Ένα φυλλάδιο που εισάγει την έννοια της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης με σχετικά παραδείγματα αλλά και τεχνικές "εκμαίευσης" βασικών πληροφοριών και ιδιοτήτων μίας συνάρτησης μέσω της γραφικής της παράστασης.

1. Συναρτήσεις - Γραφική Παράσταση
4 Ιουλίου 2015
1 Εισαγωγή
Ως τώρα έχουμε δει κάποιες βασικές ιδιότητες των συναρτήσεων ανάμεσα σε
σύνολα πραγματικών αριθμών. Υπενθυμίζουμε ότι μία συνάρτηση f A → B
είναι μία αντιστοίχιση ανάμεσα στα στοιχεία του A και B όπου κάθε στοιχείο
του A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του B. Δηλαδή για κάθε x ∈ A
μπορούμε να βρούμε ακριβώς έναν αριθμό y ∈ B έτσι ώστε y = f(x). Συνεπώς
αν διατρέξουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου A, μπορούμε να φτιάξουμε ζεύγη
πραγματικών αριθμών (x,y) έτσι ώστε x ∈ A,y ∈ B με y = f(x). (Αυτά τα
ζεύγη ονομάζονται διατετεγμένα ζεύγη). Θεωρούμε τώρα το εξής σύνολο C:
Cf = {(x,y) x ∈ A,y ∈ B,y = f(x)}
Για συντομία θα μπορούσαμε να γράψουμε:
Cf = {(x,f(x)) x ∈ A}
Δηλαδή το σύνολο Cf είναι το σύνολο όλων των (διατεταγμένων) ζευγών όπου
το πρώτο στοιχείο είναι ένας οποιοσδήποτε αριθμός x του συνόλου A και το
δεύτερο στοιχείο είναι η τιμή της συνάρτησης f σε αυτόν τον αριθμό, δηλαδή ο
αριθμός f(x). Μπορούμε όλα τα στοιχεί του Cf να τα αναπαραστήσουμε πάνω
στο Καρτεσιανό επίπεδο. Το αποτέλεσμα αυτής της αναπαράστασης είναι μία
γραφική παράσταση, ένα γράφημα, το οποίο αποκαλούμε γραφική παράσταση
της f.
Ορισμός. ΄Εστω f A → B μία συνάρτηση. Ονομάζουμε το σύνολο Cf =
{(x,y) x ∈ A,y ∈ B,y = f(x)} γραφική παράσταση της συνάρτησης f.
Παράδειγμα. ΄Εστω η συνάρτηση f R → R με f(x) = x2
. Τότε το
σύνολο Cf = {(x,x2
),x ∈ R} αποτελεί την γραφική παράσταση της f. Πά-
νω στο Καρτεσιανό επίπεδο έχουμε αυτήν την αναπαράσταση του συνόλου Cf .
1

2. Παρατήρηση. Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι, εξ ορισμού της συ-
νάρτησης, κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα
στοιχείο του πεδίου τιμών, συνεπώς κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει την γρα-
φική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ακριβώς σημείο. Επομένως, αν μας
δοθεί ένα γράφημα το οποίο τέμνεται από τουλάχιστον μία κατακόρυφη ευθεί-
α σε δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία, τότε αυτό δεν αποτελεί γράφημα
συνάρτησης.
2 Μελέτη γραφικής παράστασης συνάρτησης (βα-
σικά στοιχεία)
΄Εστω η συνάρτηση f R → R με f(x) = (x − 1)4
− 5(x − 1)2
+ 4. Θα προσπα-
θήσουμε να αποσπάσουμε κάποιες πληροφορίες για τη μορφή του γραφήματος
της συνάρτησης από τον τύπο της.
Σημεία τομής με τον άξονα x′
x
Τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x′
x (αν υπάρ-
χουν) θα είναι της μορφής (x,0), δηλαδή η τεταγμένη τους θα είναι ίση με 0.
Συνεπώς πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f(x) = 0. ΄Εχουμε:
f(x) = 0 ⇔ (x − 1)4
− 5(x − 1)2
+ 4 = 0
Θέτουμε u = (x − 1)2
,u > 0, οπότε έχουμε:
u2
− 5u + 4 = 0
η οποία είναι μία απλή δευτεροβάθμια με ρίζες u1 = 1 και u2 = 4. ΄Ομως
u = (x − 1)2
, οπότε τελικά οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 είναι οι: x1 = −1,
2

3. x2 = 0, x3 = 2 και x4 = 3. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι η γραφική παράσταση
της f τέμνει τον άξονα x′
x ακριβώς στα σημεία P1(−1,0), P2(0,0), P3(2,0)
και P4(3,0).
Σημεία τομής με τον άξονα y′
y
Το κοινό σημείο της συνάρτησης f με τον άξονα y′
y (αν υπάρχει) θα είναι
της μορφής (0,y), δηλαδή θα έχουν τετμημένη ίση με το 0. Συνεπώς αρκεί
να υπολογίσουμε το f(0). Αντικαθιστώντας στον τύπο της f προκύπτει ότι
f(0) = 0. Συνεπώς το σημείο P2(0,0) είναι το κοινό σημείο της f και με τον
άξονα y′
y.
Πρόσημο της f
Θέλουμε να δούμε σε ποια διαστήματα η συνάρτηση f είναι θετική και σε ποια
αρνητική. Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων της f κατά τα γνωστά:
x −∞ −1 0 2 3 +∞
f(x) + 0 − 0 + 0 − 0 +
οπότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι θετική στα διαστήματα (−∞,−1), (0,2) και
(3,+∞) και αρνητική στα διαστήματα (−1,0) και (2,3). Το γεγονός αυτό μας
δίνει μία ιδιαίτερα σημαντική πληροφορία: εκεί όπου η f είναι θετική, βρίσκεται
πάνω από τον άξονα x′
x ενώ εκεί που είναι αρνητική, βρίσκεται κάτω από τον
άξονα x′
x.
΄Εχουμε εξάγει ως τώρα τα εξής χρήσιμα συμπεράσματα:
η f τέμνει τον άξονα x′
x στα σημεία: P1(−1,0), P2(0,0), P3(2,0) και P4(3,0)
η f τέμνει τον άξονα x′
x στο σημείο: P2(0,0)
η f είναι θετική στα διαστήματα: (−∞,−1), (0,2) και (3,+∞)
η f είναι αρνητική στα διαστήματα: (−1,0) και (2,3)
Σχήμα 1: f(x) = (x − 1)4
− 5(x − 1)2
+ 4
Από αυτά θα μπορούσαμε
να έχουμε μία γενική άποψη
σχετικά με τη μορφή που έχει
η γραφική παράσταση της συ-
νάρτησης f, που ανταποκρί-
νεται κάπως στην πραγματική
εικόνα. ΄Ομως δεν μπορούμε
ακόμα να απαντήσουμε σε θε-
μελιώδη ερωτήματα, όπως το
αν είναι μία συνεχής γραμμή
ή αν υπάρχουν άλματα σε κά-
ποια σημεία, σε ποια διαστή-
ματα, από αριστερά προς τα
δεξιά, ανεβαίνει ή κατεβαίνει,
αν έχει κάποιου είδους συμ-
μετρία ως προς άξονα ή κέντρο, ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή
της, κ.λπ. Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, αναλόγως με τον τύπο της συνάρτη-
σης, μπορούμε να δώσουμε απάντηση σε κάποια από αυτά τα ερωτήματα, αλλά
3

4. δεν έχουμε κάποια γενική μέθοδο που να μπορεί να απαντήσει σε αυτά τα ε-
ρωτήματα για κάθε συνάρτηση. Αυτές τις μεθόδους, καθώς και τις σχετικές
έννοιες, θα τις αναπτύξουμε στη συνέχεια. Αυτά που μπορούμε να συνάγουμε,
προς το παρόν, από τον τύπο μίας συνάρτησης f A → B φαίνονται στον
ακόλουθο πίνακα:
Σημεία τομής της f με τον άξονα x′
x Επιλυόυμε την εξισωση f(x) = 0
Σημείο τομής της f με τον άξονα y′
y Υπολογίζουμε το f(0)
Σχετική θέση της f με τον άξονα x′
x Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων της f
3 Μονοτονία συνάρτησης
Η πρώτη έννοια με την οποία θα ασχοληθούμε είναι η μονοτονία μίας συνάρτη-
σης. Η μονοτονία σχετίζεται με το αν η συνάρτηση, από τα αριστερά προς τα
δεξιά, ανεβαίνει ή κατεβαίνει, οπότε είναι φυσικό να ορίσουμε δύο είδη μονοτονί-
ας, αυτή που χαρακτηρίζει τις συναρτήσεις που ανεβαίνουν (γνησίως αύξουσες)
και αυτές που κατεβαίνουν (γνησίως φθίνουσες).
Ορισμός. ΄Εστω I ένα διάστημα και f I → R μία συνάρτηση. Λέμε ότι η
συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο I όταν για κάθε x1,x2 ∈ I με x1 < x2
ισχύει ότι:
f(x1) < f(x2)
Τότε συμβολικά γράφουμε f στο I.
Ορισμός. ΄Εστω I ένα διάστημα και f I → R μία συνάρτηση. Λέμε ότι η
συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο I όταν για κάθε x1,x2 ∈ I με x1 < x2
ισχύει ότι:
f(x1) > f(x2)
Τότε συμβολικά γράφουμε f στο I.
(αʹ) Γνησίως αύξουσα (βʹ) Γνησίως φθίνουσα
Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα αν είναι ή γνη-
σίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε αυτό.
4

5. Παρατήρηση. Από τους ορισμούς είναι σαφές ότι όταν μία συνάρτηση δια-
τηρεί κάποιο είδος μονοτονίας σε ένα διάστημα (και όχι ένωση ή τομή διαστη-
μάτων) του πεδίου ορισμού της. Επομένως, για μία συνάρτηση f που είναι
γνησίως μονότονη στα διαστήματα (a,b) και (c,d),θα ήταν λάθος να γράφαμε
ότι είναι γνησίως μονότονη στο (a,b) ∪ (c,d).
Παρατήρηση. Οι σχέσεις των ορισμών ισχύουν και αντίστροφα, δηλαδή
αν έχουμε μία γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) συνάρτηση f τότε, αν ισχύει ό-
τι f(x1) < f(x2) έπεται ότι x1 < x2 (x1 > x2). Η χρησιμότητα αυτής της
παρατήρησης θα φανεί παρακάτω.
Παράδειγμα. ΄Εστω f R → R με f(x) = x2
. Τότε, για κάθε x1,x2 ∈
(−∞,0] με x1 < x2, έχουμε ότι:
x1 < x2 ⇒ x2
1 > x2
2 ⇒ f(x1) > f(x2)
οπότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (−∞,0].
Αντίστοιχα, για κάθε x1,x2 ∈ (−∞,0] με x1 < x2, έχουμε ότι:
x1 < x2 ⇒ x2
1 < x2
2 ⇒ f(x1) < f(x2)
οπότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+∞).
Πώς βρίσκουμε το είδος της μονοτονίας με βάση τον ορισμό
΄Εστω ότι μας δίνεται η συνάρτηση f (0,+∞) → R με f(x) = 1
x2+1
και μας
ζητείται το είδος της μονοτονίας της σε όλο το πεδίο ορισμού της. Αυτό που
προσπαθούμε γενικότερα να κάνουμε είναι, ξεκινώντας από την σχέση x1 < x2
με x1,x2 ∈ (0,+∞), να εμφανίσουμε μέσω των καταλλήλων πράξεων, τον τύπο
της f και να δούμε με ποιον από τους δύο ορισμούς συμφωνεί το αποτέλεσμά
μας. Στην περίπτωσή μας, έστω x1,x2 ∈ (0,+∞) με x1 < x2. Τότε διαδοχικά:
x1 < x2 ⇒ x2
1 < x2
2 ⇒ x2
1 + 1 < x2
2 + 1 ⇒
1
x2
1 + 1
>
1
x2
2 + 1
⇒ f(x1) > f(x2)
οπότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+∞)
Πώς επιλύουμε ανισότητες με τη βοήθεια της μονοτονίας ΄Ε-
στω ότι μας ζητείται να λύσουμε την ανισότητα:
(1)
1
x2 + 1
>
1
5
για x > 0
Για να επιλύσουμε την (1) μπορούμε να εργαστούμε κατά τα γνωστά ως εξής:
1
x2 + 1
>
1
5
⇒
1
x2 + 1
−
1
5
> 0 ⇒
5 − x2
− 1
x2 + 1
> 0 ⇒
4 − x2
x2 + 1
> 0
5

6. Κατασκευάζουμε τον αντίστοιχο πίνακα προσήμων:
x 0 2 +∞
4 − x2
+ 0 −
x2
+ 1 + +
4−x2
x2+1
+ 0 −
Οπότε οι λύσεις τις ανισότητας (1) είναι όλα τα x ∈ (0,2).
Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε την συνάρτηση f (0,+∞) → R
με f(x) = 1
x2+1
. Παρατηρούμε ότι f(2) = 1
5, οπότε η (1) μετασχηματίζεται
στην:
(2) f(x) > f(2)
Παραπάνω δείξαμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,+∞), δηλαδή για κά-
θε x1,x2 ∈ (0,+∞) ισχύει ότι αν f(x1) > f(x2) τότε x1 < x2. Στην περίπτωσή
μας έχουμε:
f(x) > f(2)
f
⇒ x < 2
Επομένως οι λύσεις τις ανισότητας (1), που είναι οι ίδιες με της ανισότητας (2),
είναι τα x ∈ (0,2).
Ο δελυτερος τρόπος επίλυσης ανισοτήτων, με τη χρήση μονοτονίας, είναι πολύ
πιο αποδοτικός, ιδιαίτερα σε ανισώσεις που δεν έχουν μόνο πολυώνυμα του
x, πράγμα που θα συναντάμε συχνά από εδώ και πέρα. Γενικότερα, μέσω
της μονοτονίας μπορούμε να εμφανίζουμε και να εξαφανίζουμε μία μονότονη
συνάρτηση σε μία ανισότητα, με μόνο τίμημα μία πιθανή αλλαγή στη φορά της
ανίσότητας, γεγονός που συχνά διευκολύνει τους υπλογισμούς
Παρατήρηση. Εκτός από τις γνήσια μονότονες συναρτήσεις υπάρχουν και οι
απλά μονότονα συναρτήσεις, των οποίων τους ορισμούς παραθέτουμε εδώ, για
σύγκριση:
Ορισμός. ΄Εστω I ένα διάστημα και f I → R μία συνάρτηση. Λέμε ότι η
συνάρτηση f είναι αύξουσα στο I όταν για κάθε x1,x2 ∈ I με x1 < x2 ισχύει
ότι:
f(x1) ≤ f(x2)
Τότε συμβολικά γράφουμε f ↑ στο I.
Ορισμός. ΄Εστω I ένα διάστημα και f I → R μία συνάρτηση. Λέμε ότι η
συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο I όταν για κάθε x1,x2 ∈ I με x1 < x2 ισχύει
ότι:
f(x1) ≥ f(x2)
Τότε συμβολικά γράφουμε f ↓ στο I.
6