Επιμέλεια: Χρήστος Ηρακλείδης αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com

1. 1
Χ. Ηρακλείδης
Μαθηματικός, M.Ed
Ανισότητες
1) x2
 0 ℝ η ισότητα = ισχύει μόνο για x=0
(τετμημένη σημείου επαφής)
2) |x|  0 x' η ισότητα = ισχύει μόνο για x=0
Επίσης από το ίδιο γράφημα προκύπτει ότι
 |x|  x x'
η ισότητα = ισχύει μόνο για x0
 |x|  –x x'
η ισότητα = ισχύει μόνο για x0
3) |x|  θ  –θ  x  θ η ισότητα = ισχύει μόνο για x = θ ή x = –θ
(αν θ<0 η ανίσωση είναι αδύνατη)
|x|  θ  x  θ ή x  –θ η ισότητα = ισχύει μόνο για x = θ ή x = –θ
(αν θ<0 η ανίσωση είναι ταυτότητα)
4) 2
x
1
x   x>0 η ισότητα = ισχύει μόνο για x=1
|x| = θ|x| = θ
|x| ≥ θ|x| ≥ θ
x
|x| ≤ θ
-θ θ0
τετράγωνα μη αρνητικά
ανισότητες διαστημάτων
άθροισμα θετικού αριθμού
και αντιστρόφου του
απόλυτα μη αρνητικά
y
x
y = x2
0
y = -xy = x
y
x
y = |x|
0
x -
1
x
x +
1
x2
18.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. 2
Χ. Ηρακλείδης
Μαθηματικός, M.Ed
y
x
y=x, x<0
y=ημx, x<0
2π-2π -π πO
5) |ημx|  1 –1  ημx  1 x'
η ισότητα = ισχύει μόνο για ημx = 1  x = κπ + π/2, κℤ
6) |συνx|  1 –1  συνx  1 x'
η ισότητα = ισχύει μόνο για συνx = 1  x = κπ, κℤ
7) |ημx|  |x| ℝ η ισότητα = ισχύει μόνο για x=0
(τετμημένη σημείου επαφής)
Ειδικότερα:
ημx < x  x>0 ημx > x  x<0
-7π/2
-5π/2
-3π/2
-π/2 7π/2
5π/2
3π/2
π/20
y
x
y = ημx y = 1
y = - 1
-1
1
-4π
-3π
4π
3π
-2π 2π
-π π
0
x
y
1
-1
y = συνx
y = - 1
y = 1
y
x
y=x
y=ημx
2π-2π -π πO
y
x
y=x, x>0
y=ημx, x>0
2π-2π -π πO
ανισότητα ημιτόνου
και γωνίας του
18.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. 3
Χ. Ηρακλείδης
Μαθηματικός, M.Ed
y
x
Cf
(α, f(α))
σημείο επαφής
α
f(α)
y = f'(α)(x-α) + f(α)
εξίσωση εφαπτομένης
O
8) Εκθετική και λογαριθμική ανισότητα
ex
 x + 1  xℝ η ισότητα = ισχύει μόνο για x=0
(τετμημένη σημείου επαφής)
lnx  x – 1  x>0 η ισότητα = ισχύει μόνο για x=1
(τετμημένη σημείου επαφής)
Συγκεντρωτικά: ex
 x + 1 > x > x – 1  lnx
Γενικά, αx
> 0 x' όπου α>0 (αν α0 δεν ορίζεται η εκθετική συνάρτηση)
Ακόμη πιο γενικά, αν f κυρτή σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η Cf βρίσκεται πάνω από την
εφαπτομένη της σε κάθε σημείο του Δ με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.
Συμβολικά:
f(x)  f΄(α)(x–α) + f(α)  x, αΔ η ισότητα = ισχύει μόνο για x=α
(τετμημένη σημείου επαφής)
y
x
y=lnx
y=x-1
y=x
y=x+1
y=ex
1
O 1
18.09.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3