Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης αποκλειστικά για το lisari

1. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΣΜΗΜΑ ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ
ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : 
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι αν μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ είναι ςυνεχισ
ςτο Δ και  f x 0  για κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε θ f είναι ςτακερι ςε
όλο το διάςτθμα Δ.
Μονάδες 10
Α2. Θεωριςτε τθν παρακάτω πρόταςθ:
« Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ και  f x 0  για κάκε
x που ανικει ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ, τότε θ f είναι ςτακερι ςτο πεδίο οριςμοφ
τθσ
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ, το
γράμμα Α , αν είναι αλθκισ, ι το γράμμα Ψ , αν είναι ψευδισ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ ςτο ερϊτθμα (α).
Μονάδες 4
Α3. Να χαρακτηρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουθοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιο ςασ τη
λζξη, Σωστό – Λάθος δίπλα ςτο γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάθε πρόταςη.
α. Oι ςυναρτιςεισ f,g ορίηονται ςτο διάςτθμα Δ και και είναι παραγωγίςιμεσ ςε
αυτό. Αν ιςχφει    f x g x  για κάκε x , τότε μπορεί να ιςχφει    f x g x .
β. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x του πεδίου οριςμοφ, τότε ιςχφει
   
0
0
x x
lim f x f x

  για κάκε ςυνάρτθςθ f.
ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
26.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5

2. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
γ. Η ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ς’ ζνα ςθμείο 0x του πεδίου οριςμοφ όταν
υπάρχει το
   
0
0
x x
0
f x f x
lim
x x


δ. Αν ιςχφει το Θεϊρθμα Μζςθσ Σιμισ για τθν f ςτο *α,β+, γεωμετρικά ςθμαίνει ότι
υπάρχει ζνα τουλάχιςτον  ,   τζτοιο ϊςτε θ εφαπτομζνθ τθσ γραφικισ
παράςταςθσ τθσ f ςτο ςθμείο   ,f   να είναι παράλλθλθ τθσ ΑΒ, όπου
  ,f   ,   ,f   .
ε. Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο διάςτθμα *α,β+ και    f f   , τότε
υπάρχει ζνα τουλάχιςτον  ,   τζτοιο ϊςτε  f 0   .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
΢τα παρακάτω ςχιματα δίνονται οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f,g.
ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
26.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5

3. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
B1. Να εξετάςετε, αν υπάρχουν, τιμζσ ςτισ οποίεσ θ ςυνάρτθςθ f δεν είναι
παραγωγίςιμθ. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ.
Μονάδες 5
B2. Να εξετάςετε, αν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του κ. Rolle για τθ ςυνάρτθςθ f
ςτο διάςτθμα *-1,4]. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ.
Μονάδες 8
B3. Να ςχεδιάςετε τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ  g : 3,4  , θ οποία
είναι ςυνεχισ, με  g 3 1  . ( Η γραφικι παράςταςθ να ςχεδιαςτεί με ςτυλό)
Μονάδες 12
ΘΕΜΑ Γ
Ζςτω f :   μια παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ για τθν οποία ιςχφουν :
•         2
1 x f x f x 2x f x    για κάκε x
•  f 0 1
ΣΕΛΟ΢ 3Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
26.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5

4. ΑΡΧΗ 4Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Γ1. Να αποδείξετε ότι  
x
2
e
f x
x 1


Μονάδες 8
Γ2. Να αποδείξετε ότι θ ευκεία y x  τζμνει τθ fC ακριβϊσ ςε ζνα ςθμείο με
τετμθμζνθ  0x 1,0 
Μονάδες 7
Γ3. Να βρείτε το ςθμείο τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f ςτο οποίο δζχεται οριηόντια
εφαπτομζνθ.
Μονάδες 4
Γ4. Ζνα ςθμείο Μ κινείται ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f. Η τετμθμζνθ του ςθμείου Μ
μεταβάλλεται με ρυκμό 2cm/sec. Να βρείτε το ρυκμό μεταβολισ τθσ τεταγμζνθσ
του ςθμείου Μ, όταν διζρχεται από το ςθμείο τομισ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ
f με τον άξονα yϋy.
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι ςυναρτιςεισ  f,g : 0,   για τισ οποίεσ ιςχφουν :
•    g x
f x e   και    f x
g x e   για κάκε x 0
•    f 1 g 1 0 
Δ1. Να αιτιολογιςετε ότι οι f,g είναι δφο φορζσ παραγωγίςιμεσ ςτο  0,
Μονάδες 8
Δ2. Να αποδείξετε ότι f=g
Μονάδες 3
Δ3. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ    f x
h x e x

  είναι ςτακερι ςτο διάςτθμα
 0, .
Μονάδες 8
ΣΕΛΟ΢ 4Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕi΢
26.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5

5. ΑΡΧΗ 5Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Δ4. Να αποδείξετε ότι
1
x
x 1
e
x

 για κάκε x 0
Μονάδες 6
ΣΕΛΟ΢ 5Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
26.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5