Πρόκειται για ένα επιπλέον κεφάλαιο με θεωρία και ασκήσεις, το οποίο είναι απαραίτητο για μια καλή εισαγωγή στις βασικές έννοιες πριν οι μαθητές αρχίσουν να μελετούν τα κεφάλαια του σχολικού τους βιβλίου !!!
Πρόκειται για ένα επιπλέον κεφάλαιο με θεωρία και ασκήσεις, το οποίο είναι απαραίτητο για μια καλή εισαγωγή στις βασικές έννοιες πριν οι μαθητές αρχίσουν να μελετούν τα κεφάλαια του σχολικού τους βιβλίου !!!
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας - Το γραπτό των πανελλαδικών εξετάσεωνPanagiotis Prentzas
Αρχές Οικονομικής Θεωρίας (ΑΟΘ): Τι πρέπει να προσέξουν οι υποψήφιοι κατά τη διάρκεια των πανελλαδικών εξετάσεων στη δομή των απαντήσεών τους, αλλά και στην εμφάνιση του γραπτού τους.
Μπορείτε να δείτε και τη διαδραστική παρουσίαση στο www.study4economy.edu.gr.
3. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
3
• Ορισµός:
α ,αν α 0
α
α ,αν α 0
≥
=
− <
• Οι ιδιότητες των απολύτων τιµών είναι οι εξής:
1. ≥ 0α
2. ≥α α και ≥ −α α (δηλ. ≥ −max{ , })α α α
3. =
2
2
α α
4. Αν θ ≥ 0 τότε = ⇔ =x θ x θ ή x = -θ.
5. Αν θ < 0 τότε η εξίσωση =x θ είναι αδύνατη.
6. = ⇔ =x α x α ή x = -α
7. Αν θ > 0 τότε ≤ ⇔ − ≤ ≤x θ θ x θ
8. Αν θ < 0 τότε η ανίσωση ≤x θ είναι αδύνατη .
9. Αν θ > 0 τότε ≥ ⇔ ≥x θ x θ ή ≤ −x θ
10. Αν θ < 0 τότε η ανίσωση ≥x θ ισχύει: x∀ ∈ ℝ
11. =αβ α β
12. =
αα
β β
• Τριγωνική Ανισότητα για τα απόλυτα: − ≤ + ≤ +α β α β α β
Αν αβ > 0 δηλαδή αν οι α, β είναι οµόσηµοι ισχύει:
− < + = +α β α β α β
Αν αβ < 0 δηλαδή αν οι α, β είναι ετερόσηµοι ισχύει:
− = + < +α β α β α β
Αν ,α β ∈ℝ ισχύει: 0 0 0α β α και β+ = ⇔ = =
Και… 2 2
0 0 0+ = ⇔ = =α β α και β
Γενικότερα …ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΠΟΣΟΤΗΤΩΝ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ Ή ΙΣΟ
ΤΟΥ ΜΗ∆ΕΝ (ΜΗ ΘΕΤΙΚΟ) ΠΡΕΠΕΙ ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΗ∆ΕΝ
∆υο Βασικές Ανισοϊσότητες:
Για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύει: 2 2
2α β α β+ ≥ ⋅ ⋅
Αν α > 0 τότε ισχύει:
1
2α
α
+ ≥
4. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
4
1. =ν ν ν
α β αβ 2. =
ν
ν
ν
α α
ββ
3. =
µ µνν
α α 4. =
νρ νµρ µ
α α
5. =2
α α 6. ( ) =
2
α α 7. =( )ν ν
α α 8. 2 2ν ν
α α=
∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΟ ΕΚΘΕΤΗ
Αν ≥ 0,α µ∈ Z και ∈ *
ν N τότε ορίζουµε: =
µ
ν µν
α α
2
αx +βx+γ=0 µε α 0≠
∆ιακρίνουσα ∆ = β2- 4αγ
• Αν ∆ >0 τότε η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες: 1,2x
2
β
α
− ± ∆
=
• Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα: 1,2x
2
β
α
−
=
• Αν ∆ < 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη
Αν µε S συµβολίσουµε το άθροισµα x1 + x2 και µε P το γινόµενο x1 x2, τότε
έχουµε τους τύπους: 1 2 1 2,x x S x x P
β γ
α α
+ = = − = = που είναι γνωστοί ως τύποι
Vieta.
Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, µετασχηµατίζεται ως εξής: 2
0x Sx P− + =
Η τελευταία µορφή της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 µας δίνει τη δυνατότητα να
την κατασκευάσουµε, όταν γνωρίζουµε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών
Πλήθος Λύσεων Εξίσωσης Συνθήκη
2 Ρίζες Άνισες 0∆ >
Ρίζες Πραγµατικές 0∆ ≥
1 Ρίζα ∆ιπλή 0∆ =
Καµία Ρίζα 0∆ <
Το Πολύ Μια Ρίζα 0∆ ≤
5. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
5
2
f(x)=αx +βx+γ µε α 0≠
Παραγοντοποίηση Τριωνύµου
• Αν ∆ > 0 τότε ( )( )2
1 2αx +βx+γ=α x-x x-x
• Αν ∆ = 0 τότε ( )
22
1αx +βx+γ=α x-x
• Αν ∆ < 0 τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται.
Κάθε τριώνυµο γράφεται στη µορφή :
2
2
2
2 4
x x x
β
α β γ α
α α
∆
+ + = + −
Κορυφή Παραβολής ( , )
2 4
K
β
α α
∆
− − ΣΗΜΕΙΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ
ΘΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ
2
β
α
− (Έκφραση …. Στο
2
β
α
− )
ΤΙΜΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ
4α
∆
− (Έκφραση …Το
4α
∆
− )
• Αν α > 0 τότε η κορυφή είναι σηµείο ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ
• Αν a < 0 τότε η κορυφή είναι σηµείο ΜΕΓΙΣΤΟΥ
• Η ευθεία
2
x
β
α
= − είναι άξονας συµµετρίας της παραβολής
• Αν ∆ > 0 ,τότε η παραβολή τέµνει τον άξονα x’x σε δύο σηµεία
• Αν ∆ = 0 ,τότε η παραβολή ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ στον άξονα x’x
• Αν ∆ < 0 , τότε η παραβολή ∆ΕΝ τέµνει τον άξονα x’x
• Η παραβολή τέµνει τον άξονα y’y στο σηµείο (0, )γΓ
6. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
6
Αν ∆ > 0 και x1 < x2 είναι οι ρίζες του τριωνύµου τότε:
Αν ∆ = 0 και x1,2 είναι η διπλή ρίζα του τριωνύµου τότε:
Αν ∆ < 0 τότε:
2
0
αx +βx+γ > 0 ...
0
ώ άx όκαι ρι νυµο ετικ
α
ντα
∆ <
∀ ∈ ⇔ Τ Θ Π
>
ℝ
2
0
αx +βx+γ 0 ...
0
x όάώκαι ρι νυµο µη αρνητικ
α
ντα
∆ ≤
≥ ∀ ∈ ⇔ Τ
>
Πℝ
2
0
αx +βx+γ < 0 ...
0
x ώ ά όκαι ρι νυµο αρνητικντα
α
∆ <
∀ ∈ ⇔ Τ Π
<
ℝ
2
0
αx +βx+γ 0 ...
0
x ώ ά όκαι ρι νυµο µη ετικ
α
ντα
∆ ≤
≤ ∀ ∈ ⇔ Τ ΘΠ
<
ℝ
7. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
7
Για να προσδιορίσουµε το πρόσηµο του γινοµένου =( ) ( ) ( )....Φ( ),P x A x B x x όπου
Α( ), Β( ), ..., Φ( )x x x είναι πολυώνυµα 1ου ή 2ου βαθµού, βρίσκουµε το πρόσηµο
του κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια µε τη βοήθεια ενός
συγκεντρωτικού πίνακα προσδιορίζουµε το πρόσηµο του γινοµένου.
Έχουν τη µορφή: ( )ν *
x α ν , α= ∈ ∈ℕ ℝ . Οι λύσεις τη εξίσωσης είναι:
ν περιττός έχει ακριβώς µια λύση: ν ν
x α x α= ⇔ =α > 0
ν άρτιος έχει ακριβώς δύο λύσεις: ν ν
x α x α= ⇔ = ±
ν περιττός έχει ακριβώς µια λύση: ν ν
x α x α= ⇔ = − −α < 0
ν άρτιος δεν έχει λύσεις (αδύνατη)
2 2
ηµ x συν x 1+ =
συνx
σφx , ηµx 0
ηµx
= ≠ 2
2
1
1 εφ x
συν x
+ = 2
2
1
1 σφ x
ηµ x
+ =
ηµx
εφx , συνx 0
συνx
= ≠ εφx σφx 1⋅ =
x ηµx συνx εφx σφx
0° (0 rad) 0 1 0 δεν ορίζεται
30° (π/6 rad) 1
2
3
2
3
3
3
45° (π/4 rad) 2
2
2
2
1 1
60° (π/3 rad) 3
2
1
2
3 3
3
90° (π/2 rad) 1 0 δεν ορίζεται 0
( )ηµ x ηµx− = − ( )συν x συνx− = ( )εφ x εφx− = − ( )σφ x σφx− = −
( )ηµ π x ηµx− = ( )συν π x συνx− = − ( )εφ π x εφx− = − ( )σφ π x σφx− = −
8. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
8
( )ηµ π x ηµx+ = − ( )συν π x συνx+ = − ( )εφ π x εφx+ = ( )σφ π x σφx+ =
π
ηµ x συνx
2
− =
π
συν x ηµx
2
− =
π
εφ x σφx
2
− =
π
σφ x εφx
2
− =
π
ηµ x συνx
2
+ =
π
συν x ηµx
2
+ = −
π
εφ x σφx
2
+ = −
π
σφ x εφx
2
+ = −
( )ηµx ηµθ x 2κπ θ ή x 2κπ π θ , κ= ⇔ = + = + − ∈ℤ
συνx συνθ x 2κπ θ ή x 2κπ θ, κ= ⇔ = + = − ∈ℤ
εφx εφθ x κπ θ, κ= ⇔ = + ∈ℤ
σφx σφθ x κπ θ, κ= ⇔ = + ∈ℤ
ηµx 0 x 0 x 0 x κπ, κεϕ εϕ εϕ= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ℤ
συνx 0 σφx 0 σφx x κπ , κ
2 2
π π
σϕ= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ℤ
10. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
10
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ∆ΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ∆ΟΣ
( )ν 1α α ν 1 ω= + −
( ) ( )( )11 ν
ν
2α ν 1 ω να α ν
S
2 2
, , . . . 2α β γ δ ο α π β α γ
+ −+
= =
⇔ = +
ν 1
ν 1α α λ −
= ⋅
Αν
ν
ν 1
λ 1
λ 1 S α
λ 1
−
≠ ⇒ = ⋅
−
Αν
ν 1λ 1 S ν α= ⇒ = ⋅
2
. . . . , .α β γ δ ο γ π β αγ⇔ =
( )
1
ν ν 1
S 1 2 3 ... ν
2
+
= + + + + =
( )( )2 2 2 2
2
ν ν 1 2ν 1
S 1 2 3 ... ν
6
+ +
= + + + + =
( )
( )
2
23 3 3 3
3 1
ν ν 1
S 1 2 3 ... ν S
2
+
= + + + + = =
Έστω α ένας θετικός αριθµός. Αν σε κάθε x∈ ℝ αντιστοιχίσουµε τη δύναµη α x,
τότε ορίζεται µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το ℝ και f (x) = α x.
Aν α = 1, τότε είναι f (x) = 1 για κάθε x∈ ℝ .
11. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
11
Για 0 < α ≠ 1, τότε η συνάρτηση f (x) = α x, x∈ ℝ ονοµάζεται εκθετική
συνάρτηση µε βάση α .
Οι βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης f (x) = α x, x∈R µε 0 <α ≠ 1
είναι οι εξής :
• Έχει πεδίο ορισµού το R .
• Έχει πεδίο τιµών το f (A) = (0,+ ∞ ).
∆ηλαδή για κάθε x∈R ισχύει α x >0.
• Η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα y΄y στο σηµείο Α(0,1) και έχει
ασύµπτωτη τον άξονα x΄x .
• Η Εκθετική Συνάρτηση είναι ‘1-1’.
∆ηλαδή Ισχύει η ισοδυναµία 1
x
a = 2
x
a ⇔ x1 = x2
• Αν α >1, τότε είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
∆ηλαδή για κάθε x1,x2∈R ισχύει : αν x1 < x2 ⇔ 1
x
a < 2
x
a
• Αν 0<α<1, τότε είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ .
∆ηλαδή για κάθε x1,x2∈R ισχύει : αν x1 < x2 ⇔ 1
x
a > 2
x
a
12. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
12
Αν 0 < α ≠ 1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των
συναρτήσεων y = α x και y = α –x έχουν άξονα συµµετρίας τον άξονα y΄y.
• Ορισµός: x
αlog θ x α θ, 0 0 1θ και α και α= ⇔ = > > ≠
• Για τους λογάριθµους ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
1) x x x
αlog α x, log10 x, lne x= = = 2) αlog θ logθ lnθ
α θ, 10 θ, θe= = =
3) αlog 1 0, log1 0, ln1=0= = 4) αlog α 1, log10 1, lne=1= =
5) ( )α 1 2 α 1 α 2log θ θ log θ log θ⋅ = + 6) ( )α 1 2 α 1 α 2log θ :θ log θ log θ= −
7) κ
α αlog θ κ log θ= ⋅ 8) κ
α α
1
log x log x
κ
=
9) Τύπος αλλαγής βάσης: α
β
α
log θ
log θ
log β
=
Αν 0 < α ≠ 1 ,τότε για κάθε x >0 ορίζεται ο πραγµατικός αριθµός logαx.
Εποµένως αν σε κάθε θετικό πραγµατικό αριθµό x αντιστοιχίσουµε τον
πραγµατικό αριθµό y = logαx ορίζεται µια νέα συνάρτηση f που έχει πεδίο
ορισµού το διάστηµα (0,+∞ ), πεδίο τιµών το R και για κάθε x > 0
13. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
13
είναι f (x) = logαx. Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθµική συνάρτηση µε βάση
το α .
Ιδιότητες
• = ⇔ =1 2 1 2
log loga a
x x x x
• Αν α >1, είναι γνησίως αύξουσα, που σηµαίνει ότι
< ⇔1 2
x x <1 2
log loga a
x x Ειδικά :
< ⇔1 2
x x <1 2
log logx x
< ⇔1 2
x x <1 2
ln lnx x
>log 0x ⇔ x >1 και <log 0x ⇔ 0 <x <1
lnx >0 ⇔ x >1 και <ln 0x ⇔ 0 <x <1
• Aν 0<α<1, είναι γνησίως φθίνουσα, που σηµαίνει ότι
< ⇔1 2
x x >1 2
log loga a
x x
Επειδή logαx = y ⇔ x = α y, οι γραφικές παραστάσεις της εκθετικής και της
λογαριθµικής συνάρτησης είναι συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο της πρώτης
και τρίτης γωνίας των ορθογωνίων αξόνων.
14. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
14
αlog θ 0 1θ< < 1θ >
0 1α< < αlog θ>0 αlog θ<0
1α > αlog θ<0 αlog θ>0
Γραφική παράσταση της f λέγεται το σύνολο των σηµείων Μ(x,y) για τα οποία
ισχύει y=f(x) δηλ. = Μ = ∈f f
C { (x,y) / y f(x) και x D }
Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει µε τη f
C το πολύ ένα κοινό σηµείο.
Όταν δίνεται η f
C τότε:
▪ Η τιµή της f στο ∈0 f
x D είναι η τεταγµένη του σηµείου τοµής της ευθείας
= 0
x x και της f
C .
▪ Το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο Α των τετµηµένων των σηµείων
της f
C
▪ Το σύνολο τιµών της f είναι το σύνολο f(A) των τεταγµένων των σηµείων
της f
C .
1. Γραφικές παραστάσεις βασικών συναρτήσεων:
15. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
15
16. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
16
17. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
17
2. Αν ( ) ( )= −g x f x τότε δηµιουργούµε τη συµµετρική της f
C ως προς τον xx’.
3. Αν ( ) ( )=g x f x τότε αποτελείται από τα τµήµατα της f
C που βρίσκονται πάνω
από τον xx’ και από τα συµµετρικά ως προς τον άξονα xx’ των τµηµάτων της
f
C που δεν βρίσκονται πάνω απ’ αυτόν.
18. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
18
4. Κατακόρυφη – Οριζόντια Μετατόπιση JOYSTICK
Αν ( ) ( )= +g x f x κ τότε µετατοπίζουµε τη f
C
• κατά κ µονάδες προς τα πάνω αν >κ 0 ,
• κατά κ µονάδες προς τα κάτω αν <κ 0 .
Αν ( ) ( )= +g x f x κ τότε µετατοπίζουµε τη f
C
• κατά κ µονάδες δεξιά αν <κ 0 ,
• κατά κ µονάδες αριστερά αν >κ 0.
Εύρεση σηµείων τοµής της f
C µε x’x.
Λύνω την εξίσωση ( ) =f x 0 , αν 1 2
ρ ,ρ οι ρίζες της τότε τα σηµεία ( )( )1 2
ρ ,0 ρ ,0 είναι
οι τοµές µε τον x’x. (Τα σηµεία µπορεί να είναι από 0 έως άπειρα).
Εύρεση σηµείου τοµής της f
C µε y’y.
α. Αν ∈ f
0 D τότε θέτω =x 0 και βρίσκω το ( )f 0 . Το σηµείο τοµής είναι ( )( )0,f 0 .
β. Αν ∉ f
0 D η f
C δεν τέµνει τον y’y.
(Τα σηµεία τοµής είναι το πολύ ένα, αν υπάρχει είναι µοναδικό).
Κοινά σηµεία των f g
C ,C
Λύνω την εξίσωση =f(x) g(x) , αν 1 2
ρ ,ρ οι ρίζες της τότε τα σηµεία ( )( )1 1 2 2
ρ ,f(ρ ) ρ ,f(ρ )
είναι τα σηµεία τοµής των καµπυλών.
Σχετική θέση των f g
C ,C
19. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
19
Για να βρω το διάστηµα στο οποίο η f
C βρίσκεται πάνω από τον x’x (αντίστοιχα
κάτω από τον x’x) λύνω την ανίσωση ( ) >f x 0 (αντίστροφα ( ) <f x 0 ).
Για να βρω το διάστηµα στο οποίο η f
C βρίσκεται πάνω από την g
C (αντίστοιχα
κάτω από την g
C ) λύνω την ανίσωση ( ) >f x g(x) (αντίστοιχα ( ) <f x g(x) ).
Για να βρω τη σχετική θέση δύο καµπυλών βρίσκω το πρόσηµο της διαφοράς
( ) ( )∆ = −f x g x .
α. Σχηµατίζω το ∆ (∆εν είναι διακρίνουσα).
β. Μηδενίζω το ∆ και τις τιµές που βρίσκω τις βάζω σε πίνακα προσήµου.
γ. Αν ∆ > 0 τότε f
C πάνω από g
C .
Αν ∆ < 0 τότε f
C κάτω από g
C .
Αν ∆ = 0 τότε f
C , g
C τέµνονται.
( )= = + ≠ =2 2
α
y
α x,y α x y αν x 0 τότε λ
x
( ) ( ) ( )Α = − − ΑΒ = = − + −
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
x ,y B(x ,y ) AB (x x ,y y ) και AB x x y y
( ) = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅
1 1 2 2 1 2 1 2
α x ,y β (x ,y ) α β α β συν α,β x x y y
⇔ = ⇔ ⋅ − ⋅ =1 2 1 2
α / / β det(α, β) 0 x y y x 0
⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ + ⋅ =1 2 1 2
α β α β 0 x x y y 0
• Εξίσωση γραµµής C ονοµάζεται µια εξίσωση της µορφής f(x, y) = 0 (µε
δύο µεταβλητές x, y) όταν για κάθε σηµείο ( )0 0
M x ,y ισχύει η ισοδυναµία
( ) ( )∈ ⇔ =0 0 0 0
M x ,y C f x ,y 0 .
• Γωνία ω που σχηµατίζει µια ευθεία ε µε τον άξονα x’x:
Ισχύει πάντα ≤ ω < π0
Επίσης ′ω = ⇔ ε0 / /x x
λ = εφω = συντελεστής διεύθυνσης της ε (εφόσον ε / / ′y y )
• Αν ( ) ( )1 1 2 2
A x ,y ,B x ,y είναι δύο σηµεία της ε µε ≠1 2
x x , τότε
−
λ =
−
2 1
2 1
y y
x x
• Αν οι ευθείες ε ε1 2
, έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ λ1 2
, αντίστοιχα, τότε
ε ε ⇔ λ = λ ε ⊥ ε ⇔ λ λ = −1 2 1 2 1 2 1 2
/ / και 1
20. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
20
• Αν µια ευθεία ε διέρχεται από το σηµείο ( )0 0
A x ,y και
έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε έχει εξίσωση ( )− = λ −0 0
y y x x
είναι κατακόρυφη ( ′ε / /y y ), τότε έχει εξίσωση = 0
x x .
• Αν για µια ευθεία ε έχουµε ε / / ′y y , τότε η ε έχει εξίσωση της µορφής
= λ + βy x (λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ε και β η τεταγµένη του
κοινού σηµείου της µε τον άξονα y’y).
• Αν ′ε / /y y (ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ), τότε η ε έχει εξίσωση της µορφής = 0
x x
( 0
x είναι η κοινή τετµηµένη όλων των σηµείων της ε).
• Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας: + + Γ = µε Α ≠Ax By 0 0 ή ≠B 0
• Η ευθεία µε εξίσωση + + Γ =Ax By 0 είναι:
παράλληλη στο διάνυσµα ( ) ( )δ = Β −Α δ = −Β Α, ή ,
κάθετη στο διάνυσµα ( ) ( )η = Α Β η = −Α −Β, ή ,
• Απόσταση σηµείου ( )0 0
M x ,y από ευθεία ε: + + Γ =Ax By 0 :
( )
Α + + Γ
ε =
Α + Β
0 0
2 2
x By
d M,
• Εµβαδόν τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ:
( ) ( )ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ
1
det ,
2
ΚΥΚΛΟΣ
Εξίσωση κύκλου ακτίνας ρ:
( ) ( )− + − = ρ
2 2 2
0 0
x x y y (κέντρο Κ( )0 0
x ,y )
+ = ρ2 2 2
x y (κέντρο Ο(0,0))
Μοναδιαίος κύκλος + =2 2
C : x y 1 (κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1)
• Εξίσωση εφαπτοµένης κύκλου + = ρ2 2 2
C : x y (κέντρου Ο(0,0)) στο σηµείο
του ( )1 1
A x ,y : + = ρ2
1 1
xx yy
• Η εξίσωση + + + + Γ =2 2
x y Ax By 0 παριστάνει κύκλο, αν και µόνο αν
+ − Γ >2 2
A B 4 0
Στην περίπτωση αυτή το κέντρο είναι
− −
A B
K ,
2 2
και ακτίνα
Α + Β − Γ
ρ =
2 2
4
2
.
ΠΑΡΑΒΟΛΗ
Ορισµός παραβολής C, µε εστία Ε και διευθετούσα δ: ( ) ( )∈ ⇔ = δM C ME d M,
• Εξίσωση παραβολής C:
21. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
21
µε διευθετούσα δ: = −
p
x
2
και εστία
=
2p
E ,0 : y 2px
2
µε διευθετούσα δ: = −
p
y
2
και εστία
=
2p
E 0, : x 2py
2
• Εξίσωση εφαπτοµένης παραβολής C στο σηµείο της ( )1 1
A x ,y :
Αν =2
C : y 2px , τότε ε: ( )= +1 1
yy p x x
Αν =2
C : x 2py , τότε ε: ( )= +1 1
xx p y y
• Ανακλαστική ιδιότητα φ = φ1 2
ΕΛΛΕΙΨΗ
Ορισµός έλλειψης C µε εστίες Ε’, Ε: ( ) ( ) ( )′ ′∈ ⇔ + = α > Ε ΕM C ME ME 2
• Α’Α µεγάλος άξονας
• Β’Β µικρός άξονας
• Α, Α’, Β, Β’ κορυφές της έλλειψης
• Μήκος µεγάλου άξονα: (Α’Α) = 2α
• Μήκος µικρού άξονα: (Β’Β) = 2β
• Εστιακή απόσταση: (Ε’Ε) = 2γ
• Ισχύει α = β + γ2 2 2
• Εκκεντρότητα
γ
ε =
α
, < ε <0 1
• Εξίσωση έλλειψης µε εστίες Ε’(-γ,0), Ε(γ,0): + =
α β
22
2 2
yx
1
• Εξίσωση έλλειψης µε εστίες Ε’(0,-γ), Ε(0,γ): + =
β α
22
2 2
yx
1
• Εξίσωση εφαπτοµένης έλλειψης + =
α β
22
2 2
yx
C : 1 στο σηµείο της ( )1 1
M x ,y :
+ =
α β
1 1
2 2
xx yy
1
ΥΠΕΡΒΟΛΗ
Υπερβολή C µε εστίες Ε’ και Ε: ( ) ( ) ( )′ ′∈ ⇔ − = α α < Ε Ε = γM C ME ME 2 , 2 2
• Εξίσωση υπερβολής µε εστίες Ε’(-γ,0) και Ε(γ,0): − = β = γ − α
α β
22
2 2 2
2 2
yx
1,
Κορυφές: Α(α, 0), Α’(-α, 0)
Ασύµπτωτες:
β β
ε = ε = −
α α1 2
: y x, : y x
22. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
22
Εκκεντρότητα:
γ
ε = >
α
1
Ορθογώνιο βάσης:
Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ µε Κ(α, β), Λ(α, -β), Μ(-α, -β), Ν(-α, β)
Εξίσωση εφαπτοµένης στο ( ) − =
α β
1 1
1 1 2 2
xx yy
P x ,y : 1
• Εξίσωση υπερβολής µε εστίες Ε’(0,-γ) και Ε(0,γ): − = β = γ − α
α β
2 2
2 2 2
2 2
y x
1,
Κορυφές: Α(0,α), Α’(0,-α)
Ασύµπτωτες:
α α
ε = ε = −
β β1 2
: y x, : y x
Εκκεντρότητα:
γ
ε = >
α
1
Ορθογώνιο βάσης: Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ µε Κ(β, α), Λ(-β, α),
Μ(-β, -α), Ν(β, -α)
Εξίσωση εφαπτοµένης στο ( ) − =
α β
1 1
1 1 2 2
yy xx
P x ,y : 1
Κριτήρια ισότητας τριγώνων
1ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές
ίσες µία προς µία και την περιεχόµενη γωνία
τους ίση (Π-Γ-Π), τότε είναι ίσα.
2ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν µία πλευρά
ίση και τις προσκείµενες στην πλευρά αυτή γωνίες
ίσες µία προς µία (Γ-Π-Γ) , τότε είναι ίσα.
3ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές
Τους ίσες µία προς µία (Π-Π-Π), τότε είναι ίσα.
Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες.
Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.
Κριτήρια οµοιότητας τριγώνων
1ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν
δύο γωνίες ίσες µία προς µία, τότε
23. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Όλα εν Τάξη
Γιάννης Μήταλας-Θανάσης Δρούγας-Βαλάντης Χάδος-Ξένος Γερμανός-Σπύρος
Πάτσης
23
τα τρίγωνα είναι όµοια.
ΑΒ ΒΓ ΓΑ
= =
Α Β Β Γ Γ Α' ' ' ' ' '
2ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες µία προς µία και τις
περιεχόµενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όµοια.
3ο κριτήριο: Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες µία προς µία,
τότε είναι όµοια.
Ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων τριγώνων είναι ίσος µε το λόγο δύο οµόλογων
υψών τους.
Ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων τριγώνων είναι ίσος µε το λόγο δύο οµόλογων
διχοτόµων τους.
Ο λόγος οµοιότητας δύο όµοιων τριγώνων είναι ίσος µε το λόγο δύο οµόλογων
διαµέσων τους
Θεώρηµα Θαλή
Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες
τέµνουν δύο άλλες ευθείες τότε τα τµήµατα
που ορίζονται στη µία είναι ανάλογα προς τα
αντίστοιχα τµήµατα που ορίζονται στην άλλη.
∆ηλαδή αν ε1 // ε2 // ε3 , τότε
ΑΒ ΒΓ ΓΑ
= =
Α Β Β Γ Γ Α' ' ' ' ' '
Μέση Ανάλογος
Στην αναλογία 2α β
= ⇔ β = α⋅γ
β γ
οι µέσοι όροι είναι ίσοι. Αυτή η αναλογία
λέγεται συνεχής και ο β λέγεται µέση ανάλογος των α και γ.
Συζυγή Αρµονικά
Τα σηµεία Γ και ∆ είναι συζυγή αρµονικά των Α και Β,
αν τα τέσσερα σηµεία είναι συνευθειακά και
ΓΑ ∆Α
=
ΓΒ ∆Β
.
Τα τέσσερα σηµεία (Α, Β) και (Γ, ∆) λέµε ότι αποτελούν αρµονική τετράδα.
Θεώρηµα ∆ιχοτόµου
Σε τρίγωνο ΑΒΓ, αν Α∆ είναι η διχοτόµος
της γωνίας Α, τότε ισχύει:
∆Β ΑΒ
=
∆Γ ΑΓ
Μετρικές Σχέσεις Σε Ορθογώνιο