Προετοιμασια για τις πανελληνιες εξετασεις, από το συνάδερφο Γιώργο Τσικαλουδάκη.

1. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
NEEΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ
B I B Λ I A
20ετούς
συγγραφής με 35
χρόνια διδασκαλίας
Διαρκώς
ενημερωμένα με
νέο
ωραίο
ότι
Θα αγοράσετε βιβλία μαζικής παραγωγής
(μια από τα ίδια ) ή θα πάρετε βιβλία
που εκδίδονται (εδώ και 20 χρόνια )
σε λίγα αντίτυπα , κάθε φορά , και
διαρκώς ανανεωμένα με νέα θέματα;
tsiknews@gmail.com
κιν. 697 38 27 622

2. Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΡΙΤΗΡΙΑ
ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
500
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ
ΘΕΜΑΤΑ
ΝΕΑ ΑΝΑΤΥΠΩΣΗ
με νέα θέματα
ΠΡΩΤΟΤΥΠΑ
Θ Ε Μ Α Τ Α ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
860 σελίδες (25 € )
ΒΙΒΛΙΑ με Θέματα πρωτότυπα
Χρήσιμα σε κάθε επαγγελματία Μαθηματικό
΄΄ Για αυτούς που ψάχνουν κάτι ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ΄΄
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
 T A T I Σ T I K H
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΘΕΜΑΤΑ
Π I ΘAN OT H T ΩN
ΣTATIΣTIKHΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
600 σελιδες (20 € )
2

3. ΕΠΙΤΥΧΙΕΣ
ΘΕΜΑΤΩΝ 2013
(Παρόμοια ΘΕΜΑΤΑ)
ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ B : Τόμος 1ος : Σελ. 98. ΘΕΜΑ A . 2.
Τόμος 5ος :
Σελ. 709 ΘΕMA 209 , Σελ 712
ΘΕΜΑ  :
Τόμος 3ος
ΘEMA 173, Σελ. 790 ΘEMA 209
Σελ. 40 Ασκ. 22.5, 22.6 , 22.7 , Σελ. 265 Ασκ. 27.80
Σελ. 478 Ασκ. 6 , Σελ. 325 Ασκ. 28.52
Τόμος 5ος
Σελ. 765 ΘΕΜΑ Γ. , σελ. 754  4
Σελ. 796 ΘΕΜΑ Δ. , Σελ. 747 ΘΕΜΑ Β.
ΘΕΜΑ
:
 2 ,  3 Σελ. 325 ασκ. 28.52
Τόμος 3ος
 3 : Σελ. 584 ΘΕΜΑ 4ο
Τόμος 3ος
Σελ. 473 ΘΕΜΑ 3ο και Σελ. 804. ΘΕΜΑ 4ο
Τόμος 5ος
ΜΕΡΙΚΑ
ΘΕΜΑΤΑ
από τους 5 τόμους
(παρόμοια των πανελληνίων)
με
ΘΕΜΑ Β
A. Δίνεται η εξίσωση:
z 2   z    0 , με   0 και 2  4  0
(1)
1. Να αποδείξετε ότι η (1) έχει δύο μιγαδικές ρίζες , συζυγείς.
2. Αν z 1 είναι μια ρίζα της (1), να αποδείξετε ότι:  2 (z1  z1 )2   2  4
6.13
Έστω ότι για τον μιγαδικό z ισχύει: | z
Να αποδείξετε ότι α) 1  | z |  5 ,
3i | 2
β) 2
|z
4
3i |
6
209 Έστω μιγαδικός z τέτοιος ώστε: | z  3 | 10
και
α.
β.
.
.
| z  3 |  | z  3 |  20 | z  3 | 100
Να αποδείξετε ότι:
| z  3 |  | z  3 | 10
Να αποδείξετε ότι:
4 | z | 5
2
Αν | z  9 | 16 , να αποδείξετε ότι z 
Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: | 9z  z |
2
2
3

4. Έστω μιγαδικός
173
α.
β.
.
.
8.16
z τέτοιος ώστε:
| z  3i |  | z  4 | 6
Να αποδείξετε ότι: | z  3i | 1
Να αποδείξετε ότι: 1 |z  4|  6
Αν |z|  2 και | z  3i | 4 , να υπολογιστεί το | z  1 | .
Να βρεθεί ο z , αν: | z  3i |  | z  4 | 5 και | z  3i | > | z  4 |
Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει:
(1)
| z 2  4z  4 | 4
1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z
είναι ο κύκλος με κέντρο K(2,0) και ακτίνα   2 .
2. Αν η αρχή των αξόνων και οι εικόνες δύο μιγαδικών z1 , z 2 που ικανοποιούν
την (1) και σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, να αποδείξετε ότι οι z1 , z 2
είναι ρίζες της εξίσωσης: z 2  6z  12  0
.
3. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό w με | w | 1
ισχύει: 2  | w  z  2 |  | w  z  2 |  6
4. Αν z o , z1 , z 2 είναι τρείς μιγαδικοί που ικανοποιούν την (1), να αποδείξετε
ότι για κάθε μιγαδικό w , με
με:
w2  z 2 w  z1  1  z o , ισχύει:
| w | 5
ΘΕΜΑ Γ
22. 7 Αν για μια συνάρτηση f , ισχύει: lim f  1  3h  f(1  h)  4
h0
να αποδείξετε ότι:
f (1)  2 .
h
Να βρεθεί συνάρτηση f τέτοια, ώστε f ( 0)  1
και για κάθε xR , να ισχύει : f ( x)  f  ( x)  x
27.80
Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε:
f (5)  0 και f (x)  0 , για κάθε x  R .
i) Αν για μια συνάρτηση g ισχύει: g(0)  5 , g(0)=0 και g(x)  0 ,
για κάθε x  R , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι κοίλη.
6.
ii) Αν είναι g(x)  x2  2x  3 , να μελετηθεί η f g ως προς τη μονοτονία.
ΘΕΜΑ Β (από διαγώνισμα)
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( x)  x  x2  1
α.
β.
γ.
δ.
4
Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει f ( x)  0
Να ορίσετε την αντίστροφη της f .
Να αποδείξετε ότι η Cf και η Cf 1 δεν έχουν κοινά σημεία.

5. 263
® Θ Ε ΜΑ
3o
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:
x
ln(e  x  1) ,
f (x)   2x
e  2x  1 ,
x0
x0
 . Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
 . Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα .
 . Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της Cf
 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : f  f (x)   0 ,
έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες
ΘΕΜΑ 4ο ® (από διαγώνισμα)
Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με:
f (0)  0
και
f (x)  0 , για κάθε x  R .
είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (   , 0 )
f(2x)  2f(x)
η συνάρτηση g με:
g(x) 
ex
με
ΘΕΜΑ Δ
28.52 Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραωγίσιμη στο τέτοια ώστε:
f ( 0)  f ( 0)  1 και η f  είναι γνησίως φθίνουσα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
 f( x)  1

, x 0
G( x)   x
x0
1 ,

Να αποδείξετε ότι:
1. η G είναι παραγωγίσιμη στο 0
2. η G είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, )
3. xf (x)  1 f( x) < x 1, για κάθε x  0
Να αποδείξετε ότι
®
ΘΕΜΑ
3o
Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο: g(x)  ex  x
α. Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία και
τα ακρότατα.
β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g.
γ. Έστω ότι για μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο
ισχύουν:
f(1)  0 , f(x)  0, για κάθε x  1 και f(x)  0 , για κάθε x  1
ισχύει f  g(x)   0 .
ii. Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:
f(ex  x)  f(α  1) ,
για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμό α .
i. Να αποδείξετε ότι: για κάθε x 

5

6. ®
ΘΕΜΑ
(από διαγώνισμα)
4o

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο
με f ( 1 )  2 και για κάθε x 
 
 
1
να ισχύουν: f (x)  f  x  x 2  12 και
1
f  x  x 2  f (x)  0
x
α. Να αποδείξετε ότι f (x)  1  12
x
1
β. Να αποδείξετε ότι f ( x )  x  x
α
γίνεται ελάχιστο το  f  f (t) f (t)dt
γ. Να βρεθεί για ποια τιμή του α 
1
δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε α  1 ισχύει:
®

α 1
 α 1
f (t)dt  
α 1
f (t)dt
α
4o
ΘΕΜΑ
θ. Rolle - θ. Bolzano
Έστω f συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α , β] όπου
0  α  β. Έστω ακόμα ότι:
f(α)  0  f(β) , f (β)  0  f (α)
και η f  είναι γνησίως φθίνουσα στο (α , β) . Να αποδείξετε ότι:
1. υπάρχει xo  (α,β) στο οποίο η f παρουσιάζει μέγιστο, στο διάστημα [α , β] .
2. υπάρχει μοναδικό x1  (α, β) , τέτοιο ώστε: f(x1 )  0 και x1  xo .
3. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της
C f στο ξ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β
2
2
4. Για το παραπάνω ξ (α,β) ισχύει: 2 α f(x)dx  (β  α )  f (ξ)
ΘΕΜΑ
4o
4o
229 Έστω συνάρτηση f με συνεχή παράγωγο στο διάστημα
[0,1] , με:
f( 0)  0 και f (x)  0 , για κάθε x  [0,1] .Θεωρούμε τη συνάρτηση:
F(x) 

x
( 2t  x)f(t)dt , x  [0,1]
0
Να αποδείξετε ότι
.
.

β
α
xf(x)dx 
i, F(x) 


β
α
 . η F είναι γνησίως αύξουσα
( 1  x)f(x)dx
x
f(t)dt , x  (0,1] ,
ii.
0

lim
x  0
2
 . Να λυθεί η ανίσωση:
6

f(t)dt
0
F(x)
4
x 1
F(t)dt 
0
x

x 1
F(t)dt
0
 
.

7. ΜΕΡΙΚΑ ΑΠΟ ΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
221 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [0 , 1] δύο φορές,
παραγωγίσιμη στο ( 0 , 1) , τέτοια ώστε:
f ( x)  0 , για κάθε x  (0 , 1) ,
1


f( x)dx  0 και
0
1
xf( x)dx  1 .
0
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε c  1 υπάρχει
xo  (0, 1) , τέτοιο ώστε: f ( xo )  1
1 c
β. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β [0, 1] ,
f(β)  f(α)
με α  β ισχύει:
 f (α)
β α
γ. Να αποδείξετε ότι:

1

f( x )dx  2
2
0
1
(1  x)f(x)dx
0
δ. Αν f ( 0)  0 , να αποδείξετε ότι υπάρχει
ξ  ( 0, 1) , τέτοιο ώστε: ξ f(ξ ) 

ξ
f(t )dt
0
246
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [0, 1] με:

1
0
f (t)dt  0
και

1
0
tf (t)dt  1 .
Θεωρούμε ακόμα τη συνάρτηση:
 1 x tf ( t ) dt  x f ( t ) dt , x  (0,1]

0
G(x)   x  0
 0 , x0

α. Να αποδείξετε ότι η G είναι παραγωγίσιμη στο 0 .
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει xo  ( 0 , 1 ) ,ώστε:

xo
tf (t)dt  0
0
γ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ  ( 0 , 1 ) :


tf (t)dt   4f ( )
0
δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ( 0 , 1 ) ,ώστε:


f (t)dt  1
0
7

8. ΘΕΜΑ Γ.
Δίνεται η συνάρτηση :
f (x)  (x  1)3 e 3x 6
1 Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί
το σύνολο τιμών της.
 2 Να αποδείξετε ότι η Cf έχει τρία σημεία καμπής.
 3 Αν  είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη
της Cf στο x o , με τον άξονα x x , να προσδιοριστούν
οι τιμές του x o , για τις οποίες ισχύει:
f(xo )    0
4 Αν η εφαπτομένη της Cf στο x o επανατέμνει τη Cf
στο x1 , να αποδείξετε ότι υπάρχει  μεταξύ των
xo ,x1 , τέτοιο ώστε: f (xo )  f () .
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται ότι για τον μιγαδικό
z ισχύει:
( z  z  4)2  ( z  z)2  0 (1)
1 Να αποδείξετε ότι η εικόνα του z διαγράφει
δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους.
2 Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης:
| z z |  | z z |
3
Αν zo είναι ο μιγαδικός με το ελάχιστο
μέτρο που ικανοποιεί την ισότητα (1), να
αποδείξετε ότι:
 z 
4
2013
  z 
2013
 2504
Αν ο μιγαδικός z επαληθεύει την παραπάνω
ισότητα (1), να αποδείξετε ότι οι εικόνες
A,B, ,  των μιγαδικών:
z , z  4i
,  z  4i
, z
αντίστοιχα , είναι κορυφές τετραγώνου.
8

9. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ
8.13
Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει:
| z  3 |2 4i(z  z)  0
(1)
α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z και του z .
 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού w , όπου:
w 8
z3
 . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του 6i  z  3
w
 . Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z που ικανοποιεί την (1)
ισχύει: z  1  10
z
8.14
Έστω μιγαδικoί z για τους οποίους ισχύει:
| z  1  i |  | z  1  i | 2 | z  2i |
(1)
.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του
z και του z .
.
Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό που ικανοποιει την (1) ισχύει: | z  zi |2  2
.
Αν ο μιγαδικός z  1 ικανοποιεί την (1) και
A,B, Γ,Δ είναι οι εικόνες των μιγαδικών:
αντίστοιχα ,
z , z , 2 z , 2 z
να αποδείξετε ότι το ABΓΔ είναι τετράγωνο.
.
Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z που
ικανοποιεί την (1) ισχύει:
| z  z |2  | z  z  2 |2  4 | z  1|2
93.
Έστω z , w μιγαδικοί με z  w  0 , τέτοιοι
ώστε :
w  | z |2  z i και | w |  | z |
Να αποδείξετε ότι :
α. ο w δεν είναι φανταστικός
β. οι εικόνες των z , w ανήκουν σε δύο κύκλους
C1 , C2 αντίστοιχα.
γ. οι κύκλοι C1 , C2 έχουν δύο κοινά σημεία .
δ. w  z .
9

10. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1.
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και η συνάρτηση g με:
ex  f ( x)
g( x)  f ( x) x
e e
1. Αν είναι lim g( x)  1 , να αποδείξετε ότι: f ( 0)  0
x0
2
2. Αν είναι lim f ( x)   , να υπολογίσετε το όριο: lim g( x)
x
x
.
3. Αν είναι g( 0)  0 και g(1)  0 , να αποδείξετε ότι:
α. υπάρχει ξ  ( 0, 1) τέτοιο, ώστε: f (ξ )  eξ
β. υπάρχει xo  (ξ , 1) τέτοιο, ώστε:
20.8
20.65
4.
I.
Αν
f ( xo )  e.
είναι
και
α  β γ  0
2β  α  γ ,
να αποδείξετε ότι, έχει μία τουλάχιστον πραγματική
ρίζα στο διάστημα
η εξίσωση:
(α , γ) ,
x4  γ4
x4  α4

0
(x  α)(x  β)
(x  γ)(x  β)
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [  ,  ] τέτοια , ώστε :
[α, β]  f [α, β] και f (α)  α  f (β)  β .
Να αποδείξετε ότι:
1. υπάρχουν x1 , x2  ( ,  ) τέτοιοι ώστε:
f(x1 )   και f( x2 )  
2. η εξίσωση: f( x)  f(  )  f( x)  f(  )  0
f ( x)  
f ( x)  
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (  ,  ) .
3. η εξίσωση: x    x    0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (  ,  ) .
f ( x)   f( x)  
Έστω συνάρτηση f : R  R αντιστρέψιμη τέτοια,
ώστε για κάθε x  R , να ισχύει:
1
1
e 1f (x)  f (x)  x  1
(1)
Να βρείτε την f
II. Να αποδείξετε ότι:
1. η f είναι γνησίως φθίνουσα.
2. οι Cf , C f 1 έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο.
f 1 (x)
3. lim f (x)  x  1 και lim
 1
x
x
x

10
1


11. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x)  ln xex  x  2
1.

1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει διάστημα της μορφής [, ] ,
(   0 ) στο οποίο να ισχύουν οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle
3. Να λυθεί η ανίσωση: f(x)  f(x)
ισχύει: f   f(x)   f  f(x) 
4. Να αποδείξετε ότι για κάθε x
2.
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x) 
1.

x ln x  x  1
Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f
 
2. Να αποδείξετε ότι για κάθε x  1 και x  0 ,ισχύει: f ( x )  f 1
x
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x)  f(x) έχει ακριβώς μια πραγματική
ρίζα.
f ( x ) , x ( 0 ,  )

.
4. Θεωρούμε τη συνάρτηση G ( x )  
1 , x0


Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι συνθήκες του Θ.Μ.Τ. για την G στο
διάστημα [ 0 ,1] και ότι υπάρχει μοναδικό   (0,1) τέτοιο ώστε
f ( )  f( )  e
33.5
Δίνεται η συνάρτηση :
f:

, με:
x  2 x , x  0

f ( x)  
ex  x  1 , x  0

1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα
3. Να λυθεί η ανίσωση:
f(x2  4x)  f(4)
4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: f  f (x)   0
11

12. 33.1
Δίνεται η συνάρτηση:
2
f ( x)   x4  2 x3    2 x2
4
3
2
1. Να βρείτε για ποιες τιμές του 
στο 1 .
2. Να βρείτε για ποιες τιμές του 
στο 1 .

Δίνεται η συνάρτηση : f :
33.5
η f
παρουσιάζει τοπικό ακρότατο
η f παρουσιάζει σημείο καμπής
, με:
x  2 x , x  0

f ( x)  
ex  x  1 , x  0

1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
2. Να μελετηθεί η f ως προς τα κυρτά και κοίλα
f(x2  4x)  f(4)
3. Να λυθεί η ανίσωση:
4. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:
f  f (x)   0
33.10
Δίνεται η συνάρτηση :
x
f ( x)  ln 1  e
1 x
1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .
2. Να αποδείξετε ότι η f έχει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα.
3. Να λυθεί η ανίσωση: f (x)  0
4. Να λυθεί η εξίσωση : f  f(x)   0 .
5. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της Cf .
31.23
®
Δίνεται η συνάρτηση f με:
f(x)   x 2  x    1 e x ,  R
Να αποδείξετε ότι:
1. η f έχει δυο σημεία καμπής , αν και μόνο αν ,   2 .
2. αν η f έχει δυο σημεία καμπής, τότε οι εφαπτόμενες
της C f στα σημεία αυτά δεν είναι παράλληλες.
3. υπάρχει   2 τέτοιο , ώστε οι εφαπτόμενες της C f
στα σημεία καμπής της να είναι κάθετες μεταξύ τους.
12

13. ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ 4ο 
β
Έστω α,β R τέτοιοι ώστε 0  α  β και :
lnt dt  0
2
 α 1 t
x
Θεωρούμε τη συνάρτηση F με: F(x) 
I 1lntt dt

2
,
x 0
α
Να αποδείξετε ότι:
1
 β ,
1.
1
F α   F
3.
για κάθε x  0 ισχύει:
4.
η F έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
2.
α β  1
F  x  F  1 
x
ΘΕΜΑ 4ο 
Έστω f συνάρτηση συνεχής στο R με παράγουσα την
2ex  c
G(x)  2
,
x 1
Έστω ακόμα συνάρτηση :
c R
x
F( x)   f(t)dt ,
α
α R .
1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο μια τιμή του α R
για την οποία η γραφική παράσταση της F διέρχεται
από το σημείο A(0,1) .
2. Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται
από:
α) τη γραφική παράσταση της f β) τους άξονες και
γ) την ευθεία x  1 .
13

14. ΘΕΜΑ 4ο 
Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R με f (1)  0
και f (x)  0 , για κάθε x  R .
Έστω ακόμα g συνάρτηση συνεχής στο R τέτοια ώστε:

g(x)  1 2
(x  1)
x
(t  1)f (t)d t , για x  1
1
Να αποδείξετε ότι:
1. η g είναι παραγωγίσιμη στο 1
2. η g είναι παραγωγίσιμη στο R
3. για κάθε x  1 ισχύει: (x  1)g(x) 
4. αν είναι:

2
0

x
1
f (t)d t
(t  1)f (t)d t  0 , να αποδείξετε
ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον   (0,2) , με   1
f (  )  2g( ) .
τέτοιο ώστε:
40.44 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο
με f (x)  0
και f( x )  0 , για κάθε x  . Θεωρούμε τη συνάρτηση:
F(x)  
x
f(t)dt
0
Να αποδείξετε ότι:
1. Η F είναι κοίλη
2. Για κάθε x  0 ισχύει:
F( x )  F( 3x )  2F( 2x )
3. Για   0 υπάρχει μοναδικό   ( 2  ,  ) τέτοιο
ώστε: F(  )  F( 3  )  2F(  )
40.42 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [0 , 1] με:

1
0
1
f(t)dt   tf(t)dt
0
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον   ( 0 , 1)
ξ
τέτοιο ώστε:
f(ξ)   f(t)dt
0
14

15. 




ΒΙΒΛΙΑ
Γραμμένα: μ ά θ η μ α - μ ά θ η μ α , με
πλήρη
θεωρία
παρατηρήσεις - σημειώσεις
σχόλια μεθοδολογία
παραδείγματα , ανά παράγραφο .
Επανάληψη κατά
ενότητες
Επαναληπτικές ασκήσεις
Κριτήρια
αξιολόγησης
60 Δ ι α γ ω ν ί σ μ α τ α
70
Μελετήστε π ρο σ ε κ τ ι κ ά τα βιβλία '' Γ . Τ σ ι κ α λ ο υ δ ά κ η ' '
και θα διαπιστώσετε :
λ ε π τ ο μ έ ρ ε ι ε ς , ε π ε ξ η γ ή σ ε ι ς και κ α τ η γ ο ρ ί ε ς α σ κ ή σ ε ω ν
που λείπουν από τα βιβλία '' μ α ζ ι κ ή ς π α ρ α γ ω γ ή ς ''
Δοκιμάστε τα στη δ ι δ α σ κ α λ ί α σας και θα εγκαταλείψετε
πολλά άλλα (δήθεν) βοηθήματα .

Όλα τα βιβλία είναι γραμμένα στο Word από τον ίδιο
το συγγραφέα με προσεγμένη παρουσίαση του κειμένου
και των μαθηματικών τύπων (Bold) έτσι ώστε να είναι
ευανάγνωστα και οι μαθηματικοί τύποι
ευδιάκριτοι.
Στο τέλος κάθε βιβλίου υπάρχουν οι απαντήσεις και οι
λύσεις (στις δύσκολες ασκήσεις).

Βιβλία γραμμένα για να διαβάσει ο μαθητής τ ο μ ά θ η μ α τ η ς η μ έ ρ α ς
με όλες τις λεπτομέρειες του και με πληθώρα σχετικών ασκήσεων (στο
μάθημα της ημέρας).
Κατά διδακτικές ενότητες γίνεται ε π α ν ά λ η ψ η (με ασκήσεις) σε όλα τα
προηγούμενα μαθήματα και ακολουθεί
Κριτήριο αξιολόγησης
Είναι γραμμένα με την πείρα 32 χρόνων στον μ α υ ρ ο π ί ν α κ α
και στα ατομικά μαθήματα, για τα οποία κυρίως
είναι γραμμένα.
Με προσεκτική μελέτη θα διαπιστώσετε πόσο άνετη
γίνεται η διδασκαλία σας.



Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
AEBPA
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ - ΜΑΘΗΜΑ
ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
1ος τόμος
720 σελ.
Σύμφωνα με τη νέα ύλη
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
MAHMATIKA
Β΄
ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΕ ΠΛΗΡΗ
ΘΕΩΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
400 σελ.
15

16. Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
ΑΡΙΘΜΟΙ
ΠΛΗΡΗΣ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
ΠΛΗΡΗΣ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
660 σελιδες
300 σελιδες
(15 € )
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
(20 € )
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
600 σελ.
Το μοναδικό βιβλίο με βάση
τη νέα ύλη στα ολοκληρώματα
(20
ΘΕΩΡΙΑ € )
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΠΛΗΡΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
700 σελιδες
(20 € )
Όλη η σειρά (Γ΄Λυκειου
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ , 5 τόμοι ) προσφορά
για τη βιβλιοθήκη
του Λυκείου καθώς και για τους συναδέλφους , 80 ευρώ
(+ 10 ταχ. τέλη)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
κιν. 6973827622 mail: tsiknews@gmail.com
και στο Ιντερνετ:
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ
Art of Problems Solving (Tsikaloudakis)
16