Δούκας - Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 2015

1. 1
Σχολικό έτος 2014-2015
Τάξη : Γ’ Λυκείου
Μάθημα : Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου
ΘΕΜΑ 1ο
Α) Έστω μία συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό
διάστημα [ , ]  . Αν η f είναι συνεχής στο [ , ]  και ( ) ( )f f  ,
να αποδείξετε ότι :
για κάθε αριθμό  μεταξύ των ( )f  και ( )f  υπάρχει ένας τουλάχιστον
( , )ox   τέτοιος ώστε ( )of x 
ΜΟΝΑΔΕΣ : 7
Β ) Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνάρτηση 1-1 στο πεδίο
ορισμού της.
ΜΟΝΑΔΕΣ : 4
Γ) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε γεωμετρική
ερμηνεία του θεωρήματος.
ΜΟΝΑΔΕΣ : 4
Δ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που
αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
ΜΟΝΑΔΕΣ : 2Χ5=10
1. Αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f τότε ισχύει η ισότητα
xxff 
))((1
,για κάθε fx D
2. Αν μία συνάρτηση είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της τότε θα είναι και
γνησίως μονότονη σε αυτό.
3. Αν lxf
oxx


)(lim και mxg
oxx


)(lim με Rml , και )()( xgxf  κοντά στο
ox τότε θα είναι : ml 
lisari.blogspot.gr

2. 2
4. Αν
*
lim ( )
ox x
f x l R

  τότε lim ( ) lim ( )
o ox x x x
f x l ή f x l
 
  
5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [α,β] τότε
το σύνολο τιμών της είναι το [f (β),f(α)].
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνονται οι μιγαδικοί z,w για τους οποίους ισχύουν :
z 1
1
3 i



(1)
και w=3z-2 (2)
1. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z κινούνται σε κύκλο
1(C ) κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας 2
ΜΟΝΑΔΕΣ : 8
2. Να αποδείξετε ότι οι μιγαδικοί w ικανοποιούν την σχέση w 1 6 
ΜΟΝΑΔΕΣ : 8
3. Να βρείτε τη τιμή της παράστασης z w και να δικαιολογήσετε
ότι οι εικόνες των μιγαδικών z, w και το σημείο Κ(1,0) είναι σημεία
συνευθειακά.
ΜΟΝΑΔΕΣ : 9
ΘΕΜΑ 3ο
Δίνονται οι συναρτήσεις :
( ) 2 ln( 2 1)f x x    , με 2x  και
2
( ) 2g x x  , με 0x 
1. Να αποδείξετε ότι ( )( ) 2 ln( 1)f g x x   με 0x 
ΜΟΝΑΔΕΣ : 6

3. 3
2. Να αποδείξετε ότι η f g είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση στο
πεδίο ορισμού της και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
ΜΟΝΑΔΕΣ : 6
3. Να αποδείξετε ότι η f g αντιστρέφεται και να ορίσετε την
αντίστροφη συνάρτηση 1
( )f g 
ΜΟΝΑΔΕΣ : 6
4. Να βρείτε τους , R   με 0  ώστε η συνάρτηση
1[ ( 2)]
( ) ( ) , 2
2
( ) , 2
( ) ( ) ( ) 6
, 2
2
x
f g x x
x
h x x
f x g x f x
x
x
 

 
 

 
   
 
 
να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
ΜΟΝΑΔΕΣ : 7
ΘΕΜΑ 4ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : με (0) 1f  και η
συνάρτηση
g: ® με 2
1
( )
[ ( )] x
g x
f x e


για κάθε x .
Α) ΜΟΝΑΔΕΣ : 4+3+2=9
1. Να αποδείξετε ότι 2 x
f (x) e για κάθε x
2. Υπολογίστε το x
lim f(x)
3. Να βρείτε το x
lim g(x)

4. 4
Β) ΜΟΝΑΔΕΣ : 6
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 1)( ( ) ) [ ( 1) 1]x
x g x e x f x    
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [0,1).
Γ) ΜΟΝΑΔΕΣ : 5+5=10
1. Να αποδείξετε ότι στο διάστημα [ , ]  με , R   υπάρχει ένα
τουλάχιστον  για το οποίο ισχύει
( ) ( )
( )
2
f f
f
 



2. Αν επιπλέον για την f ισχύει (1) (3) (5) (6)f f f f   να αποδείξετε
ότι δεν είναι 1-1.
Ο Υπεύθυνος του Λυκείου Οι καθηγητές
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!