Επιμέλεια: Εκπαιδευτήρια Δούκα αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com

1. 1
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2018 - 2019
ΤΑΞΗ: Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΟΙΚΕΙΩΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α ΜΟΝΑΔΕΣ: 15+10=25
Α1. Να αποδείξετε ότι ισχύει:       με α, β . Πότε ισχύει το “ = ” ;
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο απαντήσεών σας τη
λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1. Αν α 0 και θ>0 ισχύει η ισοδυναμία : x α θ d(x, α) θ    
2. Για οποιουσδήποτε α,β,γ,δ με α β και γ δ τότε   α γ β δ
3. Αν  x y 0 τότε  x y 0
4. Αν   , τότε    , για κάθε α, β  .
5.
4 2
x x
ΘΕΜΑ Β ΜΟΝΑΔΕΣ: 9+8+8=25
Β1. Να λύσετε την εξίσωση: 2
2 2
1
2 3 2  
 
   
Β2. Να λύσετε την εξίσωση:
2
6 0   
Β3. Για τις τιμές των α ,β που βρήκατε στα ερωτήματα Β1 και Β2,να συγκρίνετε
τους αριθμούς:   και   .
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 9

2. 2
ΘΕΜΑ Γ ΜΟΝΑΔΕΣ: 8+8+9=25
Αν για τους α, β  ισχύουν 2 1   και d(β, 5)<2 , τότε:
Γ1. Να δείξετε ότι: 1<α<3<β<7
Γ2. Να γράψετε χωρίς απόλυτα και ρίζες την παράσταση:
2
3 2 49 14             
Γ3. Από το τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς β αφαιρούμε το
τετράγωνο ΑΕΖΗ πλευράς α και σχηματίζουμε το εξάπλευρο
ΕΒΓΔΗΖ. Μεταξύ ποιων τιμών περιέχεται η περίμετρος Π και
το εμβαδό Ε του εξαπλεύρου ΕΒΓΔΗΖ.
ΘΕΜΑ Δ ΜΟΝΑΔΕΣ: 12+8+5=25
Δίνεται η εξίσωση:
2
( 1) 1x a    
Δ1. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση ως προς x για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου
α .
Δ2. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη x=-1 ;
Δ3. Εξετάστε αν υπάρχει α , ώστε η εξίσωση να έχει λύση τη x=1.
Μαρούσι 17-01-2019
Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 9

3. 1
Σχολικό έτος 2018-2019
Τάξη : Β΄ Λυκείου
Μάθημα : Άλγεβρα
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ A Μονάδες 15+10=25
Α1. Να αποδείξετε ότι :    

2
2
2
εφ ω π
ημ ω με ω κπ , κ Ζ
1 εφ ω 2
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο φύλλο
απαντήσεών σας τη λέξη «Σωστό» ή «Λάθος» δίπλα στον αριθμό που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
1. Έστω f μία συνάρτηση και Δ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της. Αν για
κάθε 1 2x ,x Δ με 1 2x x ισχύει ότι 1 2f(x ) f(x ) τότε η f είναι
γνησίως φθίνουσα στο Δ.
2. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας την
αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε για κάθε fx D θα ισχύει f ( x) f (x)  .
3. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (x) ημx συνx 
είναι 2 και -2 αντίστοιχα.
4. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα (Σ) δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους η
ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι διάφορη του μηδενός,
τότε το σύστημα (Σ) έχει μοναδική λύση.
5. Η συνάρτηση f (x) 2ημx έχει περίοδο
2π
Τ π
2
  .
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 9

4. 2
ΘΕΜΑ Β Μονάδες 10+(10+5)=25
Δίνεται η ευθεία (α β)x (α 2β)y 3    με α,β R η οποία διέρχεται από
τα σημεία Α(1,-1) και Β(2,1)
Β1. Δείξτε ότι η ευθεία έχει εξίσωση y 2x 3 
B2. Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας και της υπερβολής x y 5  και να
ερμηνεύσετε γεωμετρικά τα συμπεράσματά σας.
ΘΕΜΑ Γ Μονάδες (3+3)+9+5+5=25
Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική
παράσταση της συνάρτησης y f (x) ,
ορισμένης στο [-3,3].
Με την βοήθεια του σχήματος να :
Γ1. Να λύσετε :
Α. την εξίσωση f (x) 0
Β. την ανίσωση f (x) 0
Γ2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης
g(x) f (x 2) 1   . Ποια από τα σημεία Κ(0,1) , Λ(2,4) , Μ(-1,-2) , Ν(5,2) ,
ανήκουν στην γραφική παράσταση της y g(x)
Γ3. Αν η εξίσωση
2
[f(x)] k f(x)  με k R έχει πέντε λύσεις τότε ποιες
είναι οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο k;
Γ4. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β με α β για τους οποίους
ισχύει f(α) f(β) 6 
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 9

5. 3
ΘΕΜΑ Δ Μονάδες (2+2+4)+(4+4)+5+4=25
Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζεται ένα
σύστημα από δύο πετάλια Α και Β ενός
ποδηλάτου.
Το ύψος h του Α από το έδαφος σε
συνάρτηση με το χρόνο t αποδίδεται
από την συνάρτηση :
Ah f (t) 24 14 ημ(2t)    , όπου h
σε cm και t σε sec.
Δ1. Α. Πόσο διαρκεί μία πλήρης περιστροφή του πεταλιού Α;
Β. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του ύψους h;
Γ. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Ah f (t) σε
διάστημα πλάτους μιας περιόδου.
Δ2. Α. Βρείτε τη χρονική στιγμή για την οποία το ύψος h γίνεται ελάχιστο για
τρίτη φορά.
Β. Για πόσο χρονικό διάστημα το ύψος του πεταλιού Α από το έδαφος
(κατά τη διάρκεια μιας περιστροφής) είναι το πολύ 17cm.
Δ3. Γράψτε τον τύπο της συνάρτησης By f (t) που αποδίδει το ύψος y του
πεταλιού Β από το έδαφος ως συνάρτηση του χρόνου t.
Δ4. Βρείτε τις αποστάσεις α=ΟΑ και β.
Μαρούσι 17-01-2019
Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 9

6. ΘΕ
Α1.
Α2.
Α3.
Δι
ΕΜΑ Α
. Να αποδε
στο 0,
. Να διατυ
ερμηνεία
. Με βάση
i) Η
ii) Nα
Μάθημα
ιαγώνισμ
είξετε ότι η
 και ισχ
πώσετε το
α
το παρακά
παραπάνω
δικαιολογή
Τάξη
α : Μαθη
μα εξοικε
συνάρτησ
ύει  f ' x
ο Θεώρημα
άτω σχήμα
ω πρόταση
ήσετε την α
1
η : Γ΄ Λυκ
ηματικά π
είωσης πε
ση  f x x
 
'α
x α 
α Βolzano
α , ισχύει
x
l
η είναι αλη
απάντησή
Σχολικ
κείου
προσανατ
εριόδου Ι
α
x , α 
α 1
x 
 .
και να δώσ
0x x
g(x)
lim
f (x)
 
θής ή ψευ
σας
ό έτος 20
τολισμού
Ιανουαρί
 είναι πα
σετε τη γεω

δής ;
018 - 201
ύ
ίου
αραγωγίσιμ
Μονάδε
ωμετρική το
Μονάδε
Μονάδε
Μονάδες
19
μη
ες 7
ου
ες 4
ες 1
ς 3
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 9

7. 2
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στο
φύλλο απαντήσεών σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η
πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Έστω f : Α   μια συνάρτηση που είναι 1-1 . Τότε κάθε ευθεία
παράλληλη στον x΄x , τέμνει τη γραφική παράσταση της f , σε ένα
ακριβώς σημείο.
β. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 0 fx D , τότε η f δεν είναι
παραγωγίσιμη στο 0 fx D
γ. Ισχύει ότι
x x 1
(α )' x α ,α 0, x
   
δ. Αν f συνεχής στο *
 και ισχύει f (x) 0 για x 0 τότε η f διατηρεί
πρόσημο στο πεδίο ορισμού της.
ε. Αν η ευθεία (ε) : y αx β  εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f
στο 0x τότε ισχύουν οι σχέσεις 0f '(x ) α και 0 0f (x ) α x β  
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση  f : 0,   για την οποία ισχύουν:
 2 2 2
f (x) 2f (x) ημx x ημ x    για κάθε x 0 και
 f (π) 0
Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) f (x) ημx , x 0   διατηρεί
πρόσημο.
Μονάδες 4
Β2. Να αποδείξετε ότι f (x) ημx x  για κάθε x 0 Μονάδες 7
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 9

8. 3
Β3. Να υπολογίσετε τα όρια :
i)
x 0
f(x) 6x
lim
f(x) 2x


ii)
x
f (x) 6x
lim
f (x) 2x


Μονάδες 8
Β4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
π
ξ ,π
2
 
 
 
τέτοιο ώστε f (ξ) 1 
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) ln(x ln x)  και x
g(x) e
Γ1. Να ορίσετε τη συνάρτηση h f g  Μονάδες 5
Γ2. Αν h(x) x ln x  με x > 0 :
i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h είναι αντιστρέψιμη.
ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της h με την
γραφική παράσταση της 1
h
Μονάδες 8
Γ3. Να βρείτε τη συνάρτηση φ , με πεδίο ορισμού  0, , για την οποία
ισχύει :  
x
1
x 1
e
φ h (x) , x 0
e e h (x)


 
 
Μονάδες 7
Γ4. Aν
x
x
e
φ(x)
e e


, x>0, να βρείτε το σύνολο τιμών της φ.
Μονάδες 5
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 9

9. 4
Θέμα ∆
Έστω f :   μια συνεχής συνάρτηση και g συνάρτηση με
 2
g(x) x 3 2 f (x) , x    
∆1. Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 και ισχύει
f (1)
g '(1)
2

Μονάδες 3
∆2. Αν επιπλέον ισχύει η σχέση
2 f (1) 2
e f (1) 2 e 4e    , να υπολογίσετε την
τιμή f(1)
Μονάδες 7
∆3. Αν γνωρίζουμε ότι f (1) 2 , f (0) 5 5 3   και f (3) f (0)
i) Nα δείξετε ότι η f δεν είναι συνάρτηση 1-1 Μονάδες 5
ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση    2 3
g(x) x x x 1 0     έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο  1,3 Μονάδες 10
καλή επιτυχία
Μαρούσι 17 – 01 - 2019
Ο Διευθυντής Οι καθηγητές
27.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 9