diagwnisma_prosomoiwshs_5o_GEL_Beroias

1. 1
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΕΥΤΕΡΑ 9 ΜΑΙΟΥ 2016
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΩΝ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : ΕΞΙ (6)
ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ :ΜΠΑΖΟΥΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 5ο ΛΥΚΕΙΟ ΒΕΡΟΙΑΣ
ΘΕΜΑ A.
A.1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0
x , να αποδείξετε
ότι είναι και συνεχής στο 0
x . Μονάδες 7
A.2. Πότε μια συνάρτηση f:A R→ λέγεται συνάρτηση ένα προς ένα
Μονάδες 4
Α.3. Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος
Bolzano Μονάδες 4
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

2. 2
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας
στο τετράδιο σας την ένδειξη ‘ Σωστό ‘ ή ‘ Λάθος ‘ δίπλα στο
γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Μονάδες 10
Α4.1 Έστω 0
x εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου
ορισμού συνάρτησης f . Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0
x , αν
και μόνο αν
0
0
0
x x
f(x) f(x )
lim
x x+→
−
− 0
0
0
x x
f(x) f(x )
lim
x x−→
−
=
−
Α4.2 Αν το σημείο ( )0 0
x ,f(x ) είναι σημείο καμπής της γραφικής
παράστασης της συνάρτησης f και η f είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη στο 0
x , τότε 0
0f''(x ) =
Α4.3 Αν
0
x x
lim f(x)
−→
= +∞ και
0
x x
lim f(x)
+→
= −∞ , τότε το
0
1
x x
lim
f(x)→
δεν
υπάρχει.
Α4.4 Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς
συνάρτησης f είναι διάστημα.
Α4.5.Αν 0f(x)dx
β
α
≥∫ τότε κατά ανάγκη θα είναι 0f(x)≥ για κάθε
[ ]x ,∈ α β

3. 3
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
2
0
ln x
f(x) ,x
x
= >
Β.1. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και
να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2
2e f(x)⋅ = έχει τρείς άνισες ρίζες
Μονάδες 8
Β.2. Να βρείτε το
( )
( )
2
20
xx
x xx
x e f e
lim
e f e x
ηµηµ
ηµ ηµ→
⋅ ⋅
⋅ −
Μονάδες 6
Β.3. Αν F είναι μία αρχική της f στο ( )0,+∞ , να αποδείξετε ότι
( )
( )1
111
lnxln x
F(x ) F(x) xxx e x
+
+ −++ < < για κάθε 2
x e>
Μονάδες 5
Β.4. Έστω ( )E α το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη
γραφική παράσταση της f , τον x΄x και την ευθεία
1x ,= α α > .Αν το α αυξάνει με ρυθμό 2 . /secµον , να βρείτε
το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ( )E α ως προς το χρόνο t
τη χρονική στιγμή 0
t κατά την οποία είναι
3 5
24
e
e
Ε( )
−α
⋅ +
α =
Μονάδες 6

4. 4
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R R→ για την οποία ισχύουν
•
1 1
2 2
f(x)− ≤ ≤ για κάθε x R∈
• ( )2 2,α∈ −
•
1
0
1
0
2 2
f(x)dx
e f(x)dx ln∫
+ = +∫
•
( ) ( )2 2
2
2
1 1 1
1
3 10t
x f(x) t t
lim x x
t t→−∞
+ ⋅ + ⋅ + −
= + α ⋅ +
+ +
Γ.1. Να αποδείξετε ότι α)
1
0
2f(x)dx ln=∫ β) 2
1
x
f(x)
x
=
+
Μονάδες 8
Γ.2. Να βρείτε τα σημεία καμπής της f
Μονάδες 6
Γ.3. Αν η ευθεία y x= είναι πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης
2
g(x) x f(x)= ⋅ , x R∈ στο +∞ να βρείτε την πλάγια
ασύμπτωτη της συνάρτησης ( ) ( )( )h x g g x= , x R∈
στο +∞ Μονάδες 6
Γ4. Να αποδείξετε ότι
1
0
2 1x
e f(x)dx e⋅ < −∫ Μονάδες 5

5. 5
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Δ.
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση 1f: ,e R  → και F μία αρχική της f
στο 1,e   . Ισχύουν
•
1f(x) x f(x)x e− ⋅≥ για κάθε 1x ,e  ∈
• ( )1 1
e
lnx xf(x) dx−⋅ =∫
Δ1. Να αποδείξετε ότι
lnx
f(x)
lnx x
=
−
, 1x ,e  ∈ Μονάδες 6
Δ2. α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται Μονάδες 1
β. Να βρείτε το ( )1
0
1x
x
lim (e ) f (x)−
−
→
− ⋅ Μονάδες 2
Δ3. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και τις τιμές του
πραγματικού αριθμού α για τις οποίες η εξίσωση 1 x
x eα− α⋅
= έχει
μία μόνο λύση στο [ ]1,e Μονάδες 3
Δ4. Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς ,α β για τους οποίους
ισχύει
2
1
ln lnln ln ee
  
  
   
⋅ α−α ⋅ β−ββ−β α−α −α ⋅β = Μονάδες 3

6. 6
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Δ5. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί 1 2 3i,i , ,α = με
1 2 3
1 e<α <α <α < .
α) Να βρείτε το
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1008
1 2
1 1
1008
1 3
1
3f(x) f(x)
f(x) f(x)
x
f( ) f( )
f( ) f(
lim+
+
−→
− α − α
− α − α
+ ⋅
−
Μονάδες 5
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ( )1 3
,ξ∈ α α τέτοιος
ώστε ( )32 16 5 3 10 1
1 2 3
f(t)dt f(t)dt f(t)dt F( ) F( )
αα α
⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ξ − α∫ ∫ ∫α α α
Μονάδες 5
Ο∆ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζοµένους)
1. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των
φωτοαντιγράφωναµέσως µόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σηµειώσεις σας
πάνω σταθέµατα δεν θα βαθµολογηθούν σε καµία περίπτωση. Κατά
τηναποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα
φωτοαντίγραφα.
2. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα µόνο µε µπλε ή
µόνο µε µαύρο στυλό µε µελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται,
µόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και µόνο για πίνακες, διαγράµµατα
κλπ.
3. Κάθε απάντηση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή.
4. ∆ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των
φωτοαντιγράφων.
ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ