Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
•
1 like•22,498 views
Επιμέλεια: Δήμητρης Μονέζης αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com
![[ΧΡΗΣΙΜΕΣ
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΗΣ
Γ
ΛΥΚΕΙΟΥ]
1
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Γνωστές ανισότητες από προηγούµενες τάξεις που
δε χρήζουν απόδειξης
Στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της 1ης Τάξης του Γενικού Λυκείου στη
σελίδα 58 υπάρχει εφαρµογή σύµφωνα µε την οποία
§ Αν α,β οµόσηµοι αριθµοί, τότε
§ Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α,β ισχύει ότι
η οποία έχει άµεση συνέπεια πώς για τους
αριθµούς ισχύει ότι
§ Αν τότε µε την ισότητα να ισχύει µόνο για
α=1
Για διδακτικούς σκοπούς στο τέλος παραθέτουµε τις αποδείξεις και παρατηρήσεις πάνω στις
παραπάνω ανισότητες
Από το σχολικό βιβλίο της
Άλγεβρας της 2ης Τάξης του
Γενικού Λυκείου ισχύει ότι
και για
κάθε µε τις ισότητες να
ισχύουν για άπειρα σηµεία
, και
αντίστοιχα όπως
φαίνεται και στα διπλανά
σχήµατα
α < β ⇔
1
α
>
1
β
α2
+ β2
≥ 2 ⋅ αβ
α,β ∈ 0, +∞⎡
⎣ ) α + β ≥ 2 ⋅ α ⋅ β
α > 0 α +
1
α
≥ 2
ηµx ≤ 1 συνx ≤ 1
x ∈R
x = κπ +
π
2
κ ∈Ζ x = κπ
κ ∈Ζ
19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 9
Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης](https://image.slidesharecdn.com/anisotiteslisari-181119054138/85/-1-320.jpg)
![[ΧΡΗΣΙΜΕΣ
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
ΣΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΗΣ
Γ
ΛΥΚΕΙΟΥ]
2
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ B: Χρήσιµες ανισότητες από προηγούµενες τάξεις που
χρήζουν απόδειξης
Β/1. Ισχύει ότι για κάθε
Απόδειξη: Για κάθε ισχύει ότι
Όµως είναι γνωστό ότι και οπότε
Δηλαδή
Οµοίως και
Β/2. Ισχύει ότι
για όλους τους πραγµατικούς
αριθµούς
Απόδειξη: Πράγµατι αν αντιµετωπίσουµε την παράσταση ως
τριώνυµο µε µεταβλητή το α για τη διακρίνουσα του έχουµε
οπότε για το τριώνυµο
ισχύει ότι για κάθε µε την ισότητα να ισχύει µόνο
όταν α=β=0
Ένας άλλος τρόπος απόδειξης είναι και ο παρακάτω:
Έστω ότι
το οποίο ισχύει για κάθε
µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν α=β=0
Η παραπάνω ανισοϊισότητα αποτελεί και άσκηση 4 της Β Οµάδας του σχολικού βιβλίου της
Άλγεβρας της 1ης Τάξης του Γενικού Λυκείου στη σελίδα 60
Β/3. Ισχύει ότι
για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς
µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0
Απόδειξη: Πράγµατι για κάθε ισχύει µε την ισότητα να ισχύει
µόνο για x=0 οπότε
x2
+ 1 ± x > 0 x ∈R
x ∈R x2
+1 > x2
⇔ x2
+1 > x2
= x
x ≥ x x ≥ −x x ∈R x2
+1 > x ≥ x
x2
+1 > x ⇔ x2
+1 − x > 0
x2
+1 > −x ⇔ x2
+1 + x > 0
α2
± α ⋅ β + β2
≥ 0
α2
± α ⋅β + β2
Δ = ±β( )
2
− 4 ⋅1⋅β2
= β2
− 4 ⋅β2
= −3β2
≤ 0 α2
+ α ⋅β + β2
α2
± α ⋅β + β2
≥ 0 α,β ∈R
α2
+ α ⋅β + β2
≥ 0 ⇔ 2α2
+ 2α ⋅β + 2β2
≥ 0 ⇔
α2
+ 2α ⋅β + β2
+ α2
+ β2
≥ 0 ⇔ α + β( )
2
+ α2
+ β2
≥ 0
α,β ∈R
ex2
− 1 ≥ 0
x ∈R x2
≥ 0
x2
≥ 0 ⇔
ex
ex2
≥ e0
⇔ ex2
−1 ≥ 0
19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 9
Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
Similar to Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου (20)
More from Μάκης Χατζόπουλος
More from Μάκης Χατζόπουλος (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Ανισότητες για τους μαθητές της Γ Λυκείου
- 1. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 1 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Α: Γνωστές ανισότητες από προηγούµενες τάξεις που δε χρήζουν απόδειξης Στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της 1ης Τάξης του Γενικού Λυκείου στη σελίδα 58 υπάρχει εφαρµογή σύµφωνα µε την οποία § Αν α,β οµόσηµοι αριθµοί, τότε § Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α,β ισχύει ότι η οποία έχει άµεση συνέπεια πώς για τους αριθµούς ισχύει ότι § Αν τότε µε την ισότητα να ισχύει µόνο για α=1 Για διδακτικούς σκοπούς στο τέλος παραθέτουµε τις αποδείξεις και παρατηρήσεις πάνω στις παραπάνω ανισότητες Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας της 2ης Τάξης του Γενικού Λυκείου ισχύει ότι και για κάθε µε τις ισότητες να ισχύουν για άπειρα σηµεία , και αντίστοιχα όπως φαίνεται και στα διπλανά σχήµατα α < β ⇔ 1 α > 1 β α2 + β2 ≥ 2 ⋅ αβ α,β ∈ 0, +∞⎡ ⎣ ) α + β ≥ 2 ⋅ α ⋅ β α > 0 α + 1 α ≥ 2 ηµx ≤ 1 συνx ≤ 1 x ∈R x = κπ + π 2 κ ∈Ζ x = κπ κ ∈Ζ 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 2. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ B: Χρήσιµες ανισότητες από προηγούµενες τάξεις που χρήζουν απόδειξης Β/1. Ισχύει ότι για κάθε Απόδειξη: Για κάθε ισχύει ότι Όµως είναι γνωστό ότι και οπότε Δηλαδή Οµοίως και Β/2. Ισχύει ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς Απόδειξη: Πράγµατι αν αντιµετωπίσουµε την παράσταση ως τριώνυµο µε µεταβλητή το α για τη διακρίνουσα του έχουµε οπότε για το τριώνυµο ισχύει ότι για κάθε µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν α=β=0 Ένας άλλος τρόπος απόδειξης είναι και ο παρακάτω: Έστω ότι το οποίο ισχύει για κάθε µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν α=β=0 Η παραπάνω ανισοϊισότητα αποτελεί και άσκηση 4 της Β Οµάδας του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας της 1ης Τάξης του Γενικού Λυκείου στη σελίδα 60 Β/3. Ισχύει ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 Απόδειξη: Πράγµατι για κάθε ισχύει µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 οπότε x2 + 1 ± x > 0 x ∈R x ∈R x2 +1 > x2 ⇔ x2 +1 > x2 = x x ≥ x x ≥ −x x ∈R x2 +1 > x ≥ x x2 +1 > x ⇔ x2 +1 − x > 0 x2 +1 > −x ⇔ x2 +1 + x > 0 α2 ± α ⋅ β + β2 ≥ 0 α2 ± α ⋅β + β2 Δ = ±β( ) 2 − 4 ⋅1⋅β2 = β2 − 4 ⋅β2 = −3β2 ≤ 0 α2 + α ⋅β + β2 α2 ± α ⋅β + β2 ≥ 0 α,β ∈R α2 + α ⋅β + β2 ≥ 0 ⇔ 2α2 + 2α ⋅β + 2β2 ≥ 0 ⇔ α2 + 2α ⋅β + β2 + α2 + β2 ≥ 0 ⇔ α + β( ) 2 + α2 + β2 ≥ 0 α,β ∈R ex2 − 1 ≥ 0 x ∈R x2 ≥ 0 x2 ≥ 0 ⇔ ex ex2 ≥ e0 ⇔ ex2 −1 ≥ 0 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 3. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 3 Β/4. Ισχύει ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 Απόδειξη: Πράγµατι για κάθε ισχύει µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 οπότε Β/5. Ισχύει ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 Απόδειξη: Πράγµατι για κάθε ισχύει µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 οπότε Β/6. Ισχύει ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς µε την ισότητα να ισχύει µόνο για Απόδειξη: Πράγµατι για κάθε ισχύει η οποία ισχύει για κάθε µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν e x − 1 ≥ 0 x ∈R x ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ ex e x ≥ e0 ⇔ e x −1 ≥ 0 e x − 1 ≥ 0 x ∈ 0, +∞⎡ ⎣ ) x ∈ 0,+∞⎡ ⎣ ) x ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ ex e x ≥ e0 ⇔ e x −1 ≥ 0 x x2 + 1 ≤ 1 2 x = ±1 x ∈R x x2 +1 ≤ 1 2 ⇔ x2 +1>0,∀x∈R x2 +1( )⋅ x x2 +1 ≤ x2 +1( )⋅ 1 2 ⇔ ⇔ x ≤ 1 2 x2 +1( )⇔ 2 x ≤ x2 +1 ⇔ ⇔ x 2 =x2 2 x ≤ x 2 +1 ⇔ x 2 − 2 x +1 ≥ 0 ⇔ x −1( ) 2 ≥ 0 x ∈R x −1 = 0 ⇔ x = 1 ⇔ x = ±1 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 4. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 4 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Γ: Γνωστές ανισότητες από το σχολικό βιβλίο της Γ τάξης του Λυκείου που δε χρήζουν απόδειξης Γ/1. Για κάθε ισχύει ότι Από το σχολικό µας βιβλίο στη σελίδα 52 ισχύει η παραπάνω ανισοϊισότητα και µάλιστα µε την πληροφορία ότι η ισότητα ισχύει µόνο για x=0 Η γεωµετρική ερµηνεία της παραπάνω ανισοϊσότητας φαίνεται στο διπλανό σχήµα Η παραπάνω γράφεται επίσης Οπότε για x>0 προκύπτει ότι και εύκολα µπορούµε να προσδιορίσουµε το πρόσηµο των συναρτήσεων Στο διπλανό σχήµα συνοψίζονται τα παραπάνω, διακρίνοντας τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων , και Έτσι προκύπτει εύκολα ότι όταν όταν x < 0 κ.ο.κ Επιπλέον η ανισοϊισότητα αν υψωθεί στο τετράγωνο µας δίνει το πρόσηµο µιας άλλης συνάρτησης. Πράγµατι για κάθε και µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 x ∈R ηµx ≤ x ηµx ≤ x ⇔ − x ≤ ηµx ≤ x −x < ηµx < x ηµx − x, x-ηµx y = x y = −x y = ηµx x > ηµx x > 0 −x > ηµx ηµx ≤ x ⇔ ηµx 2 ≤ x 2 ⇔ ηµ2 x ≤ x2 ⇔ x2 − ηµ2 x ≥ 0 x ∈R 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 5. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 5 Γ/2. Για κάθε ισχύει ότι µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=1 Από το σχολικό µας βιβλίο και πιο συγκεκριµένα από τη εφαρµογή στη σελίδα 148 ισχύει η παραπάνω ανισοϊσότητα και µάλιστα µε την πληροφορία ότι η ισότητα ισχύει µόνο για x=1 Η γεωµετρική ερµηνεία της παραπάνω ανισοϊσότητας φαίνεται στο διπλανό σχήµα Γ/3. Για κάθε ισχύει ότι µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=0 Aν στην γνωστή ανισοϊσότητα της εφαρµογής του σχολικού βιβλίου θέσουµε όπου x το προκύπτει ότι για κάθε δηλαδή για κάθε και µε την ισότητα να ισχύει όταν δηλαδή όταν x=0 Η γεωµετρική ερµηνεία της παραπάνω ανισοϊσότητας φαίνεται στο παραπάνω σχήµα x > 0 lnx ≤ x − 1 x ∈R ex ≥ x + 1 lnx ≤ x −1, x>0( ) ex lnex ≤ ex −1 ⇔ x ≤ ex −1 ⇔ ex ≥ x +1 ex > 0 x ∈R ex = 1 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 6. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 6 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Δ: Χρήσιµες ανισότητες στη Γ τάξη του Λυκείου που χρήζουν απόδειξης Δ/1. Ισχύει ότι x − 1 x ≤ lnx ≤ x − 1 για κάθε x>0 και µε τις ισότητες να ισχύουν µόνο για x=1 Απόδειξη: Πράγµατι αν στην γνωστή ανισοϊισότητα Γ/2 σελ.5 θέσουµε όπου x το τότε προκύπτει µιά νέα, µε ισχύ για κάθε x>0: και µε την ισότητα να ισχύει πάλι µόνο για x=1. Οπότε συνοψίζοντας, έχουµε εγκλωβίσει τη συνάρτηση lnx ως εξής: για κάθε x>0 και µε τις ισότητες να ισχύουν µόνο για x=1 Η γεωµετρική ερµηνεία της παραπάνω ανισοϊσότητας φαίνεται στο παραπάνω σχήµα Δ/2. Ισχύει ότι lnx < x < ex για κάθε x>0 Απόδειξη: Πράγµατι από τη γνωστή ανισοϊισότητα Γ/2 σελ.5 ισχύει ότι για κάθε x>0 lnx ≤ x −1 < x δηλαδή lnx < x για κάθε x>0 και από τη γνωστή ανισοϊισότητα Γ/3 σελ.5 ισχύει ότι για x ∈R ex ≥ x +1 > x δηλαδή ex > x κάθε . Συνοψίζοντας προκύπτει πώς για κάθε x>0 ισχύει ότι lnx < x < ex Η γεωµετρική ερµηνεία της παραπάνω ανισότητας φαίνεται στο διπλανό σχήµα 1 x ln 1 x ≤ 1 x −1 ⇔ −lnx ≤ 1 − x x ⇔ ⇔ lnx ≥ x −1 x x −1 x ≤ lnx ≤ x −1 x ∈R 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 7. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 7 Δ/3. Ισχύει ότι x < εϕx για κάθε x ∈ 0, π 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Απόδειξη: Θεωρούµε τη συνάρτηση f x( )= ηµx − xσυνx στο διάστηµα 0, π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ . Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ και παραγωγίσιµη στο 0, π 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ µε f/ x( )= συνx − συνx − xηµx( )= συνx − συνx + xηµx = xηµx > 0 για κάθε x ∈ 0, π 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Εφόσον η f είναι συνεχής στο 0, π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, π 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ και για κάθε x ∈ 0, π 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ είναι 0 < x < π 2 ⇔ f x( )> f 0( )⇔ ηµx − xσυνx > 0 ⇔ ηµx > xσυνx ⇔ συνx>0 στο 0, π 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ηµx συνx > xσυνx συνx ⇔ εϕx > x Δ/4. Ισχύει ότι f2 x( )− m + M( )⋅ f x( )+ mM ≤ 0 για κάθε συνεχή συνάρτηση f : α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ → R όπου m,M η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή της f αντίστοιχα Απόδειξη: Η συνάρτηση f στο [α,β] εφόσον είναι συνεχής από Θεώρηµα Μέγιστης – Ελάχιστης τιµής παρουσιάζει ελάχιστη τιµή m (έστω στη θέση x1 ∈ α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ) και αντίστοιχα µέγιστη τιµή Μ (έστω στη θέση x2 ∈ α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ) οπότε για κάθε x ∈ α,β⎡ ⎣ ⎤ ⎦ θα ισχύει m ≤ f x( )≤ M ή ισοδύναµα f x( )≥ m f x( )≤ M ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⇔ f x( )− m ≥ 0 f x( )− M ≤ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ οπότε f x( )− m( )⋅ f x( )− M( )≤ 0 ⇔ f2 x( )− m + M( )f x( )+ mM ≤ 0 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 8. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 8 Δ/5. Αν µια συνάρτηση f είναι ορισµένη και κυρτή σε ένα διάστηµα Δ τότε f α + β 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≤ f α( )+ f β( ) 2 για κάθε α,β ∈ Δ (ανισότητα Jensen) Απόδειξη: § Αν α=β τότε η αποδεικτέα σχέση γράφεται f α( )≤ f α( ) η οποία είναι προφανής § Αν α ≠ β τότε και χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω α<β Η f είναι συνεχής στα διαστήµατα α, α + β 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ , α + β 2 ,β ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ και παραγωγίσιµη στα α, α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , α + β 2 ,β ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , οπότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής υπάρχουν ξ1 ∈ α, α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ και ξ2 ∈ α + β 2 ,β ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ τέτοια ώστε f/ ξ1( )= f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − f α( ) α + β 2 − α = 2 f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − f α( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ β − α f/ ξ2( )= f β( )− f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ β − α + β 2 = 2 f β( )− f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ β − α Επειδή η f είναι κυρτή στο Δ, η f/ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ οπότε έχουµε α < ξ1 < ξ2 < β ⇔ f/ ξ1( )< f/ ξ2( )⇔ 2 f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − f α( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ β − α < 2 f β( )− f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ β − α ⇔ β>α f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − f α( )< f β( )− f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⇔ 2f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ < f α( )+ f β( )⇔ f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ < f α( )+ f β( ) 2 Άρα σε κάθε περίπτωση έχουµε ότι f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≤ f α( )+ f β( ) 2 για κάθε α,β ∈Δ µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν α=β 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης
- 9. [ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ] 9 Οµοίως αποδεικνύεται αν η f είναι κοίλη σε ένα διάστηµα Δ ισχύει ότι f α + β 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ≥ f α( )+ f β( ) 2 για κάθε α,β ∈Δ µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν α=β Για διδακτικούς σκοπούς παραθέτουµε τις αποδείξεις της Κατηγορίας Α Α1. Αν α,β οµόσηµοι να αποδείξετε ότι Απόδειξη: Πράγµατι εφόσον α,β οµόσηµοι ισχύει ότι και Α2. Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α,β ισχύει ότι Απόδειξη: Πράγµατι το οποίο ισχύει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α,β και µε την ισότητα να ισχύει µόνο όταν α=β Αν τότε θέτοντας όπου α το και αντίστοιχα όπου β το προκύπτει Α3. Να αποδείξετε ότι για κάθε Απόδειξη: Πράγµατι για κάθε x>0, έχουµε που ισχύει για κάθε x>0 µε την ισότητα να ισχύει µόνο για x=1 Με όµοιο τρόπο αποδεικνύουµε ότι για κάθε α < β ⇔ 1 α > 1 β αβ > 0 α < β ⇔ ÷αβ>0 α αβ < β αβ ⇔ 1 β < 1 α ⇔ 1 α > 1 β α2 + β2 ≥ 2 ⋅ αβ α2 + β2 ≥ 2 ⋅ αβ ⇔ α2 + β2 − 2 ⋅ αβ ≥ 0 ⇔ α − β( ) 2 ≥ 0 α,β ∈ 0,+∞⎡ ⎣ ) α β α( ) 2 + β( ) 2 ≥ 2 ⋅ α ⋅ β ⇔ α + β ≥ 2 αβ x + 1 x ≥ 2 x > 0 x + 1 x ≥ 2 ⇔ ⋅x>0 x2 +1 ≥ 2x ⇔ x2 − 2x +1 ≥ 0 ⇔ x −1( ) 2 ≥ 0 x + 1 x ≤ −2 x < 0 19.11.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 9 Επιμέλεια: Δημήτρης Μονέζης