Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.gr

1. _____________________________________________________________________
Ο τελεστής ≠
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
§2.3: Διάταξη πραγματικών αριθμών
Εργασία μαθητών από το 1ο ΓΕΛ Πετρούπολης
Ιδιότητες – Επισημάνσεις
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
lisari.blogspot.gr
lisari.blogspot@gmail.com
ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2017

2. _____________________________________________________________________
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Ευχαριστούμε θερμά τον αγαπητό φίλο και τ. Σχολικό Σύμβουλο Πρόδρομο Ελευθερίου
για τις χρήσιμες παρατηρήσεις που μας έστειλε.

3. _____________________________________________________________________
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
1) Ιδιότητα της τριχοτομίας και ο τελεστής 
Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει ακριβώς μία από τις
παρακάτω σχέσεις:
α β, α β, α β  
άρα
αν α β τότε α β ή α β
και αντίστροφα, δηλαδή ισχύει η εξής ισοδυναμία:
α β α β   ή α β
Επομένως, το σύμβολο  περιέχει τα σύμβολα της διάταξης των πραγματικών
αριθμών χωρίς να γνωρίζουμε ακριβώς τη φορά της ανισότητας. Άρα είναι ένας
τελεστής διάταξης όπως είναι τα σύμβολα , , ,   .
2) Για να δηλώσουμε ότι α β θα λέμε ότι:
 α διάφορο του β
 α άνισο του β
 α διαφορετικό του β
 α δεν είναι ίσο του β
3) Ισοδύναμοι συμβολισμοί
Χρησιμοποιούνται τα παρακάτω σύμβολα στον προγραμματισμό αντί του συμβόλου
 , γιατί δεν υπάρχει στο πληκτρολόγιο
 <>
 !=
 = / =
4) Βασικές ιδιότητες
Ι1. α β α β 0   
Ι2. α β β α   (αντιμεταθετική ιδιότητα)
Ι3. α β 0 α 0 και β 0    
Ι4. α β α γ β γ     για οποιοδήποτε γR
(γιατί,  α γ β γ α γ β γ 0 α β 0 α β             )
Ι5. α β α γ β γ     για οποιοδήποτε *
γR

4. _____________________________________________________________________
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
(γιατί,
 α γ β γ α γ β γ 0 α β γ 0
α β 0 και γ 0
α β και γ 0)
          
   
  
)
Ι6. Για κάθε αβ 0 ισχύει:
1 1
α β
α β
  
(γιατί, από Ι5 έχουμε:
αβ 0
1 1 1 1
αβ αβ β α
α β α β

     )
Ι7. ν ν
α β α β   για κάθε α,β 0 και ν θετικό ακέραιο
(Ευθύ: Αν α β τότε θα αποδείξουμε ν ν
α β . Έστω ότι ν ν
α β τότε από γνωστή
ιδιότητα – για α,β 0 και ν θετικό ακέραιο - έχουμε α β , άτοπο αφού α β .
Αντίστροφο: Αν ν ν
α β τότε θα αποδείξουμε ότι α β . Έστω ότι α β τότε
ν ν
α β , άτοπο αφού ν ν
α β .)
Ι8. ν ν
α β α β   για κάθε α,β 0 και ν θετικό ακέραιο
(γιατί, από Ι7 έχουμε    
ν ν
ν νν ν
α β α β α β     )
Σημείωση: Οι ιδιότητες των ανισοτικών σχέσεων που ισχύουν και αντίστροφα
(υπάρχει ισοδυναμία) τότε επεκτείνονται και για τον τελεστή  (αφού
αποδεικνύονται με την μέθοδο της αντιθετοαντιστροφής ή απαγωγή σε άτοπο).
5) Ιδιότητες που δεν ισχύουν
α) Δεν επιτρέπεται να προσθέτουμε σχέσεις με τον τελεστή  κατά μέλη, δηλαδή
α β
α γ β δ
γ δ
 
   
 
ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα,
1 2
3 3
2 1
 
 
 
β) Δεν επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε σχέσεις με τον τελεστή  κατά μέλη,
παρόλα και αν οι όροι είναι όλοι θετικοί, δηλαδή
α β
α γ β δ
γ δ
 
   
 
για α,β,γ,δ 0
ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα,

5. _____________________________________________________________________
lisari.blogspot.gr Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
1 2
2 2
2 1
 
 
 
γ) Δεν επιτρέπεται να υψώσουμε σχέσεις με τον τελεστή  σε ένα θετικό ακέραιο
αριθμό, δηλαδή
ν ν
α β α β   για ν θετικό ακέραιο
ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα,
 
2 2
1 1 1 1 1 1      
δ) Η μεταβατική ιδιότητα δεν ισχύει, δηλαδή
α β και β γ α γ   
ας δούμε ένα αντιπαράδειγμα,
1 2 και 2 1 1 1   