Εισαγωγή στην έννοια της μονοτονίας συνάρτησης με χρήση παραγώγων

1. Μονοτονία συνάρτησης Με την χρήση παραγώγων Ανδρεσάκης Δημήτρης

2. Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης αυξουσα φθίνουσα αυξουσα Τ.Μ Τ.Ε.

3. Αν f ΄(χ) > 0 στο διάστημα Δ τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό το διάστημα Αν f ΄(χ) < 0 στο διάστημα Δ τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε αυτό το διάστημα Παράδειγμα Αν f(x) = x 3 + 2x τότε f ΄( x) = 3x 2 +2 Όμως f ΄( x) > 0 για κάθε x άρα η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΠΑΝΤΟΥ ΣΤΟ R Παράδειγμα Αν f(x) = - x 5 – 2 011χ τότε f ΄( x) = -5 x 4 - 2011 Όμως f ΄( x) < 0 για κάθε x άρα η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΠΑΝΤΟΥ ΣΤΟ R

4. Παράδειγμα Αν f(x) = x 2 – 6x τότε f ΄( x) = 2x - 6 άρα η f είναι Και ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ Όμως η f ΄( x) δεν είναι μόνο θετική ή μόνο αρνητική για κάθε x Το ζήτημα λοιπόν είναι να βρούμε που η f είναι αύξουσα και πού η f είναι φθίνουσα Δηλαδή να βρούμε που η f ‘ είναι θετική και πού είναι αρνητική Η f ‘ είναι θετική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν 2χ- 6 >0 άρα όταν 2χ >6 άρα όταν χ > 3 Η f ‘ είναι αρνητική όταν f ΄( x) <0 άρα όταν 2χ- 6 <0 άρα όταν 2χ <6 άρα όταν χ < 3

5. Συγκεντρωτικά λοιπόν f ΄( x) >0 όταν χ > 3 και f ΄( x) <0 όταν χ < 3 Τα παραπάνω δεδομένα τα συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα + - Άρα όταν χ > 3 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και όταν χ < 3 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ -∞ +∞ f ΄ f 3 -∞ +∞ f ΄ f 3

6. Παράδειγμα Να μελετήσετε την μονοτονία της f(x) = x 2 + 4x +5 Αν f(x) = x 2 + 4x +5 τότε f ΄( x) = 2x +4 Η f ‘ είναι θετική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν 2χ+4 >0 άρα όταν 2χ > - 4 άρα όταν χ > -2 Η f ‘ είναι αρνητική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν 2χ +4 <0 άρα όταν 2χ < - 4 άρα όταν χ < -2 Τα παραπάνω δεδομένα τα συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα - + Άρα όταν χ > -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και όταν χ < -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ -∞ +∞ f ΄ f -2

7. Παράδειγμα Να μελετήσετε την μονοτονία της f(x) = -3 x 2 -12 x +8 Αν f(x) = -3 x 2 -12 x + 8 τότε f ΄( x) = -6χ -12 Η f ‘ είναι θετική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν -6χ-12 >0 άρα όταν -6χ > 12 άρα όταν χ < -2 Η f ‘ είναι αρνητική όταν f ΄( x) >0 άρα όταν -6χ -12 <0 άρα όταν -6χ < 12 άρα όταν χ > -2 Τα παραπάνω δεδομένα τα συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα + - Άρα όταν χ < -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ και όταν χ > -2 η f είναι ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ -∞ +∞ f ΄ f -2

8. Συγκεντρωτικά τι θα κάνουμε όταν μας ζητούν την μονοτονία μιας συνάρτησης f : α) βρίσκω f ‘ (x) β) βρίσκω το πρόσημο της f ‘ (x) ( Λύνω τις ανισώσεις f’ (x) >0 και f ‘ (x) < 0) γ) κάνω πινακάκι δ) αναφέρω σε ποια διαστήματα η f είναι αύξουσα και σε ποια είναι φθίνουσα.

9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ α·x 2 +β·x+ γ =0 Διακρίνουσα Δ= β 2 – 4 ·α ·γ Αν Δ > 0 έχει 2 ρίζες άνισες τις Αν Δ = 0 έχει 1 διπλή ρίζα την x = Αν Δ < 0 είναι αδύνατη στο 

10. Αν Δ > 0 τότε το φ( x ) είναι εντός των ριζών ετερόσημο του α Αν Δ = 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α εκτός για x = που είναι φ( x ) = 0 Αν Δ < 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α Παράδειγμα ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ φ(χ) = αχ 2 +βχ+γ Φ(χ)= x 2 – 6x + 8 α = 1 , β = -6 , γ = 8 , α >0 Δ = β 2 – 4.α.γ = (-6) 2 – 4 .1 .8 = 36 – 32 =4 > 0 Άρα χ 1,2 = 4 Ομόσημο του α Ετερόσημο του α Ομόσημο του α + - + 2 2

11. Αν Δ > 0 τότε το φ( x ) είναι εντός των ριζών ετερόσημο του α Αν Δ = 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α εκτός για x = που είναι φ( x ) = 0 Αν Δ < 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α Παράδειγμα ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ φ(χ) = αχ 2 +βχ+γ Φ(χ)= - x 2 + x -12 α = -1 , β = 1 , γ = 12 , α < 0 Δ = β 2 – 4.α.γ = 1 2 – 4 .(-1).12 = 1+48 =49 > 0 Άρα χ 1,2 = 3 Ομόσημο του α Ετερόσημο του α Ομόσημο του α - + - -4

12. Αν Δ > 0 τότε το φ( x ) είναι εντός των ριζών ετερόσημο του α Αν Δ = 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α εκτός για x = που είναι φ( x ) = 0 Αν Δ < 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α Παράδειγμα ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ φ(χ) = αχ 2 +βχ+γ Φ(χ)= 2 x 2 +4 x +2 α = 2 , β = 4 , γ = 2 , α > 0 Δ = β 2 – 4.α.γ = 4 2 –4.2.2 = 16 -16 = 0 Άρα χ = -1 Ομόσημο του α Ομόσημο του α + +

13. Αν Δ > 0 τότε το φ( x ) είναι εντός των ριζών ετερόσημο του α Αν Δ = 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α εκτός για x = που είναι φ( x ) = 0 Αν Δ < 0 τότε το φ( x ) είναι παντού ομόσημο του α Παράδειγμα ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ φ(χ) = αχ 2 +βχ+γ Φ(χ)= - x 2 +2 x -5 α = -1 , β = 2 , γ = -5 , α < 0 Δ = β 2 – 4.α.γ = 2 2 –4.(-1).(-5) = 4 -20 = -16<0 Ομόσημο του α -

14. Επανερχόμαστε όμως στην Μονοτονία Για πιο ……δύσκολες ασκήσεις ΑΣΚΗΣΗ Να εξετάσετε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x) = x 3 – 6x 2 +9 Συγκεντρωτικά τι θα κάνουμε: α) βρίσκω f ‘ (x) β) βρίσκω το πρόσημο της f ‘ (x) γ) κάνω πινακάκι

15. f(x) = x 3 – 6x 2 +9 χ f ΄( x) = 3χ 2 -12χ+9 Όμως η παράγωγος είναι τριώνυμο , άρα για να βρω το πρόσημό της πρέπει να βρω το πρόσημο τριωνύμου…. α = 3 , β = -12, γ =9 Δ = β 2 – 4.α.γ = (-12) 2 – 4.3.9 =144- 108 =36 Άρα χ 1,2 = Θυμάμαι…… εντός των ριζών ετερόσημο του α 1 3 f ’ f - + +