Prosomoiosi_2017_idiotika_lukeia_athinas_1_2_3

1. Διαγώνισμα προσομοίωσης 2017
Ιδιωτικό Λύκειο Βορείων Προαστίων
ΘEMA Α
Α1. Να αποδείξετε ότι , αν f είναι συνεχής σε ένα διάστημα  α,β και G είναι μία
παράγουσα της f στο  α,β τότε
     
β
α
f x dx G β G α 
Μονάδες 7
A2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα  α,β ;
Μονάδες 4
Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στην κόλλα σας
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η
πρόταση είναι σωστή ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη .
1. Αν f :Α  R , g : Β  R είναι δύο συναρτήσεις τότε η σύνθεση της
συνάρτησης f με τη συνάρτηση g είναι βέβαιο ότι ορίζεται αν  f A B  
2. Αν f είναι μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ τότε για οποιαδήποτε
α,β,γ Δ ισχύει      
β γ β
α α γ
f x dx f x dx f x dx   
3. Ισχύει πάντα η ισοδυναμία    
0
0
x x h 0
lim f x k limf x h k
 
   
4. H εικόνα  f Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μίας συνεχούς συνάρτησης f είναι
πάντα διάστημα.
5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι πάντα συμμετρική ως προς
τον άξονα y y , της γραφικής παράστασης της f
Μονάδες 10

2. ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση     1 x
f x x 1 e x , x
   R
Β1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα και να
βρείτε , αν υπάρχουν , τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της .
Μονάδες 5
Β2. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο
ορισμού της αντίστροφής της (μονάδες 5).
β. Να λύσετε την ανίσωση  1
f x x
 (μονάδες 2) .
Μονάδες 7
Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f
Μονάδες 5
B4. α. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1
f 
Μονάδες 3
β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης 1
f 
και τις ευθείες y x και x e
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση   2
g x x 4x 1 , x   R . Θεωρούμε επίσης τη
παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 0,1  R τέτοια ώστε η ευθεία
     ε : y f 1 x f 0 3   να εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g στο 0x 0
και  
1
0
f x dx α e  , όπου α είναι θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε
α x
x α για κάθε x 0 .
Γ1. Να υπολογίσετε τους αριθμούς  f 0 και  f 1
Μονάδες 6
Γ2. Να αποδείξετε ότι α e
Μονάδες 5
Γ3. Να αποδείξετε ότι:
α. υπάρχει  0x 0,1 ώστε  0f x 0
Μονάδες 4
β. υπάρχει  ξ 0,1 ώστε    2ξf ξ f ξ 0 

3. Μονάδες 6
Γ4. Ένα σημείο   Α κ,g κ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης
g με τέτοιο τρόπο ώστε η τετμημένη του να μεταβάλλεται με ρυθμό
   K t K t μον/sec  όπου t ο χρόνος . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του
συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο
Α τη χρονική στιγμή που k 2 .
Μονάδες 4
ΘΕΜΑ Δ
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g : R R τέτοιες ώστε :
• Η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και  f x 2  για κάθε x R
•  f 2 4   και  f 2 4
• η g είναι κοίλη στο R
•
   
 
2
x 2
f x g x x
lim f 2 4
x 2

 

Να αποδείξετε ότι:
Δ1. α.  g 2 1 και  g 2 2 
Μονάδες 5
β.  x
lim g x

 
Μονάδες 4
Δ2. Η  
 
   
   
g x 1 g x
g x g xx
g x 1
, x>2
x 2
G x
2 3
lim , x=2
2 e




 
 

 
είναι γνησίως φθίνουσα στο [2, )
Μονάδες 5
Δ3. α.  f 0 0
Μονάδες 4
β. η εξίσωση
           
 4
2
G x
5x 13 g x f 2x 6 x 2 g 4 1 x 3 dx ln 4
x
 
          
 

Μονάδες 7
έχει τουλάχιστον μία λύση στο  2,3

4. Σελίδα 1 από 3
ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΑ 24 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα  και 0
x ένα εσωτερικό σημείο του  . Αν
η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0
x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να
αποδείξετε ότι:  0
f x 0  .
Μονάδες 7
Α2. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.
Μονάδες 4
Α3. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα  του πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα
στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι
σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
1. Αν  f x 1 για κάθε x και υπάρχει το  x 0
limf x

, τότε κατ΄ ανάγκη  x 0
limf x 1

 .
Μονάδες 2
2. Αν  
0x x
lim f x 1

 , τότε κατ΄ ανάγκη θα είναι  
0x x
lim f x 1

 ή  
0x x
lim f x 1

  .
Μονάδες 2
3. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο  0,1 , παραγωγίσιμη στο  0,1 και  f x 0  για όλα
τα  x 0,1 , τότε    f 0 f 1 .
Μονάδες 2
4. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f στο  ,  ισχύει  f x dx 0


 , τότε  f 0  για κάποιο
 ,   .
Μονάδες 2
5. Το ολοκλήρωμα
1
3
0
x x dx παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης   3
f x x x  και τον άξονα των x . Μονάδες 2

5. Σελίδα 2 από 3
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση    
3
f x x 1, x    , η οποία παρουσιάζει στο 0x 1 καμπή.
Β1. Να δείξετε ότι 1  .
Μονάδες 4
Β2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.
Μονάδες 8
B3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου  , που περικλείεται από την 1
f
C  και την ευθεία
y x , με  x 1,  .
Μονάδες 8
B4. Αν ένα σημείο  κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f έτσι, ώστε ο ρυθμός
μεταβολής της τετμημένης του να ισούται με 2 μονάδες μήκους το δευτερόλεπτο, να βρείτε το
ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τεταγμένη του είναι
ίση με 9 μονάδες μήκους.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται συνάρτηση  f : e,  , παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει     x
x f x x f x e 0
    
για κάθε x e , με  f e 0 .
Γ1. Να αποδείξετε ότι   x
1 ln x
f x ,x e
e

  .
Μονάδες 5
Γ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει μοναδικό κρίσιμο σημείο.
Μονάδες 6
Γ3. Να αποδείξετε ότι το κρίσιμο σημείο της συνάρτησης f είναι θέση ολικού ελαχίστου και να
εξετάσετε αν η συνάρτηση f έχει ολικό μέγιστο.
Μονάδες 5
Γ4. Να ορίσετε τη σύνθεση της συνάρτησης f με τη συνάρτηση    g x 1 ln x   , x 0 .
Μονάδες 4
Γ5. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης    h x 1 ln ln x 1 x   
με x e .
Μονάδες 5

6. Σελίδα 3 από 3
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g για τις οποίες γνωρίζετε ότι:
 Η f είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,4] με f (1) 1 και f (x) 0  για
κάθε x [0,4] .
 Η g είναι ορισμένη και συνεχής στο με g(x) 0 για κάθε x και
f (2) f (3)
9 f (4)
g(x)dx 0


 .
Δ1. i. Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) x έχει μία τουλάχιστον λύση στο  2,4 .
Μονάδες 6
ii. Να αποδείξετε ότι από την αρχή των αξόνων άγεται μοναδική εφαπτομένη της fC .
Μονάδες 6
Δ2. Αν γνωρίζετε ακόμα ότι
2
h
h h 1 16
lim f 1 1
h 3 h 13
    
          
, τότε να δείξετε ότι:
i.
16
f (1)
13
  .
Μονάδες 4
ii.
1
0
5
f(x)dx
13
 .
Μονάδες 4
iii.
2
1
24
xf (x 1)dx
13
   .
Μονάδες 5
Ευχόμαστε επιτυχία ! ! !

7. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών
και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής
Ονοματεπώνυμο: ………………………………………….. Τμήμα:…………
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η F είναι μια παράγουσα
της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:
i) Όλες οι συναρτήσεις της μορφής  F x c,c R είναι παράγουσες της f στο Δ.
ii) Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή    G x F x c,c  R .
Μονάδες 10
Α2. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική
συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ;
Μονάδες 5
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας
την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
i) Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια    
0 0x x x x
lim f x , lim f x 
 
είναι R, τότε η ευθεία
0x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
ii) Έστω δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο  α,β με    f x g x 0  για κάθε
 x ,β  , τότε για το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές
παραστάσεις των f,g και τις ευθείες x   και x β έχουμε:
      Ω g x f x dx


  
iii) Αν  
0x x
lim f x 0

 τότε  
0x x
lim f x 0

 για κάθε 0x R.
iv) Για κάθε συνάρτηση που είναι «1 – 1» τότε είναι και γνησία μονότονη.
v) Για κάθε f,g συνεχείς συναρτήσεις ισχύει:
      f g x g x dx f u du
 
 
  
όπου  u g x και  du g x dx
Μονάδες 10

8. ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση    x 1
f x ln 1 e x
3

   .
Β1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 6
B2. Να υπολογιστούν τα όρια  x
lim f x

και  x
lim f x

.
Μονάδες 3 + 4 = 7
Β3. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της fC και το σημείο τομής τους.
Μονάδες 7
Β4. Να προσδιοριστεί η θέση της fC ως προς τις ασύμπτωτες.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση f με  
1 ln x
f x , x 0
x

 
Γ1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 7
Γ2. Αν η τετμημένη του σημείου   M x,f x μεταβάλλεται με ρυθμό 1 m/s, να
υπολογίσετε:
i) το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού  E t του τριγώνου ΑΟΒ, όπου
      A x,0 ,O 0,0 ,B 0,f x τη χρονική στιγμή 0t κατά την οποία είναι
 0x t 4 .
Μονάδες 7
ii) αν τη χρονική στιγμή t 0 το σημείο Μ βρίσκεται στη θέση  1,1 , τότε
να αποδείξετε ότι:
α)  x t t 1 
Μονάδες 6
β) η συνάρτηση Ε(t) είναι κοίλη στο διάστημα  e 1, 
Μονάδες 5

9. ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 0,  R για την οποία
ισχύουν:
•  f 1 e
•  f 1 0 
•  
1
3 x
x f x e  για κάθε  x 0, 
Δ1. Να αποδείξετε ότι    
1
x
f x xe , x 0,  
Μονάδες 7
Δ2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα.
Μονάδες 5
Δ3. Να αποδείξετε ότι:  
2 11
α+β α
e e e
     για κάθε  ,β 0,  
Μονάδες 7
Δ4. Να αποδείξετε ότι:  
3
1
f x dx 4 e
Μονάδες 6