Αποκλειστικά από το lisari! Διαγώνισμα μέχρι την αντίστροφη συνάρτηση από το Γιάννη Αναστασίου

1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2015
Επιμέλεια: Γιάννης Αναστασίου
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ;
Μον 7
Β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται 1-1 στο Α;
Μον 8
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνεται η συνάρτηση  
x x
e e
f x
2


 , x .
(i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. Μον 5
(ii) Να βρείτε το πρόσημο της f για τις διάφορες τιμές του x . Μον 8
(iii) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f 
Μον 10
(iv) Να λύσετε την ανίσωση:    2
f f ln x f ln x 2 0     . Μον 7
ΘΕΜΑ 3ο
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει:
   3
f x f x x 8   , για κάθε x R
(i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. Μον 7
(ii) Να βρείτε το πρόσημο της f για τις διάφορες τιμές του x . Μον 7
(iii) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1
f 
Μον 10
(iv) να βρεθούν τα κοινά σημεία της 1f f
C και C  Μον 10
(v) Να λύσετε την εξίσωση:    2
f log x 5log x f 2 4log x   Μον 6
ΘΕΜΑ 4ο
Γ. Δίνετε η συνάρτηση f: (0, )  για την οποία για κάθε x ισχύει
2x
f(x)lnf(x) e
i) Να δείξετε ότι  f x 1 Μον 7
ii)
1
f e
2
 
 
 
Μον 8