Γ Λυκείου

1. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Συνάρτηση 1-1

2. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Ορισμός:
Μια συνάρτηση f : A → R λέγεται
συνάρτηση 1−1, όταν
για οποιαδήποτε x1 , x2 A ισχύει ηϵ
συνεπαγωγή:
αν x1 ≠ x2, τότε f(x1) ≠ f(x2) .

3. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Παράδειγμα: η συνάρτηση
1
( )f x
x
=

4. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Συνέπεια του ορισμού (για τις ασκήσεις)
Μια συνάρτηση f : A → R είναι συνάρτηση
1−1, αν και μόνο αν
για οποιαδήποτε x1 , x2 Aϵ
ισχύει η συνεπαγωγή:
αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2.

5. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Η συνάρτηση f(x) = αx + β, με α ≠0 είναι
συνάρτηση 1−1.
Η συνάρτηση f(x) = β δεν είναι συνάρτηση 1-1 , αφού
f(x1) = f(x2) = β για οποιαδήποτε x1 , x2 ϵ R,

6. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Η συνάρτηση f(x) = x2
δεν είναι
συνάρτηση 1-1
αφού f(−1) = f(1) = 1 αν και είναι −1≠1.

7. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Αν η f είναι 1-1 , τότε:
• Δεν υπάρχουν
σημεία της γραφικής
της παράστασης με
την ίδια τεταγμένη.
• Αυτό σημαίνει ότι
κάθε οριζόντια
ευθεία τέμνει τη
γραφική παράσταση
της f το πολύ σε
ένα σημείο .

8. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ

9. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Συνάρτηση f :1-1
με π.ο: Α
β Î f(A)
H εξίσωση f(x) = β έχει
ακριβώς μία ρίζα στο Α
β
ακριβώς μία ρίζα

10. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Δηλαδή: για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η
εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x

11. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη,
τότε είναι συνάρτηση ''1-1''.

12. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Αν μια συνάρτηση f είναι ''1-1'',
τότε είναι γνησίως μονότονη;
Όχι πάντα.

13. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Πως δείχνω ότι μια συνάρτηση
είναι 1-1:
• Παίρνω δύο τυχαία x1 , x2 ÎΑ και αποδεικνύω ότι
αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2.
• Αποδεικνύω ότι η f είναι γνησίως μονότονη.
• Δείχνω ότι η εξίσωση y=f(x) με άγνωστο το x και
παράμετρο το y έχει ακριβώς μία λύση στο Α.

14. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 1
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
f(x) = 2e3x-2
+ 1
είναι 1-1.

15. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 2
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της
.
( )
2
5
x
f x
x
−
=
+

16. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 3
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
f(x) = 2x + ex
- 1
είναι 1-1.

17. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 4
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
f(x) = (ex
-1)ln(x+2)
δεν είναι 1-1.

18. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ

19. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 5
Έστω η συνάρτηση f:RR για την οποία
ισχύει:
f(f(x)) = ex
+ f3
(x) για κάθε xÎR
Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

20. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 6
Έστω η συνάρτηση f: A R για την οποία
ισχύει:
• f(x)>0 για κάθε xÎA
• f(x)=x-lnf(x) για κάθε xÎA
 Να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα.
 Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.

21. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
• Ισχύει πάντα:
• Ισχύει αν η f είναι 1-1:
( ) ( )f fα β α β= ⇒ =
( ) ( )f fα β α β= ⇒ =

22. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 7
• Συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει:(f°f)(x)=x
για κάθε xÎR
• Συνάρτηση g με: g(x)=ex
+ ef(x)
για κάθε xÎR
• Η g είναι 1-1
 Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
 Να δείξετε ότι (g°f)(x)=g(x).
 Βρείτε την συνάρτηση f.

23. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Εξίσωση της μορφής f(x) = α , αЄR, με f “1-1”.
Η εξίσωση θα έχει το πολύ μία ρίζα
Περιπτώσεις:
Το α δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f.
Η εξίσωση f(x) = α δεν έχει ρίζα.
Το α ανήκει στο σύνολο τιμών της f.
Η εξίσωση f(x) = α έχει ακριβώς μία ρίζα.

24. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Γενικά:
• Η εξίσωση
f(x)=α έχει μία
ρίζα
• Η f είναι 1-1
• Η εξίσωση
f(x)=α έχει
μοναδική
ρίζα

25. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Εξίσωση της μορφής f(g(x)) = f(h(x)),
με f 1-1.
• Λύνω την ευκολότερη g(x) = h(x)

26. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 8
Δίνεται η συνάρτηση
– Να βρείτε το f(1)
– Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
– Να λύσετε την εξίσωση
( ) 2015 2017
f x x x= +
2015 2017
2x x =+

27. ΠΕΡΙΚΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΥΛΑΤΟΣ
Άσκηση 9
Δίνεται η συνάρτηση
– Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
– Να λύσετε την εξίσωση
– Να λύσετε την εξίσωση
( ) 1x
xf x e + +=
1
1x
e x ee +
+ × + =
2 1 2 2
3x x
e x xe − +
− = − +