Επιμέλεια: Τάκης Τσακαλάκος για το lisari αποκλειστικά!!

2.   
   
   
   
 


  
  
  
  
  
  





 

3. Nα βρεθουν τα ορια της
συναρτησης f στις θεσεις:
x0 = - 2, - 1, 1
οταν η γραφικη της παρα-
σταση φαινεται στο διπλα-
νο σχημα.
-
- +
+
-
+
0
x - 2
x - 2 x - 2
x - 2
0
0
x -1
x -1
Για x = - 2
lim f(x) = 2
lim f(x) lim f(x)
lim f(x) = 1
οποτε δεν υπαρχει οριο της f στο x = - 2.
Για x = -1
lim f(x) = -1
lim f(x) = -1

 











Ť
Ť - +
-
- +
+
x -1 x -1
0 x -1
0
x 1
x 1 x 1
x 1
lim f(x) = lim f(x) = -1
οποτε υπαρχει οριο της f στο x = -1με lim f(x) = -1.
Για x = 1
lim f(x) = 3
lim f(x) lim f(x)
lim f(x) = 1
οποτε δεν υπα
 


 





Ť
0
ρχει οριο της f στο x = 1.
Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Δοσμενη η γραφικη παρα-
σταση της συναρτησης f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση των οριων της συναρ-
τησης f, σε σημεια της C f .
σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι το οριο
απ’τα αριστερα του δοσμενου
σημειου ειναι ισο με το οριο α-
πο τα δεξια .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Για καθε τιμη x 0 παιρνουμε
πλευρικα ορια .
2. Αν -
0x x
lim f(x)

= +
0x x
lim f(x)

= τοτε
0x x
lim f(x) =

.
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Για την τιμη x 0 παιρνουμε
πλευρικα ορια, δηλαδη:
▪ Το οριο απ’τα αριστερα:
ειναι η τετμημενη του δεξιου
ακρου του αντιστοιχου τμη-
ματος της C f .
▪ Το οριο απ’τα δεξια:
ειναι η τετμημενη του αριστε-
ρου ακρου του αντιστοιχου
τμηματος της C f .
002
y
3
2
1
-2 -1 0 1 x

4. x - 1
Με τη βοηθεια τουορισμου τουοριου, να δειχτει οτι :
lim(3 - 2x) = 5.

Με βαση τον ορισμο του οριου, για καθεε > 0 θα πρεπει να υ -
παρχει δ > 0, ωστε :
Ε
Ειναι
|f(x)- 5|< ε |3 - 2x - 5|< ε |-2x - 2|< ε 2|x + 1|< ε
ε
|x + 1|< .
2
τσι
Για
Για καθε x με 0 <|x + 1|< δ να ισχυει |f(x) - 5|< ε.
Ť Ť Ť Ť
ε
δ = ειναι :
2
ε
|x + 1|< δ |x + 1|<
2
2|x + 1|< ε
|2x + 2|< ε
|-2x - 2|< ε
|3 - 2x - 5|< ε
|f(x) - 5|< ε .
Ť
Ť
Ť
Ť
Ť
Ť
Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Αποδειξη – ευρεση οριου .
σ κ ο π ο ς :
0
Με βασητον ορισμο του οριου,
για καθεε > 0 θα πρεπει να υ-
παρχει δ > 0, ωστε :
Για καθε xμε 0 <|x - x |< δ
ναισχυει |f(x)- λ|< ε.
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
Αν
0x x
lim f(x)

= λ Ś Ŕ .
1. Για | f ( x ) – λ | < ε , με
πραξεις καταληγουμε στη
σχεση α∙| x – x ₀ | < ε .
2. Θετουμε δ = ε/α , παιρνουμε
τη σχεση | x – x ₀ | < δ και στη
συνεχεια καταληγουμε στη
σχεση |f(x) - λ| < ε .
003

5. 2
x 1
2
x 0
x
x 0
2
x 2
Nα υπολογισετε τα ορια :
lim(3 - 2x + x )
lim(2συν x + x)
limln(1 + e - e )
x + 5
lim
2x - 1




-
2
0
2 2
x -1
2
0
2 2
x 0
Για x = - 1, οριζεται ησυναρτηση f(x) = 3 - 2x + x και
lim(3 - 2x + x ) = 3 - 2(- 1) + (- 1) = 3 + 2 + 1 = 6
Για x = 0, οριζεται ησυναρτηση g(x) = 2συν x + x και
lim(2συν x + x) = 2συν 0 + 0 = 2×1+


x
0
x 0
x 0
2
0
2 2
x 2
0 = 2
Για x = 0, οριζεται ησυναρτηση h(x) = 1+ e - e και
limln(1+ e - e ) = ln(1+ e - e ) = ln(1+ e -1) = lne = 1
x + 5
Για x = 2, οριζεται ησυναρτηση r(x) = και
2x -1
x + 5 2 + 5
lim =
2x -1 2×2 -1


4 + 5 9 3
= = = = 1
4 -1 3 3
Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Αποδειξη – ευρεση οριου συν-
αρτησης .
σ κ ο π ο ς :
Να προκυψει πραγματικος α-
ριθμος μετα την αντικαθιστα-
ση του x0 στη συναρτηση .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Ελεγχουμε αν για x = x0
οριζεται η συναρτηση f(x) .
2. Eφαρμοζουμε τις ιδιοτητες
των οριων των πραξεων .
004

6. 
2 2
2 2x 1 x 1
Nα βρεθει ησχεσημεταξυ των παραμετρων κ, λ ωστε να
ισχυει :
x - λ x - λ
lim = lim με κ 1 .
x - κx - κ 
 
2 2 2
22 2 2x 1
2
x 1
2 2
Ειναι
x - λ 1- λ
lim =
1- λ 1- λx - κ 1- κ =
1- κ1- κx - λ 1- λ
lim =
x - κ 1- κ
(1-κ)(1- λ ) = (1- λ)(1- κ )
(1- κ)(1- λ () 1







Š
Š
Š + λ)- (1+ κ) = 0
(1-κ)(1- λ)(1+ λ -1- κ) = 0
(1-κ)(1- λ)(λ - κ) = 0
κ = 1 απορριπτεται
(1- λ)(1- κ)
λ = 1
κ
Š
Š
Š
= λ





κ = λ = 1Š
Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Δοσμενη ισοτητα οριων που
περιεχει παραμετρους .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Σχεση μεταξυ παραμετρων η
ευρεση τους .
σ κ ο π ο ς :
Να βρουμε τα ορια και να προ-
κυψει το ζητουμενο απο τη δο-
σμενη σχεση .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βρισκουμε το καθε οριο ξε-
χωριστα .
2. Αντικαθιστουμε στη δοσμε-
νη ισοτητα .
3. Με πραξεις φτανουμε στο
ζητουμενο .
005

7. o o
0
x x x x
Nα υπολογισετε τα ορια των f και g στο x , αν :
lim(3f(x)- g(x)) = 3 lim(2f(x)+ 5g(x)) = 19
 
0 0x x x x
Aν h(x) = 3f(x)-g(x) και p(x) = 2f(x) + 5g(x) τοτε
lim h(x) = 3 lim p(x) = 19 (1)
και
h(x) = 3f(x)-g(x) 5h(x) = 15f(x)- 5g(x)
p(x) = 2f(x) + 5g(x) p(x) = 2f(x) + 5g(x)
5h(x) + p(x) = 17f(x)
p(x
 
 
 
 
Ť Ť
0 0x x x x
5h(x) + p(x)
f(x) =
17
) = 2f(x) + 5g(x) 10h(x) + 2p(x)
p(x) = + 5g(x)
17
5h(x) + p(x)
5h(x) + p(x) f(x) =
f(x) = 17
17
3p(x)- 2h(x)
17p(x) = 10h(x) + 2p(x) + 85g(x) g(x) =
17
ετσι
5h(x) +
lim f(x) = lim
 

 
 
 


  
 
 
 
Ť Ť
Ť
0 0
0 0
0 0
(1)
x x x x
(1)
x x x x
x x x x
5 lim h(x) + lim p(x)p(x) 5 3 +19
= = = 2
17 17 17
3 lim p(x)- 2 lim h(x)3p(x)- 2h(x)
lim g(x) = lim = =
17 17
3 19 - 2 3
= = 3
17
 
 
 

 
Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Δοσμενα (δυο) ορια αλγεβρι-
κης παραστασης των συναρ-
τησεων f(x), g(x) .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση των οριων:
0 0x x x x
lim f(x) και lim g(x)
 
.
σ κ ο π ο ς :
Να «απομονωσουμε» τις f(x),
g(x) προκειμενου να βρουμε
το οριο τους .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε h1(x), h2(x) τις αλγε-
βρικες παραστασεις των ο-
ριων .
Οποτε ειναι γνωστα τα ορια:
0 0
1 2
x x x x
lim h (x) και lim h (x)
 
.
2. Λυνουμε τις εξισωσεις που
προκυπτουν ως προς f(x), g(x)
(σε συναρτηση με τις h1(x),
h2(x)) .
3. Βρισκουμε τα ορια
0 0x x x x
lim f(x) και lim g(x)
 
με τη βοηθεια των οριων
0 0
1 2
x x x x
lim h (x) και lim h (x)
 
που ειναι γνωστα .
006

8. 3
2x 3
Nα υπολογισετε τοοριο:
x - 27
lim
x - 9
3 3
2 2
3 3
2 2x 3
2
x 3
(Πρεπει να γινει απαλοιφητου ορο
Για x = 3ειναι :
x - 27 3 - 27 27 - 27 0
= = = ,
9 - 9 0x - 9 3 - 9
οποτε
x - 3
= lim =
x - 3
(x + 3
υ(x - 3))
= l
(x
im
3- )


3
2x 3
x - 27
lim
x - 9
2
x 3
(x -
x + 9)
=
(x + 3)
x + 3x + 9
= lim =
x + 3
=
3)

9
2
Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Κλασματικες παραστασεις
(ρητες), για τις οποιες προκυ-
πτει απροσδιοριστια στη θεση
x 0 .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση οριου πηλικου .
σ κ ο π ο ς :
Να απαλειψουμε τον ορο που
μηδενιζει αριθμητη και παρο-
νομαστη .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Παραγοντοποιουμε αριθμη-
τη και παρονομαστη (συνη-
θως με Horner, μια ριζα ειναι
παντα η x0) .
2. Απαλειφουμε τον ορο της
μορφης x - x0 .
3. Στη συνεχεια βρισκουμε το
οριο πηλικου.
007

9. x 0
Nα υπολογισετε το οριο :
x + 4 - 2
lim
x
πολ/σμος
x 0x+4+2
x
(Πρεπει να γινει απαλοιφητου ορου x)
Για x = 0 ειναι :
x + 4 - 2 0 + 4 - 2 2 - 2 0
= = = ,
x 0 0 0
οποτε
( x + 4 - 2)( x + 4 + 2)
= lim =
x( x + 4 + 2)
= lim


x 0
x + 4 - 2
lim
x
2 2
0
x 0
x 0
( x + 4) - 2
=
x( x + 4 + 2)
x + 4 - 4
= lim =
x( x + 4 + 2)
lim
x
=


x
=
( x + 4 + 2)
1
= =
4 + 2
=
1
4
Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Κλασματικη παρασταση με
αρρητη συναρτηση στον αριθ-
μητη .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση οριου πηλικου .
σ κ ο π ο ς :
Να απαλειψουμε τον ορο που
μηδενιζει αριθμητη και παρο-
νομαστη .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Παραγοντοποιουμε αριθμη-
τη και παρονομαστη (με τη
μεθοδο συζυγους παραστα-
σης) .
2. Απαλειφουμε τον ορο της
μορφης x - x0 .
3. Στη συνεχεια βρισκουμε το
οριο πηλικου.
008

10. x 1
x - 1
Nα υπολογισετε τοοριο: lim
3 x + x +3 - 5
x -1 1-1 0 0
Για x = 1ειναι : = = = ,
3 + 2 - 5 03 x + x + 3 - 5 3 1 + 1+ 3 - 5
οποτεβρισκουμε το οριο του αντιστροφου κλασματος.
Δηλαδη
3 x + x + 3 - 5 (3 x - 3) +( x + 3 - 2) 3 x - 3 x + 3 - 2
= = +
x -1 x -1 x -1 x -1
Με τημεθοδο της συζυγουςπαραστασηςθα βρουμε τ
x 1 x 1
x 1
α ορια
των κλασματων
3 x - 3 x + 3 - 2
και .
x -1 x -1
3( x -1) 3( x -1)( x +1)
= lim = lim =
x -1 (x -1)( x +1)
3
= li
(x -
m
1)
 

x 1
3 x - 3
lim
x - 1
(x -1) x 1
x 1
x 1 x 1
3
= lim =
( x +1) ( x +1)
( x + 3 - 2)( x + 3 + 2)
= lim =
(x -1)( x + 3 + 2)
x + 3- 4
= lim = lim
(x -1)( x + 3 + 2
x 1
)
-


 
x 1
3
2
x + 3 - 2
lim
x - 1
(x -1)
x 1 x 1
=
( x + 3 + 2)
1
= =
1+ 3 + 2)
Oποτε
3 x - 3 x + 3 - 2 3 1
= lim + lim = + =
x -1 x -1 2 4
Και τελικα :
 x 1
x 1
1
4
3 x + x + 3 - 5 7
lim
x - 1 4
x - 1 4
lim =
73 x + x + 3 - 5


μ ο ρ φ η :
Κλασματικη παρασταση με
αρρητη συναρτηση στον παρο-
νομαστη .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση οριου πηλικου .
σ κ ο π ο ς :
Να απαλειψουμε τον ορο που
μηδενιζει αριθμητη και παρο-
νομαστη .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Παραγοντοποιουμε αριθμη-
τη και παρονομαστη (με τη
μεθοδο συζυγους παραστα-
σης) .
2. Απαλειφουμε τον ορο της
μορφης x - x0 .
3. Στη συνεχεια βρισκουμε το
οριο πηλικου.
π α ρ α τ η ρ η σ η :
1. Αν ο αριθμητης ειναι πολυ
πιο απλος του παρονομαστη,
βρισκουμε το οριο του αντι-
στροφου κλασματος.
Αντιστρεφουμε το κλασμα
και το “σπαμε“ σε αλγεβρικο
αθροισμα απλουστερων κλα-
σματων
(με απροσδιοριστια 0 : 0).
2. Στη συνεχεια βρισκουμε το
οριο του πιο πανω αλγεβρι-
κου αθροισματος, που το αν-
τιστροφο του ειναι το ζητου-
μενο οριο.
Τακης Τσακαλακος009

11. 3 2
x 2
x +5x +13 - 2x +5
Nα υπολογισετε τοοριο: lim
x - 2
3 2
x 2 x 2
3 32 2
3 2
lim x + 5x + 13 = 3 lim 2x + 5 = 3
Οποτε
x + 5x + 13 - 2x + 5 x + 5x + 13 - 3 - 2x + 5 + 3
= =
x - 2 x
(Προσθετουμε και αφαιρουμε στον αριθμ
- 2
x + 5x + 13 - 3 2x + 5 - 3
= -
x - 2 x - 2
=
ητητον αριθμο 3)
=
 
3 2
x 2
x + 5x + 13 - 3
lim
x - 2
3 32 2 2 23
32 2 2x 2 3
2
32 2 2x 2 3
x 2
( x + 5x + 13 - 3)( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)
lim =
(x - 2)( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)
x + 5x + 13- 27
= lim =
(x - 2)( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)
(x - 2)
= lim



(x + 7)
(x - 2) 32 2 23
2 33
x 2 x 2
x 2 x 2
=
( (x + 5x + 13) + 3 x + 5x + 13 + 9)
2 + 7 9 9
= = = =
9 + 9 + 9 27(27) + 3 27 + 9
=
( 2x + 5 - 3)( 2x + 5 + 3) 2x + 5 - 9
= lim = lim =
(x - 2)( 2x + 5 + 3) (x - 2)( 2x + 5 + 3)
2 (x - 2)2x - 4
= lim = lim
(x - 2)( 2x + 5 + 3)
 
 
x 2
1
3
2x + 5 - 3
lim
x - 2
(x - 2)
3 2
x 2 x 2
2
= =
( 2x + 5 + 3) 9 + 3
2 2
= = =
3 + 3 6
Και τελικα :
x + 5x + 13 - 3 2x + 5 - 3
= lim - lim =
x - 2 x - 2
1 1
= - =
3 3
 
3 2
x 2
1
3
x + 5x + 13 - 2x + 5
lim
x - 2
0

Τακης Τσακαλακος
μ ο ρ φ η :
Κλασματικη παρασταση με
αρρητη (δυο ριζικα) συναρτηση
στον αριθμητη .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση οριου πηλικου .
σ κ ο π ο ς :
Να απαλειψουμε τον ορο που
μηδενιζει αριθμητη και παρο-
νομαστη .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Αν ο παρονομαστης ειναι
πολυ πιο απλος του αριθμη-
τη,“σπαμε“ το κλασμα σε
αλγεβρικο αθροισμα απλου-
στερων κλασματων
(με απροσδιοριστια 0 : 0).
2. Στη συνεχεια βρισκουμε το
οριο του πιο πανω αλγεβρι-
κου αθροισματος .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Αν ο αριθμητης αποτελειται
απο δυο ριζες, που το οριο τους
ειναι ο ιδιος πραγματικος αρι-
θμος, τοτε προσθετουμε και
αφαιρουμε αυτον τον πραγμα-
τικο αριθμο στον αριθμητη .
010

12. 6
3 6x 0
Nα υπολογισετε τοοριο:
x +1 - x +1
lim
x +1 - x +1
6
3
2 3
6 6
x 0
3(1)
2y 1
Το Ε.Κ.Π των ταξεων των ριζων ειναι : 6
Θετουμε y = x + 1
Oποτε
y = x + 1
y = x + 1 (1)
lim x + 1 = 0 + 1 = 1 δηλαδη y 1
Eτσι
y - y
= lim =
y - y







6
3 6x 0
x + 1 - x + 1
lim
x + 1 - x + 1
y 1
y 1
(y + 1)
= lim =
= lim (y + 1) =
y (y -1)
y(
=
y
1 =
-1)
+ 1


2
μ ο ρ φ η :
Ριζικα διαφορετικης ταξης αλ-
λα με ιδιο υπορριζο.
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση οριου πηλικου .
σ κ ο π ο ς :
Να απαλειψουμε τον ορο που
μηδενιζει αριθμητη και παρο-
νομαστη .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βρισκουμε το ΕΚΠ των τα-
ξεων των ριζων και θετουμε
y τη ριζα με ταξη το ΕΚΠ,
της οποιας βρισκω το οριο
για να βρω που τεινει ο y .
2. Αντικαθιστω τις ριζες με δυ-
ναμεις του y και βρισκω το
ζητουμενο οριο με μεταβλη-
τη τον y .
Τακης Τσακαλακος011

13. x 1
x 2
x 2
1. Υπολογισετε το οριο της συναρτησης f στηθεση x = 1 αν :
5f(x)- 2
lim = 2 .
2f(x)- 3
f(x)- 3x + 2
2. Υπολογισετε το οριο lim αν ισχυει :
x - 2
f(x)- 4
lim = 7 .
x - 2



x 1
1.
5f(x)- 2
Θετουμε h(x) = (1) oποτε lim h(x) = 2 (2)
2f(x)- 3
Απ'την (1)προκυπτει :
5f(x)- 2
h(x) = 5f(x)- 2 = h(x)(2f(x)- 3)
2f(x)- 3
5f(x)- 2 = 2h(x)f(x)- 3h(x) 5f(x)- 2h(x)f(x) = 2 - 3h(x)
2 - 3h(x)
f(x) =

.
Ť Ť
Ť Ť
(2)
x 1
x 1
5 - 2h(x)
2 - 3h(x) 2 - 3 2 2 - 6 - 4
Αρα, = lim = = = =
5 - 2h(x) 5 - 2 2 5 - 4 1
2.
f(x)- 4
Θετουμε h(x) = (3) oποτε lim h(x) = 7 (4)
x - 2
Απ'την (3)προκυπτει :
f(x)- 4
h(x) = f(x)- 4 = h(x)(x - 2)
x - 2



x 1
lim f(x) - 4

Ť Ť
(4)
x 2
x 2
f(x) = h(x)(x - 2) + 4
Αρα, = lim[h(x)(x - 2) + 4] = 7 0 + 4 =
f(x)- 3x + 2 0
Ετσι για το lim απροσδιοριστια .
x - 2 0
Ειναι
f(x)- 3x + 2 f(x) - 3x + 2 f(x)- 4 - 3(x - 2)
= = =
x - 2 x - 2 x - 2
f(x)-
- +
=
4 4



x 2
lim f(x) 4

3(x - 2)4
-
x - 2 x - 2
(3)
(4)
x 2
= h(x)- 3
Ετσι
= lim(h(x)- 3) = 7 - 3 =
x 2
f(x)- 3x + 2
lim 4
x - 2
μ ο ρ φ η :
Οριο παραστασης της συναρ-
τησης f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Να «απομονωσουμε» την f(x)
προκειμενου να βρουμε το οριο
της .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε την παρασταση της
f, της οποιας το οριο ειναι
γνωστο, σαν μια συναρτηση
εστω h(x) και λυνουμε την
παρασταση ως προς f(x) .
2. Στη συνεχεια βρισκουμε το
οριο της f(x) .
3. Aν στη πιο πανω περιπτωση
ζητειται το οριο αλλης παρα-
στασης της συναρτησης f,
τοτε βρισκουμε οπως πιο πα-
νω το οριο της και στη συνε-
χεια στο ” σπασιμο ” του
κλασματος, εμφανιζουμε τη
βοηθητικη συναρτηση .
Τακης Τσακαλακος012

14. x 4
Nα υπολογισετε τοοριο:
|x - 4|
lim
|x - 4|+ 1 - 1
-
-
x 4
x 4
|x - 4|
Θετουμε f(x) =
|x - 4|+ 1 -1
Eιναι
x < 4 x - 4 < 0 |x - 4|= - x + 4
x > 4 x - 4 > 0 |x - 4|= x - 4
Ετσι
-x + 4
= lim =
-x + 4 +1 -1
(-x
= lim


 
 
x 4
|x - 4|
lim
|x - 4|+ 1 - 1 -
-
-
2x 4
x 4
+ 4)( -x + 5 +1)
=
( -x + 5 -1)( -x + 5 +1)
(- x + 4)( - x + 5 +1)
= lim =
( - x + 5) -1
(- x + 4)( - x + 5 +1)
= lim =
- x + 5-1


-
-
+ +
x 4
x 4
x 4 x 4
( - x + 5 +1)
= lim =
= lim - x + 5 +1 = - 4 + 5 +1 =
x - 4 (x - 4)
(- x
( x - 3 +1)
= l
+ 4)
-
im = lim
x - 4 +1 -1 ( x - 3 -1)( x - 3
4
+1
x +

 x 4
2
|x - 4|
lim
|x - 4|+ 1 - 1 +
+ +
+ +
2x 4 x 4
x 4 x 4
=
)
(x - 4)( x - 3 +1) (x - 4)( x - 3 +1)
= lim = lim =
x - 3-1( x - 3) -1
( x - 3 +1)(x - 4)
x
= lim = lim x - 3 +1 =
4-
 
 
= 4 - 3 +1 =
Δηλαδη, που σημαινει οτι υπαρχει το
οριο της f στο x = 4 και ειναι :
x 4 x 4
x 4
2
lim f(x) = lim f(x) = 2
limf(x) = 2
 

- +
μ ο ρ φ η :
Δοσμενος ο τυπος της συναρ-
τησης f που περιεχει απολυτα .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f στη θεση x0 .
σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε την υπαρξη
του οριου (με πλευρικα ορια) .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
Εξεταζουμε αν στη θεση x0 αλ-
λαζει προσημο η παρασταση
στο απολυτο:
▪ Αν αλλαζει
1. Βρισκουμε τα πλευρικα ο-
ρια για την συναρτηση f .
2. Aν τα πλευρικα ορια ειναι
ισα, τοτε υπαρχει το οριο
στη θεση αλλαγης προση-
μου, που ειναι και το ζη-
τουμενο .
▪ Αν δεν αλλαζει,
τοτε βγαζουμε το απολυτο
με βαση τη περιοχη που βρι-
σκεται το x0 .
Τακης Τσακαλακος013

15. 2
2 3 2 πx 0 x 0
x
2
Να βρεθoυν τα ορια :
ημ(ημx) εφ x - 3x συνx
lim lim lim
π - 2x2x - x x + 2x - x 

x 0
x 0
x 0 x 0 x 0
ημ(ημx) ημx
= lim =
ημx x(2x -1)
ημ( ) ημ 1
= lim =
2x -1
ημ( ) ημ 1
= lim lim lim =
2x -1
ημx x
ημx x
ημx x
ημx x


  

 
 
2x 0
ημ(ημx)
lim
2x - x
2
:x
2x 0
2
2
2x 0
2
x 0
1
= 1 1 =
2 -1
εφ x
- 3
x= lim =
x + 2x -1
ημ x
- 3
xσυν x= lim =
x + 2x -1
ημ ημx
συν= lim
x
x



 

2
3 2x 0
1
εφ x - 3x
lim
x + 2x - x
2
ημ0 = 0
συν0 = 1
π
συνx = ημ( -x)
2
π
x
2
- 3
x =
x + 2x -1
0
1 - 3
1= =
0 + 0 -1
- 3
= =
- 1
π
ημ( - x)
2= lim =
π
2( - x)
2


π
x
2
3
συνx
lim
π - 2x
π
x
2
ημ
1
= lim =
2
1
π
( -
=
x)
2
π
- x
1
2
=
2



1
2
μ ο ρ φ η :
Η παρασταση της οποιας ζη-
τουμε το οριο, περιεχει τριγω-
νομετρικους αριθμους.
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου παραστασης
που περιεχει τριγωνομετρι-
κους αριθμους στη θεση x0 .
σ κ ο π ο ς :
Να προσδιορισουμε το ζητου-
μενο με βοηθεια το οριο
0 0x x x x
ημf(x)
lim = 1 με lim f(x) = 0
f(x) 
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
Φερνουμε τη παρασταση, της
οποιας ζητουμε το οριο, στην
πιο πανω μορφη πολλαπλασι-
αζοντας και διαιρωντας με κα-
ταλληλους ορους η μετασχη-
ματιζοντας γνωστες τριγωνο-
μετρικες σχεσεις .
Τακης Τσακαλακος014

16.  

2 x x
2 x + 1 xx 1
Nα βρεθει το οριo :
2 3 - 7 3 + 3
lim
3 - 7 3 - 6
x
x
x 2 x 3 = u
x 2 xx 1 u 3
0
Εχουμε απροσδιοριστια .
0
Θετουμε 3 = u
Oποτε αν x 1 τοτε u 3
Ετσι
2 (3 ) -7 3 + 3
= lim =
3 (3 ) -7 3 - 6 
 
   
  
2 x x
2 x + 1 xx 1
2 3 - 7 3 + 3
lim
3 - 7 3 - 6
2
2u 3
u 3
u 3
2u -7u + 3
= lim =
3u -7u - 6
(2u -1)
= lim =
(
(3u + 2)
2u -1
= lim =
3u + 2
2 3-1
=
3
u - 3)
(u - 3)
3





=
+ 2
=
5
11
μ ο ρ φ η :
Ρητη εκθετικη συναρτηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Nα αντικαταστησουμε τις δυ-
ναμεις .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Με τη βοηθεια των δυναμε-
ων σχηματιζουμε δυναμεις
ιδιας βασης .
2. Θετουμε την κοινη δυναμη,
εστω y .
3. Βρισκουμε που τεινει το y,
οταν το x → x 0
4. Βρισκουμε το ισοδυναμο
οριο
0y y
lim f(y)

.
Τακης Τσακαλακος015

17.  
x
x 0 x e
Nα βρεθoυν τα ορια :
e - 1 lnx - 1
lim και lim
εφx x - e 
x
x 0
x 0
x
x 0
x 0 x 0
x 0
Eιναι
e -1 x
= lim =
x εφx
x
= lim =
εφx
x
= lim =
ημx
συνx
1
= limσυνx lim
e -1
lim
=
η
x
μ
x
1
x




 
 
 
 



x
x 0
e - 1
lim
εφx
x
x 0
x e
Θετου
x e x e , u
0 x
1
0
1
= 1 =
ημx
lim
x
=
Eιναι
lnx - lne
= lim =
x - e
x
ln
e= lim =
ημx x
lim = 1 αρα και lim = 1
x ημx
x
-1
e




 


x e
1
lnx - 1
lim
x - e
x
με u =
e
u 1
lnu
= lim
u -1
=

1
μ ο ρ φ η :
Ρητη εκθετικη η λογαριθμικη
συναρτηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Nα μετασχηματισουμε τη ρη-
τη συναρτηση σε μορφη
g(x)
ln(g(x))e -1
η
g(x) g(x)-1
.
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
▪ Φερουμε τη συναρτηση f σε
μια απ’τις παραπανω μορ-
φες .
Ισχυει :
▪
h(x)
x 0
e -1
lim = 1, αν h(x) 0
h(x)

(ευκολα με D.L.H.).
▪
x 1
ln(h(x))
lim( ) = 1, αν h(x) 1
h(x)-1

(ευκολα με D.L.H.).
Τακης Τσακαλακος016

18. 




2
2
2
2
Να βρεθoυν τα α και β, ωστε να εχει πραγματικο οριο στο
x + 2αx -β
αν x 2
x - 4x = 2 ησυναρτηση : f(x) =
x - αx
αν x > 2
x - 3x + 2

-
-
-
+
2
2x 2
x 2
x 2
2
x 2x 2
2
x 2
x 2
Eιναι
lim(x - 4) = 0
lim(x + 2αx -β) = 0 4 + 4α -β = 0 (1)
limf(x)
(Αν lim(x + 2αx -β) 0 τοτε limf(x) = η δεν υπαρχει)
lim (x - 3x + 2) = 0
limf(x)










 
Š Š
Ś Ŕ
Ś +
+
2
x 2
2
x 2x 2
lim x - αx) = 0 4 - 2α = 0 (2)
(Αν lim (x - αx) 0 τοτε limf(x) = η δεν υπαρχει)
Ετσι, η (1) λογω της (2) : 4 + 8 -β = 0
Για α = 2 και β = 12 η εξισωση γινεται






 

α = 2
β = 12
Š Š
Ŕ
(
- - -
2
2
2
2
2
2
x 2 x 2 x 2
:
x + 4x -12
αν x 2
x - 4f(x) =
x - 2x
αν x > 2
x - 3x + 2
(x + 6)(x - 2)x + 4x -12
lim f(x) = lim = lim
x - 4  





(x + 2)(x - 2)
-
+ + +
x 2
2
2
x 2 x 2 x 2
=
x + 6 2 + 6 8
= lim = = = 2
x + 2 2 + 2 4
x(x - 2)x - 2x
lim f(x) = lim = lim
x - 3x + 2

   (x -1)(x - 2)
+
x 2
x 2
=
x 2 2
= lim = = = 2
x -1 2 -1 1
Aρα limf(x) = 2


Ś Ŕ
μ ο ρ φ η :
Δοσμενος ο τυπος της συναρ-
τησης f πολλαπλου τυπου που
περιεχει παραμετρους .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση των παραμετρων, αν
το οριο της συναρτησης f, στη
θεση αλλαγης τυπου, να ειναι
πραγματικος αριθμος .
σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι το οριο σε
καθε κλαδο δεν ειναι ± ∞ και
υπαρχει .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
Ο καθε κλαδος του τυπου της
συναρτησης f ειναι κλασμα με
οριο του παρονομαστη ισο με
μηδεν .
1. Απαιτουμε το οριο των αριθ-
μητων να ειναι ισο με μηδεν,
για να υπαρχει το οριο του
κλασματος η να μην ειναι
ισο με ± ∞ .
2. Λυνουμε το συστημα των
εξισωσεων που προκυπτουν
προσδιοριζοντας τις παρα-
μετρους .
3. Αντικαθιστουμε τις τιμες
των παραμετρων που βρη-
καμε και ελεγχουμε αν τα
πλευρικα ορια ειναι ισα, ο-
ποτε υπαρχει το οριο στη
θεση αλλαγης τυπου και
ειναι πραγματικος αριθμος .
Τακης Τσακαλακος017

19. 




2
3
x 2
2 2
2
Nα υπολογισετε το οριο :
x + 2 αν x 2
limf(x)αν f(x) = x - 3x + 4
αν x > 2
x - 1
Να βρεθει ο α, ωστε να εχει οριο στο x = 3 ησυναρτηση :
α x - αx - 10 αν x < 3
g(x) =
x +





2
α x - 1 αν x > 3
- -
+ +
2
x 2 x 2
3
x 2 x 2
Eιναι
lim f(x) = lim (x + 2) = 4 + 2 = 6
x - 3x + 4 8 - 6 + 4
lim f(x) = lim = = 6
x -1 2 -1
Αρα υπαρχει το οριο της f στο x = 2 και ειναι
 
 





x 2 x 2
x 2
lim f(x) = lim f(x) = 6
limf(
 

Ť
- +
- +
- +
x 3 x 3
2 2 2 2
x 3 x 3
2 2 2 2
2
Για να υπαρχει το οριο της συναρτησης g στο x = 3,πρεπει :
lim g(x) = lim g(x)
lim (α x - αx -10) = lim (x + α x -1)
α 3 - α 3-10 = 3 + α 3-1
9α - 3α -10 = 9
 
 
  
x) = 6
Š
Ť
Ť
.
2
2
2
+ 3α -1
6α - 3α -18 = 0
2α - α - 6 = 0




α = 2
3
α = -
2
Ť
Ť
Ť
μ ο ρ φ η :
Δοσμενος ο τυπος της συναρ-
τησης f πολλαπλου τυπου .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f στη θεση αλλαγης τυπου.
σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε την υπαρξη
του οριου (με πλευρικα ορια) .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βρισκουμε τα πλευρικα ορια
για την συναρτηση f .
2. Aν τα πλευρικα ορια ειναι
ισα, τοτε υπαρχει το οριο στη
θεση αλλαγης τυπου, που ει-
ναι και το ζητουμενο .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης παρα-
μετρου, ωστε να υπαρχει οριο
της συναρτησης στη θεση αλ-
λαγης τυπου, βρισκουμε τα
πλευρικα ορια για την συναρ-
τηση f και απαιτουμε να ειναι
ισα .
Τακης Τσακαλακος018

20. 2 2
x 0
x 4
Η συναρτησηf ειναι ορισμενηστο και για καθε x
ισχυει : 4x + ημ x + 1 f(x) συνx + x.
Να βρεθει το οριο : limf(x)
Aν για καθε x > 0 ειναι : 4 x f(x) x + 4, να βρεθουν :
limf(x)


Ŕ Ś Ŕ
 
 
x 4
f(x)- 8
lim
x - 4
2 2
x 0 x 0 x 0
x 0 x 0
Ειναι
= lim4x + lim ημ x + lim1 = 0 + 0 +1 =
= limσυνx + limx = 1+ 0 =
Οποτε, συμφωναμε το κριτηριοπαρεμβολης :
Ει
  
 

2 2
x 0
x 0
x 0
lim (4x + ημ x +1) 1
lim (συνx + x) 1
limf(x) = 1


ναι
= 4 4 = 4 2 =
= 4 + 4 =
Οποτε, συμφωναμε το κριτηριοπαρεμβολης :
4 x f(x) x + 4 4 x - 8 f(x)- 8 x - 4
Για x < 4 ειναι :
4 x - 8 f(x)- 8 x - 4
x - 4 x - 4 x

    
 
x 4
x 4
x 4
lim 4 x 8
lim (x + 4) 8
limf(x) = 8



± ± ±
x 4 x 4 x 4
4 x - 8 f(x)- 8
= 1 1
- 4 x - 4 x - 4
Για x > 4 ειναι :
4 x - 8 f(x)- 8 x - 4 4 x - 8 f(x)- 8
= 1 1
x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 x - 4
4 x - 8 4( x - 2)( x + 2) 4
lim = lim = lim =
x - 4 (x - 4
(x - 4)
)( (xx + 2) - 4)( x + 2)  
 
   
Ť
Ť
4
= = 1
2 + 2
Συμφωναμε το κρ.παρεμβολης :
Aρα, τελικα :
x 4 x 4
x 4
f(x)- 8 f(x)- 8
lim = lim = 1
x - 4 x - 4
f(x)- 8
lim = 1
x - 4
 

- +
μ ο ρ φ η :
Δοσμενη διπλη ανισοτητα με
μεσαιο μελος τη συναρτηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρ-
τησης f η το οριο παραστασης
που περιεχει τη συναρτηση f
στη θεση x0 .
σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι τα ορια
των ακραιων μελων της ανισο-
τικης σχεσης ειναι ισα .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Με καταλληλες πραξεις «α-
πομονωνουμε» την συναρ-
τηση f στο μεσαιο μελος της
διπλης ανισοτητας η σχημα-
τιζουμε την παρασταση της
συναρτησης f το οριο της ο-
ποιας ζητουμε .
2. Βρισκουμε τα ορια των α-
κραιων μελων .
3. Αν τα πιο πανω ορια ειναι ι-
σα με α, τοτε και το ζητουμε-
νο οριο ειναι ισο με α, απ΄το
κριτηριο παρεμβολης .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Αν η παρασταση, της οποιας
το οριο ζητουμε, ειναι κλασμα
με παρονομαστη ενα ακραιο
μελος της δοσμενης ανισοτι-
κης σχεσης, τοτε:
▪ Διαιρουμε και τα τρια μελη
της ανισοτικης σχεσης με το
μελος αυτο (το ενα ακραιο
μελος γινεται ισο με 1).
▪ Δειχνουμε οτι πλευρικα ορια
ειναι ισα με 1 .
Τακης Τσακαλακος019

21. 
x 2
x 2 x 2
εΑν για καθε x ιναι g(x) - 2 και ισχυουν :
g(x)- 2
4 g(x)+ 2 f(x) g(x)+ 6 και lim = 1, να βρεθουν :
x - 2
f(x)- 8
limf(x) lim
x - 2

 

 
Ś Ŕ
x 2
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
g(x)- 2
Θετουμε h(x) = oποτε limh(x) = 1
x - 2
g(x)- 2
h(x) = (x - 2) h(x) = g(x)- 2 g(x) = (x - 2) h(x) + 2 και
x - 2
limg(x) = lim[(x - 2) h(x) + 2] = lim(x - 2) limh(x) + lim2 =

    
 
 
Š Š
x 2 x 2
x 2 x 2 x 2
4 g(x) + 2
= 0 1+ 2 = 2
lim[4 g(x) + 2] = 4 limg(x) + 2 = 4 2 + 2 = 8
Eτσι,
lim[g(x) + 6] = limg(x) + lim6 = 2 + 6 = 8
Οποτε, συμφωναμε το κριτηριο παρεμβολης :
f(x) g(x
 
  

 

   


x 2
limf(x) = 8
± ±
x 2 x 2
4( g(x) + 2
4 g(x) + 2
2 g(x) + 2
4( g(x) + 2
4( g(x) + 2 g(x) + 2
) + 6 - 2) f(x)- 8 g(x) + 6 - 8
- 8 f(x)- 8 g(x)- 2
- 2) g(x)- 2f(x)- 8
x > 2 :
x - 2 x - 2 x - 2
- 2)g(x)- 2 f(x)- 8
x < 2 :
x - 2 x - 2 x - 2
- 2 4(
lim = lim
x - 2 
 
 
 
 






Š Š
Š
±
±
x 2
x 2
g(x) + 2
g(x) + 2
g(x) - 2
g(
g
x) +
(x) + 2
g(x) +
2
2
- 2)
=
(x - 2)
4( - 4)
= lim =
(x - 2)( + 2)
4( )
= lim =
(x - 2)( + 2)
( + 2)
( + 2)


± ±
±
x 2 x 2
x 2
g(x) - 2
g(x) + 2
g(x) - 2
2 + 2 4
4
= lim lim =
x - 2 + 2
4 4 4
= 1 = = = 1 = lim
4 x - 2+ 2 + 2
Συμφωναμε το κρ.παρεμβολης :
 

 


x 2 x 2
f(x)- 8 f(x)
lim = lim
x - 2- +
Aρα, τελικα :
x 2
- 8
= 1
x - 2
f(x)- 8
lim = 1
x - 2
μ ο ρ φ η :
Δοσμενη διπλη ανισοτητα με
μεσαιο μελος τη συναρτηση f
και ακραια παραστασεις της
συναρτησης g, ενω ειναι γνω-
στο οριο παραστασης της συν-
αρτησης g.
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f η το οριο παραστασης
της συναρτηση f στη θεση x 0 .
σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι τα ορια
των ακραιων μελων της ανισο-
τικης σχεσης ειναι ισα .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε h(x) την παραστα-
ση της συναρτησης g στο ο-
ριο (οποτε γνωστο το οριο
της h(x)) .
2. Λυνουμε την εξισωση που
προκυπτει ως προς g(x) .
3. Βρισκουμε το οριο της συν-
αρτησης g(x) .
4. Αντικαθιστουμε την g(x) στη
δοσμενη διπλη ανισοτητα
και βρισκουμε τα ορια των
ακραιων μελων της ανισοτι-
κης σχεσης .
5. Αν τα πιο πανω ορια ειναι ι-
σα με α, τοτε και το ζητουμε-
νο οριο ειναι ισο με α, απ’το
το κριτηριο παρεμβολης .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Αν το ζητουμενο οριο ειναι πα-
ρασταση της συναρτησης f, με
καταλληλες πραξεις εμφανι-
ζουμε στο μεσαιο μελος της
ανισοτικης σχεσης την παρα-
σταση αυτη και ... κριτηριο
παρεμβολης .
Τακης Τσακαλακος020

22. x 0
f(x)
Aνισχυει |f(x)- ημx| 1 -συν2x να δειχτει οτι : lim = 1 .
x

2 2
2
2 2 2 2
Ειναι :συν2x = 1- 2ημ x 2ημ x = 1- συν2x
Ετσι η δοσμενη ανισοτητα γινεται
|f(x)- ημx| 1- συν2x |f(x)- ημx| 2ημ x
-2ημ x f(x)- ημx 2ημ x ημx - 2ημ x f(x) ημx + 2ημ x (1)
Διαιρουμε την (1) με

 
   
Š Š
Š
+ +
2 2
2 2
2
x 0 x 0
x.
ημx ημ x ημx ημ xf(x)
Aν x > 0 η (1) δινει : - 2 + 2
x x x x x
ημx ημx ημx ημxf(x)
- 2x + 2x
x x x x x
ημx ημx ημx
lim - 2x lim - 2 lim
x x x 
 
   
    
   
  
      
=
Š
+ +
+ + + +
2
x 0 x 0
2
2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
ημx
x lim =
x
= 1- 2 0 1 = 1
ημx ημx ημx ημx
lim + 2x = lim + 2 lim x lim =
x x x x
 
   
 
  
 
 
    
           
2
2 2
= 1+ 2 0 1 1
Αρα, συμφωναμε το κριτηριο παρεμβολης :
ημx ημ x ημx ημ xf(x)
Aν x < 0 η (1) δινει : + 2 - 2
x x x x x

 
 
+
x 0
f(x)
lim = 1
x
Š
=
- - - -
2 2
2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
ημx ημx ημx ημxf(x)
+ 2x - 2x
x x x x x
ημx ημx ημx ημx
lim + 2x = lim + 2 lim x lim =
x x x x   
   
    
   
    
           
- - - -
2
2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
2
= 1+ 2 0 1 1
ημx ημx ημx ημx
lim - 2x lim - 2 lim x lim =
x x x x
= 1- 2 0 1 1
   
 
    
           
 
=
=
=
Αρα, συμφωναμε το κριτηριο παρεμβολης :
Eτσι τελικα
-
x 0
x 0
f(x)
lim = 1
x
f(x)
lim = 1
x


μ ο ρ φ η :
Δοσμενη διπλη ανισοτητα με
μεσαιο μελος τη συναρτηση f.
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f η το οριο παραστασης
της συναρτηση f στη θεση x 0 .
σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι τα ορια
των ακραιων μελων της ανισο-
τικης σχεσης ειναι ισα .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Με καταλληλες πραξεις «α-
πομονωνουμε» την συναρ-
τηση f στο μεσαιο μελος της
διπλης ανισοτητας η σχημα-
τιζουμε την παρασταση της
συναρτησης f το οριο της ο-
ποιας ζητουμε .
2. Βρισκουμε τα ορια των α-
κραιων μελων της ανισοτι-
κης σχεσης .
3. Αν τα πιο πανω ορια ειναι ι-
σα με α, τοτε και το ζητουμε-
νο οριο ειναι ισο με α, απ’το
το κριτηριο παρεμβολης .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Αν το η παρασταση, της οποι-
ας το οριο ζητουμε, ειναι της
μορφης
f(x)
x
και πρεπει να δι-
αιρεσω με x, εξεταζω τις περι-
πτωσεις x < x 0 και x > x 0
(πλευρικα ορια) .
Σε συνδυασμο με
ημx
x
χρησι-
μο το οριο
x 0
ημx
lim = 1
x
Τακης Τσακαλακος021

23. Ο
Ο Ο
2 2
2 2
x x
x x x x
g(x)- 2f(x)- 3
Αν lim [( ) +( ) ] = 0, να βρεθουν τα ορια :
x + 3 x + 2
lim f(x) lim g(x)

 
0 0
0
22 2
2 2 2
22 2
2 2 2
x x x x
x x
Ειναι
g(x)- 2f(x)- 3 f(x)- 3
0 +
x + 3 x + 3 x + 2
g(x)- 2f(x)- 3 f(x)- 3
0 lim lim +
x + 3 x + 3 x + 2
f(x)- 3
0 lim
x
 

    
      
     
     
       
       

Š
Š
0 0
0
2
2
2
2 2
x x x x
2
2
x x
0
+ 3
Αρα, συμφωναμε το κριτηριο παρεμβολης :
f(x)- 3 f(x)- 3
lim = 0 lim = 0
x + 3 x + 3
f(x)- 3
Θετουμε = h(x) οποτε
x + 3
f(x) = (x + 3)h(x) + 3 και lim h(x)
 

 
 
 
 
 
 
Š
0 0
2
0
2 22
2 2 2
2 2
2 2 2
x x x x
= 0
Ετσι, = (x + 3) 0 + 3 =
Ειναι
g(x)- 2 g(x)- 2f(x)- 3
0 +
x + 2 x + 3 x + 2
g(x)- 2 g(x)- 2f(x)- 3
0 lim lim +
x + 2 x + 3 x + 2 

    
     
    
   
    
  
0x x
lim f(x) 3

Š
0
0 0
2
2
2
x x
2
2 2
x x x x
2
g(x)- 2
0 lim 0
x + 2
Αρα, συμφωναμε το κριτηριο παρεμβολης :
g(x)- 2 g(x)- 2
lim = 0 lim = 0
x + 2 x + 2
g(x)- 2
Θετουμε = r(x) οποτ
x + 2

 
  
  
   
 
  
 
 
 
 
Š
Š
0
2
x x
2
0
ε
g(x) = (x + 2)r(x) + 2 και lim r(x) = 0
Ετσι, = (x + 2) 0 + 2 =


0x x
lim g(x) 2

μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο παραστασης της
συναρτησης f (η παραστασεων
των συναρτησεων f, g) .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρ-
τησης f (και της συναρτησης g)
στη θεση x0 .
σ κ ο π ο ς :
Nα δημιουργησουμε διπλη ανι-
σοτητα με τα ορια των ακραι-
ων μελων της να ειναι ισα με
μηδεν.
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Προσπαθουμε να δημιουρ-
γησουμε διπλη ανισοτητα
της μορφης
▪ 0 ≤ f(x) ≤ f(x) + g(x),
αν f(x) > 0 και g(x) > 0
▪ 0 ≤ f2(x) ≤ f 2(x) + g2(x),
που ισχυει .
ωστε το οριο των (f(x) + g(x))
η (f2(x) + g2(x)) να ειναι ισο
με μηδεν .
Ετσι απ’το κριτηριο παρεμβο-
λης και το οριο των f(x) η
f2(x) ειναι ισο με μηδεν .
2. Στη περιπτωση που η f(x) πι-
ο πανω ειναι παρασταση
που περιεχει την f(x), της ο-
ποιας το οριο ζητουμε:
▪ Θετουμε την παραπανω
παρασταση ιση με h(x) και
λυνουμε την εξiσωση που
προκυπτει ως προς f(x)
▪ Βρισκουμε τo οριo της f(x)
(με γνωστο οτι το οριο της
h(x) ειναι 0) .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Αν εχουμε και δευτερη συναρ-
τηση g (η παρασταση της) κα-
νουμε παρομοια διαδικασια .
Τακης Τσακαλακος022

24. =
3 2
2x 0 x 0
αν
Αν για τησυναρτησηf : ισχυει f (x)+ f(x) = x , για
καθε x , τοτε να βρειτε το
f(x)
lim f(x) α , lim α
x
Ś
Ś
Ŕ Ŕ
Ŕ
Ŕ
 

2
2
3 2 2 2
2
2
2
2
f (x)+ 1 0
Η δοσμενησχεση , για καθε x ,ισοδυναμα δινει :
x
f (x) + f(x) = x f(x)[f (x) + 1] = x f(x) = (1)
f (x) + 1
με f (x) + 1 1
Απ'την (1)ειναι,
x
|f(x)|= =
f (x) + 1 

Ś Ŕ
Ť Ť
22 2 f (x)+ 1 1x 0
2 2
2
2 2
κριτηριο
2
x 0 παρεμβολης
2
x 0
(1)
2x 0
x
x |f(x)| x
f (x) + 1
- x f(x)| x
lim (- x ) = 0
lim x = 0
Eιναι
f(x)
= lim = li
x




 

  




x 0
lim f( x) = 0
α
Ť Š
Š

2
2 2x 0 x 0
x 0
2
2
1 1f (x) + 1
m = lim = =
f (x) + 1 [limf(x)] + 1
1
= =
0 +
x
x
1
 

1
μ ο ρ φ η :
Δοσμενο παρασταση που πε-
ριεχει τη συναρτησης f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο της συναρτησης f στη
θεση x 0 .
σ κ ο π ο ς :
Nα δημιουργησουμε διπλη ανι-
σοτητα με τα ορια των ακραι-
ων μελων της να ειναι ισα .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Λυνουμε τη δοσμενη σχεση
ως προς f(x) .
2. Παιρνουμε την απολυτη τι-
μη των μελων της παραπα-
νω σχεσης (1.) .
3. Με ιδοτητες απολυτων τι-
μων και λογικες πραξεις κα-
ταληγουμε στην ανισωση
|f(x)| ≤ g(x), με g(x) > 0
4. Ειναι - g(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
▪ Δειχνουμε οτι ειναι ισα τα
ορια των - g(x), g(x) .
▪ Απο κριτηριο παρεμβολης
προκυπτει το ζητουμενο .
Τακης Τσακαλακος023

25. x 1
x 3
Αν για καθε x ισχυει f(x - 2) = f(x)και lim[f(x)- 3x - 2] = 5
να βρεθει τοοριο : limf(x).


Ś Ŕ
x 1
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
Ειναι
lim [f(x)- 3x - 2] = 5 και f(x - 2) = f(x) (1)
Θετουμε
h(x) = f(x)- 3x - 2 και lim h(x) = 5 (2)
Ετσι
f(x) = h(x) + 3x + 2 και
lim f(x) = lim [h(x) + 3x + 2] = lim h(x) + 3lim x + li


   
(2)
x 1
y 1
Για y = x - 2(1) (3)
x 3 x 3 y 1 y 1
m 2 =
= 5 + 3 + 2 = 10
Aρα και για x = y : limf(y) = 10 (3)
Δηλαδη
= limf(x - 2) = limf(y) =


   x 3
limf(x) 10
 Š
μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο παραστασης της
συναρτησης f στη θεση x 1 .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο της συναρτησης f στη
θεση x 2 .
σ κ ο π ο ς :
Με αλλαγη μεταβλητης, να
χρησιμοποιησουμε το δοσμενο
οριο (στη θεση x 1 ) στην ευρε-
ση του οριου της f (στη θεση
x2 ) .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε h(x) τη παρασταση
που περιεχει την f(x) .
2. Λυνουμε ως προς f(x) .
3. Βρισκουμε το οριο της συν-
αρτησης f(x) στη θεση x 1 .
4. Θετουμε y = x – (x 2 – x 1), αν
x 1 < x2 (οποτε αν x → x 2
τοτε το y → x 1)
5. Βρισκουμε το ζητουμενο ο-
ριο, κανοντας τη πιο πανω
αντικατασταση .
Τακης Τσακαλακος024

26. x 2
2
2x - 2 x 2 x 2
Εστω ηαρτια συναρτησηf : με lim f(x) = 1.
Να υπολογιστουν τα ορια,
f (x)- f(-x)
lim f(x) lim f(x - 4) lim
f (x)+ 3 - 2f(x - 4)
Ŕ Ŕ

  

x 2
x - 2 x - 2
x - 2 x - 2
Ειναι
lim f(x) = 1 (1) και
f(x) = f(- x) lim f(x) = lim f(- x), για καθε x , αφου ηf
ειναι αρτια στο .
Θετουμε u = - x και lim u = lim(- x) = 2, αρα u

 
 

Š Ś Ŕ
Ŕ
(1)
x 2
x 2 x 2
(προηγουμενη αποδειξη)
x - 2
2
Ετσι, = limf(u) =
Θετουμε u = x - 4 και lim u = lim(x - 4) = - 2, αρα u - 2
Ετσι, = lim f(u) =
Το οριο ισοδυναμα

 


x - 2
x 2
lim f(x) 1
limf(x - 4) 1


2
2x 2
x 2 x 2 x 2
f (x)- f(x)
γινεται lim
f (x) + 3 - 2f(x - 4)
ομως για x κοντα στο 2 ειναι : x - u = - x f(x - u) = f(- x)
αν u = f(x), lim u = lim(x) = 1 = lim(x - 4), αρα u 1
τοτε

  

Š
oποτε
22 2
2 2u 1 u 1
2 2
2 2 2u 1
u
2
το οριο,
u - u (u - u)
lim = lim =
u + 3 - 2u ( u + 3 - 2u)
(u - u)( u + 3 + 2u)
= lim =
( u + 3) -(2u)
( u + 3 + 2u)
( u + 3 + 2
= lim
u) 


2 2
21
2
u 1
2
u 1
(u - u)( u + 3 + 2u)
=
- 3u + 3
u ( u + 3 + 2u)
= lim =
- 3 (u + 1)
u( u + 3 + 2u)
(u - 1)
(u - 1)
= lim =
- 3(u + 1)


2
-
3
μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο παραστασης της
συναρτησης f στη θεση x 1 και
η f αρτια / περιττη .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο της συναρτησης f στη
θεση x 2 .
σ κ ο π ο ς :
Με αλλαγη μεταβλητης, να
χρησιμοποιησουμε το δοσμενο
οριο (στη θεση x 1 ) στην ευρε-
ση του οριου της f (στη θεση
x2 ) .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε u = - x γνωριζοντας
οτι
▪ f(- x) = f(x) / f(- x) = - f(x)
(αρτια / περιττη)
▪
0 0x x x x
lim f(x) = lim f(- x)
 
/
0 0x x x x
lim f(x) = - lim f(- x)
 
(αρτια / περιττη)
που περιεχει την f(x) .
2. Βρισκουμε το οριο της συν-
αρτησης f(x) στη θεση x 1 με
τη βοηθεια της νεας μετα-
βλητης.
Τακης Τσακαλακος025

27. 2
2x 0
ημ(ημ x)
Να βρεθει τοοριο : lim .
x
2
2
22 2 2
2 2 2
2 θετω u = ημ x
2x 0 για x 0 τοτε u 0 x 0
(ημ 0 = 0)
x 0
2
2
Ειναι
ημ(ημ x) ημ(ημ x) ημ(ημ x) ημx
= =
x x ημ x x
Ετσι
ημ(ημ x) ημ(u)
lim = lim = 1 (1)
uημ x
ημx
lim
ημ x
ημ x
   

 
  
 
2 2
2
x 0
22 (1)
2x 0 x 0 (2)
ημx
= = 1 = 1 (2)lim
x x
Αρα
ημ(ημ x) ημx
= lim lim = 1 1 =
ημ x x

 
   
   
   
 
  
 
2
2x 0
ημ(ημ x)
lim 1
x
μ ο ρ φ η :
Δοσμενος ο τυπος της συνθε-
της συναρτησης f ο g .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο της συνθετης συναρ-
τησης f ο g .
σ κ ο π ο ς :
Να αντικαταστησουμε τη συ-
ναρτηση g με βοηθητικη με-
ταβλητη, και να βρουμε το ο-
ριο της συναρτησης f ως προς
τη μεταβλητης αυτη .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε u = g(x) .
2. Bρισκουμε το οριο της συν-
αρτησης g(x) στη θεση x 0 ,
εστω u 0 .
3. Βρισκουμε το οριο της συν-
αρτησης f(u) στη θεση u 0 .
4. Aν g(x) ≠ u 0 κοντα στο x 0 ,
τοτε :
x x u u
lim f(g(x)) = lim f(u)
 0 0
Τακης Τσακαλακος026

28.  




























  
  
 
 

29. ,

0
04
Να βρεθει (αν υπαρχει) το οριο της f στη θεση x oταν :
2x - 3
f(x) = x = 1 .
4 (x - 1)
4
4
4
x 1
(x - 1) > 0
4x 1
Για καθε x κοντα στο 1((x - 1) > 0 εκατερωθεν του1)ειναι :
2x - 3 1
f(x) =
4 (x - 1)
και
2x - 3 2 1- 3 1
lim = = - (1)
4 4 4
1
lim = + (2)
(x - 1)
Ετσι





lim
(1)
4x 1 x 1 (2)
2x - 3 1 1
= lim lim = - (+ ) =
4 4(x - 1) 
  
 4x 1
2x - 3
-
4 (x - 1)

μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο της μορφης
0 0x x x x
f(x)
lim με lim g(x) = 0
g(x) 
και
το (x - x 0) δεν αλλαζει προση-
μο εκατερωθεν x0 .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση οριου κλασματικης
συναρτησης .
σ κ ο π ο ς :
Να αντικαταστησουμε τη συν-
αρτηση g με γινομενο ωστε να
εμφανιστει ο ορος που τη μη-
δενιζει .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Παραγοντοποιηση της g, ω-
στε g(x) = (x - x0) ∙ h(x) και το
ζητουμενο οριο
0x x
f(x)
lim
g(x)
ισο
με
0 0x x x x
0
1 f(x)
lim lim
x - x h(x) 
 .
2. Bρισκουμε το
0x x
f(x)
lim
h(x)
3. Βρισκουμε το
0x x
0
1
lim
x - x
.
Αν
▪ x - x 0 > 0:
0x x
0
1
lim = +
x - x

▪ x - x 0 < 0 :
0x x
0
1
lim = -
x - x

θ υ μ α μ α ι :
Χρησιμοι οι πινακες αθροισμα-
τος-γινομενου οταν
▪
x x
lim f(x) = α
 0
Ś Ŕ
▪
x x
lim g(x) =


0
Τακης Τσακαλακος028

30. ,

0
2
0
Να βρεθει (αν υπαρχει) το οριο της f στη θεση x oταν :
x + 3x - 2
f(x) = x = 0 .
x |x|
+
2
2 2
x 0
x
Για καθε x κοντα στο 0 (x |x|δεν διατηρει προσημο εκατερω -
θεν του 0)ειναι :
1
f(x) = (x + 3x - 2)
x |x|
Αν x > 0
lim (x + 3x - 2) = 0 + 3 0 - 2 = - 2
lim






+ +
+ +
-
x > 0
2
0 x 0
2
x 0 x 0
2
x 0
1 1
= lim = +
x |x| x
Ετσι
1
= lim (x + 3x - 2) lim = - 2 (+ ) =
x |x|
Αν x < 0
lim (x + 3x

 



  
 +
2
x 0
x + 3x - 2
lim -
x |x|

- -
- - -
2
x < 0
2x 0 x 0
2
x 0 x 0
- 2) = 0 + 3 0 - 2 = - 2
1 1
lim = lim = --
x |x| x
Ετσι
1
= lim (x + 3x - 2) lim =
x |x|
 
 

 
 
  

 
2
x 0
x + 3x - 2
lim
x |x|
- +
x 0 x 0
0
- 2 (- ) =
Δηλαδη, lim f(x) lim f(x)
που σημαινει οτι δεν υπαρχει το οριο της συναρτησης f στη
θεση x = 0 .
 
 

+ 
μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο της μορφης
0 0x x x x
f(x)
lim με lim g(x) = 0
g(x) 
και
το (x - x 0) αλλαζει προσημο ε-
κατερωθεν x 0 .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση οριου κλασματικης
συναρτησης .
σ κ ο π ο ς :
Να αντικαταστησουμε τη συν-
αρτηση g με γινομενο ωστε να
εμφανιστει ο ορος που τη μη-
δενιζει .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Παραγοντοποιηση της g, ω-
στε g(x) = (x - x0) ∙ h(x) και το
ζητουμενο οριο
0x x
f(x)
lim
g(x)
ισο
με
0 0x x x x
0
1 f(x)
lim lim
x - x h(x) 
 .
2. Bρισκουμε το
0x x
f(x)
lim
h(x)
3. Βρισκουμε το
0x x
0
1
lim
x - x
.
Διακρινουμε περιπτωσεις:
▪ x - x 0 > 0:
0x x
0
1
lim = +
x - x

▪ x - x 0 < 0 :
0x x
0
1
lim = -
x - x

θ υ μ α μ α ι :
Χρησιμοι οι πινακες αθροισμα-
τος-γινομενου οταν
▪
x x
lim f(x) = α
 0
Ś Ŕ
▪
x x
lim g(x) =


0
Τακης Τσακαλακος029

31. ,
0
03 2
Να βρεθει (αν υπαρχει) το οριο της f στη θεση x oταν :
2x - α
f(x) = x = 1 για τις διαφορες τιμες τουα .
x - 2x + x
ŔŚ
2
3 2 2
(x - 1) > 0
2x 1 x 1 x 1
Ειναι
2x - α 2x - α
f(x) = = =
x - 2x + x x (x - 2x + 1)
2x - α 1
lim f(x) = lim lim = (2 - α) (+ )
x (x - 1)
Διακρινουμεπεριπτωσεις:
Αν 2 - α > 0
  

  
Š
2x 1 x 1
= (2 - α) (+ ) =
Αν 2 - α < 0
= (2 - α) (+ ) =
Αν 2 - α = 0
2x - 2
lim f(x) = lim
x (x - 1) 
 
 

x 1
x 1
lim f(x) +
lim f(x) -




α < 2
α > 2
α < 2
Š α > 2
Š α = 2
0 2
0 0
2x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
2 (x - 1) 2
= lim = lim =
x (x - 1)x (x - 1)
2 1 1
= lim lim = 2 lim
x x - 1 x - 1
(το x - 1δεν διατηρει προσημο εκατερωθεν του1)
 
  


 
- -
+ +
- +
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
1
Για x - 1< 0 : lim f(x) = 2 lim = 2 (- ) = -
x - 1
1
Για x - 1> 0 : lim f(x) = 2 lim = 2 (+ ) = +
x - 1
Δηλαδη, lim f(x) lim f(x)
π
 
 
 
   
   

0
ου σημαινει οτι δεν υπαρχει το οριο της συναρτησης f στη
θεση x = 1.
μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο της μορφης
0 0x x x x
f(x)
lim με lim g(x) = 0
g(x) 
και
παραμετρο στο τυπο της f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση οριου κλασματικης
συναρτησης .
σ κ ο π ο ς :
Να αντικαταστησουμε τη συν-
αρτηση g με γινομενο ωστε να
εμφανιστει ο ορος που τη μη-
δενιζει .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Παραγοντοποιηση της g, ω-
στε g(x) = (x - x0) ∙ h(x) και το
ζητουμενο οριο
0x x
f(x)
lim
g(x)
ισο
με
0 0x x x x
0
1 f(x)
lim lim
x - x h(x) 
 .
2. Bρισκουμε το
0x x
f(x)
lim
h(x)
, για
τις διαφορες τιμες της παρα-
μετρου .
3. Βρισκουμε το
0x x
0
1
lim
x - x
.
Αν
▪ x - x 0 > 0:
0x x
0
1
lim = +
x - x

▪ x - x 0 < 0 :
0x x
0
1
lim = -
x - x

θ υ μ α μ α ι :
Χρησιμοι οι πινακες αθροισμα-
τος-γινομενου οταν
▪
x x
lim f(x) = α
 0
Ś Ŕ
▪
x x
lim g(x) =


0
Τακης Τσακαλακος030

32. 
x 1
x 1
2
x 1
Να βρεθουν τα lim f(x), oταν :
x - 4
lim = +
f(x)
lim [f(x) (3x - 2) = +





x 1 x 1
x 1
x - 4
Θεωρουμε τησυναρτηση h(x) = κοντα στο 1.
f(x)
τοτε
x - 4 1
h(x) f(x) = x - 4 f(x) = = (x - 4)
h(x) h(x)
1
lim h(x) = + lim = 0
h(x)
lim(
 

 

Š
Š
x 1 x 1
2
2 2
x - 4) = - 3
Ετσι
1
= lim(x - 4) lim = - 3 0 =
h(x)
Θεωρουμε τησυναρτησηg(x) = f(x)(3x - 2) κοντα στο 1.
τοτε
g(x) 1
f(x) = = g(x)
3x - 2 3x
 
 

x 1
lim f(x) 0

x 1
2 2x 1
2x 1 x 1
- 2
lim g(x) = +
1 1
lim = = 1 0
3x - 2 3 1 - 2
Ετσι
1
= lim g(x) lim = (+ ) 1=
3x - 2


 



  
x 1
lim f(x) +


μ ο ρ φ η :
Δοσμενο οριο παραστασης που
περιεχει τη συναρτηση f, ισο
με απειρο .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση οριου συναρτησης f .
σ κ ο π ο ς :
Να προκυψει
h(x)
f(x) =
g(x)
, oπου
μια απ’τις g, h ειναι η βοηθητι-
κη συναρτηση, της οποιας ει-
ναι γνωστο το οριο .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε h(x) τη δοσμενη πα-
ρασταση .
2. Λυνουμε ως προ f(x) .
3. Συνεχιζουμε, οπως στα προ-
ηγουμενα .
θ υ μ α μ α ι :
Χρησιμοι οι πινακες αθροισμα-
τος-γινομενου οταν
▪
x x
lim f(x) = α
 0
Ś Ŕ
▪
x x
lim g(x) =


0
Τακης Τσακαλακος031

33.   
 




















  
 

 








34. 0
Nα βρεθουν τα ορια της
συναρτησης f στις θεσεις
x = - , +
οταν η γραφικητης πα -
ραστασηφαινεται στο
διπλανο σχημα .
 
0
x -
0
x +
Για x = -
lim f(x) = +
Για x = +
lim f(x) = 1
 
 



μ ο ρ φ η :
Δοσμενη η γραφικη παραστα-
ση της συναρτησης f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση των οριων της συναρ-
τησης f, στο + ∞ η - ∞ .
σ κ ο π ο ς :
Να βρουμε που τεινει η τεταγ-
μενη σημειου της C f οταν η
τετμημενη του τεινει στο + ∞ η
- ∞ .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
▪ Για x → + ∞,
βλεπουμε που «φτανει» η
C f δεξια στο σχημα (στον α-
ξον y’y) .
▪ Για x → - ∞,
βλεπουμε που «φτανει» η
C f αριστερα στο σχημα
(στον αξον y’y) .
Τακης Τσακαλακος033
y
3
2
1
0 x

35. 5 2
x +
2 ν 2 ν + 1
x -
5 2
x +
Να βρεθουν τα ορια :
lim (2x + 3x + x +1)
lim [(x - 1) +(x +1) ]
lim ((α - 1)x +(α +1)x + x +1))



 
 
 
5
x +
x -
2 v + 1
2
x +
Ειναι
= lim (2x ) =
lim (x ) =
Για α = 1:
= lim (2x ) =
Για
 
 
 
5 2
x +
2 ν 2 ν + 1
x -
5 2
x +
lim (2x + 3x + x + 1) +
lim [(x - 1) +(x + 1) ] -
lim ((α - 1)x +(α + 1)x + x + 1)) +



 
 
 



=
5
x +
:
α 1:
= (α -1) lim x ) =
Tελικα για καθε α
=
 

5 2
x +
5 2
x +
lim ((α - 1)x +(α + 1)x + x + 1)) +
lim ((α - 1)x +(α + 1)x + x + 1)) +


 
 


Ś Ŕ
(
μ ο ρ φ η :
Το οριο περιεχει πολυωνυμικη
συναρτηση .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο πολυωνυμικης συναρ-
τησης .
σ κ ο π ο ς :
Να βρουμε το οριο του με-
γιστοβαθμιου ορου της
πολυωνυμικης συναρτη-
σης .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Το οριο της πολυωνυμικης
συναρτησης ειναι ισο με το
οριο του μεγιστοβαθμιου
ορου της.
2. Αν στο συντελεστη του μεγι-
στοβαθμιου ορου της πολυ-
ωνυμικης συναρτησης υπαρ-
χει παραμετρος, τοτε βρι-
σκουμε το οριο:
▪ για εκεινη τη τιμη της πα-
ραμετρου που μηδενιζει το
συντελεστη.
▪ για εκεινες τις τιμες της
παραμετρου που δεν μηδε-
νιζουν το συντελεστη.
Τακης Τσακαλακος034

36. 5 2
2x -
5 2
5x +
3
4 2x -
Να βρεθουν τα ορια :
2x + 3x + x + 1
lim
3x + x + 1
2x + 3x + x + 1
lim
x + x + 1
x - x + 1
lim
2x + x + 1



 
 
 
5
2x -
x -
x
3
-
3
Ειναι
2x
= lim ( ) =
3x
2
= lim ( x ) =
3
2
= lim (x ) =
3
 
 
 

5 2
2x -
2x + 3x + x + 1
lim
3x + x + 1 
5
5x +
3
4x -
x -
2
= (- ) =
3
2x
= lim ( ) =
x
x
lim ( ) =
2x
1 1
= lim ( ) =
2 x
 
 
 
 

5 2
5x +
3
4 2x -
2x + 3x + x + 1
lim 2
x + x + 1
x - x + 1
lim
2x + x + 1


 
 
-
=
1
= 0 =
2
 0
μ ο ρ φ η :
Το οριο περιεχει ρητη συναρ-
τηση .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο ρητης συναρτησης .
σ κ ο π ο ς :
Να βρουμε το οριο του πηλι-
κου των μεγιστοβαθμιων ορων
της ρητης συναρτησης .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Το οριο της ρητης συναρτη-
σης ειναι ισο με το οριο του
πηλικου των μεγιστο βαθμι-
ων ορων της.
2. Επιπλεον αν:
▪ ο βαθμος του μεγιστοβαθ-
μιου ορου του αριθμητη ει-
ναι μεγαλυτερος απ’το βα-
θμο του μεγιστοβαθμιου
ορου του παρονομαστη, το
οριο ισουται με + ∞ η - ∞ .
▪ ο βαθμος του μεγιστοβαθ-
μιου ορου του αριθμητη ει-
ναι μικροτερος απ’το βαθ-
μο του μεγιστοβαθμιου ο-
ρου του παρονομαστη, το
οριο ισουται με 0 .
▪ ο βαθμος του μεγιστοβαθ-
μιου ορου του αριθμητη ει-
ναι ισος με το βαθμο του
μεγιστοβαθμιου ορου του
παρονομαστη, το οριο ι-
σουται με το πηλικο των
συντελεστων τους.
Τακης Τσακαλακος035

37. 3 2
2x -
Να βρεθουν οι τιμες των α και β, ωστε :
(α +β - 5)x +(α - 1)x + 2
lim = 2
(β - 1)x +αx +1 
3 2 3
2 2x x
3 2
2x
Ειναι για β 1
(α +β - 5)x +(α -1)x + 2 (α +β - 5)x α +β - 5
lim = lim = (- )
β -1(β -1)x + αx +1 (β -1)x
α +β - 5
Αν 0, τοτε
β -1
(α +β - 5)x +(α -1)x + 2
lim = ± , ατοπο
(β -1)x + αx +1
(αφου ειναι ισ
   
 

 


2
2x x 2
2
ο με 2).
Αρα
α +β - 5
= 0 α +β - 5 = 0 (1)
β -1
Το οριο ομως γινεται (λογω της(1)) :
(α -1)x + 2 (α -1) α -1
lim = 2 lim = 2 = 2
β -1(β -1)x + αx +1 (β -1)
α -1 = 2β - 2 (2)
Ετσι,
x
x   
  α +β = 5
α - 2β = - 1
Ť Ť Ť
Ť
(+)
λυνοντας το συστημα των (1) και (2)
α +β = 5 2α + 2β = 10 3α = 9 α = 3
α - 2β = -1 α - 2β = -1 α - 2β = -1 3- 2β = -1
    
    
    
α = 3
β = 2
Ť Ť Ť Ť
μ ο ρ φ η :
Το οριο περιεχει ρητη συναρ-
τηση .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο ρητης συναρτησης .
σ κ ο π ο ς :
Να βρουμε το οριο του πηλι-
κου των μεγιστοβαθμιων ορων
της ρητης συναρτησης .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Το οριο της ρητης συναρτη-
σης ειναι ισο με το οριο του
πηλικου των μεγιστο βαθμι-
ων ορων της.
2. Επιπλεον αν:
▪ ο βαθμος του μεγιστοβαθ-
μιου ορου του αριθμητη ει-
ναι μεγαλυτερος απ’το βα-
θμο του μεγιστοβαθμιου
ορου του παρονομαστη, το
οριο ισουται με + ∞ η - ∞ .
▪ ο βαθμος του μεγιστοβαθ-
μιου ορου του αριθμητη ει-
ναι μικροτερος απ’το βαθ-
μο του μεγιστοβαθμιου ο-
ρου του παρονομαστη, το
οριο ισουται με 0 .
▪ ο βαθμος του μεγιστοβαθ-
μιου ορου του αριθμητη ει-
ναι ισος με το βαθμο του
μεγιστοβαθμιου ορου του
παρονομαστη, το οριο ι-
σουται με το πηλικο των
συντελεστων τους.
3. Προκειμενου να προσδιορι-
σουμε τις (την) παραμετρους
απαιτουμε το οριο του πηλι-
κου των μεγιστοβαθμιων ο-
ρων της παραστασης να μην
ειναι ± ∞ .
Τακης Τσακαλακος036

38. 2 2
x -
Να βρεθει τοοριο :
lim ( 9x - x +1 - 4x + 2x +1)
 
2 2
2 2x -
x < 0
2 2x -
x -
Επειδη x - τοτε
Ετσι, διαδοχικα
=
1 1 2 1
= lim x (9 - + ) - x (4 + + ) =
x xx x
1 1 2 1
= lim |x| 9 - + -|x| 4 + +
x xx x
1
lim - x 9 -
 
 
 
 
 
  
 
 
  
 

2 2
x -
x < 0 .
lim ( 9x - x + 1 - 4x + 2x + 1)
 
2 2
2 2x -
2 2x - x -
1 2 1
+ + x 4 + + =
x xx x
1 1 2 1
= lim - 9 - + + 4 + + =
x xx x
1 1 2 1
= lim x lim - 9 - + + 4 + + =
x xx x
= - (- 9 - 0 + 0 + 4 + 0 + 0) =
= - (- 9 + 4) =
= - (-1) =
=
 
   
 
  
 
 
  
 
 
   
 



+ 
μ ο ρ φ η :
Συναρτηση που περιεχει ριζι-
κα .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο συναρτησης που περιε-
χει ριζικα (οχι κλασματικη) .
σ κ ο π ο ς :
«Απομονωνουμε» τον μεγιστο-
βαθμιο ορο της συναρτησης .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βγαζουμε κοινο παραγοντα
το μεγιστοβαθμιο x των ριζι-
κων (προσοχη στο προσημο).
2. Συνεχιζουμε εχοντας υπο-
ψιν μας οτι νx
1
lim f(x) = 0
x 
.
3. Αν με τη πιο πανω διαδικα-
σια καταληξουμε παλι σε α-
προσδιοριστια, τοτε βρισκου-
με το αρχικο οριο με
▪ τη μεθοδο της συζυγους
παραστασης
▪ διαχωρισμο σε αθροισμα
δυο ορων και ... μεθοδο συ-
ζυγους παραστασης.
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Οσον αφορα το προσημο του
μεγιστοβαθμιου x, αν
▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x
▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x
Τακης Τσακαλακος037

39. 2 2
x +
Να βρεθει τοοριο :
lim ( 16x + 8x + 4x - 1 - 6x)
 
2 2
x +
2 2
x + x +
2
x +
4x
Επειδη x + τοτε
Ετσι, διαδοχικα
= lim ( 16x + 8x - ) + ( 4x -1 - ) =
= lim ( 16x + 8x - 4x) + lim ( 4x -1 - 2x) =
( 16x + 8x - 4x)( 1
= l
2x
im
 
   
 
 
 
  
2 2
x +
x > 0 .
lim ( 16x + 8x + 4x x- 1 - =6 )
 
2
2
2 2
2x +
2 2 2 2
2x + x +
2
2x + x +
6x + 8x + 4x)
+
16x + 8x + 4x
( 4x -1 - 2x)( 4x -1 + 2x)
+ lim =
4x -1 + 2x
16x + 8x -16x 4x -1- 4x
= lim + lim =
8 ( 4x -1 + 2x)
x (16 + ) + 4x)
x
8x - 1
= lim + lim
8 ( 4x -1 + 2
|x| 16 + + 4x
x
 
   
   
x > 0
2x + x +
2x + x +
x)
8 - 1
= lim + lim =
8 ( 4x -1 + 2x)
( 16 + + 4)
x
8 - 1
= lim + lim =
8 ( 4x -1 + 2x)
16 + + 4
x
8
= + 0 =
16 + 0 + 4
8
x
= =
8
x
   
   

1
μ ο ρ φ η :
Συναρτηση που περιεχει ριζι-
κα .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο συναρτησης που περιε-
χει ριζικα (οχι κλασματικη) .
σ κ ο π ο ς :
«Απομονωνουμε» τον μεγιστο-
βαθμιο ορο της συναρτησης .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βγαζουμε κοινο παραγοντα
το μεγιστοβαθμιο x των ριζι-
κων (προσοχη στο προσημο).
2. Συνεχιζουμε εχοντας υπο-
ψιν μας οτι νx
1
lim f(x) = 0
x 
.
3. Αν με τη πιο πανω διαδικα-
σια καταληξουμε παλι σε α-
προσδιοριστια, τοτε βρισκου-
με το αρχικο οριο με
▪ τη μεθοδο της συζυγους
παραστασης
▪ διαχωρισμο σε αθροισμα
δυο ορων και ... μεθοδο συ-
ζυγους παραστασης.
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Οσον αφορα το προσημο του
μεγιστοβαθμιου x, αν
▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x
▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x
Στην περιπτωση που το οριο
περιεχει αθροισμα (δυο ριζι-
κων και εναν που δεν ειναι ρι-
ζικο), μετασχηματιζουμε τον
ορο, που δεν ειναι ριζικο, σε
δυο προσθετεους (αναλογους
με τις ριζες των συντελεστων
των μεγιστοβαθμιων ορων
των ριζικων) .
Τακης Τσακαλακος038

40. 2
2
x + x
4x + 2x + 3 + 3x + 2
Δινεται ησυναρτηση : f(x) =
x + x +1 + 4x + 3
Να βρεθουν τα ορια : lim f(x) lim f(x)
    
2
2x +
2
2
x +
2
2
2
x +
Επειδη x + τοτε και
4x + 2x + 3 + 3x + 2
= lim =
x + x +1 + 4x + 3
2 3
x (4 + + ) + 3x + 2
x x= lim =
1 1
x (1+ + ) + 4x + 3
x x
2 3
|x| 4 + +
x x= lim
 
 
 
 
x +
x > 0
lim f(x)
 
x > 0
2
2
x +
2
2
x +
2
+ 3x + 2
=
1 1
|x| 1+ + + 4x + 3
x x
2 3 2
x 4 + + + 3 +
x xx
= lim =
1 1 3
x 1+ + + 4 +
x xx
2 3 2
4 + + + 3 +
x xx= lim =
1 1 3
1+ + + 4 +
x xx
4 + 0 + 0 + 3 + 0
=
1+ 0 + 0 +
 
 
 
  
 
 
  
 
2x < 0
x -
2
4 + 3
= =
4 + 0 1 + 4
Επειδη x - τοτε και ...ομοια
2 3 2
- x 4 + + - 3-
x xx 4 - 3 -1
= ... = lim = ... = = =
- 31 - 41 1 3
- x 1+ + - 4 -
x xx
 
 
 
  
 
 
  
 
x -
1
x < 0
1
lim
3 
μ ο ρ φ η :
Συναρτηση που περιεχει ριζι-
κα .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Το οριο συναρτησης που περιε-
χει ριζικα (κλασματικη) .
σ κ ο π ο ς :
Να απαλειψουμε τον μεγιστο-
βαθμιο ορο της συναρτησης .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βγαζουμε κοινο παραγοντα
το μεγιστοβαθμιο x των ριζι-
κων (προσοχη στο προσημο)
σε αριθμητη και παρονομα-
στη.
2. Απαλειφουμε τον κοινο πα-
ραγοντα που βγαλαμε σε α-
ριθμητη και παρονομαστη .
3. Συνεχιζουμε εχοντας υπο-
ψιν μας οτι νx
1
lim f(x) = 0
x 
.
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Οσον αφορα το προσημο του
μεγιστοβαθμιου x, αν
▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x
▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x
Τακης Τσακαλακος039

41. 2 2
x +
Δινεται ησυναρτησηf(x) = x + 2x + 3 + 4x + 4x + 5 + αx +β.
Να βρεθουνοι τιμες τωνα και β, ετσι ωστε lim f(x) = 6.
 
2
2 2x +
x + x +
Θεωρουμε (x + ), οποτε(διαιρωνταςμε x ) :
β2 3 4 5
= lim x 1+ + + 4 + + + α + =
x x xx x
Αν 3 + α 0 τοτε lim f(x) = ± , ατοπο (αφου lim f(x) = 6)
Αρα 3 + α = 0
 
   
 
  
      
 

x +
x > 0
lim f(x) + (3 + α).
 

2 2
συζυγη
2 2
x > 0
2 2 κοινο παραγοντα x
απλοποιηση x
Για α = - 3ειναι
= x + 2x + 3 + 4x + 4x + 5 - +β =
= ( x + 2x + 3 - ) +( 4x + 4x + 5 - ) + β =
2x + 3 4x + 5
= + +β =
x + 2x + 3 + x 4x + 4x + 5 + 2x
=
3x
x 2x

2
α = - 3
f(x)
3
2 +
x +
2 3
1 + + + 1
x x
x
Aρα
2 4
lim f(x) = 6 + +β = 6
1+1 2 + 2  
2
5
4 +
x +β
4 5
4 + + + 2
x x
β = 4Ť Ť
μ ο ρ φ η :
Συναρτηση που περιεχει ριζι-
κα και παραμετρους (οχι κλα-
σματικη) .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση παραμερου (ων) .
σ κ ο π ο ς :
«Απομονωνουμε» τον μεγιστο-
βαθμιο ορο της συναρτησης .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βγαζουμε κοινο παραγοντα
το μεγιστοβαθμιο x των ριζι-
κων (προσοχη στο προσημο).
2. Συνεχιζουμε εχοντας υπο-
ψιν μας οτι νx
1
lim f(x) = 0
x 
.
3. Αν με τη πιο πανω διαδικα-
σια καταληξουμε παλι σε α-
προσδιοριστια, τοτε βρισκου-
με το αρχικο οριο με
▪ τη μεθοδο της συζυγους
παραστασης
▪ διαχωρισμο σε αθροισμα
δυο ορων και ... μεθοδο συ-
ζυγους παραστασης
4. Προκειμενου να προσδιορι-
σουμε τις (την) παραμετρους
(ο) απαιτουμε το οριο του
πηλικου των μεγιστοβαθμι-
ων ορων της παραστασης να
μην ειναι ± ∞.
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Οσον αφορα το προσημο του
μεγιστοβαθμιου x, αν
▪ x → + ∞ τοτε x > 0 και |x| = x
▪ x → - ∞ τοτε x < 0 και |x| = - x
Τακης Τσακαλακος040

42. x + x +
2
2 3x +
2x +
f(x)
Αν lim = 3 και lim (3f(x)- x) = 2 να δειχτει οτι :
x
xf(x)+ 5x - 2x +11
lim = 4
3x f(x)- x + 3x +1
2f(x)- 2x - 1
lim = 2
3xf(x)- x + 3x
 


   
 
 
2
(δια x ) 2
x +
2
Eιναι
f(x) 2 11
+ 5 - +
x x x= lim =
3 1
(3f(x)- x) + +
x x
3 + 5 - 0 + 0
= =
2 + 0 + 0
 
2
2 3x +
xf(x)+ 5x - 2x + 11
lim
3x f(x)- x + 3x + 1 
(δια x)
x +
=
f(x) 1
2× - 2 -
x x= lim =
3
(3f(x)- x) +
x
6 - 2 - 0
= =
2 + 0
 2x +
4
2f(x)- 2x - 1
lim
3xf(x)- x + 3x 
= 2
μ ο ρ φ η :
Οριο παραστασης της συναρ-
τησης f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του οριου αλλης παρα-
στασης της συναρτησης f .
σ κ ο π ο ς :
Να «εμφανισουμε» την δοσμε-
νη παρασταση της f προκειμε-
νου να βρουμε το ζητουμενο
οριο .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Μετασχηματιζουμε καταλ-
ληλα το προς αποδειξη οριο,
συνηθως διαιρωντας, πολ-
λαπλασιαζοντας καταλλη-
λα, ωστε να προκυψουν τα
γνωστα ορια.
2. Στη συνεχεια βρισκουμε το
ζητουμενο οριο της f(x) .
Τακης Τσακαλακος041

43. 2
2
x +
2
Δινεται ησυναρτησηf : , για την οποια ισχυει :
3f(x)+ f(- x) = x + x, x .
3
f(x)+ x + x
4Να βρειτε τοοριο : lim .
7
2f(x)- 1 + x
2
 



Ŕ Ŕ
ŔŚ
2
2 2
2 2
Στηδοσμενησχεσηθετουμε x = - x, οποτεπροκυπτει :
3f(- x) + f(x) = x - x.
Λυνουμε το συστημα
f(- x) + 3f(x) = x + x (- 3 ) - 3f(- x)- 9f(x) = - 3x - 3x
3f(- x) + f(x) = x - x 3f(- x) + f(x) = x - x
- 8f(x) = - 2
  
 
  
Š Š
2 2
2 2
x +
2 2
2
2x +
1 1
x - 4x f(x) = x - x
4 2
Ετσι
1 1 3
x - x + x + x
4 2 4= lim =
1 7
x - x -1+ x
2 2
1
x + x
2= lim =
4x - x -1
=
 
 
2
x +
2
3
f(x)+ x + x
4lim
7
2f(x)- 1 + x
2

Š

2
x +
2
2
x +
2
1
x 1+
2x
lim =
1 1
x 4 - -
x x
1
1+
2x= lim =
1 1
4 - -
x x
1+ 0
= =
4 - 0 - 0
=
 
 
 
 
 
 
 
 
1
4
μ ο ρ φ η :
Ισοτητα που περιεχει f(x), f(-x) .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του οριου παραστασης
της συναρτησης f .
σ κ ο π ο ς :
Να «εμφανισουμε» την συναρ-
τηση f προκειμενου να βρουμε
το ζητουμενο οριο .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Μετασχηματιζουμε την δο-
σμενη σχεση, εστω (1), θε-
τοντας οπου x το - x, οποτε
προκυπτει νεα ισοτητα,
εστω (2) .
2. Απαλειφουμε την f(-x) στις
ισοτητες (1) και (2), οποτε
προκυπτει ο τυπος της συν-
αρτησης f .
3. Στη συνεχεια βρισκουμε το
ζητουμενο οριο, αντικαθι-
στωντας την f(x) σε αυτο .
Τακης Τσακαλακος042

44. x + x +
x + x +
Αν f,g ορισμενες στο(α,+ ), α > 0 και
lim ((x - 2)f(x)-(2x +1)g(x)) = 5, lim ((x +1)f(x)-(2x + 3)g(x)) = 4
να βρεθουν,με τηπρουποθεσηοτι υπαρχουν :
lim f(x) lim
   
   

 
 
g(x)
2
Θετουμε : τοτε
(x - 2) -(2x +1)
= = (x +1)(2x +1)-(x - 2)(2x + 3) =
(x +1) -(2x + 3)
D
= 2x



(x - 2)f(x)-(2x +1)g(x) = h(x)
(x +1)f(x)-(2x + 3)g(x) = p(x)
+ x + 2x 2
+1- 2x - 3x
f(x)
g(x)
( δια x)
f(x)
4x + 7
D h(x)(-2x - 3)- p(x)(-2x -1)
D p(x)(x
+ 4x + 6 =
h(x) -(2x +1)
= =
p(x) -(2x + 3)
(x - 2) h(x)
= =
(x +1) p(x)
Eτσι
D h(x)(-2x - 3)- p(x)(-2x -1)
= =
D 4x
- 2)- h
+
(x)(x +
7
1)
3 1
h(x)(-2 - )- p(x)(-2 - )
x xf(x)
7
4 +
x
g(x)
=
( δια x)
g(x)
D p(x)(x - 2)- h(x)(x +1)
= = =
D 4x + 7
Oποτε
3 1
h(x)(- 2 - )- p(x)(- 2 - )
5(- 2)- 4(- 2)x x= = =
7 4
4 +
x
2 1
p(x)(1- )- h(x)(1+ )
4 - 5x x= = =
7 4
4 +
x
x +
x +
2 1
p(x)(1 - )- h(x)(1 + )
x x
7
4 +
x
1
lim f(x) -
2
1
lim g(x) -
4
 
 


μ ο ρ φ η :
Οριο παραστασης της συναρ-
τησης f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Να «απομονωσο υμε» τη
συναρτηση f προκειμενου να
βρουμε το ζητουμενο οριο .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε την παρασταση της
f, της οποιας το οριο ειναι
γνωστο, σαν μια συναρτηση
εστω h(x) και λυνουμε την
παρασταση ως προς f(x) .
2. Στη συνεχεια βρισκουμε το
οριο της f(x) .
3. Aν στη πιο πανω περιπτωση
ζητειται το οριο αλλης παρα-
στασης της συναρτησης f, το
τε βρισκουμε οπως πιο πανω
το οριο της και στη συνεχεια
στο ” σπασιμο ” του κλασμα-
τος, εμφανιζουμε τη βοηθη-
τικη συναρτηση .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Σε περιπτωση που εχουμε δυο
συναρτησεις f, g (αρα και δυο
δοσμενα ορια παραστασεων
των f, g), θετουμε τις παραστα-
σεις της f, g, των οποιων το ο-
ριο ειναι γνωστο, σαν συναρ-
τησεις εστω h(x), p(x) και λυ-
νουμε το συστημα των εξισω-
σεων που προκυπτουν, ως
προς f(x), g(x) .
Τακης Τσακαλακος043

45. 2 3 2
4 4x + x +
Nα βρεθουν τα ορια :
6x + ημ x - 2συν2x x συνx + x ημx + 2
lim lim
3x +συνx x + ημ x + x    
x
( δια x)
x +
x +
lim
Eιναι
ημx συν2x
x 6 + ημx - 4
x 2x
= lim =
συνx
x 3 +
x
ημx συν2x
6 + ημx - 4
x 2x= lim
συνx
3 +
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
x +
6x + ημ x - 2συν2x
lim
3x + συνx 
=
x +
+
4
ημx
lim = 0
x
συνx
= 0
x
4
2 4( δια x )
x +
4
6 + 0 + 0
= =
3 + 0
Eιναι
ημxσυνx 2
x + +
x x x
= lim
ημ
x 1+
 
 
 
 
 
 
3 2
4 4x +
2
x συνx + x ημx + 2
lim
x + ημ x + x 
x +
x +
4
4 3
ημx
lim = 0
x4
4 συνxx +
lim = 0
x
3
=
x 1
+
x x
ημxσυνx 1 2
+ +
x x x x= lim
ημx 1
1+ +
x x
 
 
 
 
 
 

 
 
 
=
0 + 0 + 0
= =
1+ 0 + 0
0
μ ο ρ φ η :
Η παρασταση της οποιας ζη-
τουμε το οριο, περιεχει τριγω-
νομετρικους αριθμους.
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου παραστασης
που περιεχει τριγωνομετρι-
κους αριθμους στη θεση x0 .
σ κ ο π ο ς :
Να προσδιορισουμε το ζητου-
μενο με βοηθεια το οριο
x + x +
ημx συνx
lim = 0 και lim = 0
x x   
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
Φερνουμε τη παρασταση, της
οποιας ζητουμε το οριο, στην
πιο πανω μορφη πολλαπλασι-
αζοντας και διαιρωντας με κα-
ταλληλους ορους η μετασχη-
ματιζοντας γνωστες τριγωνο-
μετρικες σχεσεις .
Τακης Τσακαλακος044

46.    
   
x + 2 x + 1 x + 2 x + 1
x x + 1 x x + 1x + x
Nα βρεθουν τα ορια :
3 2 - 8 3 + 2 3 2 - 8 3
lim lim
4 3 + 3 2 - 1 4 3 + 3 2    
Αφου x + δημιουργουμεβασειςμικροτερες του1, ωστε
το οριο τους ναισουται με 0 (διαιρουμε αριθμητη-παρονο -
μα στη με μεγαλυτερη βαση).
Ετσι
 
 

x + 2 x + 1
x +
3 2 - 8 3 + 2
lim
4 
x
x x ( δια 3 )
x xx +
x x
x xx +
3 4 2 - 8 3 3 + 2
= lim =
4 3 + 3 2 2 -1
2 1
12 - 24 + 2
3 3
= lim =
2 1
4 + 6 -
3 3
 
 
   
   
   
   
   
   
   
   
x x + 1
3 + 3 2 - 1
12 0 - 24 + 2 0
= =
4 + 6 0 -1 0
Αφου x - δημιουργουμεβασειςμεγαλυτερες του1, ωστε
το οριο τους ναισουται με 0 (διαιρουμε αριθμητη-παρονο -
μαστη με μικροτερη βαση).
 
 
 
- 6
x
x x ( δια 2 )
x xx -
x
xx -
Ετσι
3 4 2 - 8 3 3
= lim =
4 3 + 3 2 2
3
12 - 24
2
= lim =
3
4 + 6
2
 
 
     
    
 
 
 
 
 
 
x + 2 x + 1
x x + 1x -
3 2 - 8 3
lim
4 3 + 3 2 
12 - 24 0
= =
4 0 + 6


2
μ ο ρ φ η :
Ρητη εκθετικη συναρτηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Nα αντικαταστησουμε τις δυ-
ναμεις .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
▪ Αν x → + ∞ :
Δημιουργουμε βασεις μικρο-
τερες του 1, ωστε το οριο τους
να ειναι ισο με 0 .
(Διαιρουμε αριθμητη – παρο-
νομαστη με τον εκθετικο ορο
που εχει μεγαλυτερη βαση) .
x
x +
Ισχυει :
Αν 0 < α < 1τοτε lim α = 0
 
▪ Αν x → - ∞ :
Δημιουργουμε βασεις μεγα-
λυτερες του 1, ωστε το οριο
τους να ειναι ισο με 0 .
(Διαιρουμε αριθμητη – παρο-
νομαστη με τον εκθετικο ορο
που εχει μικροτερη βαση) .
x
x -
Ισχυει :
Αν α > 1 τοτε lim α = 0
 
Τακης Τσακαλακος045

47.  
1 1
- ημx x ημ
x x
x
Nα βρεθει τοοριo : lim [e +e ]
 
x x
1 1
- ημx x ημ
x x
x x
1 1lim - ημx lim x ημ
x x
- lim
Ειναι
= lim e + lim e =
= e + e =
= e
   
   
   
 
  
 
1 1
- ημx x ημ
x x
x
lim [e + e ]
 
x
x
x
x
1
ημ
xlim
ημx
x
1
ημ
xlim
1
x
ημx
lim
x
1
0
1
x
+ e =
1
= + e =
e
1
= + e =
e
=
 
 
 
 
1 + e
=
μ ο ρ φ η :
Εκθετικη συναρτηση της μορ-
φης g(x)
f(x) = α .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Nα βρουμε το οριο του εκθετη
της g(x)
α .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
Βρισκουμε το οριο του εκθετη
της g(x)
α εχοντας υποψιν
x
lim f(x)f(x)
x
lim α = α  
 
Ισχυουν
x x
x + x +
x x
x + x +
x x
Αν 0 < α < 1 τοτε
lim α = 0 και lim α = +
Αν α > 1 τοτε
lim α = + και lim α = 0
ημx συνx
lim = 0 και lim = 0
x x
   
   
   


Τακης Τσακαλακος046
x
1
Οταν x τοτε 0
x
1
ημ
xΕτσι, lim = 1
1
x
 
  

48. x + 2 x + 2
x + 1 x + 1x
α - 2
Nα βρεθει τοοριο : lim , α 2 .
α - 2 

x + 2 x + 2 2 x 2 x 2 x x
x + 1 x + 1 x x x x
x + 2 x + 2 2 x x
x + 1 x + 1 x xx - x -
α - 2 α α - 2 2 α α - 4 2
Ειναι : = =
α - 2 α α - 2 2 α α - 2 2
Αν α < 2
α - 2 α α - 4 2
lim = lim =
α - 2 α α - 2 2   
   
   
 
 
x x
2
x x
x xx -
x x
x
2
xx -
x
x -
α 2
α - 4
α α= lim =
α 2
α - 2
α α
2
α - 4
α
2
lim = 0, αφ
=
ου x - κ
lim =
2
α - 2
α
αι
α



 
 
 
 
 
 

 
 

 

 



2
x -
x + 2 x + 2 2 x x
x + 1 x + 1 x xx - x -
α - 4 0
= lim = α
α - 2 0
Αν α > 2
α - 2 α α - 4 2
lim = lim =
α - 2 α α - 2 2
2
> 1
α
 
   
 
 
 
 


 
 
x
x
x -
x
2
x x
x xx -
x x
x
2
xx -
α 2
α - 4
2 2= lim =
α 2
α - 2
2 2
α
α - 4
2
= li
α α
lim = 0, αφου x - και
m =
α
α - 2
2
> 1
22
 

 
 
 

  
    

 
 
 

 
 

2
x -
α 0 - 4
= lim = 2
α 0 - 2 


μ ο ρ φ η :
Ρητη εκθετικη συναρτηση f με
παραμετρο (ους) .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Nα δημιουργησουμε δυναμεις
με βαση κλασμα (παραμε-
τρων) και εκθετη x .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
▪ Μετασχηματιζουμε τις δυνα-
μεις (που περιεχουν και x) σε
δυναμη με εκθετη μονο x .
▪ Αν x → + ∞ :
Δημιουργουμε βασεις μικρο-
τερες του 1, ωστε το οριο τους
να ειναι ισο με 0 .
(Διαιρουμε αριθμητη – παρο-
νομαστη με τον εκθετικο ορο
που εχει μεγαλυτερη βαση) .
x
x +
Ισχυει :
Αν 0 < α < 1τοτε lim α = 0
 
▪ Αν x → - ∞ :
Δημιουργουμε βασεις μεγα-
λυτερες του 1, ωστε το οριο
τους να ειναι ισο με 0 .
(Διαιρουμε αριθμητη – παρο-
νομαστη με τον εκθετικο ορο
που εχει μικροτερη βαση) .
x
x -
Ισχυει :
Αν α > 1 τοτε lim α = 0
 
Τακης Τσακαλακος047

49. x + 1
x
Nα βρεθει τοοριο : lim [ln(e - 1)- x]
 
x + 1
x
x + 1 x
x
x + 1
xx
Eιναι
= lim [ln(e -1)- x] =
= lim[ln (e -1)- lne ] =
e -1
= lim[ln ] =
e
 
 
 
x + 1
x
lim [ln(e - 1)- x]
 
x + 1
x xx
xx
x
x
x
e 1
= lim[ln ( - )] =
e e
1
= lim[ln (e - )] =
e
1
= ln[lim (e - )] =
e
1
e - > 0
e
 
 
 
= ln (e - 0) =
= lne =
= 1
μ ο ρ φ η :
Συνθετη λογαριθμικη συναρ-
τηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Nα μετασχηματισουμε τη συν-
θετη συναρτηση σε μορφη
ln(g(x)) .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
▪ Απλοποιουμε οσο γινεται τη
συναρτηση g(x) .
▪ Aν το οριο της g(x) τεινει στο
▪ κ > 0 τοτε
x x
lim ln[g(x)] = ln[ lim g(x)] =
= lnκ
   
▪ 0+ τοτε
x
lim ln[g(x)] = -
 
 .
▪ ∞ τοτε
x
lim ln[g(x)]=
 
 .
▪ Ισχυουν :
▪ x = lne x για x Ś Ŕ
▪ x = e lnx για x > 0
▪
x 1
lim(lnx) = 0

.
+
x 0
lim (lnx) = -


Τακης Τσακαλακος048

50. 1
2x + 1 x - 1
x x 1
Nα βρεθoυν τα ορια :
x + 4
lim ( ) και lim x
x + 3   
2x + 1
x
2(x + 3) - 5
x
2(x + 3)
x
Eιναι
x + 3 +1
= lim =
x + 3
1
= lim 1+ =
x + 3
1 1
= lim 1+ 1+
x + 3 x + 3
 
 
 
   
   
   
 
 
 
   
  
   
2x + 1
x
x + 4
lim
x + 3 
- 5
2
x + 3 - 5
x x
2
x + 3 - 5
x x
lim
=
1 1
= lim 1+ lim 1+ =
x + 3 x + 3
1 1
= lim 1+ lim 1+ =
x + 3 x + 3
   
   
 
  
 
    
          
    
          
x
2 - 5
1 x 1
x -1
x 1 x
1
=0
x
-
+3
1 0
= e (1+ 0) =
=
Eιναι
= lim (1+(x -1)) =
 

 

2
1
x - 1
x 1
e
lim x e

μ ο ρ φ η :
Ρητη εκθετικη συναρτηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f .
σ κ ο π ο ς :
Nα μετασχηματισουμε τη ρητη
συναρτηση σε μορφη
g(x)1
(1+ )
g(x)
η
1
g(x)
(1+ g(x)) .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
▪ Φερουμε τη συναρτηση f σε
μια απ’τις παραπανω μορφες
▪ Ισχυει :
h(x)
x
1
h(x)
x
1
lim (1+ ) = e,
h(x)
αν h(x) τεινει στο ±
lim (1+ h(x)) = e,
αν h(x) τεινει στο 0
 
 

Τακης Τσακαλακος049

51. x
Ησυναρτησηf ειναι ορισμενηστο και για καθε x
x - 1 x - 2
ισχυει : f(x)- 1
x +1 x + 2
Να βρεθει τοοριο : lim f(x).
Ŕ Ś Ŕ
 

 
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x 1 1
- 1-
1- 0x= lim = lim =
x 1 1 1+ 0
+ 1+
x
x 2 2
- 1-
1- 0x= lim = lim =
x 2 2 1+ 0
+ 1+
x
Οποτε, συμφωναμε το κριτηριο παρεμβολης :
lim (f(x)-1) = 1
   
   
 
x
x
x
x - 1
lim 1
x + 1
x - 2
lim 1
x + 2
limŤ
 
 




=
• =
f(x) = 2

μ ο ρ φ η :
Δοσμενη διπλη ανισοτητα με
μεσαιο μελος τη συναρτηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρτη-
σης f η το οριο παραστασης
που περιεχει τη συναρτηση f
στη θεση x0 .
σ κ ο π ο ς :
Nα αποδειξoυμε οτι τα ορια
των ακραιων μελων της ανισο-
τικης σχεσης ειναι ισα.
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Με καταλληλες πραξεις «α-
πομονωνουμε» την συναρ-
τηση f στο μεσαιο μελος της
διπλης ανισοτητας η σχημα-
τιζουμε την παρασταση της
συναρτησης f το οριο της ο-
ποιας ζητουμε .
2. Βρισκουμε τα ορια των α-
κραιων μελων της ανισοτι-
κης σχεσης .
3. Αν τα πιο πανω ορια ειναι
ισα με α, τοτε και το ζητου-
μενο οριο ειναι ισο με α,
συμφωνα με το κριτηριο πα-
ρεμβολης .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση που η παρα-
σταση, της οποιας το οριο ζη-
τουμε, ειναι κλασμα με παρο-
νομαστη ενα ακραιο μελος της
δοσμενης ανισοτικης σχεσης
τοτε :
▪ Διαιρουμε και τα τρια μελη
της ανισοτικης σχεσης με το
μελος αυτο (το ενα ακραιο
μελος γινεται ισο με 1).
▪ Παιρνουμε πλευρικα ορια
και δειχνουμε οτι ειναι ισα
με 1 .
Τακης Τσακαλακος050

52.   

 
{ }
  

 
{ }

53. x
2 2 xx 1 x +
Nα βρεθουν τα ορια :
lnx x +e
lim lim
x - 1 x +e  
0
0
2DLH x 1
x 1
2
+
x+
2 xDLH x
(lnx)'
= lim =
(x -1)'
1
x= lim
2x
1 1
= = =
2 12x
(x + e )'
= lim
(x + e )
 
 
 


  
 
 
  

2x 1
x
2 xx +
lnx
lim
x - 1
1
2
x + e
lim
x + e

 
•
+
x +
xx DLH
x
xx
+
x +
xx DLH
=
'
1+ e
= lim =
2x + e
(1+ e )'
= lim =
(2x + e )'
e
= lim =
2 + e
  
 
 
  
  
  
 
 
  
x
xx
x
xx
(e )'
= lim =
(2 + e )'
e
= lim =
e
  
  
1
μ ο ρ φ η :
Ρητη η ρητη εκθετικη συναρ-
τηση f .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου της συναρ-
τησης f .
σ κ ο π ο ς :
Να αντικαταστησουμε τις ρη-
τες συναρτησεις με πηλικο πα-
ραγωγων .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Το οριο καταληγει σε απρο-
σδιοριστια
0
0
η


.
2. Παιρνουμε το ισοδυναμο ο-
ριο του πηλικου των παρα-
γωγων (αριθμητη και παρο-
νομαστη) .
3. Αν προκυψει νεα απροσδιο-
ριστια, επαναλαμβανουμε
το βημα 2 .
4. Βρισκουμε το ισοδυναμο ορι-
ο, κατα τα γνωστα .
Τακης Τσακαλακος052

54. 2x 0
Nα βρεθουν οι τιμες των παραμετρων α και βανισχυει :
x(α - συνx)+β - 2συνx
lim .
x
Ś Ŕ

συν0 = 1
x 0
2
x 0
lim[x(α - συνx) +β - 2συνx] = 0 (α - συν0) +β - 2συν0 = β - 2 και
limx = 0.
Αν β - 2 0 τοτε το οριο θα ειναι ,
ατοπο αφου το οριο ειναι πραγματικος αριθμος.
Ετσι β - 2 = 0 .
Για β = 2 το οριο γινε



  
 β = 2
0
0
2 2x 0 DLH x 0
x 0
x 0
ται ισοδυναμα :
x(α - συνx) + 2 - 2συνx x(α - συνx) + 2 - 2συνx
lim = lim =
x (x )'
α - συνx + xημx + 2ημx
= lim
2x
lim[α - συνx + xημx + 2ημx] = α -1+ x 0 +
 



[ ]'
x 0
2 0 = α -1 και
lim2x = 0.
Αν α -1 0 τοτε το οριο θα ειναι ,
ατοπο αφου το οριο ειναι πραγματικος αριθμος.
Ετσι α -1 = 0 .
Για α = 2 και β = 1το οριο γινεται ισοδυναμα :


  

x 0
α = 1
x(1 - συνx)+ 2 - 2συ
lim
 2x 0
0
0
x 0 DLH
x 0
[x(1- συνx) + 2 - 2συνx]'
= lim =
(x )'
1- συνx + xημx + 2ημx
= lim =
2x
[1- συνx + xημx + 2ημx]'
= lim
(



2
νx
x
x 0
=
2x)'
- 1+ 0 + 0
= lim = .
2
1
-
2
Ś Ŕ
μ ο ρ φ η :
Οριο που ισουται με πραγματι-
κο αριθμο αποτελουμενο απο
κλασμα που ο ενας απ’τους ο-
ρους του εχει οριο 0 και ο αλ-
λος περιεχει τις παραμετρους .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Παραμετροι εστω α και β .
σ κ ο π ο ς :
Nα χρησιμοποιησουμε απροσ-
διοριστια
0
0
και De L’Hospital .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Το δοσμενο οριο ειναι πραγ-
ματικος αριθμος και ενας
απ’τους αριθμητη η παρονο-
μαστη εχει οριο ισο με 0 .
Ετσι, απαιτουμε και το οριο
του αλλου ορου (αυτου που
περιεχει τις παραμετρους),
να ειναι ισο με 0 .
2. Απ’το παραπανω προσδιορι-
ζουμε την μια παραμετρο .
3. Αντικαθιστωντας την παρα-
μετρο που βρηκαμε στο οριο,
προσδιοριζουμε και την αλ-
λη παραμετρο .
π α ρ α τ η ρ η σ η :
Πρεπει να δειξουμε οτι το οριο
ειναι πραγματικος αριθμος για
τις τιμες των παραμετρων που
βρηκαμε .
Τακης Τσακαλακος053

55. π
x
2
Να βρεθει τοοριο : lim (π - 2x)εφx .

+
+
+
+
π
x
2
0
0
DLHπ
x
2
π
x
2
x
Ειναι
π - 2x
= lim =
1
εφx
π - 2x
= lim =
σφx
(π - 2x)'
= lim =
(σφx)'
= lim




π
x
2
lim (π - 2x)εφx

+
+
+
π
2 2
2
π
x
2
2
2
- 2
=
1
-
ημx
= lim 2ημx =
π
= 2 ημ =
2
= 2 1 =

 
  
 
 2
μ ο ρ φ η :
Γινομενο συναρτησεων (f ∙ g) .
ζ η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του οριου τoυ γινομε-
νου f ∙ g .
σ κ ο π ο ς :
Nα αντικαταστησουμε καταλ-
ληλα μια απ’τις συναρτησεις
ωστε να προκυψει ρητη συναρ-
τηση .
α ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Το οριο καταληγει σε απρο-
σδιοριστια 0 ∙ ∞ .
2. Αντιστρεφουμε μια απ’τις
δυο συναρτησεις και την βα-
ζουμε παρονομαστη, οποτε
προκυπτει οριο ρητης συναρ-
τησης .
3. Παιρνουμε το ισοδυναμο ο-
ριο του πηλικου των παρα-
γωγων (αριθμητη και παρο-
νομαστη) .
4. Αν προκυψει νεα απροσδιο-
ριστια, επαναλαμβανουμε
το βημα 3 .
5. Βρισκουμε το ισοδυναμο ο-
ριο, κατα τα γνωστα .
Τακης Τσακαλακος054