Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr

1. 23/10/2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ
ΠΡΟΣOΜOΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΕΜΠΤΗ 12/10/2017
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών
Μονάδες 10
Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση fείναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  α,β
Μονάδες 5
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ,γράφοντας στο τετράδιο σας,
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ,τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν f : R Rκαι  
0x x
f xlim

 τότε  f x 0 για κάθε x R.
β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα  α,β και έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο  α,β ισχύει    f α f β 0  .
γ) Η συνάρτηση f είναι «1-1» αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών
της η εξίσωση  y f x έχει ακριβώς μία λύση ως προς x .
δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0x ,
τότε η σύνθεση τους g f είναι συνεχής στο 0x .
ε) Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι «1-1», αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις  f x x 1 2   και  
2
g(x) x 3 1  
B1. Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f, g.
Μονάδες 4
B2. Nα ορίσετε την συνάρτηση f g .
Μονάδες 5
B3. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε την 1
f 
.
Μονάδες 6
Β4. Να βρείτε τα όρια :
i.
  
x 1 2
f g x
x 1
lim
 
ii.
 
x 2
1
f x 1
x 2
lim




iii.
 
x 3
1
f x x
g(x) 1
lim




Μονάδες 10 (4 + 3 + 3)
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση  
2 2
1 x 1
, 1 x 0
x
f x
1
α ln(x e) 2α β ,x 0
2
  
  

 
         

2. 23/10/2017 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr
όπου α,βR.
Γ1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x , να βρείτε τις τιμές των α και β .
Μονάδες 8
Γ2. Για α 1  και β 0 τότε :
i) Nα υπολογίσετε το
 
x 1
f x 1
x 1
lim



Μονάδες 5
ii) Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον θετικό ημιάξονα
Οx σε ένα τουλάχιστον σημείο.
Μονάδες 6
iii) Nα υπολογίσετε το
x 0
1
xf(x)ημ .
x
lim

 
 
 
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση  
x
e x 1,x 0
f x
2 ln(x 1),x 0
   
 
  
Δ1. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής .
Μονάδες 5
Δ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο  ,0 ,γνησίως
φθίνουσα στο  0, και να βρείτε το σύνολο τιμών της .
Μονάδες 7
Δ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση  f x 2 έχει μοναδική ρίζα την x 0 και στη συνέχεια
ότι η εξίσωση   f f x 2018 2  έχει δύο ακριβώς ρίζες ετερόσημες .
Μονάδες 6
Δ4. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με 1 2x x να δείξετε ότι
υπάρχει ένα τουλάχιστον  1 2ξ x ,x τέτοιο ώστε :
            ξ
1 2x ξ f ξ 2 ξ x 3 f ξ e f ξ 2018 .      
Μονάδες 4
Δ5. Να βρείτε τα α,βRγια τα οποία ισχύει α
e 1 α ln(β 1)     με α 0 β. 
Μονάδες 3