1. Ö ÔØ
ÈÖÓ Û
Ü Ø ×
Å ÓÙ¹ÁÓÙÒÓÙ ¾¼½½
Ì Ü ³
Ü Ø Þ Ñ ÒÓ Å Ñ ³ Ð Ö
ÂÑ ½
³ ×ØÛ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
P (x) = αν xν + αν−1 xν−1 + · · · + α1 x + α0
ρ Ò
ÔÖ Ñ Ø
Ö Ñ
º
½º Ì ÓÒÓÑ Þ Ø Ö Ñ Ø Ø Ñ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ P (x) x=ρ
¾º È Ø Ó ρ ÓÒÓÑ Þ Ø ÖÞ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ P (x)
¿º Æ ÔÓ Ü Ø Ø ØÓ ÙÔ ÐÓ ÔÓ Ø
Ö ×
ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ P (x) ØÓÙ x−ρ Ò ×Ó Ñ Ø Ò Ø Ñ
ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ x=ρ º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º ½¿
ÂÑ ¾
Ò Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
P (x) = x3 + 2x2 − 7x − 8
½º Æ Ô Ð × Ø Ø Ó Ö Ñ
−1 Ò ÖÞ ØÓÙ P (x)
¾º Æ Ö Ø ØÓ Ô Ð Ó Ø
Ö ×
P (x) : (x + 1) º
¿º Æ Ö Ø Ø
ÐÐ
ÖÞ
ØÓÙ P (x) º
º Æ Ð × Ø Ø Ò Ò×Û× P (x) 0 º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º
½

2. ÂÑ ¿
Ò Ø Ø ×ÙÒ ÖØ ×
x
λ−1
ϕ (x) =
3
½º Æ Ö Ø ÔÓ
Ø Ñ
ØÓÙ λ ×ÙÒ ÖØ × ϕ Ò Ò ×Û
ÜÓÙ× ÔÓ
Ò ×Û
ÒÓÙ× º
¾º Æ ÔÓ Ü Ø Ø Ó Ö ÑÓ ϕ (1) , ϕ (2) , ϕ (3) Ò ÓÕ Ó ÖÓ ÛÑ ØÖ
ÔÖÓ ÓÙº
¿º Ò Ø Ø
ϕ (κ) + ϕ (κ + 1) = 36 ´½µ
´ µ Å ÓÑ ÒÓ Ø κ=2 Ò Ö Ø ØÓ λ º
´ µ Å ÓÑ ÒÓ Ø λ = 13 Ò Ö Ø ØÓ κ º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º ½
ÂÑ
Ò Ø ×ÙÒ ÖØ ×
1
f (x) = (ln x)2 + ln
x
½º Æ Ö Ø ØÓ Ô Ó ÓÖ ×ÑÓ Ø
f º
¾º Æ Ö Ø Ø × Ñ ØÓÑ
Ø
Ö
Ô Ö ×Ø ×
Ø
f Ñ ØÓÙ
ÜÓÒ
º
¿º Æ Ö Ø ØÓ ÖÓ ×Ñ ØÛÒ Ö ÞôÒ Ø
Ü×Û×
f (συνx) = 0 ÔÓÙ Ò ÓÙÒ ×ØÓ ×Ø Ñ [0, 2011π] º
º Æ ÔÓ Ü Ø Ø Ò ×Õ f (α) = f (β) α=β Ø Ø αβ = e º
ÅÓÒ
½º ¾º ¿º º
Æ Ô ÒØ × Ø × Ð Ø Ñ Ø º Ã Ð Ô ØÙÕ
ƺ ËÑ ÖÒ ½¿ Å ÓÙ ¾¼½½
¾

3. Γραπτές Προαγωγικές Εξετάσεις Μαΐου-Ιουνίου 2011, 13 Μαΐου 2011
Τάξη: Β΄
Εξεταζόμενο Μάθημα: ΄Αλγεβρα
Θεμα 1 x3 +2x2 −7x −8 x +1
΄Εστω το πολυώνυμο −x3 −x2 x2 +x −8
x2 −7x −8
P (x) = αν xν + αν−1 xν−1 + · · · + α1 x + α0 −x2 −x
−8x −8
και ρ ένας πραγματικός αριθμός. 8x +8
0
1. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P (x) για
x = ρ; Β Τροπος Από το σχήμα του Horner που χρησιμοποιή-
σαμε προηγουμένως βλέπουμε ότι οι συντελεστές του
2. Πότε ο ρ ονομάζεται ρίζα του πολυωνύμου P (x); πηλίκου είναι οι αριθμοί 1, 1, −8 και επομένως το πηλίκο
της διαίρεσης είναι x2 + x − 8.
3. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του
πολυωνύμου P (x) δια του x − ρ είναι ίσο με την τιμή 3. Θα είναι
του πολυωνύμου για x = ρ.
P (x) = x3 + 2x2 − 7x − 8 = (x + 1) x2 + x − 8
Μονάδες: 1. 6 2. 6 3. 13 και επομένως:
P (x) = 0 ⇔
Απαντησεις (x + 1) x2 + x − 8 = 0 ⇔
1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 62 x + 1 = 0 ή x2 + x − 8 = 0 ⇔
√ √
2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 62 −1 + 33 −1 − 33
x = −1 ή x = ήx=
2 2
3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 67 4. Η δοθείσα ανίσωση γράφεται (x + 1) x2 + x − 8 0.
Επεισή το x + 1 είναι θετικό αν και μόνο αν x −1 και
Θεμα 2 το τριώνυμο x2 + x − 8 είναι θετικό εκτός των ριζών του
Δίνεται το πολυώνυμο έχουμε τον πίνακα:
P (x) = x3 + 2x2 − 7x − 8
√ √
−1− 33 −1+ 33
x −∞ 2 −1 2 −∞
1. Να επαληθεύσετε ότι ο αριθμός −1 είναι ρίζα του P (x)
x+1 − − ¼ + +
2. Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης P (x) : (x + 1).
3. Να βρείτε τις άλλες ρίζες του P (x).
x2 + x − 8 + ¼ − − ¼ +
4. Να λύσετε την ανίσωση P (x) 0.
Μονάδες: 1. 6 2. 6 3. 6 4. 7 P (x) − ¼ + ¼ − ¼ +
Απαντησεις
Από τον πίνακα συνάγουμε ότι η ανίσωση μας έχει λύ-
√
1. Α Τροπος Με απλή αντικατάσταση: P (−1) = (−1)3 + σεις τα x − 2 − 1 33 καθώς και τα x με −1
1
√ 2
2
2 (−1) −7 (−1)−8 = 0 άρα ο −1 είναι ρίζα του πολυωνύ- x − 1 + 2 33 δηλαδή έχει σύνολο λύσεων το
1
2 √ √
μου. 1 1
−∞, − 2 − 2 33 ∪ −1, − 2 + 1 33 .
1
2
Β Τροπος Με το σχήμα του Horner:
Θεμα 3
Δίνεται η εκθετική συνάρτηση
1 2 -7 -8 -1 x
* -1 -1 8 λ−1
ϕ (x) =
1 1 -8 0 3
1. Να βρείτε για ποιές τιμές του λ η συνάρτηση ϕ είναι γνησί-
Επομένως η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x = −1 ως αύξουσα και για ποιές γνησίως φθίνουσα.
είναι μηδέν άρα ο −1 είναι ρίζα του πολυωνύμου.
2. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί ϕ (1) , ϕ (2) , ϕ (3) είναι δι-
2. Α Τροπος Εκτελούμε την διαίρεση: αδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.
1

4. 3. Δίνεται ότι Θεμα 4
Δίνεται η συνάρτηση
ϕ (κ) + ϕ (κ + 1) = 36 (1) 2 1
f (x) = (ln x) + ln
(αʹ) Με δεδομένο ότι κ = 2 να βρείτε το λ. x
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .
(βʹ) Με δεδομένο ότι λ = 13 να βρείτε το κ.
Μονάδες: 1. 5 2. 4 3. 16 2. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της
f με τους άξονες.
Απαντησεις
3. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης
1. Γνωρίζουμε ότι η εκθετική συνάρτηση ax είναι γνησί- f (συνx) = 0 που ανήκουν στο διάστημα [0, 2011π].
ως αύξουσα αν a 1 και είναι γνησίως φθίνουσα αν
0 a 1. Εδώ a = λ−1 και είναι
3
4. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει f (α) = f (β) και α = β τότε
αβ = e.
λ−1
1⇔λ4 Μονάδες: 1. 6 2. 6 3. 6 4. 7
3
λ−1 Απαντησεις
0 1⇔1λ4
3 1. Για να ορίζεται οι συνάρτηση πρέπει οι αριθμοί των οποί-
Επομένως αν λ ∈ (1, 4) η ϕ είναι ενώ γνησίως φθίνουσα ων εμφανίζονται οι λογάριθμοι να θετικοί. Πρέπει λοιπόν
ενώ αν λ ∈ (4, +∞) είναι γνησίως αύξουσα. 1
να είναι x 0 και x 0. Τελικά πρέπει x 0 και το
2 3 πεδίο οριμού της συνάρτησης f είναι το (0, +∞).
2. Είναι ϕ (1) = λ−1 , ϕ (2) = λ−1 ,ϕ (3) = λ−1 .
3 3 3
Οι αριθμοί αυτοί θα είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής 2. Για να τέμνει η γραφική παράσταση της f τον άξονα y ′ y
προοόδου αν και μόνο αν ισχύει πρέπει η συνάρτηση να ορίζεται στο μηδέν. Αυτό όπως
2
(ϕ (2)) = ϕ (1) ϕ (3) δεν συμβαίνει αφού το 0 δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο
ορισμού της. Επομενως η γραφική παράσταση της f δεν
δηλαδή αν ισχύει: τέμνει τον y ′ y. Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον
2 2 3 άξονα x′ x πρέπει να δούμε πότε είναι f (x) = 0. ΄Εχουμε
λ−1 λ−1 λ−1 2 1 2
= f (x) = 0 ⇔ (ln x) + ln x = 0 ⇔ (ln x) − ln x =
3 3 3
0 ⇔ ln x (ln x − 1) = 0 ⇔ ln x = 0 ή ln x = 1 ⇔ x =
που προφανώς ισχύει. 1 ή x = e. Επομένως τα σημεία τομής της γραφικής
παράστασης τη f με τον x′ x είναι τα A (1, 0) , B (e, 0).
3. (αʹ) Αν κ = 2 η σχέση (1) μας δίνει
3. Είναι f (συνx) = 0 αν και μόνο αν ο συνx είναι κάποια
ϕ (2) + ϕ (3) = 36
από τις ρίζες της f δηλαδή αν συνx = 1 ή συνx = e.
δηλαδή Το δεύτερο ενδεχόμενο αποκλείεται αφού e = 2, 71 και
πρέπει συνx ≤ 1 άρα οι ρίζες της εξίσωσης f (συνx) = 0
2 3
λ−1 λ−1 συμπίπτουν με τις ρίζες της εξίσωσης συνx = 1. Είναι
+ = 36 (2)
3 3 συνx = 1 ⇔ συνx = συν0 ⇔ x = 0 + 2kπ ή x =
Ονομάζουμε y = λ−1 . Θα πρέπει y 0, y = 1. Η 0 − 2kπ (k ∈ Z) ⇔ x = 2kπ . Δηλαδή ρίζες της εξίσω-
3
(2) ισοδυναμεί με την σης f (συνx) = 0 είναι τα άρτια πολλαπλάσια του π.
Οι ριζες της εξίσωσης που βρίσκονται στο διάστημα
y 3 + y 2 − 36 = 0 [0, 2011π] είναι οι αριθμοί
Εξετάζουμε μήπως το πολυώνυμο 0, 2π, 4π , . . . , 2010π
y 3 + y 2 − 36 των οποίων το άθροισμα είναι
έχει θετική ακέραια ρίζα δοκιμάζοντας τους θετικούς S = 2π + 4π + ... + 2010π = 2π (1 + 2 + ... + 1005)
διαιρέτες του σταθερού του όρου −36 που είναι
οι 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 ξεκινώντας από τους Αλλά το άθροισμα 1 + 2 + ... + 1005 είναι το άθροισμα
μικρότερους. Βρίσκουμε ότι ο 3 είναι ρίζα. Δι- των 1005 πρώτων όρων μίας αριθμητικής προόδου με πρώ-
αιρούμε το y 3 + y 2 − 36 με το y − 3 και βρίσκουμε το όρο 1, διαφορά 1 και τελευταίο όρο τον 1005 επομένως
είναι (1+1005)·1005 = 505 515. ΄Αρα S = 2π · 505 515 =
y 3 + y 2 − 36 = (y − 3) y 2 + 4y + 12 1011 030π.
2
Το πολυώνυμο y 2 + 4y + 12 έχει αρνητική διακρί-
4. Είδαμε ότι f (x) = (ln x)2 − ln x και επομένως:
νουσα και επομένως δεν έχει ρίζα. ΄Αρα η μοναδική
ρίζα της εξίσωσης y 3 + y 2 − 36 = 0 είναι η y = 3 η f (α) = f (β) ⇔
οποία είναι δεκτή και μας δίνει ότι 2 2
(ln a) − ln α = (ln β) − ln β ⇔
λ−1 2 2
= 3 ⇔ λ = 10 (ln a) − (ln β) − (ln α − ln β) = 0 ⇔
3
(ln a − ln β) ((ln a + ln β)) − (ln α − ln β) = 0 ⇔
(βʹ) Αν λ = 13 είναι ϕ (x) = 4x και η σχέση (1) μας δίνει
(ln a − ln β) (ln a + ln β − 1) = 0
4κ + 4κ+1 = 36 (3) Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι:
΄Εχουμε • ή ln a−ln β = 0 που νας δινει την ln a = ln β δηλαδή
36
(3)⇔ 4κ + 4 · 4κ = 36 ⇔ 5 · 4κ = 36 ⇔ 4κ = 5 ⇔ την α = β που αποκλείεται
36
ln
ln 4κ = ln 36 ⇔ κ ln 4 = ln 36 ⇔ κ = ln 4
5 5
5 • είτε ln a+ln β −1 = 0 που μας δίνει την ln a+ln β =
Φυσικά αντί της ln θα μπορούσαμε να χρησιμοποιή- 1 δηλαδή ln (αβ) = ln e από την οποία προκύπτει το
σουμε οποιοδήποτε άλλη λογάριθμική συνάρτηση αποδεικτέο αβ = e.
2

5. ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Β Σχ. Έτος 2010-2011
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΘΕΜΑ Α
Α1) Έστω α  0 με α  1 . Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θ 1 ,θ 2  0 ισχύει ότι
log α  θ 1  θ 2   log α  θ 1   log α  θ 2  μον_9
Α2) Πότε ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα ενός πολυωνύμου P  x  ; μον_4
Α3) Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις με τη λέξη Σωστή ή Λάθος,
γράφοντας την απάντηση στο τετράδιο σας: μον_12
α) Η διαίρεση ενός πολυωνύμου P  x  με το x  ρ μπορεί να δώσει υπόλοιπο, ένα
πολυώνυμο 1ου βαθμού.
β) Η εκθετική συνάρτηση f  x   α x με 0  α  1 και x  R , είναι γνήσια φθίνουσα στο R
αν και μόνο αν 0  α  1
γ) Για κάθε θ  0 και 0  α  1 ισχύει ότι α log α  θ   log α α θ .
 

δ) Οι λύσεις της εξίσωσης εφx   εφθ με x ,     είναι οι x  κπ  θ με κ  Z
2
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται το πολυώνυμο P x   2x 3  λ  2 x 2  5λx  6 με λ  R , για το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει
ρίζα το 2
Β1) Να αποδείξετε ότι λ   1 μον_10
Β2) Να λύσετε την εξίσωση P  x   0 μον_15
ΘΕΜΑ Γ
x
 1
Δίνεται η συνάρτηση f  x    1   .
 e
Γ1) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R μον_5
 π 1
Γ2) Να λύσετε την εξίσωση ημ  x     f  1   f  0  μον_8
 4 e
 π 3π 
Γ3) Να λύσετε την εξίσωση εφ  x   f  0   0 στο διάστημα  ,  μον_12
2 2 
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f  x  
 log x 2
log x2
Δ1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της μον_7
1
Δ2) Να λύσετε την εξίσωση f  x   μον_8
2
1
Δ3) Να λύσετε την ανίσωση 1 μον_10
f x 
Η ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ
…………………
…………………
Μ. Παπαγρηγοράκης
………………….

6. ΓΕΝΙΚΟ ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2010
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 1
α. Να αποδείξετε ότι ημ 2α = 2ημα συνα .
β. Έστω Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) η ταυτότητα διαίρεσης των πολυωνυμων Δ(x):δ(x)
όπου δ(x) ≠ 0. Τι γνωρίζετε για τον βαθμό του πολυωνύμου υ(x);
γ. Να χαρακτηρίσετε σαν Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις:
⎛ x ⎞ 1 − συν x
1. ημ 2 ⎜ ⎟ =
⎝2⎠ 2
2. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυώνυμων ισούται με το γινόμενο
των βαθμών τους.
3. Η συνάρτηση e − x είναι γνησίως αύξουσα στο R
4. log10 x = x όταν x 0
⎛2⎞
5. ln ⎜ ⎟ 0 (Μονάδες 10-5-10 )
⎝3⎠
ΘΕΜΑ 2
⎛ π⎞ ⎛ π⎞
Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 2συν ⎜ x + ⎟ + 2συν ⎜ x − ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
α. Να αποδείξετε ότι f ( x ) = 2συν x
β. Να λυθεί η εξίσωση εϕ 2 2 x − 1 = f ( 0 )
(Μονάδες 10-15)
ΘΕΜΑ 3
Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( x ) = α x3 + ( β − 1) x 2 − 3 x − 2 β + 6 με α , β ∈ R .
α. Αν το πολυώνυμο Ρ ( x ) έχει παράγοντα το ( x - 1) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του
Ρ ( x ) με το ( x + 1) είναι 2, να βρείτε τους αριθμούς α και β.
β. Για α = 2 και β = 4 να λυθούν :
Ρ( x )
⎛ π⎞
(i) Ρ ( x ) = 0 (ii) ⎜ημ ⎟ 1
⎝ 6⎠
(Μονάδες 10-6-9)
ΘΕΜΑ 4
Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) = 2010 2 ⋅ 4 x − 5 ⋅ 2 x + 2 και g ( x ) = ln 2 x − ln x 2 .
α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f ( x ) και g ( x ) .
β. Να λυθεί η εξίσωση g ( x ) = f (1) .
(Μονάδες 10-5-10)
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ