Αποκλειστικά από το lisari

1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01/11/2016
ΘΕΜΑ Α
Α1) i) Πότε δύο συναρτήσεις ονομάζονται ίσες συναρτήσεις;
ii) Πότε μια συνάρτηση  f x λέγεται συνάρτηση 1-1;
Α2) Σημειώστε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις προτάσεις:
α) Αν f αντιστρέψιμη τότε η 1
f
είναι 1-1.
β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν είναι γνησίως μονότονη.
γ) Γενικά ισχύει f g g f εφόσον ορίζονται οι συνθέσεις.
δ) Η  
1
f x
x
 είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της.
ε) Αν  f x 0 κοντά στο 0x και υπάρχει το  
0x x
lim f x

τότε  
0x x
lim f x 0

 .
ΘΕΜΑ Β
Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση
της συνάρτησης  f x
Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και
το πεδίο τιμών της  f x .
Β) Να δικαιολογήσετε ότι η  f x είναι
αντιστρέψιμη και να σχεδιάσετε την  1
f x
.
Γ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f
ii) Να βρείτε τα 1 5
f
2
  
 
 
,   1
f f 4
και   f f 2
Δ) i) Να λύσετε την εξίσωση  2
f x 1 6 
ii) Nα λύσετε τις ανισώσεις
α)  f x 1 β)  f 2x 1

2. ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις  
1
f x
x
 ,  
1
h x
x 2


με κοινό πεδίο ορισμού το  0, .
Α) Να ορισθεί μια συνάρτηση  g x , τέτοια ώστε     f g x h x .
Β) Να δείξετε ότι f, g, h αντιστρέφονται.
Γ) Να βρείτε τις
Δ) Να λυθεί η ανίσωση  1 2
g x 2

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται  
1
f x lnx
x
  , x 0 και   f 0,  h
Α) α) Να βρείτε τη μονοτονία της f.
β) Να λυθεί η ανίσωση
2
2 2 2
1 1 x 5
ln
x 5 2x 1 2x 1

 
  
, xh
Β) Αν   x 1
g x e 
 , xh
α) Να βρείτε την f g β) Να λυθεί η εξίσωση   
1 e
f g x
e


Γ) Να λυθεί στο  1h η ανίσωση 1 1
f x 1
x 1
  
  
 