Mathimatika pros plus_lyseis_oroshmo_2016

1. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα 1
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω συνάρτηση 𝑓 ορισμένη στο διάστημα  ,  . Αν η 𝑓 είναι συνεχής
στο διάστημα  ,  και    f f   , τότε να αποδείξετε ότι για κάθε
αριθμό n μεταξύ των    f , f  υπάρχει ένας τουλάχιστον  0x ,  
τέτοιος ώστε  0f x n . Μονάδες 10
Α2. Έστω f μια συνάρτηση και   0 0
x ,f xA ένα σημείο της γραφικής της
παράστασης. Τι ονομάζεται ως εφαπτομένη της fC στο Α; Μονάδες 5
Α3. Σημειώστε Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις: Μονάδες 10
(α) Η εφαπτομένη της fC σε σημείο   A x ,f x0 0 έχει με την γραφική
παράσταση fC μόνο σε ένα κοινό σημείο.
(β) Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα  ,  , τότε το σύνολο τιμών
του παραπάνω διαστήματος θα είναι ανοικτό διάστημα.
(γ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, τότε δεν
μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.
(δ) Αν  A x ,y0 0 σημείο της γραφικής παράστασης μιας αντιστρέ-
ψιμης συνάρτησης f, τότε θα είναι   f f x y
0
1
0
.
(ε) Αν είναι
 0
2x x
0
g(x)
lim
x x
 

τότε  
0x x
lim g x

  .
_ _ _ _

2. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα 2
ΘΕΜΑ Β
Ευθεία ε περιστρέφεται γύρω από το σημείο της  P 4,2 διατηρώντας θετικό
το συντελεστή διεύθυνσής της λ, ο οποίος μεταβάλλεται με ρυθμό 4 μονάδες
το λεπτό. Κατά την διάρκεια της περιστροφής, η ε τέμνει τους άξονες στα σημεία
Α και Β.
Β1. Να υπολογίσετε το ρυθμό που μεταβάλλεται το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ,
τη στιγμή 0t t κατά την οποία η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο
 K 1, 1 . Μονάδες 10
Κατά την παραπάνω χρονική στιγμή 0t η ευθεία ε εφάπτεται της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης   ,f x x     στο σημείο Ρ.
Β2. Να προσδιορίσετε τις τιμές των μ, ν. Μονάδες 8
Β3. Αν 2, 3     να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από την ευθεία ε, την γραφική παράσταση της f και τον άξονα x’x. Μονάδες 7
_ _ _ _
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση F:  ώστε να ισχύουν:
 
x 0
F x 3x
x
lim 2


 ,  F 9 0
Γ1. Να δείξετε ότι η CF διέρχεται από το σημείο  0,0 . Μονάδες 4
Γ2. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης της CF στο σημείο
 0,F(0) . Μονάδες 4
Γ3. Να δείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y x 6  τέμνει την CF σε ένα
τουλάχιστον σημείο με τετμημένη  0x 0,9 . Μονάδες 5
Γ4. Αν η F στρέφει τα κοίλα άνω, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  0,9 στο
οποίο η F παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Μονάδες 6
Γ5. Να αποδείξετε ότι: (i)  
2
0
F x dx 10
 Μονάδες 3
(ii)    
9
0
F x dx 9F 
 Μονάδες 3
_ _ _ _

3. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα 3
ΘΕΜΑ Δ
Δινεται η συνάρτηση με τύπο   x
xx e x 5     .
Δ1. Να μελετήσετε την φ ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. Μονάδες 5
Δ2. Να δείξετε ότι η εξίσωση  x 0  έχει μοναδική λύση 0x  . Μονάδες 5
Δ3. Να μελετήσετε την συνάρτηση    g x ln 5 x  ως προς την μονοτονία και
κατόπιν να βρείτε τα όρια    x x 5
lim g x , lim g x
 
. Μονάδες 5
Δ4. Να αποδείξετε ότι:  0 0g x x . Μονάδες 5
Δ5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cφ στο σημείο της με τετμημένη
0ln   . Μονάδες 2
Δ6. Να αποδείξετε ότι:    x
e x ( 1) x ln ln          για κάθε x .
Μονάδες 3
_ _ _ _
Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α
Επιμέλεια: Γρηγόρης Μπαξεβανίδης

4. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .1.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχολικό θεώρημα-απόδειξη σελίδας 194
Α2. Σχολικό ορισμός σελίδας 212
Α3. (α) Λάθος, (β) Λάθος, (γ) Λάθος, (δ) Λάθος, (ε) Λάθος
ΘΕΜΑ Β
Β1. Τα μεταβλητα μεγέθη που θα μας απασχο-
λήσουν είναι το εμβαδόν Ε και ο συντε-
λεστής διεύθυσνης λ της ευθείας ε.
Η ευθεία ε έχει εξίσωση:
 : y 2 x 4 0       (1)
Η ε τέμνει τους άξονες στα σημεία Α, Β.
Η (1) για y 0 δίνει A
4 2
x
 


και πάλι η (1) για x 0 δίνει By 2 4   .
Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι
 2
A B
4 2 11 1
2 2
( )( ) x y
 

      .
Για κάθε χρονική στιγμή t είναι
 2
4 2 (t) 1
(t)
(t)
 

  και τότε
   
 
2
2
2
2
2
2 2 (t) 1 2 (t) 1
(t)
(t)
(t)
2 (t) (t) (t)
(t) 4
2 (t) 1
4 2 (t) 1 (t)
4 (t) 1
4 (t)
   



    
  
 
    
 
 

5. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .2.
Τη στιγμή t0 που η ε διέρχεται από το Κ είναι 0
2 1
(t ) 1
4 1


    

και  0t 4  .
Επομένως 2
2
0
0 0 2
0
/ min
(t )
4 (t ) 1
(t ) 4 (t ) 48 

 
    
Β2. Στο σημείο επαφής Ρ ισχύουν:
0
f(4) 2 4 2 (2)
f (4) (t ) 1 1 2 4 (3)
2 4
     

          
 
Από (2), (3) προκύπτει: 2, 3    
Β3. Τη χρονική στιγμή t0 το υπολογιζόμενο χωρίου είναι το μικτόγραμμο τρίγωνο ΑΓΡ όπου
(2,0), (3,0), (4,2)   και : y 2 1(x 4) y x 2       , f(x) 2 x 3 
   
2
32 2
2
3 4 3 4
2 3 2 3
43
x x 24
2 2 3 3
2 3
2x 2x (x 3)
y(x)dx y(x) f(x) dx (x 2)dx x 2 2 x 3 dx
   
         
  
      
  
    
_ _ _ _ _ _ _
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Έστω
F(x) 3x
g(x)
x

 με x κοντά στο 0. Τότε F(x) xg(x) 3x 
Η F είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη:  x 0 x 0
F(0) limF(x) lim xg(x) 3x 0 0 0
 
      .
Άρα το (0,0) ανήκει στη γραφικήπαράσταση της F.
Γ2.: H εφαπτομένη έχει εξίσωση: : y F(0) F (0)(x 0) (1)   
 x 0 x 0 x 0
F(x) F(0) xg(x) 3x
lim lim lim g(x) 3 5 F (0)
x 0 x  
 
    

Από (1) είναι : y 0 5(x 0) y 5x     
Γ3. Θεωρούμε συνάρτηση  (x) F(x) x 6 x 0,9     . Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bol-
zano υπάρχει τουλάχιστον  0x 0,9 ώστε 0 0 0(x ) 0 F(x ) x 6     .
Έτσι η ευθεία με εξίσωση y x 6  τέμνει την CF σε ένα τουλάχιστον σημείο με
τετμημένη  0x 0,9 .
Γ4. Εφαρμόζουμε θεώρημα Rolle στη F στο  0,9 . Υπάρχει τουλάχιστον ένα  0,9
έτσι ώστε F ( ) 0   . Η F ως κυρτή έχει F γνησίως αύξουσα.

6. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .3.
 Για είναι γν.φθίνουσα στοx F (x) F ( ) F (x) 0 F 0,        
 Για είναι γν.αύξουσα στοx F (x) F ( ) F (x) 0 F ,9        
Άρα η F παρουσιάζει ελάχιστο στο x   που είναι μοναδικό.
Γ5. Επειδή η F είναι κυρτή, η γραφ.παράσταση CF βρίσκεται “πάνω” από κάθε εφαπτομένη
της CF. Έτσι λόγω του Γ2 θα είναι  F(x) 5x x 0,9 
Έτσι F(x) 5x F(x) 5x 0    και τότε
 
2
2 2 2
0 0 0
2 22
x
2
00 0
F(x) 5x dx 0 F(x)dx 5xdx
F(x)dx 5 F(x)dx 10
    
    
 
  
 
Επίσης από το Γ4 είναι για κάθε  x 0,9 F(x) F( ) F(x) F( ) 0      και τότε
 
 
9 9 9
0 0 0
9 9
9
0
0 0
F(x) F( ) dx 0 F(x)dx F( )dx
F(x)dx F( ) x F(x)dx 9F( )
      
     
  
 
_ _ _ _ _ _ _
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. φ συνεχής ως άθροισμα συνεχών με x
(x) e 1 0    . Άρα φ γνησίως αύξουσα στο .
Επίσης
x
(x) e 0   δηλαδή η φ είναι κυρτή στο .
Δ2.
x
lim (x) ...

    και
x
lim (x) ...

   
Έτσι το σύνολο τιμών είναι      
. ύ
x x
lim (x), lim (x) ,
  
 
      
  και γν.αύξουσα0 φ Έτσι υπάρχει μοναδικό 0x ώστε  0x 0 
Δ3. g συνεχής στο  ,5 ως σύνθεση συνεχών με  
1
g x 0
5 x
   

. Άρα g γνησίως
φθίνουσα στο  ,5 .
x
lim g(x) ...

   και
x 5
lim g(x) ...

  
Δ4. Από το Δ2 έχουμε
 
 
0 0x x
0 0 0 0
0 0 0 0
x 0 e x 5 0 e 5 x x 5
x ln 5 x x g(x )
         
    

7. Αγ.Κωνσταντίνου 11 - Πειραιάς - τηλ 210 42 24 752 & 210 42 23 687
Αναπαύσεως 81 – Κερατσίνι – Τηλ 210 46 12 555
Σελίδα .4.
Δ5. Η εφαπτομένη είναι
     
   
: y (ln ) (ln ) x ln y ln 5 ( 1) x ln
y ( 1) x ln ln 5
                   
          
Δ6. Από το Δ1 η φ είναι κυρτή στο . Τότε Cφ “πάνω” από την εφαπτομένη ε. Δηλαδή
   
   
x
x
e x - 5 ( 1) x ln ln 5
e x ( 1) x ln ln
          
         
_ _ _ _ _ _ _
Επιμέλεια : Γρηγόρης Μπαξεβανίδης
Μαθηματικός