(3 μον.)
(7 μον.)
β) η σιινÜρτηση g Ýχει ελÜχιστο
Δ4. Να βρεßτε την μÝγιστη τιμÞ τηò
Ζωβοßληò Ηλßαò
15.10.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 3 of 3