διαγώνισμα_ως_Rolle_2016-17

1. www.askisopolis.gr
1
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου
Διαγώνισμα διάρκειας 3 ωρών
Ύλη: Έως και Θ.Rolle
Θέμα A
Α 1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή
Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Στη συνέχεια να δικαιολογήσετε την
απάντησή σας.
α) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη
σ’ αυτό.
β) Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο 0x , τότε η f  είναι συνεχής στο x0.
γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε :    0 0f x f x     .
δ) Η συνάρτηση  f x x είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.
ε) Αν  f x 0 για κάθε x κοντά στο x0 και υπάρχει το όριο  
0x x
lim f x

,τότε  
0x x
lim f x 0

 .
μονάδες 5x2
A 2. Στο διπλανό σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων f,g και η κοινή τους εφαπτομένη ε, στο σημείο Α,
με τετμημένη 0x 1  . Να βρείτε:
α) Τα  f 1  και  g 1  μονάδες 4
β) Την εξίσωση της ε. μονάδες 3
γ) Τα  f 1 και  g 1 μονάδες 3
δ) Τα    f g 1  και  
f
1
g
 
 
 
. μονάδες 5
Θέμα Β
Δίνεται η συνάρτηση  f x x x , x  .
Β 1. Να βρείτε τη παράγωγο της f στο 0x 0 .
μονάδες 4
Β 2. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.
μονάδες 2
Β 3. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
μονάδες 5
Β 4. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων 1
f,f
.
μονάδες 4
Β 5. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της 1
f 
στο ίδιο σύστημα αξόνων με την f.
μονάδες 2
Β 6. Να υπολογίσετε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:
α)
 x 0
1
lim
f x
β)
 x 0
1 2x
lim
f x x

 

γ)
 
2x 1
f x 1
lim
x 2x 1

 
μονάδες 2+3+3

2. www.askisopolis.gr
2
Θέμα Γ
Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα
τρίγωνο ΑΒΓ βάσης BΓ 10 cm και ύψους ΑΔ 5 cm.
Γ 1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε και η περίμετρος Ρ του
ορθογωνίου ως συνάρτηση του x δίνονται από τους τύπους
  2
x 10x 2x   και  x 20 2x   , 0 x 5  .
μονάδες 6
Γ 2. Έστω ότι το ύψος x του ορθογωνίου αυξάνεται με
σταθερό ρυθμό. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου
για τις οποίες τα μέτρα του ρυθμού μεταβολής του εμβαδού
και της περιμέτρου να είναι ίσα.
μονάδες 7
Γ 3.Να δείξετε ότι η εξίσωση    4
x x x 11     έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα  1,2 .
μονάδες 7
Γ 4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει  2,3 τέτοιο, ώστε     2 5 2 5       .
μονάδες 6
Θέμα Δ
Δίνεται η συνάρτηση   5
f x x 2x 1   .
Δ 1. Να βρείτε ακέραιο α τέτοιον, ώστε η εξίσωση  f x 0 να έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
διάστημα  , 1   .
μονάδες 3
Δ 2. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
μονάδες 4
Δ 3. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης    5
f x 2f x 36  .
μονάδες 5
Δ 4. Να υπολογίσετε τα όρια: α)     x
lim f x f x

  β)
     
   
2
x
f x f x f x
lim
f x f x
 
 
.
μονάδες 3+3
Δ 5. Δίνεται συνεχής συνάρτηση g:  για την οποία ισχύει ότι      2 2 2 5
g x x 2xg x f x x x    
για κάθε x ,  g 2 3   και  g 0 1  .
α) Να δείξετε ότι  g x x x 1  
μονάδες 4
β)Να υπολογίσετε το όριο  x
lim g x

μονάδες 3
Καλή Επιτυχία!
Στέλιος Μιχαήλογλου
Ε Μ
ΓΛΔ
xx
KB
N
A

3. www.askisopolis.gr
3
Λύσεις
Θέμα A
Α 1. α)Λάθος γιατί η συνάρτηση  
x , x 0
f x
x, x 0
 
 
  
είναι συνεχής στο 0 και δεν είναι παραγωγίσιμη σε
αυτό αφού
   
x 0 x 0 x 0
f x f 0 x 1
lim lim lim
x 0 x x  
  

   

β) Σωστό γιατί αφού η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη, η f είναι παραγωγίσιμη οπότε και συνεχής.
γ) Λάθος γιατί το  0f x είναι αριθμός, οπότε   0f x 0  .
δ) Λάθος αφού από το α σκέλος προκύπτει ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.
ε) Λάθος γιατί αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση
 
x 2, x 2
f x
2 x, x 2
  
 
 
του διπλανού σχήματος,
βλέπουμε ότι  f x 0 για κάθε x 2 , όμως
 x 2
limf x 0


A 2. α)    f 1 g 1 60 3      
β)  : y 3 x 1 y 3x 3     
γ)      f 1 3 1 3 2 3 g 1       
δ)              gf 1 g 1 f 1 g 1 f 1 2 3 2 3 12            
 
       
 2
f 1 g 1 f 1 g 1f
1 0
g g 1
       
   
 
Θέμα Β
Β 1. Είναι  
2
2
x , x 0
f x x x
x , x 0
 
  
 
.
Είναι
    2
x 0 x 0
f x f 0 x
lim lim
x 
 
 

x
0 και
    2
x 0 x 0
f x f 0 x
lim lim
x 
 


x
0 .
Επειδή
       
x 0 x 0
f x f 0 f x f 0
lim lim 0
x x 
 
 
  , η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0 με  f 0 0  .
Β 2.

4. www.askisopolis.gr
4
Β 3. Για κάθε x 0 είναι  f x 2x 0    και για κάθε x 0 είναι  f x 2x 0   και επειδή η f είναι
συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα στο , οπότε είναι και 1-1 και αντιστρέφεται.
Για κάθε x 0 είναι   2
f x y x y x y     με y 0 και
για x 0 είναι   2 2
f x y x y x y x y           με y 0 . Άρα  1
y, y 0
f y
y, y 0

 
 
  
οπότε  1 x, x 0
f x
x, x 0

 
 
  
.
Β 4. Για κάθε x 0 είναι:
     1 2 4 4 3
f x f x x x x x x x 0 x x 1 0 x 0 ή x 1
             
Για κάθε x 0 είναι:
     1 2 4 4 3
f x f x x x x x x x 0 x x 1 0 x 0 ή x 1
                  
Κοινά σημεία των 1f f
C ,C  τα      1, 1 , 0,0 , 1,1 
Β 5. Επειδή οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων
συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την y x ,
σχεδιάζουμε την 1
f 
συμμετρική της f ως προς την y x .
Β 6. α) Είναι
   2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
1 1 1 1
lim lim , lim lim
f x x f x x   
   
     

οπότε δεν υπάρχει το
 x 0
1
lim
f x
β)
 
  
   
2 2
2 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
1 2x 1 2x1 2x 1 2x 2x 1
lim lim lim lim
f x x 1 2x x 1 2x x 1 2x   
   
         
     
      
2
x 0
2x 1 1
lim 4 2
x 1 2x 1 1

  
    
     
γιατί
u
2x u x
2
x 0 x 0 u 0 u 0
u 0
2x u u
lim lim lim 2 2
ux u
2
   

  
    

  
  
γ) Επειδή για τιμές του x πολύ κοντά στο 1 είναι x 0 , έχουμε:
 
 
2
22x 1 x 1 x 1
x 1x 1f x 1
lim lim lim
x 2x 1 x 1  

 
   2
x 1
x 1


 x 1
1
lim x 1 2
x 1
 
         
γιατί
x 1 u
x 1 x 1 u 0
u 0
1 1
lim lim
x 1 u

 
   

  

Θέμα Γ
Γ 1. Επειδή ΜΝ//ΒΓ, τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΒΓ είναι όμοια, οπότε ο λόγος ομοιότητας τους είναι ίσος με

5. www.askisopolis.gr
5
το λόγω των υψών τους, δηλαδή
AE 5 x
5
 
 
 
NM
10
 2
NM 10 2x   .
Για το εμβαδόν  x του ορθογωνίου ισχύει ότι:        2
x 10 2x x 10x 2x        .
Για τη περίμετρο  x του ορθογωνίου ισχύει ότι:
             x 2 2 20 4x 2x 20 2x                 
Πρέπει
 
 
0 x 0 x 0
0 x 5
0 10 2x 0 x 5
     
      
      
Γ 2.Είναι      2
t 10x t 2x t   και             t 10x t 4x t x t 2 5 2x t x t        .
Είναι    t 20 2x t   και    t 2x t    .
   t t 2        5 2x t x t 2  x t  5 2x t 1   
 5 2x t 1     x t 3 ή    5 2x t 1 x t 2   
Το ορθογώνιο στη περίπτωση αυτή έχει διαστάσεις 3cm και 10 2 3 4cm   ή 2cm και 6cm.
Γ 3.    4 4 2 4 2
x x x 11 x 20 2x 10x 2x 11 x 2x 12x 9 0                
  3 2
x 1 x x 3x 9 0 x 1       απορρίπτεται 3 2
ή x x 3x 9 0    .
Έστω    3 2
g x x x 3x 9, x 1,2     .
Είναι    g 1 4 0, g 2 9 0     , δηλαδή    g 1 g 2 0 και επειδή η g είναι συνεχής ως πολυωνυμική,
σύμφωνα με το Θ.Bolzano, η εξίσωση   3 2
g x 0 x x 3x 9 0      έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
 1,2 .
Γ 4.           x 2 x 5 2x 5 2 x x 5 x 2x 5 0              
Έστω        2 2
h x E x 5E x x 5x, x 2,3     .
Η h είναι συνεχής στο  2,3 ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο  2,3 με
       h x 2 x x 5 x 2x 5         .
Είναι      2 2
h 2 E 2 5E 2 4 10 12 5 12 6 90         ,
     2 2
h 3 E 3 5E 3 9 15 12 5 12 6 90         .
Επειδή    h 2 h 3 , σύμφωνα με το Θ.Rolle, υπάρχει  2,3 τέτοιο, ώστε  h 0   
    2 5 2 5       
Θέμα Δ
Δ 1. Παρατηρούμε ότι  f 0 1 και  f 1 1 2 1 2 0        , δηλαδή    f 0 f 1 0  .
Επειδή η f είναι συνεχής στο  1,0 ως πολυωνυμική, σύμφωνα με το Θ.Bolzano, η εξίσωση
 f x 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο  1,0 , άρα 1   .
Δ 2. Έστω 1 2x ,x  με 1 2x x . Είναι 5 5
1 2x x (1) και 1 2 1 22x 2x 2x 1 2x 1     (2).
Με πρόσθεση κατά μέλη των (1),(2) έχουμε:    5 5
1 1 2 2 1 2x 2x 1 x 2x 1 f x f x f        1
Είναι    5 5
x x x x
lim f x lim x , lim f x lim x
   
     .
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο   έχει σύνολο τιμών το

6. www.askisopolis.gr
6
      x x
f lim f x , lim f x
 
  
Δ 3.               
f 1 1
5 5
f x 2f x 36 f x 2f x 1 37 f f x f 2 f x 2

         
Επειδή το 2 ανήκει στο σύνολο τιμών της f, υπάρχει μοναδικός 1x  τέτοιος, ώστε  1f x 2 .
Δ 4. α)     
 
   
f x u
x u u u
u
lim f x f x lim u u lim u 1 1 0
u

   
  
              
  
γιατί για κάθε
u 0 είναι
uu 1 1 u 1
u u u u u u
 
      . Επειδή
u u
1 1
lim lim 0
u u 
 
   
 
, από το κριτήριο
παρεμβολής είναι και
u
u
lim 0
u

 .
β)
     
   
2
2
x x
f
f x f x f x
lim lim
f x f x 
 
 
 
 
 
 
f x
x 1
f x
f x
 
 
 
 
 
 f x u
u u
u
1
1 0ulim u
u 1 0f x 11 uf x

 
 
  
             
 
γιατί για κάθε u 0 είναι
uu 1 1 u 1
u u u u u u
 
      . Επειδή
u u
1 1
lim lim 0
u u 
 
   
 
, από το κριτήριο παρεμβολής είναι και
u
u
lim 0
u

 .
Δ 5. α)          2 2 2 5 2 2 5
g x x 2xg x f x x x g x 2xg x x x         2 5
2x 1 x x    
       
2 22
g x x x 1 g x x x 1       (3)
Επειδή x 1 0  για κάθε x 1  , είναι    h x g x x 0   για κάθε x 1  .
Επειδή επιπλέον η h είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα
 , 1  και  1,  . Είναι    h 2 g 2 2 3 2 1 0          , άρα  h x 0 για κάθε x 1  ,
οπότε η (3) γίνεται    g x x x 1 g x x x 1        .
Είναι    h 0 g 0 1 0    , άρα  h x 0 για κάθε x 1  , οπότε η (3) γίνεται
   g x x x 1 g x x x 1        .
Επειδή η g είναι συνεχής στο είναι      x 1 x 1
g 1 lim g x lim x x 1 1
 
       και τελικά είναι
 g x x x 1   , x
β) Επειδή κοντά στο  είναι x 1 0  , είναι  g x x x 1  
    2
2 2x x x x
1 1 1 1
lim g x lim x x 1 lim x x lim x x
x x x x   
    
                    
 2x
1 1
lim x 1 1 0
x x
  
         
   