Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος Δίνω μια πρόταση διδασκαλίας στην παράγραφο 1.5: "Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων "για τους μαθητές της Β Λυκείου. Προφορικά κάνω και μια μικρή αναφορά στο εξωτερικό γινόμενο και την διάκρισή του από το εσωτερικό. Προφανώς όλα αυτά διαφοροποιούνται ανάλογα στο κοινό στο οποίο απευθύνεσαι. Το κύριο μάθημά μου είναι το εξής: Εισαγωγή στην κύρια έννοια της παραγράφου Ορισμός της έννοιας Παραδείγματα πάνω στον ορισμό Ιδιότητες + απόδειξη (όλες, είτε υπάρχουν στο βιβλίο είτε όχι) Παραδείγματα στις ιδιότητες Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Γενικές ασκήσεις Ενδεχομένως γραπτή εξέταση!

1. Σχέδιο μαθήματος 1.5: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού - Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Εισαγωγή: Έργο, δύναμη και μετατόπιση
Στη Φυσική ορίζουμε ως έργο W το εσωτερικό γινόμενο της δύναμη F που ασκείται
σε ένα σώμα επί την μετατόπιση x , δηλαδή
W F x F x συνθ    
όπου θ είναι γωνία που σχηματίζει η δύναμη με το οριζόντιο επίπεδο που κινείται το
σώμα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα
Παρόλα αυτά στη Φυσική δίνεται ο εξής τύπος:
xW F x F x   
όπου xF είναι η συνισταμένη δύναμη στον οριζόντιο άξονα κίνησης του σώματος.
Η εξήγηση είναι απλή!
Είτε από την τριγωνομετρία ότι
x
x
F
συνφ F F συνθ
F
    , είτε από 1η συνθήκη
καθετότητας διανυσμάτων (που θα δούμε παρακάτω) η συνιστώσα yF είναι κάθετη
στην μετατόπιση, άρα το εσωτερικό γινόμενο ισούται με το μηδέν, δηλαδή
 
xF x
x y x y x x xW F x F F x F x F x F x 0 F x F x

                .
Ιδιότητες της γωνίας  α,β θ
Για δύο μη μηδενικά διανύσματα α,β , ισχύουν:
Ιδ. 1η:    α,β β,α
Ιδ. 2η: α,α 0
Ιδ. 3η:  0 α,β π 
Ιδ. 4η:  α,β 0 α β  
Ιδ. 5η:   π
α,β α β 0
2
   
Ιδ. 6η:  α,β π α β  
Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα α,β :
09.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού

2. Ορισμός εσωτερικού γινομένου
Περίπτωση Ι (α,β 0 )
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α , β και το
συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό α β α β συνθ    , όπου θ η γωνία
των διανυσμάτων α και β .
Περίπτωση ΙΙ (α 0 ή β 0 )
Αν α 0 ή β 0 , τότε ορίζουμε α β 0  (μηδέν και όχι μηδενικό διάνυσμα), δηλαδή
0 β 0  ή α 0 0  ή 0 0 0 
Άμεσες συνέπειες του ορισμού
Ιδ. 1η (αντιμεταθετική ιδιότητα): α β β α  
διότι,    α β α β συν α,β β α συν β,α β α        
Ιδ. 2η (διάνυσμα 2
α ):
22
α α
διότι,   2 2 22
α α α α α συν α,α α συν0 α 1 α        
Ιδ. 3η (ομόρροπα διανύσματα): α β α β α β    
διότι,  α β α,β 0 α β α β συν0 α β        
Ιδ. 4η (αντίρροπα διανύσματα): α β α β α β     
διότι,  α β α,β π α β α β συνπ α β         
Ιδ. 5η (1η συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων): α β α β 0   
διότι,   π π
α β α,β α β α β συν α β 0 0
2 2
          
09.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού

3. Πρόταση
Αν    1 1 2 2α x ,y , β x ,y  , τότε 1 2 1 2α β x x y y  
Απόδειξη
(εκτός ύλης)
Σημείωση: Παραλείπεται αν και έχει πολύ ενδιαφέρον για ένα μαθητή που δεν δέχεται
σκέτους τύπους και κανόνες. Επίσης, χρησιμοποιείται ο νόμος των συνημίτονων από τη
Γεωμετρία Β Λυκείου 9ο κεφάλαιο που δείχνει την αναγκαιότητα της Γεωμετρίας στα
μαθηματικά της Κατεύθυνσης.
Αν    1 1 2 2α x ,y ,β x ,y  και  3 3γ x ,y τότε ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
Ιδ. 6η (προσεταιριστική ιδιότητα αριθμού):      λ α β λα β α λβ    
διότι,
         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2λ α β λ x x y y λx x λy y λx x λy y λα β        
ή
         1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2λ α β λ x x y y λx x λy y x λx y λy α λβ        
Ιδ. 7η (επιμεριστική ιδιότητα):  α β γ α β α γ     
διότι,
       
  
   
   
1 1 2 2 3 3
1 1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 1 3 1 2 1 3
1 2 1 2 1 3 1 3
α β γ x , y x , y x , y
x , y x x , y y
x x x y y y
x x x x y y y y
x x y y x x y y
α β α γ
     
  
   
   
   
   
Ιδ. 8η (2η συνθήκη καθετότητας): 1 2α β λ λ 1     , όπου 1λ ο συντελεστής
διεύθυνσης του διανύσματος  1 1 1α x , y ,x 0  και 2λ ο συντελεστής διεύθυνσης
του διανύσματος  2 2 2β x , y ,x 0  .
διότι,
1 2x x 0
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
y y
α β α β 0 x x y y 0 y y x x 1 λ λ 1
x x

                 
Ως προέκταση των παραπάνω ιδιοτήτων είναι οι εξής:
Ιδ. 6β:       λα μβ λμ α β  
09.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού

4. διότι,          λα μβ λ α μ β λμ α β      .
Ιδ. 7β:  α β γ α β α γ     
διότι,       α β γ α β γ α β α γ α β α γ               .
Ιδ. 7γ:    α β γ δ α γ α δ β γ β δ          
διότι,        α β γ δ α γ δ β γ δ α γ α δ β γ β δ                 .
Ιδ. 7δ:  
2
2 2
α β α 2α β β    
διότι,
     
2
2 2 2 2 2 2
α β α β α β α α β β α β α α β α β β α 2α β β                    
Ιδ. 7ε:     2 2
α β α β α β    
διότι,     2 2 2 2 2 2
α β α β α α β β α β α α β α β β α β                
Περί διανυσμάτων i, j
 i j 1 
   π
i, j
2

  α x i y j α x, y     
 i j 0 
  i 1,0 και  j 0,1

2
i 1 και
2
j 1
Παράδειγμα
Αν α και β είναι δύο διανύσματα του επιπέδου, τότε να βρείτε τη σχέση που
συνδέει τις δύο προτάσεις:
i) Π1: α β , Π2: α β
ii) Π1: 
2
α β , Π2: 2 2
α β
09.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού

5. Απάντηση
i) Έχουμε,
   α β α β συν α,β α β συν α,β α β 1 α β           
διότι  συν α,β 1 .
Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν,
     συν α,β 1 α,β 0 ή α,β π α / /β      .
ii) Έχουμε,
   2 2 2 22 2 22
α β α β συν α,β α β 1 α β        
Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν,
       2
συν α,β 1 συν α,β 1 α,β 0 ή α,β π α / /β       
09.12.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος 1ο ΓΕΛ Ν. Ψυχικού