Επαναληπτικά Κριτήρια αξιολόγησης, από τον αγαπητό συνάδελφο Βασίλη Μποζατζίδη, www.askisiologio.gr Βάση Μαθηματικού Υλικού

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
ΘΕΩΡΙΑΣ
ΤΑΞΗ: Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Fermat.
Μονάδες 9
Α2. Πότε ένα σημείο είναι σημείο καμπής μιας συνάρτησης;
Μονάδες 3
Α3. Τι λέγεται εικόνα και τι διανυσματική ακτίνα ενός
μιγαδικού z = x + yi;
Μονάδες 3
Α4. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι
σωστές (Σ) και ποιες λάθος (Λ).
α. Οι εικόνες των συζυγών μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό
επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x
Μονάδες 2
β. Ισχύει ότι i2015 = i.
Μονάδες 2
γ. Αν z = -2 – 5i και w = 5 + 7i, τότε ισχύει ότι z < w.
Μονάδες 2
δ. Αν η f αντιστρέφεται, τότε το σύνολο τιμών της f είναι
πάντα το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.
Μονάδες 2
ε. Αν για μια f ισχύει f(x) ≥ α > 0, τότε ισχύει ∫ f(x)dx
β
α
≥ 0.
Μονάδες 2

2. ΘΕΜΑ Β
Β1. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε
σημείο xo του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής.
Μονάδες 9
Β2. Τι λέγεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi;
Μονάδες 3
Β3. Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες;
Μονάδες 3
Β4. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι
σωστές (Σ) και ποιες λάθος (Λ).
α. Αν δύο μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα δεν συνεπάγεται
απαραίτητα ότι είναι ίσοι.
Μονάδες 2
β. Αν z, w ∈ C και z2
+ w2
= 0, τότε z = w = 0
Μονάδες 2
γ. Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι f′
(x) > 0
για κάθε x του πεδίου ορισμού της, τότε η f δεν έχει
ακρότατα.
Μονάδες 2
δ. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη τότε έχει
αντίστροφη.
Μονάδες 2
ε. Αν για τις συναρτήσεις f και g είναι f(x) > g(x), τότε ισχύει
∫ f(x)dx
β
α
> ∫ g(x)dx
β
α
, α,β∈R.
Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα ενδιαμέσων
τιμών.
Μονάδες 8

3. Γ2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται 1-1; Πως ορίζεται τότε η
αντίστροφή της;
Μονάδες 4
Γ3. Πότε μια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της;
Μονάδες 3
Γ4. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι
σωστές (Σ) και ποιες λάθος (Λ).
α) Οι εικόνες των μιγαδικών –z και z είναι σημεία
συμμετρικά ως προς τον φανταστικό άξονα.
Μονάδες 2
β) Αν z είναι μιγαδικός αριθμός τότε ο w = izo είναι
φανταστικός αριθμός.
Μονάδες 2
γ) Αν ισχύει ότι 3
lim
x
f(x) = α, με α πραγματικό αριθμό, τότε
σίγουρα το 3 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και το α
στο σύνολο τιμών της.
Μονάδες 2
δ) Αν το α είναι ακρότατο της f, θα ισχύει ότι f′
(x) = 0.
Μονάδες 2
ε) Iσχύει ότι (∫ ex
dt
1
0
)
′
= ex.
Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Για τους μιγαδικούς z1 και z2 να δείξετε ότι ισχύει:
z1 + z2 = z1 + z2
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι το iv παίρνει τις τιμές ±1, ±i , για τις
διάφορες τιμές του v∈N.
Μονάδες 5

4. Δ3. Να διατυπώσετε και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία
του θεωρήματος Bolzano.
Μονάδες 4
Δ4. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι
σωστές (Σ) και ποιες λάθος (Λ).
α. Aν z1 + z2 ∈R τότε ισχύει Im(z1) = Im(z2).
Μονάδες 2
β. Για τους μιγαδικούς z1, z2 ισχύει ότι Re(z1z2) = Re(z1) Re(z2).
Μονάδες 2
γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f–1 και η γραφική
παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y = x, τότε
το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f-1.
Μονάδες 2
δ. Αν η συνάρτηση f είναι 1 – 1, οι συναρτήσεις g, h έχουν
πεδίο ορισμού το R και ισχύει f(g(x)) = f(h(x)) για κάθε xR,
τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες.
Μονάδες 2
ε. Αν η f είναι συνεχής στο x0, τότε μπορεί η ευθεία x=x0 να
είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf.
Μονάδες 2
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ