Ένα ακόμη εξαιρετικό διαγώνισμα από τον συνάδελφο Γιώργο Μιχαηλίδη, διατυπωμένο και μορφοποιημένο ακριβώς στην μορφή των θεμάτων των πανελληνίων εξετάσεων. Περιλαμβάνονται απαντήσεις και υποδείξεις.

1. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄)
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 2014
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω f παραγωγίσιμη στο  α, β , με εξαίρεση ίσως το σημείο 0x ,
στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η  f x διατηρεί πρόσημο
στο    0 0α, x x , β , να δείξετε ότι το  0f x δεν είναι τοπικό
ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο  α, β .
(Μονάδες 10)
Α2. Έστω f συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ποιά συνάρτηση
ονομάζεται αρχική της f στο Δ; (Μονάδες 5)
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν
η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο Δ τότε  f x 0  ,
για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ.
β) Αν η f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής στο διάστημα  α, β με
σύνολο τιμών το  Α, Β , όπου  
x α
Α lim f x

 ,  
x β
Β lim f x

 , τότε η f
είναι γνησίως αύξουσα.
γ) Αν  
0x x
lim f x

  τότε  
0x x
lim f x

  ή  
0x x
lim f x

  .
δ) Αν η f είναι 1-1 και το σημείο  Μ α, β ανήκει στην γραφική παράσταση
C της f , τότε το  M β, α θα ανήκει στην γραφική παράσταση C της 1
f 
και αντιστρόφως.
ε) Αν  
0x x
lim f x 0

 ,  
0x x
lim g x 0

 ,  0x ,    
τότε
 
 
 
 0 0x x x x
f x f x
lim lim
g x g x 



. (Μονάδες 10)

2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β
Θεωρούμε την εξίσωση:
2 2 iz
z
2z i



(1)
Β1. Να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει φανταστικές ρίζες. (Μονάδες 4)
Β2. Έστω z α βi  , α μία ρίζα της παραπάνω εξίσωσης. Να δείξετε
ότι:
2
2
2
4 4β z
z
4 z 4β 1
 

 
και να συμπεράνετε από την προηγούμενη σχέση ότι οι εικόνες των ριζών
της εξίσωσης (1) είναι σημεία του μοναδιαίου κύκλου.
(Μονάδες 4+4)
Β3. Έστω 1z , 2z , 3z ρίζες της (1) και u τέτοιος ώστε:
2
1 2 3z u z u z 0     .
Να δείξετε ότι:
5 1
0 u
2

  . (Μονάδες 6)
Β4. Θεωρούμε τους μιγαδικούς w για τους οποίους ισχύει:
 2014
w iz zz  .
Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w είναι σημεία κύκλου με κέντρο
 K 1, 0 και ακτίνα ρ 1 . (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση  f : 1,    για την οποία
ισχύουν:
  f e 0
  
   f x
x
f x
f x e
x
   , για κάθε x 1 .

3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Γ1. Να δείξετε ότι η συνάρτηση  f x είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
 1,   . (Μονάδες 6)
Γ2. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι    f x x ln lnx  
και να βρείτε το σύνολο τιμών της. (Μονάδες 8)
Γ3. Να βρείτε ότι η εξίσωση  x 1
lnx
m
 ,  x 1,  
έχει ακριβώς μία λύση για κάθε m 0 . (Μονάδες 4)
Γ4. Να λύσετε την ανίσωση:    2 2
f x 2 f 3x 3x x 2     .
(Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Δ
Έστω η f :  συνάρτηση, τρείς φορές παραγωγίσιμη, για την οποία
ισχύουν:
  f x 0  , για κάθε x
    f 0 f 1 
  
x 2
0
f x t dt x  , για κάθε x .
Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση
 
    
x
0
t f t f t dt
g x e
  , x 0 .
Δ1. Να δείξετε ότι  f 0 0 και ότι η f είναι κυρτή στο (Μονάδες 6)
Δ2. Να δείξετε ότι  g x 1 , για κάθε  x 0,   (Μονάδες 4)
Δ3. Να δείξετε ότι: η g είναι γνησίως αύξουσα στο  0,  
και στη συνέχεια ότι ισχύει:  
   2
1
2f 2 f 1
f t dt
2

 (Μονάδες 3+5)

4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Δ4. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση  h : 0, 1  , με  0 h x 1 
για κάθε  x 0, 1 , καθώς και τη συνάρτηση
   
x
0
G x h t dt  , 0 x 1  .
I. Να δείξετε ότι :  G x x , για κάθε  x 0, 1 .
II. Να λύσετε την εξίσωση :  
 
   
G x x
0 0
g t dt h t g t dt  ,  x 0, 1 .
(Μονάδες 7)
Επιμέλεια θεμάτων: ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ

5. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ – ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Λ.
ΘΕΜΑ Β
Β1. Έστω z ki , k 0 ρίζα της (1). Τότε 2 2 k
k
2ki 1

  

αδύνατο.
Β2. Είναι
 
 
 
 
22 2
2
2 22
4 4β z2 i α βi β 2 α
z
2 α βi i 4α 2β 1 4 z 4β 1
    
  
     
.
Αν
2 2 2 2
z 1 z 1 4 4β z 4 z 4β 1 3 3 z           
z 1  , άτοπο. Όμοια αν z 1 , άρα z 1 .
Β3. Ισχύει: 2
1 2 3 2 3z u z u z z u z        , άρα
2 2 2
1 2 3z u z u z u u 1 u u 1 0           
1 5
0 u
2

   .
B4. w 1 1  .
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Είναι γνωστό ότι: x
e x 1  .
(θέλει απόδειξη, όμως μπορούμε να την αποφύγουμε αν βασιστούμε στην
εφαρμογή 2, (σελ.266) του σχολικού βιβλίου: lnx x 1  , για κάθε x 0
και βάλουμε στη θέση του x το x
e .
Έτσι:
 
     f x f x
x x
f x f x
e 1 e 1 0
x x
       , άρα  f x 0  .

6. Γ2. Θέτουμε  
 f x
g x
x
 . Τότε:
      
   
   g x g x g x 1
xg x g x e xg x e g x e
x
          , κ.τ.λ.
Είναι  
x 1
lim f x

  και  x
lim f x

  άρα  f A  .
Γ3. Η εξίσωση γράφεται :    x ln lnx lnm f x lnm    
και για κάθε m 0 ισχύει  lnm f A .
Γ4. Ισοδύναμα έχουμε:
   2 2
f x 2 x 2 f 3x 3x     , (1)
Από την αρχική σχέση προκύπτει ότι  f x 1   , άρα η συνάρτηση
   h x f x x  είναι γνησίως φθίνουσα στο  1,   , οπότε η (1)
   2 2 2
h x 2 h 3x x 2 3x x 3x 2 0 1 x 2             .
ΘΕΜΑ Δ
Δ1.  f 0 0 από θ. Fermat.
Eπειδή  f x 0  και συνεχής, διατηρεί πρόσημο στο . Με Θ.Μ.Τ. για την f
στο  0, 1 έχουμε    f 0 f ξ  με 0 ξ . Άρα η f δεν είναι γνησίως
φθίνουσα, συνεπώς είναι γνησίως αύξουσα, άρα f 0  .
Δ2. Αρκεί να δειχθεί ότι     
x
0
tf t f t dt 0   , για κάθε  x 0,   .
Εύκολα αποδεικνύεται με βοηθητική συνάρτηση.
Δ3. Εύκολα αποδεικνύεται ότι  g x 0  για κάθε  x 0,   , με το “ = ”
να ισχύει, μόνον όταν x 0 .
Η ανισότητα αποδεικνύεται από    g 1 g 2 και χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση
κατά παράγοντες.
Δ4. i) Θέτω    H x G x x  και δείχνω  H x 0 για κάθε  x 0, 1 .
ii) Προφανής ρίζα η x 0 , οπότε από μεταφορά στο 1ο
μέλος, θεωρούμε
βοηθητική συνάρτηση, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο  0, 1 , άρα
η ρίζα είναι μοναδική.

7. Τα θέματα είναι από τα νέα μου βιβλία για την Γ΄ Λυκείου, που
αναμένεται να κυκλοφορήσουν μέσα στο 2015, αφού γίνουν πρώτα οι
ανακοινώσεις σχετικά με τις αλλαγές στην ύλη.
Θερμά ευχαριστώ τους εξαιρετικούς συναδέλφους Μάκη Χατζόπουλο,
Δημήτρη Μοσχόπουλο και Σωκράτη Ρωμανίδη, που φιλοξενούν τα
θέματά μου στις ιστοσελίδες τους.
Καλό καλοκαίρι με επιτυχίες στους μαθητές μας !!!