Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης για το http://www.operedidixe.gr/

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΗ 8. (σελ.47)
Αν τα α,β είναι μη μηδενικά διανφσματα , να αποδείξετε ότι
 
α
α α β συν α,β =
β

 
    
 
Λύζη
Χωρίς Λόγια
α
α β
β
β
α,β
 
 
 
∧
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

2. ΑΣΚΗΣΗ 7. (σελ.47)
Αν α β 1  και
2π
α,β =
3

 
 
 
να σπολογίζεηε ηη γωνία ηων διανσζμάηων
u=2α+4β και v =α-β
Λύζη
Χωρίς λόγια
Στόλιο : u/ /(α +2β)
α
β
α β
β α 2β
60o
60o
60o
30o
30o
30o
30o
90o
30o
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

3. η.2 (2010)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
Ένα γνυζηό θέμα και μια κομτή λύζη
Άζκηζη 5/ζελ49. Σσολικό βιβλίο
Αν ηα διανύζμαηα α = (κ,λ) ,β = (μ,ν) είναι κάθεηα και έσοςν μέηπα
ίζα με ηη μονάδα να δείξεηε όηι (κν-λμ)2
=1
Λύση
Θευπώ ηο διάνςζμα u = (ν,-μ) για ηο οποίο ιζσύει α = β = u =1
Αλλά u β = μν -μν = 0 άπα u β και αθού α β θα είναιu / /β
Επομένυρ
(κν-λμ)2
=     
2 22
2
u β = u β ζςν(u,β) =1 1 ζςν(u,β) = (±1) =1    
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

4. όπερ έδει δείξαι 3. (2010)
τ.3 (2010)
Άσκηση Β3 σελ 65
Να βρείτε την εξίςωςη τησ ευθείασ που διζρχεται από το Μ(2,1) και τζμνει τισ
ευθείεσ y=x+1 και y=-x+1 ςτα ςημεία Α και Β αντιςτοίχωσ ζτςι ώςτε το Μ
να είναι το μζςον του ΑΒ.
Έςτω η ευθεία ε: x=2 που διζρχεται από το Μ .
Η ευθεία τζμνει την ε1 ςτο Α(2,3) και την ε2 ςτο Β(2,-1)
Προφανώσ το Μ είναι μζςον του ΑΒ και η (ε) αποτελεί λφςη του προβλήματοσ
Έςτω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία που διζρχεται από το Μ και τζμνει τισ ε1 και ε2 ςτα Α΄
και Β΄ αντίςτοιχα ώςτε Α΄Β΄ να ζχουν μζςον το Μ.
Τότε το τετράπλευρο Α΄Α´ θα είναι παραλληλόγραμμο αφοφ οι διαγώνιοι διχοτομοφνται
ΑΤΟΠΟ αφοφ ε1 κάθετη ςτην ε2
ε1
ε2
Μ(2,1)
ε
Α
Β
Α'
Β'
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

5. ΕΝΑ ΓΝΩΣΤΟ ΘΕΜΑ ΜΕ ΜΙΑ ΚΟΜΨΗ ΛΥΣΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Σελ. 70 Άςκηςη 5. Β ομάδα
Να βρείτε την εξίςωςη τησ ευθείασ που διζρχεται από την αρχή των αξόνων και από
το ςημείο τομήσ των ευθειών
x y x y
+ =1 και + =1
α β β α
, με α,β0 και αβ
ΛΥΣΗ
Οι ευθείεσ
x y x y
+ =1 και + =1
α β β α
είναι ςυμμετρικζσ ωσ προσ τη διχοτόμο y=x .
Το ςημείο τομήσ τουσ βρίςκεται ςτον άξονα ςυμμετρίασ τουσ δηλαδή ςτην y=x
και η αρχή των αξόνων είναι ςημείο τησ y=x
άρα η ευθεία που διζρχεται από την αρχή των αξόνων και το ςημείο τομήσ των δυο
ευθειών θα είναι η y=x.
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

6. Άσκηση Β7 σελ 76
Δίνονται τα ςημεία Α(α,0) και Β(0,β) με α,β>0 . Αν η μεςοκάθετοσ του ΑΒ
τζμνει τουσ άξονεσ ςτα ςημεία P(p,0) και Q(0,q) να αποδείξετε ότι
i) αq+βp=2pq ii) αp+βq=0
i) αq+βp=2pq2E1-2E3=2(-2E2)E1-E3=-2E2E1+E2=E3-E2
 (AQP)=(BPQ) ιςχφει
ii)
αp+βq= ΟΔ ΟΓ
 
 =0 αφοφ ΡΜΑ

=90ο
άρα και ΓΟΔ

=90ο
Α(α,0)
Β(0,β)
Q(0,q)
P(p,0) O
E1
E3
E2
O Α(α,0)
Β(0,β)
MQ(0,q)
P(p,0)
Γ(α,β)
Γ(p,q)
X X
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

7. Όπερ ζδει δείξαι
τεύχος 6. 2012
Όπερ ζδει δείξαι τεύχος 6. 2012
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΗ Β5 σελ. 100
Εζηω η παπαβολή y2
=2px και η εθαπηομένη ηηρ ε ζε ένα ζημείο Α(x1,y1) αςηήρ.
Αν η εςθεία ΟΑ ηέμνει ηη διεςθεηούζα ηηρ παπαβολήρ ζηο ζημείο Β , να αποδεισηεί
όηι ΒΕ//ε.
ΛΥΣΗ
Εζηω Α1(x1,y1) ζημείο ηηρ παπαβολήρ. Η εθαπηομένη ζε αςηό ηέμνει ηον σσ΄ζηο
ζημείο Γ(-x1,0).
Θα αποδείξω όηι
1
ΟΒ ΟΕ
=
ΟΑ ΟΓ
Αλλά
1 1
ΟΒ ΟG p OE
=
ΟΑ ΟA x OΓ
 
(από ηο θεώπημα ηος Θαλή μεηαξύ ηων παπαλλήλων GB//yy΄//ΑΑ1)
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

8. ΠΑΡΑΒΟΛΗ
Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ ΢ΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
Α΢ΚΗ΢Η Β7
Εζηω η παπαβολή y2
=2px και ένα ζημείο ηηρ Α(x1,y1).
Φέπνοςμε ηην εθαπηομένη ηηρ παπαβολήρ ζηο Α , πος ηέμνει
ηον άξονα σσ’ ζηο Β και ηην παπάλληλη από ηο Α ζηον άξονα
σσ’ πος ηέμνει ηην διεςθεηούζα ζηο Γ . Ν.δ.ο. ηο ηεηπάπλεςπο
ΑΕΒΓ είναι πόμβορ με κένηπο ζηον άξονα yy’
ΛΥ΢Η
ΑΓ=ΑΕ (ορισμός παραβολής)
ΒΕ=x1+p/2=AΓ
ΒΕ//ΑΓ
Αρα ΒΕ//=ΑΓ άρα ΓΑΕΒ
παραλληλόγραμμο και αυού
ΑΓ=ΑΕ θα είναι ΑΓΒΕ ρόμβος
Στο τρίγφνο ΑΒΑ’ είναι Ο
μέσον ΒΑ’ και ΟΚ//ΑΑ’ άρα Κ
μέσον τοσ ΑΒ.
Αρα το κέντρο τοσ ρόμβοσ
ανήκει στον yy’
δ
Ε(p/2,0)O
Α(x1,y1)Γ(-p/2,y1)
Α'(x1,0)B(-x1,0)
K
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/

9. Α΢ΚΗ΢Η Β6
Αν η εθαπηομένη ηηρ παπαβολήρ y2
=2px ζηο ζημείο Α ηέμνει
ηη διεςθεηούζα ζηο Β και ηον άξονα yy΄ζηο ζημείο Κ ν.δ.ο.
i) AEB=90o
ii) EKAB
iii) ΕΚ2
=ΚΑΚΒ
ΛΥ΢Η
i) Από τη Β7 ΑΕΑ΄Γ ρόμβος
Τα τρίγφνα ΒΓΑ και ΒΕΑ είναι ίσα αυού
ΑΓ=ΑΕ ( ΑΓΒΕ ρόμβος)
ΒΓ=ΒΕ ( ΒΚ μεσοκάθετος τοσ ΕΓ)
και ΒΑ κοινή
Αρα οι γφνίες ΒΓΑ=ΒΕΑ=90
ii) Προυανές αυού ΑΓΑ΄Ε ρόμβος
iii) Προυανές από τις Μετρικές Στέσεις στο ορθογώνιο τρίγφνο
ΒΕΑ με ΕΚ ύυος
Ε(p/2,0)
A(x1,y1)Γ(-p/2,y1)
Α΄(-x1,0)
K
B
Επιμέλεια: Γιάννης Απλακίδης
Πηγή:http://www.operedidixe.gr/