Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί, Γιάννης Σαράφης

1. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢
ΔΞΔΣΑ΢ΔΗ΢ ΠΡΟ΢ΟΜΟΗΩ΢Ζ΢ Γ' ΣΑΞΖ΢
ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΛΛΖΝΟΓΑΛΛΗΚΖ΢ ΢ΥΟΛΖ΢
ΚΑΛΑΜΑΡΗ
ΠΔΜΠΣΖ 8 ΗΑΝΟΤΑΡΗΟΤ 2015
ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:
ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ΢ – ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ΢
ΚΑΣΔΤΘΤΝ΢Ζ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΔΛΗΓΩΝ: ΣΔ΢΢ΔΡΗ΢ (4)
Δηζεγεηήο : ΢αξάθεο Γηάλλεο
ΘΔΜΑ Α
Α1. Έζηω κηα ζπλάξηεζε f, ε νπνία είλαη νξηζκέλε ζε έλα
θιεηζηό δηάζηεκα [α,β].Αλ
ε f είλαη ζπλερήο ζην [α,β] θαη
    f f  
απνδείμηε όηη γηα θάζε αξηζκό ε κεηαμύ ηωλ f(α) θαη f(β)
ππάξρεη έλαο ηνπιάρηζηνλ  0x ,   ηέηνηνο , ώζηε  0f x  
Μονάδες 7
Α.2 Πόηε δύν ζπλαξηήζεηο f θαη g ιέγνληαη ίζεο ;
Μονάδες 3
Α3. Να εξκελεύζεηε γεωκεηξηθά ην ζεώξεκα Βνlzano.
Moνάδες 5
Α4. Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος ακολοςθούν, γπάθονηαρ
ζηο ηεηπάδιο ζαρ ηη λέξη, Σωστό - Λάθος δίπλα ζηο γπάμμα
πος ανηιζηοισεί ζε κάθε ππόηαζη.
α. Γηα θάζε κηγαδηθό αξηζκό z ηζρύεη  z z Re z  .
Μονάδες 2
ΣΔΛΟ΢ 1Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢
lisari.blogspot.gr

2. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢
β. Αλ γηα ηελ ζπλάξηεζε f νξίδεηαη ε αληίζηξνθή ηεο f-1
ηόηε ζα ηζρύεη   1
ff f x x,x
 
Μονάδες 2
γ. Ιζρύεη | x | | x |  γηα θάζε x 
 .
Μονάδες 2
δ. Αλ νη ζπλαξηήζεηο f,g νξίδνληαη θνληά ζην 0x  θαη
ππάξρεη ην     0x x
lim f x g x

,ηόηε ηζρύεη
        
0 0 0x x x x x x
lim f x g x lim f x lim g x
  
 
Μονάδες 2
ε. Αλ κηα ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζην  θαη ζπλερήο ζην
δηάζηεκα [α,β],ηόηε ζα είλαη θαη’ αλάγθε ζπλερήο ζην α θαη
ζην β.
Μονάδες 2
ΘΔΜΑ Β
Γίλεηαη κε πξαγκαηηθόο κηγαδηθόο z γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη
| z | z z z | z | z     .
Β1. Να απνδείμεηε όηη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ z βξίζθεηαη ζηνλ
κνλαδηαίν θύθιν.
Μονάδες 6
Β2. Να απνδείμεηε όηη 3 2
| z 3z 4z 12| 6    .
Μονάδες 6
ΣΔΛΟ΢ 2Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢

3. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢
Β3. Αλ 1 2z ,z δύν από ηνπο πξνεγνύκελνπο κηγαδηθνύο z γηα
ηνπο νπνίνπο ηζρύεη όηη 1 2| z z | 2  ,λα ππνινγίζεηε ην
1 2| z z | .
Μονάδες 6
Β4. Αλ 1 2
3
| z xz |
2
  γηα θάζε x ,λα απνδείμεηε όηη
 1 2
1
Re z z
2

Μονάδες 7
ΘΔΜΑ Γ
Έζηω ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην  θαη ε ζπλάξηεζε g κε
 
 
 
x
f x x
e f x
g x
e e



, x.
Γ1. Αλ είλαη  x 0
1
limg x
2
 ,λα απνδείμεηε όηη  f 0 0 .
Μονάδες 8
Γ2. Αλ είλαη  x
lim f x

  ,λα ππνινγίζεηε ην  x
lim g x

.
Μονάδες 6
Γ3. Αλ είλαη  g 0 0 θαη  g 1 0 ,λα απνδείμεηε όηη ππάξρεη:
α.  0x 0,1 ηέηνην,ώζηε   0x
0f x e
Μονάδες 6
β.  0x ,1 ηέηνην,ώζηε  f e 
Μονάδες 5
ΣΔΛΟ΢ 3Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢

4. ΑΡΧΗ 4Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢
ΘΔΜΑ Γ
Έζηω f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε  f : 0,   ε νπνία
ηθαλνπνηεί ηηο ζρέζεηο:
●     x x 2
e 2f x e x f x 
   γηα θάζε x 0
●  2
e f 2 1 0 
Γ1. Να απνδείμεηε όηη ν ηύπνο ηεο f είλαη   x
f x x e
  γηα
θάζε x 0
Μονάδες 6
Γ2.α. Να κειεηήζεηε ηε κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο f.
Μονάδες 3
β. Να απνδείμεηε όηη  
   6f 7 7f 6
f 13
13

 .
Μονάδες 3
γ. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε  f x 0 έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην
δηάζηεκα  0,1
Μονάδες 4
Γ3. Έζηω όηη g,h :   είλαη δύν ζπλαξηήζεηο ώζηε γηα θάζε
x 0 λα ηζρύεη       g h x 2f x h x  .
Να απνδείμεηε όηη:
i. Η ζπλάξηεζε h αληηζηξέθεηαη.
Μονάδες 4
ii. Η γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g,έρεη θνηλό ζεκείν κε ηελ επζεία
y=x.
Μονάδες 5
ΣΔΛΟ΢ 4Η΢ ΢ΔΛΙΓΑ΢