Κολλέγιο Αθηνών αποκλειστικά από το lisari

1. ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Τάξη : Γ/
Μάθηµα : Μαθηµατικά κατεύθυνσης
ΘΕΜΑ Α
Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν , γράφοντας στην κόλλα σας αντίστοιχα
σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι
λανθασµένη
α) Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συµµετρικές ως προς
τον άξονα y/y
β) Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη , τότε η γραφική της παράσταση τέµνει
πάντοτε τον άξονα x/x σε ένα µόνο σηµείο
γ) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα Δ και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ,
τότε οι Cf , Cg τέµνονται το πολύ σε ένα σηµείο
δ) Αν µία συνάρτηση f δεν είναι 1-1 , τότε δεν είναι γνησίως µονότονη
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x2
− 6x + 9
B1. Nα βρεθεί το πεδίο ορισµού της f
B2. Nα εξετάσετε αν η f είναι 1-1
Β3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = ef(x) µε x < 3 , είναι αντιστρέψιµη και να βρείτε
την αντίστροφή της
Β4. Να λύσετε την ανίσωση g!g−1
( ) 5x − 9( )< f −3( )
lisari.blogspot.gr

2. ΘΕΜΑ Γ
Έστω η συνάρτηση f : ! → ! για την οποία ισχύουν τα εξής :
• f(x) - f(y) = f(x-y) (1) για κάθε x,y ∈!
• f(1)=1
• η εξίσωση f(x) = 0 έχει µοναδική ρίζα στο !
Γ1. Να υπολογίσετε το f(0)
Γ2. Να αποδείξετε ότι ορίζεται η f-1
Γ3. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή
Γ4. Αν f(x) < 0 για κάθε x < 0 , τότε :
α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
β) Να λύσετε την ανίσωση f(x2 + lnx) +f(x-1) < f(lnx) - f(f(-1))