Κολλέγιο Αθηνών αποκλειστικά από το lisari

1. ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Τάξη : Γ/
Μάθηµα : Μαθηµατικά Κατεύθυνσης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο xo , τότε είναι
και συνεχής στο σηµείο αυτό
Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας , δίπλα
στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση , τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι
σωστή , ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασµένη
α) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο xo και f(xo) < 0 , τότε f(x) < 0 κοντά
στο xo
β) Αν η συνάρτηση L είναι συνεχής , τότε µπορεί να έχει σύνολο τιµών το L
γ) Αν f(x) = lnx , τότε f/(x) =
δ) Αν για µία συνάρτηση f ισχύει : L , τότε
L
ε) Αν για τις συναρτήσεις f , g , h ισχύει : L κοντά στο
0 , τότε : L
(Μονάδες 15 + 2x5)
f : ! → !
f : ! → ! !*
1
x
, για κάθε x ≠ 0
x ≤ f x( )≤ x +1 , για κάθε x ∈!
lim
x→+∞
1
f x( )
⋅συν x + 2015( )= 0
x2
+1 ≤ f x( )< g x( )< h x( )≤ x2
+1
lim
x→0
f x( )= lim
x→0
g x( )= lim
x→0
h x( )= 1
lisari.blogspot.gr

2. ΘΕΜΑ Β
Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς της µορφής z=x-L (1) µε L
Β1. Να δείξετε ότι για κάθε z της µορφής (1) ισχύουν οι σχέσεις
L
Β2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένας από τους παραπάνω µιγαδικούς ο οποίος
είναι φανταστικός αριθµός
Β3. Να υπολογίσετε το L
(Μονάδες 8+10+7)
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούµε L µε Re(z) L και η συνάρτηση L γνησίως µονότονη .
Δίνεται ακόµα ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α L και η
γραφική παράσταση της
αντίστροφης συνάρτησης f-1 από το σηµείο .
Γ1. Να προσδιορίσετε το είδος µονοτονίας της f , αιτιολογώντας την απάντησή σας .
Γ2. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) + x είναι
γνησίως αύξουσα στο L
Γ3. Να λύσετε την ανίσωση L
(Μονάδες 8+7+10)
1
ix − 2
x ∈!
Re z( )=
x3
+ 4x + 2
x2
+ 4
και Im z( )=
x
x2
+ 4
lim
x→−∞
Ιm z( )⋅συν Re z( )( )⎡
⎣
⎤
⎦
z ∈! ⋅Im z( )≠ 0 f : ! → !
z , z
2
( )
Β z ⋅z + z + z( )
2
, z − z − z( )
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
!
e2x
+ f e2x
− 4ex
( )− f ex
− 6( )> 5ex
− 6

3. ΘΕΜΑ Δ
Έστω η µη σταθερή συνάρτηση L , η οποία είναι παραγωγίσιµη στη θέση α ,
µε α > 0 και ικανοποιεί τη σχέση :
L για κάθε x , y > 0
Nα αποδείξετε ότι :
Δ1. f(0) = 0
Δ2. L
Δ3. L
Δ4. f(1) =1 και L
Δ5. η f είναι παραγωγίσιµη στο L , µε L
Δ6. L
(Μονάδες 4+4+4+4+5+4)
f : 0,+∞⎡⎣ )→ !
f x ⋅y( )= f x( )⋅ f y( )
f x( )≠ 0 για κάθε x > 0
f x( )> 0 για κάθε x > 0
f
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
f x( )
για κάθε x > 0
0,+∞( )
x ⋅ f/
x( )
f x( )
=
α⋅ f/
α( )
f α( )
, για κάθε x > 0
x ⋅ f
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
f/
1( )
f/
x( )
, για κάθε x > 0