5 ασκήσεις για τις Πανελλήνιες του 2020.

1. 1
ΘΕΜΑ 1
[ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου 27/4/20 - Εμπνευσμένη απ τις Ασκήσεις 4 σχολικού
βιβλίου σελίδα 58 ,10 σελίδα 81 και 7 σελίδα 82]
Έστω f : RR συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν :
 lim
x→0
f (x) −1
x
=0
 f 2(x) – x2 – 3 = ημ2x - 2∙f (x)∙συνx, για κάθε x∈R.
α ) Να δειχθεί ότι f (0) = 1
μονάδες 3
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f (x) και να δειχθεί ότι f (x) = f (-x) για κάθε x∈R.
μονάδες 6
Αν f (x) = √x2 + 4 − συνx ,
γ ) να εξεταστεί η f (x) ως προς τη μονοτονία στο Δ = [0,π] και να δειχθεί ότι
f (x) > 1 για κάθε x∈ 𝛥 .
μονάδες 6
δ ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό xο∈(0,π) για το οποίο ισχύει f (xο) = π
μονάδες 6
ε ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ∈(-xο , xο) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της Cf στο ξ
να είναι παράλληλη στον x΄x.
μονάδες 4
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
α ) lim
x→0
f (x) −1
x
=0, θέτω g(x) =
f (x) −1
x
ή x∙g(x) + 1 = f (x)
Η f (x) συνεχής άρα lim
x→0
f (x) = f (0) , άρα…………f (0) = 1

2. 2
β ) f2(x) – x2 – 3 = ημ2x - 2f (x)συνx ή (f (x)+συνx)2 = x2+4
|f (x) + συνx| = √x2 + 4 , |f (x) + συνx| ≠ 0 για κάθε x, άρα η
f (x) +συνx διατηρεί πρόσημο , είναι f (0) + συν0 = 1 + 1 =2 > 0 ,
συνεπώς f (x) = √x2 + 4 − συνx , για κάθε x∈R , η οποία και επαληθεύει τα
δεδομένα.
Βάζοντας όπου x , το – x δείχνουμε ότι η f (x) είναι άρτια στο πεδίο ορισμού της.
γ ) Με τον ορισμό είναι …….. , –συνx1< -συνx2 (1) , μιας και η συνx είναι
γνησίως φθίνουσα στο [0,π].
Επίσης √x1
2 + 4 < √x2
2 + 4 (2) , με x1 , x2∈[0,π]
Από (1) +(2) προκύπτειότι f (x1) <f (x2) , άρα η f (x) γνησίως αύξουσα στο
[0,π].
Είναι x > 0 ⇔ f (x) > f (0) ⇔ f (x) > 2 – 1 ⇔ f (x) > 1.
δ ) Βρίσκω το f ([0,π]) = [f (0) , f (π)] = [1 , 1 + √𝜋2 + 4] , ο αριθμός π ανήκει
στο f ([0,π]).
Εναλλακτικά κάνω Θ.Ε.Τ στο [0,π] για την f (x).
Η λύση είναι μοναδική από (δ) και μονοτονία της f (x).
ε ) αρκεί να δείξω ότι υπάρχει ξ ∈(-xο , xο) τέτοιο ώστε να ισχύει
f ΄(ξ) = 0
Θ. Ρολ στο [-xο , xο] για να την συνεχή και παραγωγίσιμη f (x).
f (xο) = π και μέσω του β) f (- xο) = π , άρα ικανοποιούνται οι
προϋποθέσεις του Θ.Ρολ.

3. 3
ΘΕΜΑ 2Ο
[ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου - Εμπνευσμένη από Άσκηση 3 Β΄ σχολικούβιβλίου σελίδα
29 και 5 σελίδα 110]
Έστω f(x) συνεχής συνάρτησηστο [0,5] , με f(0) = 0, της οποίας η
παράγωγοςπαριστάνεται στο παρακάτωσχήμα και f ΄(5) = -1 .
α ) Να δειχθεί ότι :
f(x) ={
x, 0 ≤ x ≤ 2
2, 2 < x ≤ 3
5 − x, 3 < x ≤ 5
(μονάδες 7)
β ) Να παρασταθείγραφικά η f(x) .
(μονάδες 5)
γ ) Να βρεθεί, ως συνάρτηση του α , το εμβαδόν του χωρίου που
περικλείεται απ την Cf τουςάξονες xx΄ , yy΄ και την ευθεία x = α ,
όπου 0 ≤ α ≤ 5
(μονάδες 8)
δ ) Ένα σημείο M(x,f(x)), 0≤x≤2, κινείταιπάνω στην Cf με τέτοιο
τρόπο ώστε να απομακρύνεται απ τον άξονα yy΄με ρυθμό 2 cm/sec.
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολήςτου εμβαδούτου γ) ερωτήματος, την
χρονική στιγμή toκατά την οποία η τετμημένη του Μ είναι ίση με
3
2
.
(μονάδες 5)

4. 4
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ – ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
α ) Απτη γραφικήπαράστασητης f΄(x) προκύπτει ότι :
f ΄(x) ={
1, 0 < x < 2
0, 2 < x < 3
−1, 3 < x < 5
Άρα f(x) ={
x + 𝑐1,0 ≤ x ≤ 2
𝑐2,2 < x ≤ 3
𝑐3 − x, 3 < x ≤ 5
, συνεχής στο [0,5].
 Είναι f (0) = 0 ,άρα c1 = 0
 lim
𝑥→2−
f(x) = lim
𝑥→2+
f (x) ⇔ 2 = c2
 lim
𝑥→3−
f(x) = lim
𝑥→3+
f (x) ⇔ 2 = c3-3 ⇔c3 = 5
Συνεπώς f(x) ={
x,0 ≤ x ≤ 2
2, 2 < x ≤ 3
5 − x,3 < x ≤ 5
.
β ) Η f (x) αποτελείται από 3 ευθείες. Σχεδιάζεται εύκολα.
γ )
Για 0 < α ≤ 2 , τα τρίγωνα ΟΔΕ
, ΟΑΒ είναι όμοια, άρα
ΑΒ
ΔΕ
=
ΟΒ
ΟΕ
⇔
2
ΔΕ
=
2
ΟΕ
⇔
ΔΕ = ΟΕ = α
Ε(α) =
1
2
∙ α2 , 0 ≤α≤2
Για 2 < α ≤ 3 , Ε(α) = (ΟΑΒ)+(ΑΓΚΒ)– 2(3-α)=4– 6 +2∙ α = 2∙ α – 2
Για 3 < α ≤ 5 , Ε(α) = 6 –
1
2
(5-α)2
δ )

5. 5
M(x,f(x)) =Μ(x,y),
Και για κάθε x ∈ [0,2]γίνεται
Μ(x,x).
Το Μ απομακρύνεται απ τον yy΄με ρυθμό 2 άρα x΄(t) = 2 cm/sec
Και για t = to είναι x΄(to) = 2cm/sec. Επίσης από δεδομένα x(to) =
3
2
Το Εμβαδόντου γ) ερωτήματος για κάθε α ∈[0,2] ισούταιμε :
Ε(α) =
1
2
∙ α2 ή
1
2
∙x2 μιας και x = α.
Και για κάθε χρονική στιγμή t , είναι : Ε(t) =
𝟏
𝟐
∙x2(t)
Ε΄ (t) =
1
2
∙ 2∙x(t)∙ x΄(t) = x(t)∙ x΄(t)
Και για t = to , Ε΄ (to) = x(tο)∙ x΄(tο) =
3
2
∙2 = 3 cm2/sec

6. 6
ΘΕΜΑ 3Ο
[ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου(26/4/20) - Εμπνευσμένη απ τις Ασκήσεις 3Α΄ , 1Β΄ και
6Β΄ σχολικού βιβλίουστις σελίδες 69,132 αντίστοιχα. ]
Δίνεται η συνάρτηση f (x) = √( 𝜇 + 1)x2 + 4 , μ > -1 , x∈ R.
α ) Αν lim
𝑥→+∞
f (x)
x
=1 , να βρεθεί ο πραγματικόςμ.
μονάδες 3
Στα παρακάτωερωτήματα να θεωρήσετε μ = 0 .
β ) Να βρεθεί το όριο lim
𝑥→+∞
(f(x) − λx) για τις διάφορες τιμές του
λ∈ R.
μονάδες 4
γ ) Να εξεταστεί η συνάρτηση f (x) ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα.
μονάδες 5
δ ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f (x).
μονάδες 4
ε ) Να λυθεί η εξίσωση f (ex- 1 ) + f (lnx-1) =4
μονάδες 5
στ ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (0,2)τέτοιο
ώστε να ισχύει : 2∙f΄(ξ) +2 = f (2)
μονάδες 4
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
α ) lim
𝑥→+∞
f (x)
x
= lim
𝑥→+∞
√( 𝜇+1)x2+4
x
= lim
𝑥→+∞
√( 𝜇+1)+
4
x2
1
=√μ + 1
√μ + 1 = 1 ⇔ μ+1 = 1 ⇔ μ = 0
β ) lim
𝑥→+∞
(f(x) − λx) = lim
𝑥→+∞
(√x2 + 4 − 𝜆x) =(+∞)(1-λ)
Για λ > 1 , lim
𝑥→+∞
(f(x) − λx) = −∞
Για λ < 1 , lim
𝑥→+∞
(f(x) − λx) = + ∞

7. 7
Για λ = 1 , lim
𝑥→+∞
(f(x) − x) = lim
𝑥→+∞
(√x2 + 4 − x) = lim
𝑥→+∞
4
√x2+4+x
= 0
γ ) f ΄(x) =
2x
2√x2+4
=
x
√x2+4
f ΄(x) = 0 ⇒ x = 0
f ΄(x) > 0 ⇒ x > 0 ⇒ f (x) γν. αύξουσα στο [0,+∞)
f ΄(x) < 0 ⇒ x < 0 ⇒ f (x) γν. φθίνουσα στο (-∞,0]
Ο.Ε το (0, f (0)) =(0,2) , επίσης f (x) ≥ 2 για κάθε x ∈ 𝑅.
δ ) Σ.Τ, f (R) = [2 , +∞)
ε ) f (ex- 1 ) + f (lnx-1) =4 ⇔ {
f (𝑒x − 1 ) = 2
f (lnx− 1) = 2
⇔ {
ex
− 1 = 0
lnx − 1 = 0
⇔ {
x = 0
x = e
Η εξίσωση είναι αδύνατη.
στ )(2∙f΄(ξ) +2 = f (2) ⇒2∙f΄(ξ) = f (2) – 2 ⇒ 2∙f΄(ξ) = f (2) - f (0)
f΄(ξ)=
f (2)−f (0)
2−0
)
αρκεί να εφαρμόσωΘ.Μ.Τγια την f (x) στο [0,2] , ισχύουν οι
προϋποθέσεις , άρα προκύπτει το ζητούμενο.

8. 8
ΘΕΜΑ 4Ο
[ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου(12/4/20) - Εμπνευσμένη απ τις Ασκήσεις 5Β΄ , 6Β΄ , 7
Α΄ , 7 Β΄ σχολικού βιβλίου στις σελίδες 29,30,57,82 αντίστοιχα. ]
Δίνονται , η συνάρτηση f: [-π , π ] →R και οι συναρτήσεις
g(x) =√1 − x2 , g(f (x)) = |συνx| , x ∈ [−π,π]
α ) Να δειχθεί ότι f2(x) = ημ2x , x ∈ [−π, π ]
μονάδες 3
β ) Να βρεθούνόλες οι συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν το α)
ερώτημα.
μονάδες 8
Αν f (x) = ημx , x ∈[-π, π]
γ ) Να γίνει η γραφικήπαράστασητης h(x) =
f(x)+|f (x)|
2
μονάδες 5
δ ) Να υπολογιστεί το όριο : lim
x→π−
f 2(x)
1+συνx
μονάδες 5
ε ) Έστω σημείο Μ(x , y) , x ≥ 0 της f (x) που κινείται με τέτοιο τρόπο
ώστε να απομακρύνεται απ τον yy΄. Αν ο ρυθμός μεταβολής της
τετμημένης του Μ είναι 2 cm/sec, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της
τεταγμένης του Μ , τη χρονική στιγμή to κατά την οποία x =
π
2
.
μονάδες 4

9. 9
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
α ) g(f (x)) = |συνx| ⇔ √1 − f2(x) = |συνx| ⇔ 1-f2(x) = συν2x⇔
1- συν2x = f2(x) ⇔ ημ2x = f2(x)
β ) f (x) = 0 ⇔f2(x) = 0 ⇔ ημ2x = 0 ⇔ ημx = 0 ⇔ ημx = ημ0⇔
x = {
2𝜅𝜋
2𝜅𝜋 + 𝜋
, 𝜅 ∈ 𝛧 ⇔x= λπ , λ∈ Ζ , άρα x1 = -π , x2 = 0 , x3 = π
Είναι : ημ2x = f2(x) ⇔ |f (x)| = |ημx| (1)
Στα διαστήματα (-π , 0) , (0 , π) η συνεχής f (x) διατηρεί πρόσημο.
Τα πιθανά πρόσημα της f (x) φαίνονταιστον πίνακα :
-π 0 π
f (x) + +
f (x) - -
f (x) + -
f (x) - +
Αν f (x) > 0 για κάθε x∈ (−π, 0) ∪ (0,π) , τότε f(x) = |ημx|
Αν f (x) < 0 για κάθε x∈ (−π, 0) ∪ (0,π) , τότε f(x) = - |ημx|
Αν f (x) > 0 στο (-π,0) και f (x) < 0 στο (0,π) τότε f(x) =-ημx
Αν f (x) < 0 στο (-π,0) και f (x) > 0 στο (0,π) τότε f(x) = ημx
Οι πιθανές συναρτήσεις είναι :
f (x) = |ημx| , x ∈ [−π,π] , f (x) = - |ημx| , x ∈ [−π, π] ,
f (x) = - ημx , x ∈ [−π, π] , f (x) = ημx , x ∈ [−π, π] ,
γ ) h(x) =
f (x)+|f (x)|
2
=
ημx+|ημx|
2
={
2ημx
2
, x ∈ [0, π]
0 ,x ∈ [−π, 0)
={
ημx, x ∈ [0, π]
0 , x ∈ [−π,0)
,
η γραφικήτης παράστασηφαίνεται παρακάτω:

10. 10
δ ) lim
x→π−
f 2(x)
1+συνx
= lim
x→π−
ημ2x
1+συνx
=
0
0
= lim
x→π−
ημ2x(1−συνx)
(1+συνx)(1−συνx)
=
lim
x→π−
ημ2x(1−συνx)
(1−συν2x)
= lim
x→π−
ημ2x(1−συνx)
ημ2x
= 1 −συνπ = 1 – (-1) = 2
ε ) x΄(t) = 2 cm/ sec και x(to) =
π
2
y = f (x) = ημx , άραy(t) = ημ(x(t)) , t≥ 0
Παραγωγίζωωςπρος t , y΄(t) = (ημ(x(t)))΄ = συν((x(t))∙x΄(t)
Τη χρονική στιγμή to , είναι : y΄(tο)= συν((x(tο))∙x΄(tο) =συν
π
2
∙ 2 = 0
ΘΕΜΑ 5
[ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου(15/4/20) - Εμπνευσμένη απ τις Άσκηση 3Γ΄ του
σχολικού βιβλίου στη σελίδα 173. ]
Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο
(Ο, ρ), ακτίναςρ = 1.
Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών και ΑΚ το ύψος του
τριγώνου,
α ) να εκφράσετετις πλευρές ΒΚ , ΟΚ , ΑΚ ως συνάρτησητης γωνίας
θ.
μονάδες 3

11. 11
β ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόντου τριγώνου(ΑΒΓ) ισούται με :
(ΑΒΓ) = f (θ) = (1+συνθ)∙ημθ , 0 < θ < π
μονάδες 4
γ ) Δείξτε ότι : f ΄(θ) = (2συνθ-1)∙(συνθ+1) , 0<θ<π
μονάδες 6
δ ) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ , 0 < θ < π , για την οποία το
εμβαδόντου τριγώνου μεγιστοποιείται.
μονάδες 7
ε ) Υπολογίστετο όριο : lim
θ→0+
f (θ)∙(1−συνθ)
ημθ∙ημ2θ
μονάδες 5
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
α )Στο τρίγωνο ΒΟΚ , ημθ=
ΒΚ
ΟΒ
⇔ΒΚ = ημθ ,
συνθ =
ΟΚ
ΟΒ
⇔ ΟΚ = συνθ και ΑΚ = ΑΟ + ΟΚ ⇔ ΑΚ = 1 + συνθ
β ) (ΑΒΓ) =
1
2
∙ΒΓ∙ΑΚ =
1
2
∙(2ΒΚ)∙ΑΚ =ΒΚ∙ΑΚ =ημθ∙(1+συνθ)
Άρα f (θ) = ημθ∙(1+συνθ) , 0 < θ < π.

12. 12
γ ) Παραγωγίζω, f ΄(θ) = (ημθ)΄∙(1+συνθ) + ημθ∙(1+συνθ)΄=
συνθ∙ (1+συνθ) - ημθ∙ημθ = συνθ +συν2θ – ημ2θ =
συνθ + συν2θ – (1-συν2θ) =
συνθ + συν2θ – 1 + συν2θ = 2συν2θ + συνθ – 1
β΄ βαθμούως προς συνθ. Δ = 1 - 4∙2∙(-1) =1 + 8 = 9
συνθ =
−1+3
4
=
1
2
, συνθ =
−1−3
4
= −1
Συνεπώς 2συν2θ+ συνθ -1 = 2∙(συνθ-
1
2
)∙(συνθ+1) = το ζητούμενο
δ ) f ΄(θ) = (2συνθ-1)∙(συνθ+1) , 0<θ< π
f ΄(θ) = 0 ⇔ 2συνθ-1 =0 ⇔ συνθ =
1
2
f ΄(θ) > 0 ⇔ 2συνθ– 1 > 0 ⇔ συνθ >
1
2
⇔ θ∈ (0,
π
3
)
f ΄(θ) < 0 ⇔ 2συνθ– 1 < 0 ⇔ συνθ <
1
2
⇔ θ∈ (
π
3
, π)
0
𝜋
3
π
f ΄(θ) + -
f (θ)
Παρουσιάζειμέγιστο (Ο.Μ) για θ =
𝜋
3
,
μέγιστη τιμή εμβαδού f (
𝜋
3
)=
√3
2
∙
3
2
=
3√3
4
ε ) lim
θ→0+
f (θ)∙(1−συνθ)
ημθ∙ημ2θ
= lim
θ→0+
(1+συνθ)∙ημθ∙(1−συνθ)
ημθ∙ημ2θ
= lim
θ→0+
(1−συνθ)(1+συνθ)
ημ2θ
= lim
θ→0+
(1−συνθ)
θ
(1+συνθ)
2
ημ2θ
2θ
=
0∙2
2
= 0.
Γιατί lim
θ→0+
𝜂𝜇2𝜃
2𝜃
=⏟
𝑢=2𝜃
lim
𝑢→0+
𝜂𝜇𝑢
𝑢
= 1